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T ES/L DM : CONVEXITE β COEFFICIENT DE GINI 14 AVRIL 2015 Exercice 1 Soit π une fonction deux fois dérivable sur β. On note πβ² sa dérivée et πβ²β² sa dérivée seconde. La courbe représentative de la fonction dérivée notée πΆπβ² est donnée ci-dessous. La droite T est tangente à la courbe πΆπβ² au point d'abscisse 0. 1. Par lecture graphique : a. Résoudre πβ²(π₯) = 0. b. Résoudre πβ²β²(π₯) = 0. c. Déterminer πβ²β²(0). 2. Une des quatre courbes πΆ1 , πΆ2 , πΆ3 et πΆ4 ci-dessous est la courbe représentative de la fonction π et une autre la courbe représentative de la dérivée seconde πβ²β². a. Déterminer la courbe qui représente π et celle qui représente la dérivée seconde πβ²β². b. Déterminer les intervalles sur lesquels π est convexe ou concave. c. La courbe représentative de la fonction π admet-elle un point d'inflexion ? Exercice 2 PARTIE A On considère la fonction π définie sur β par π(π₯) = 2π β0,5π₯ + π₯ 1. Calculer πβ²(π₯). 2. Étudier les variations de π et dresser le tableau de variation de π. PARTIE B On considère maintenant la fonction πΉ définie sur β par πΉ(π₯) = 1. Montrer que πΉβ²(π₯) = π(π₯). π₯2 2 β 4π β0,5π₯ . 2. Étudier les variations de la fonction πΉ. 3. Étudier la convexité de la fonction πΉ. 4. La courbe représentative de de la fonction πΉ a-t-elle un point d'inflexion ? PARTIE C 2 1. Calculer la valeur exacte de l'intégrale πΌ = β«β2 π(π₯)ππ₯ 2. On note πΆπ la courbe représentative de la fonction π dans le plan muni d'un repère orthogonal (unités graphiques : 2 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées). Calculer une valeur approchée à 10β2 près de l'aire en cm² de la portion du plan coloriée. Exercice 3 (Courbe de Lorentz et Indice de Gini) Partie A : Courbe de LORENZ Dβaprès Wikipédia, la courbe de LORENZ a été développée (par MAX O. LORENZ) comme une représentation graphique des inégalités de revenu. Elle peut aussi servir à mesurer les inégalités de répartition dβun actif ou de toute autre distribution de richesse. La courbe de LORENZ est la représentation graphique de la fonction qui a la part π₯ des ménages les moins riches associe la part y du revenu total quβils perçoivent. La part des ménages, classés par ordre de revenu individuel croissant, est donc en abscisse, et la part du revenu reçu en ordonnée. 1. Lectures graphiques sur la courbe de LORENZ donnée en exemple ci-contre Exemple de lecture : les 0,4 = 40 % des ménages les moins riches se partagent 0,184 = 18,4 % du total des revenus des ménages. (a) Le point M est de coordonnées (0,80; 0,592). Interpréter ce point. (b) Avec la précision permise par le graphique, indiquer : β’ quel pourcentage du total des revenus revient aux 50 % les moins riches ? β’ quel pourcentage du total des revenus revient aux 20 % les plus riches ? 2. (a) On propose sur la figure ci-dessous deux courbes C1 et C2 de Lorenz associées à deux pays P1 et P2. Dans lequel de ces deux pays la répartition des revenus est-elle la moins inégale ? (b) On suppose que tous les ménages dβun pays ont exactement la même part du total des revenus. On parle alors dβégalité parfaite. Expliquer pourquoi la courbe de LORENZ est alors confondue avec le segment [OA]. (c) On suppose quβune seule personne possède la totalité des revenus. On parle alors dβinégalité totale. Que devient dans ce cas la courbe de LORENZ ? 3. Généralités sur les courbes de LORENZ. (a) i. Expliquer pourquoi une courbe de LORENZ passe toujours par les points O et A. ii. Expliquer pourquoi une courbe de LORENZ ne peut jamais être au-dessus de la première bissectrice (la droite (OA) dβéquation π¦ = π₯ tracée en pointillés sur les figures page précédente. On pourra se baser sur un exemple. iii. Expliquer pourquoi une courbe de LORENZ représente toujours une fonction croissante. (b) Justifier que pour quβune fonction f convienne, il faut quβelle vérifie les points suivants : β’ π doit être définie sur [0; 1] ; β’ π (0) = 0 et π (1) = 1 ; β’ π (π₯) β€ π₯ pour tout π₯ β [0; 1]; β’ π croissante sur [0; 1]. (c) Montrer que les fonctions suivantes conviennent : β’ π1 (π₯) = π₯² ; β’ π2 (π₯) = π₯ 3 ; β’ π3 (π₯) = π π₯ β (π β 2)π₯ β 1 ; Partie B : Indice de GINI Dβaprès Wikipédia, le coefficient de GINI, noté Ξ³, est une mesure du degré dβinégalité de la distribution des revenus dans une société donnée, développée par le statisticien italien CORRADO GINI. Mathématiquement, on a : πΎ = ππππ πππ‘ππ [ππ΄]ππ‘ πΆ ππππ ππ’ π‘πππππππ ππ΅π΄ 1. Expliquer pourquoi 0 β€ πΎ β€ 1 . Préciser dans quelle situation on a πΎ = 0 et dans quelle situation on a = 1 . 1 2. Si on note π la fonction associée à la courbe de LORENZ, montrer que πΎ = 1 β 2 β«0 π(π₯)ππ₯. 3. (a) Calculer πΎ1 , πΎ2 et πΎ3, les coefficients de GINI correspondant aux fonctions π1 , π2 et π3 de la question 3c de la Partie A. (b) Ranger ces fonctions de celle correspondant à la répartition des salaires la plus égalitaire à la répartition la moins égalitaire. 4. Rechercher sur Internet lβindice de GINI (ou le coefficient de GINI = 100× Ξ³) de la France et des États-Unis à une même date (on donnera lβadresse exacte de la source sur sa copie) et comparer ces deux indices. T ES/L CORRECTION DM : CONVEXITE β COEFFICIENT DE GINI 14/04/2015 Exercice 1 Soit π une fonction deux fois dérivable sur β. On note πβ² sa dérivée et πβ²β² sa dérivée seconde. La courbe représentative de la fonction dérivée notée πͺπβ² est donnée ci-dessous. La droite T est tangente à la courbe πͺπβ² au point d'abscisse 0. 1. Par lecture graphique : a. Résoudre πβ²(π) = π. La courbe πΆπβ² coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse β2. Donc l'équation πβ²(π₯) = 0 admet une seule solution π₯ = β2 b. Résoudre πβ²β²(π) = π. La courbe πΆπβ² admet une tangente parallèle à l'axe des abscisses au point d'abscisse β1. Donc l'équation πβ²β²(π₯) = 0 admet une seule solution π₯ = β1 c. Déterminer πβ²β²(π). La tangente T à la courbe πΆπβ² au point de coordonnées (0; 1) passe par le point de coordonnées (2;0). 1β0 1 D'où : π β²β² (0) = =β 0β2 2 2. Une des quatre courbes πͺπ , πͺπ , πͺπ et πͺπ ci-dessous est la courbe représentative de la fonction π et une autre la courbe représentative de la dérivée seconde πβ²β². a. Déterminer la courbe qui représente π et celle qui représente la dérivée seconde πβ²β². Les variations de la fonction f se déduisent du signe de sa dérivée ββ β2 +β π₯ β 0 + πβ²(π₯) Variations de π La courbe πΆ1 est la seule courbe susceptible de représenter la fonction π. Les variations de la fonction πβ² se déduisent du signe de sa dérivée πβ²β². ββ β1 +β π₯ + 0 β Signe de πβ²β²(π₯) πβ²(π₯) La courbe πΆ3 est la seule courbe susceptible de représenter la dérivée seconde πβ²β². b. Déterminer les intervalles sur lesquels π est convexe ou concave. Sur ] β β; β1], la dérivée πβ² est croissante donc π est convexe sur cet intervalle. Sur [β1; +β[, la dérivée πβ² est décroissante donc π est concave sur cet intervalle. La fonction π est convexe sur ] β β; β1] et concave sur [β1; +β[. c. La courbe représentative de la fonction π admet-elle un point d'inflexion ? La dérivée seconde s'annule en (β1) en changeant de signe donc La courbe représentative de la fonction π admet un point d'inflexion en (β1). Exercice 2 PARTIE A On considère la fonction π définie sur β par π(π) = ππβπ,ππ + π 1. Calculer πβ²(π). La fonction π est dérivable sur β comme somme de fonctions dérivables sur β Alors πβ²(π₯) = 2 × (β0,5) × π β0,5π₯ + 1 = βπ β0,5π₯ + 1 Donc πβ² est la fonction définie pour tout réel π₯ par πβ²(π₯) = 1 β π β0,5π₯ 2. Étudier les variations de π et dresser le tableau de variation de π. Les variations de π se déduisent du signe de sa dérivée. Or : π β² (π₯) < 0 1 β π β0,5π₯ < 0 1 < π β0,5π₯ π 0 < π β0,5π₯ 0 < β0,5π₯ 0>π₯ D'où le tableau de variations de la fonction f : ββ 0 π₯ β 0 + Signe de πβ²(π₯) +β Variation de π 2 π(0) = 2π β0,5×0 + 0 = 2 × π 0 = 2 × 1 = 2 PARTIE B ππ On considère maintenant la fonction π définie sur β par π(π) = π β ππβπ,ππ . 1. Montrer que πβ²(π) = π(π). 2π₯ πΉβ²(π₯) = β 4 × (β0,5) × π β0,5π₯ = π₯ + 2π β0,5π₯ = π(π₯) 2 Pour tout réel x, πΉβ²(π₯) = π(π₯) donc πΉ est une primitive de la fonction π sur β 2. Étudier les variations de la fonction π. Le minimum de la fonction π est atteint pour π₯ = 0 et π(0) = 2 donc pour tout réel π₯, π(π₯) > 0 dβoù pour tout réel π₯, πΉβ²(π₯) > 0 Donc la fonction πΉ est strictement croissante sur β. 3. Étudier la convexité de la fonction π. Pour tout réel π₯, πΉβ²(π₯) = π(π₯). D'après les variations de la fonction π étudiées dans la partie A : Sur l'intervalle ] β β; 0], la fonction π est décroissante dβoù πΉβ² est décroissante donc la fonction F est concave sur ] β β; 0]. Sur l'intervalle [0; +β[, la fonction π est croissante dβoù πΉβ² est croissante donc la fonction F est convexe sur [0; +β[. 4. La courbe représentative de de la fonction π a-t-elle un point d'inflexion ? Pour tout réel x, πΉβ²(π₯) = π(π₯) donc πΉβ²β²(π₯) = πβ²(π₯) En 0, la dérivée seconde de la fonction πΉ s'annule en changeant de signe, donc la courbe représentative de de la fonction F admet le point de coordonnées (0; β4) comme point d'inflexion. PARTIE C π 1. Calculer la valeur exacte de l'intégrale π° = β«βπ π(π)π π Comme F est une primitive de la fonction f, 2 πΌ = β« π(π₯)ππ₯ = [πΉ(π₯)]2β2 = πΉ(2) β πΉ(β2) β2 2 2 (β2)2 πΌ = ( β 4π β0,5×2 ) β ( β 4π β0,5×(β2) ) 2 2 πΌ = 2 β 4π β1 β 2 + 4π 1 4 πΌ = 4π β π 2 4 Donc πΌ = β«β2 π (π₯)ππ₯ = 4π β π 2. On note πͺπ la courbe représentative de la fonction π dans le plan muni d'un repère orthogonal (unités graphiques : 2 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées). Calculer une valeur approchée à 10β2 près de l'aire en cm² de la portion du plan coloriée. La fonction π est positive. Donc l'aire, exprimée en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe πΆπ , l'axe des 2 abscisses et les droites d'équation π₯ = β2 et π₯ = 2 est égale à l'intégrale πΌ = β«β2 π(π₯)ππ₯ = 4 4π β π unités d'aire. Comme l'unité d'aire est celle d'un rectangle de 2 cm², l'aire du domaine colorié est en cm² : 4 2 × (4π β ) β 18,8 π Arrondie au centième près, l'aire du domaine colorié est 18,8 cm². Exercice 3 Courbe de Lorentz et Indice de Gini Partie A : Courbe de LORENZ Dβaprès Wikipédia, la courbe de LORENZ a été développée (par MAX O. LORENZ) comme une représentation graphique des inégalités de revenu. Elle peut aussi servir à mesurer les inégalités de répartition dβun actif ou de toute autre distribution de richesse. La courbe de LORENZ est la représentation graphique de la fonction qui a la part π des ménages les moins riches associe la part y du revenu total quβils perçoivent. La part des ménages, classés par ordre de revenu individuel croissant, est donc en abscisse, et la part du revenu reçu en ordonnée. 1. Lectures graphiques sur la courbe de LORENZ donnée en exemple ci-contre Exemple de lecture : les π, π = ππ % des ménages les moins riches se partagent π, πππ = ππ, π % du total des revenus des ménages. (a) Le point M est de coordonnées (π, ππ; π, πππ). Interpréter ce point. Cela signifie que les 80 % des ménages les moins riches se partagent 59,2% du total des revenus des ménages. (b) Avec la précision permise par le graphique, indiquer : β’ quel pourcentage du total des revenus revient aux 50 % les moins riches ? La courbe de Lorenz passe par le point (0,5; 0,25) donc les 50 % des ménages les moins riches se partagent 25 % du total des revenus des ménages. β’ quel pourcentage du total des revenus revient aux 20 % les plus riches ? On sait que la courbe de Lorenz passe par le point (0,80; 0,592) et donc que les 80 % des ménages les moins riches se partagent 59,2 % du total des revenus des ménages. Les 20 % les plus riches se partagent donc 100β59,2 = 40,8 % du total des revenus des ménages. 2. (a) On propose sur la figure ci-dessous deux courbes C1 et C2 de Lorenz associées à deux pays P1 et P2. Dans lequel de ces deux pays la répartition des revenus est-elle la moins inégale ? On remarque que la courbe πΆ2 est toujours située au-dessus de la courbe πΆ1 donc, pour un même pourcentage des moins riches, ils se partagent alors un pourcentage du total des revenus supérieur dans le second pays que dans le premier. La répartition des revenus est donc moins inégale dans le second pays. (b) On suppose que tous les ménages dβun pays ont exactement la même part du total des revenus. On parle alors dβégalité parfaite. Expliquer pourquoi la courbe de LORENZ est alors confondue avec le segment [OA]. Si tous les ménages ont le même revenu, si lβon prend les 10 % les moins riches (nβimporte quels 10 % de la population puisquβils sont tous à égalité), ils se partagent 10 % des revenus, si on prend les 20 % les moins riches de la population, ils se partagent 20 % des revenus, etc. Plus généralement π₯ % de la population se partage π₯ % des revenus et la courbe de Lorenz est donc dβéquation π¦ = π₯, où π¦ est le pourcentage de revenu partagé et π₯ les π₯ % les moins riches. (c) On suppose quβune seule personne possède la totalité des revenus. On parle alors dβinégalité totale. Que devient dans ce cas la courbe de LORENZ ? La courbe est alors constituée dβun segment passant par (0; 0) et (1; 0), ce dernier point étant exclu, et du point (1; 1). En effet, pour π₯ β [0; 1[, les π₯ % les moins riches disposent de 0 % des revenus et pour π₯ = 1, soit 100 % de la population, 100 % des revenus sont partagés, dβoù le point (1; 1). 3. Généralités sur les courbes de LORENZ. (a) i. Expliquer pourquoi une courbe de LORENZ passe toujours par les points O et A. Les 0 % les moins riches se partagent toujours 0 % des revenus, donc la courbe de Lorenz passe forcément par O (0; 0). Les 100 % les moins riches se partagent toujours 100 % des revenus, donc la courbe de Lorenz passe forcément par A(1; 1). ii. Expliquer pourquoi une courbe de LORENZ ne peut jamais être au-dessus de la première bissectrice (la droite (OA) dβéquation π = π tracée en pointillés sur les figures page précédente. On pourra se baser sur un exemple. Supposons que la courbe passe par (0,5; 0,6) qui est situé au-dessus de la première bissectrice. On aurait alors les 50 % les moins riches qui toucheraient 60 % du revenu disponible, ce qui signifierait quβil ne resterait alors que 40 % du revenu pour les 50 % les plus riches de la population. Les plus riches seraient moins riches que les moins riches, ce qui est contradictoire. iii. Expliquer pourquoi une courbe de LORENZ représente toujours une fonction croissante. Soient π₯ et π₯ β² deux pourcentages de la population telles que π₯ < π₯β² et π¦ et π¦ β² les pourcentages respectifs du revenu total quβils se partagent. Dβaprès la définition de la courbe de Lorenz, étant des fréquences cumulées, les π₯ les moins riches sont contenus dans les π₯β² les moins riches, donc les revenus cumulés correspondant à π₯β² contiennent les revenus cumulés correspondant à π₯, donc π¦ < π¦β² . On a donc : si π₯ < π₯β² alors < π¦β² , ce qui correspond à la définition dβune fonction croissante. Remarque : Certains ont expliqué la croissance de la fonction par le fait quβon partait des moins riches vers les plus riches donc que le revenu des derniers était supérieur au revenu des premiers. Ce nβest pas le bon argument. En effet, si on décidait de classer des plus riches au moins riches et quβon faisait le cumul des revenus, on obtiendrait aussi une fonction croissante (mais située au-dessus de la première bissectrice). Bref lβargument est que lβon cumule les revenus, et pas que les revenus sont classés du plus petit au plus grand. (b) Justifier que pour quβune fonction f convienne, il faut quβelle vérifie les points suivants : β’ π doit être définie sur [π; π] ; β’ π (π) = π et π (π) = π ; β’ π (π) β€ π pour tout π β [π; π]; β’ π croissante sur [π; π]. β’ π₯ variant de 0 à 1, la fonction f doit être définie sur [0; 1] β’ On a vu quβune courbe de Lorenz passe forcément par O et A, donc π (0) = 0 et π (1) = 1. β’ On a vu quβune courbe de Lorenz y = f (x) est forcément au-dessous de la première bissectrice y = x, donc π (π₯) β€ π₯. β’ On a vu quβune courbe de Lorenz est la représentation graphique dβune fonction croissante. (c) Montrer que les fonctions suivantes conviennent : β’ ππ (π) = π² ; β’ ππ (π) = ππ ; β’ ππ (π) = ππ β (π β π)π β π ; β’ π1 (π₯) = π₯² β’ π1 est définie sur [0; 1] β’ π1 (0) = 02 = 0 et π1 (1) = 12 = 1 β’ sur [0 ; 1], π1 (π₯) β€ π₯ Car sur [0 ; 1] π₯(π₯ β 1) β€ 0 π₯2 β π₯ β€ 0 π₯ 2 β€ π₯0 β’ la fonction carrée est croissante sur [0,1] donc π1 est croissante sur [0; 1] β’ π2 (π₯) = π₯ 3 β’ π2 est définie sur [0; 1] β’ π2 (0) = 03 = 0 et π2 (1) = 13 = 1 β’ sur [0 ; 1], π2 (π₯) β€ π₯ Car sur [0 ; 1] π₯(π₯² β 1) β€ 0 π₯3 β π₯ β€ 0 π₯3 β€ π₯ β’ la fonction cube est croissante sur [0,1] donc π2 est croissante sur [0; 1] β’ π3 (π₯) = π π₯ β (π β 2)π₯ β 1 β’ π3 est définie sur [0; 1] β’ π3 (0) = π 0 β (π β 2) × 0 β 1 = π 0 β 1 = 1 β 1 = 0 et π3 (1) = π 1 β (π β 2) × 1 β 1 = π β π + 2 β 1 = 1 β’ sur [0 ; 1], π3 (π₯) β€ π₯ Car β¦ On pose : β(π₯) = π₯ β π3 (π₯) = π₯ β (π π₯ β (π β 2)π₯ β 1) = π₯ β π π₯ + (π β 2)π₯ β 1 = βπ π₯ + (π β 2 + 1)π₯ β 1 = βπ π₯ + (π β 1)π₯ β 1 On étudie le signe de β(π₯) β(π₯) = βπ π₯ + (π β 1)π₯ β 1 Alors ββ²(π₯) = βπ π₯ + π β 1 Et ββ² (π₯) > 0 βπ π₯ + π β 1 > 0 π β 1 > ππ₯ ln(π β 1) > ln(π π₯ ) ln(π β 1) > π₯ On en déduit le tableau de variations suivant : Donc sur [0 ; 1], β(π₯) β₯ 0 π₯ β π3 (π₯) β₯ 0 π₯ β₯ π3 (π₯) β’ On a π3 (π₯) = π π₯ β (π β 2)π₯ β 1 Alors π3 = π’ + π£ avec π’(π₯) = π π₯ π£(π₯) = β(π β 2)π₯ β 1 β(π β 2) π’β² (π₯) = π π₯ π£ β² (π₯) = Et π3 β² = π’β² + π£ β² Dβoù π3 β² (π₯) = π π₯ β (π β 2) Pour pour tout réel π₯ de [0,1], 0β€π₯β€1 π 0 β€ π π₯ β€ π1 1 β€ ππ₯ β€ π 1 β (π β 2) β€ π π₯ β€ π β (π β 2) 1 β π + 2 β€ ππ₯ β€ 2 0 β€ 3 β π β€ ππ₯ β€ 2 Donc pour tout réel π₯ de [0,1], 0 β€ π3 β²(π₯) Par conséquent, la fonction π3 est strictement croissante sur [0; 1]. Partie B : Indice de GINI Dβaprès Wikipédia, le coefficient de GINI, noté Ξ³, est une mesure du degré dβinégalité de la distribution des revenus dans une société donnée, développée par le statisticien italien CORRADO GINI. Mathématiquement, on a : πΈ = ππππ πππππ [πΆπ¨]ππ πͺ ππππ π π ππππππππ πΆπ©π¨ 1. Expliquer pourquoi π β€ πΈ β€ π . Préciser dans quelle situation on a πΈ = π et dans quelle situation on a = π . Une aire est positive donc le quotient de deux aires est aussi positif. Par ailleurs, la courbe de Lorenz étant située sous le segment [OA] et au-dessus de lβaxe des abscisses (la part du revenu total est une quantité toujours positive), lβaire de la partie grisée est inférieure à lβaire du triangle OAB, donc le quotient est inférieur à 1. On a donc 0 β€ πΎ β€ 1. On a vu quβen cas dβégalité parfaite la courbe de Lorenz est confondue avec de segment [OA]. Dans ce cas lβaire de la partie grisée est nulle et πΎ = 0. En cas dβinégalité totale la courbe de Lorenz est le segment [OB] (B exclu) donc lβaire de la partie grisée est égale à lβaire du triangle OBA et πΎ = 1. 2. Si on note π la fonction associée à la courbe de LORENZ, π montrer que πΈ = π β π β«π π(π)π π. On a : 1 Aire du triangle OBA = 2 1 Aire de la partie grisée = aire du triangle OBA β β«0 π(π₯) ππ₯. Donc 1 1 1 1 β β«0 π(π₯) ππ₯ ππππ πππ‘ππ [ππ΄]ππ‘ πΆ 1 2 πΎ = = = ( β β« π(π₯) ππ₯) × 2 = 1 β β« π(π₯) ππ₯ 1 ππππ ππ’ π‘πππππππ ππ΅π΄ 2 0 0 2 3. (a) Calculer πΈπ , πΈπ et πΈπ , les coefficients de GINI correspondant aux fonctions ππ , ππ et ππ de la question 3c de la Partie A. 1 donc πΉ1 (π₯) = 3 π₯ 3 est une primitive de π1 . β’ π1 (π₯) = π₯² 1 Alors πΎ1 = 1 β 2 β«0 π1 (π₯) ππ₯ = 1 β 2(πΉ1 (1) β πΉ1 (0)) 1 1 2 1 = 1 β 2 ( × 13 β × 03 ) = 1 β = β 0,33 3 3 3 3 1 β’ π2 (π₯) = π₯ 3 donc πΉ2 (π₯) = 4 π₯ 4 est une primitive de π2 . 1 Alors πΎ2 = 1 β 2 β«0 π2 (π₯) ππ₯ = 1 β 2(πΉ2 (1) β πΉ2 (0)) 1 1 1 1 = 1 β 2 ( × 14 β × 04 ) = 1 β = = 0,5 4 4 2 2 β’ π3 (π₯) = π π₯ β (π β 2)π₯ β 1 donc πΉ3 (π₯) = π π₯ β (π β 2) π₯2 2 β π₯ est une primitive de π3 . 1 Alors πΎ3 = 1 β 2 β«0 π3 (π₯) ππ₯ = 1 β 2(πΉ3 (1) β πΉ3 (0)) = 1 β 2 ((π 1 β (π β 2) × 12 02 β 1) β (π 0 β (π β 2) β 0)) 2 2 1 = 1 β 2 (π β (π β 2) β 1 β 1) 2 1 = 1 β 2 (π β π + 1 β 1 β 1) 2 1 = 1 β 2 ( π β 1) 2 =1βπ+3 = 3 β π β 0,28 (b) Ranger ces fonctions de celle correspondant à la répartition des salaires la plus égalitaire à la répartition la moins égalitaire. Plus lβindice de Gini est proche de 0 et plus la répartition est égalitaire et plus lβindice de Gini est proche de 1 et plus la répartition est inégalitaire. On a 0 < πΎ3 < πΎ1 < πΎ2 < 1 Donc les fonctions sont, dans lβordre demandé, π3 , π1 et π2 . 4. Rechercher sur Internet lβindice de GINI (ou le coefficient de GINI = 100× Ξ³) de la France et des États-Unis à une même date (on donnera lβadresse exacte de la source sur sa copie) et comparer ces deux indices. Toutes les sources (récentes) indiquent que lβindice de GINI de la France est inférieur à celui des USA donc que la France est moins inégalitaire que les USA. T ES/L INDICATIONS : DM : CONVEXITE β COEFFICIENT DE GINI 14/04/2015 Exercice 1 1. Par lecture graphique : β’ Bien faire attention à la courbe tracée : πΆπβ² β’ π β²β² est la dérivée seconde de π et également la dérivée de π β² Dβoù π β²β² (0) est le nombre dérivé de β¦ ou le coefiicient directeur de β¦ 2. Une des quatre courbes πͺπ , πͺπ , πͺπ et πͺπ ci-dessous est la courbe représentative de la fonction π et une autre la courbe représentative de la dérivée seconde πβ²β². a. Déterminer la courbe qui représente π et celle qui représente la dérivée seconde πβ²β². Chercher les variations de la fonction π et celles de la fonction π β² Puis en déduire les signes de la dérivée. b. Déterminer les intervalles sur lesquels π est convexe ou concave. Pour connaitre la convexité dβune fonction, il faut connaitre le signe de sa dérivée seconde c. La courbe représentative de la fonction π admet-elle un point d'inflexion ? Il y a un point dβinflexion quandβ¦ Exercice 2 PARTIE B 2. Étudier les variations de la fonction π. Il faut se souvenir que pour tout π₯, πΉ β² (π₯) = π(π₯) En connaissant le signe de la fonction π on en déduit les variations de πΉ 3. Étudier la convexité de la fonction π. Pour connaitre la convexité dβune fonction, il faut connaitre les variations de sa dérivée Exercice 3 Courbe de Lorentz et Indice de Gini Partie A : Courbe de LORENZ 2. (b) On suppose que tous les ménages dβun pays ont exactement la même part du total des revenus. On parle alors dβégalité parfaite. Expliquer pourquoi la courbe de LORENZ est alors confondue avec le segment [OA]. Si tous les ménages ont le même revenu, si lβon prend les 10 % les moins riches (nβimporte quels 10 % de la population puisquβils sont tous à égalité), ils se partagent 10 % des revenus, si on prend les 20 % les moins riches de la population, ils se partagent 20 % des revenus, etc. Plus généralement π₯ % de la population se partage π₯ % des revenus et la courbe de Lorenz est donc dβéquation π¦ = π₯, où π¦ est le pourcentage de revenu partagé et π₯ les π₯ % les moins riches. 3. Généralités sur les courbes de LORENZ. (a) i. Expliquer pourquoi une courbe de LORENZ passe toujours par les points O et A. Les 0 % les moins riches se partagent toujours 0 % des revenus, donc la courbe de Lorenz passe forcément par O (0; 0). Les 100 % les moins riches se partagent toujours 100 % des revenus, donc la courbe de Lorenz passe forcément par A(1; 1). ii. Expliquer pourquoi une courbe de LORENZ ne peut jamais être au-dessus de la première bissectrice (la droite (OA) dβéquation π = π tracée en pointillés sur les figures page précédente. On pourra se baser sur un exemple. Supposons que la courbe passe par (0,5; 0,6) qui est situé au-dessus de la première bissectrice. On aurait alors les 50 % les moins riches qui toucheraient 60 % du revenu disponible, ce qui signifierait quβil ne resterait alors que 40 % du revenu pour les 50 % les plus riches de la population. Les plus riches seraient moins riches que les moins riches, ce qui est contradictoire. iii. Expliquer pourquoi une courbe de LORENZ représente toujours une fonction croissante. Soient π₯ et π₯ β² deux pourcentages de la population telles que π₯ < π₯β² et π¦ et π¦ β² les pourcentages respectifs du revenu total quβils se partagent. Dβaprès la définition de la courbe de Lorenz, étant des fréquences cumulées, les π₯ les moins riches sont contenus dans les π₯β² les moins riches, donc les revenus cumulés correspondant à π₯β² contiennent les revenus cumulés correspondant à π₯, donc π¦ < π¦β² . On a donc : si π₯ < π₯β² alors < π¦β² , ce qui correspond à la définition dβune fonction croissante. (b) Justifier que pour quβune fonction f convienne, il faut quβelle vérifie les points suivants : β’ π doit être définie sur [π; π] ; β’ π (π) = π et π (π) = π ; β’ π (π) β€ π pour tout π β [π; π]; β’ π croissante sur [π; π]. β’ π₯ variant de 0 à 1, la fonction f doit être définie sur [0; 1] β’ On a vu quβune courbe de Lorenz passe forcément par O et A, donc π (0) = 0 et π (1) = 1. β’ On a vu quβune courbe de Lorenz y = f (x) est forcément au-dessous de la première bissectrice y = x, donc π (π₯) β€ π₯. β’ On a vu quβune courbe de Lorenz est la représentation graphique dβune fonction croissante. (c) Montrer que les fonctions suivantes conviennent : β’ ππ (π) = π² ; β’ ππ (π) = ππ ; β’ ππ (π) = ππ β (π β π)π β π ; Il faut donc vérifier que ces fonctions vérifient bien les quatre conditions du (b) β’ π1 (π₯) = π₯² Aucun souci β’ π2 (π₯) = π₯ 3 Aucun souci β’ π3 (π₯) = π π₯ β (π β 2)π₯ β 1 β’ sur [0 ; 1], π3 (π₯) β€ π₯ Car β¦ Il faut poser une fonction β tel que β(π₯) = π₯ β π3 (π₯) Pour étudier le signe de β(π₯), il faut étudier ses variations et montrer quβelle admet un minimum de 0 sur [0; 1] Voici le tableau quβon doit obtenir : β’ la fonction π3 est strictement croissante sur [0; 1] Carβ¦ Il faut déterminer sa dérivée puis étudier le signe de celle-ci Pour pour tout réel π₯ de [0,1], 0β€π₯β€1 β¦ 0 β€ 3 β π β€ ππ₯ β€ 2 Donc pour tout réel π₯ de [0,1], 0 β€ π3 β²(π₯) Partie B : Indice de GINI 3. (a) Calculer πΈπ , πΈπ et πΈπ , les coefficients de GINI correspondant aux fonctions ππ , ππ et ππ de la question 3c de la Partie A. β’ π1 (π₯) = π₯² donc πΉ1 (π₯) =β¦β¦. est une primitive de π1 . Alors πΎ1 = β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.. β’ π2 (π₯) = π₯ 3 donc πΉ2 (π₯) =β¦β¦.. est une primitive de π2 . Alors πΎ2 =β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.. β’ π3 (π₯) = π π₯ β (π β 2)π₯ β 1 donc πΉ3 (π₯) = π π₯ β (π β 2) Alors πΎ3 =β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.. π₯2 2 β π₯ est une primitive de π3 .