T ES/L DM : C

T ES/L
DM : CONVEXITE – COEFFICIENT DE GINI
14 AVRIL 2015
Exercice 1
Soit 𝑓 une fonction deux fois dérivable sur ℝ. On note 𝑓′ sa dérivée et 𝑓′′ sa dérivée seconde.
La courbe représentative de la fonction dérivée notée 𝐶𝑓′ est donnée ci-dessous.
La droite T est tangente à la courbe 𝐶𝑓′ au point d'abscisse 0.
1. Par lecture graphique :
a. Résoudre 𝑓′(𝑥) = 0.
b. Résoudre 𝑓′′(𝑥) = 0.
c. Déterminer 𝑓′′(0).
2. Une des quatre courbes 𝐶1 , 𝐶2 , 𝐶3 et 𝐶4 ci-dessous est la courbe représentative de la fonction 𝑓 et
une autre la courbe représentative de la dérivée seconde 𝑓′′.
a. Déterminer la courbe qui représente 𝑓 et celle qui représente la dérivée seconde 𝑓′′.
b. Déterminer les intervalles sur lesquels 𝑓 est convexe ou concave.
c. La courbe représentative de la fonction 𝑓 admet-elle un point d'inflexion ?
Exercice 2
PARTIE A
On considère la fonction 𝑓 définie sur ℝ par 𝑓(𝑥) = 2𝑒 −0,5𝑥 + 𝑥
1. Calculer 𝑓′(𝑥).
2. Étudier les variations de 𝑓 et dresser le tableau de variation de 𝑓.
PARTIE B
On considère maintenant la fonction 𝐹 définie sur ℝ par 𝐹(𝑥) =
1. Montrer que 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥).
𝑥2
2
− 4𝑒 −0,5𝑥 .
2. Étudier les variations de la fonction 𝐹.
3. Étudier la convexité de la fonction 𝐹.
4. La courbe représentative de de la fonction 𝐹 a-t-elle un point d'inflexion ?
PARTIE C
2
1. Calculer la valeur exacte de l'intégrale 𝐼 = ∫−2 𝑓(𝑥)𝑑𝑥
2. On note 𝐶𝑓 la courbe représentative de la fonction 𝑓 dans le plan muni d'un repère orthogonal (unités
graphiques : 2 cm sur l'axe des abscisses et 1 cm sur l'axe des ordonnées).
Calculer une valeur approchée à 10−2 près de l'aire en cm² de la portion du plan coloriée.
Exercice 3 (Courbe de Lorentz et Indice de Gini)
Partie A : Courbe de LORENZ
D’après Wikipédia, la courbe de LORENZ a été développée (par MAX O. LORENZ) comme une
représentation graphique des inégalités de revenu. Elle peut aussi servir à mesurer les inégalités de
répartition d’un actif ou de toute autre distribution de richesse.
La courbe de LORENZ est la représentation graphique de la fonction qui a la part 𝑥 des ménages les
moins riches associe la part y du revenu total qu’ils perçoivent. La part des ménages, classés par ordre
de revenu individuel croissant, est donc en abscisse, et la part du revenu reçu en ordonnée.
1. Lectures graphiques sur la courbe de LORENZ donnée en exemple ci-contre
Exemple de lecture : les 0,4 = 40 % des ménages les moins riches se partagent 0,184 = 18,4 %
du total des revenus des ménages.
(a) Le point M est de coordonnées (0,80; 0,592). Interpréter ce point.
(b) Avec la précision permise par le graphique, indiquer :
• quel pourcentage du total des revenus revient aux 50 % les moins riches ?
• quel pourcentage du total des revenus revient aux 20 % les plus riches ?
2. (a) On propose sur la figure ci-dessous deux courbes C1 et C2 de Lorenz associées à deux
pays P1 et P2. Dans lequel de ces deux pays la répartition des revenus est-elle la moins inégale
?
(b) On suppose que tous les ménages d’un pays ont exactement la même part du total
des revenus. On parle alors d’égalité parfaite.
Expliquer pourquoi la courbe de LORENZ est alors confondue avec le segment [OA].
(c) On suppose qu’une seule personne possède la totalité des revenus. On parle alors
d’inégalité totale.
Que devient dans ce cas la courbe de LORENZ ?
3. Généralités sur les courbes de LORENZ.
(a) i. Expliquer pourquoi une courbe de LORENZ passe toujours par les points O et A.
ii. Expliquer pourquoi une courbe de LORENZ ne peut jamais être au-dessus de la
première bissectrice (la droite (OA) d’équation 𝑦 = 𝑥 tracée en pointillés sur les
figures page précédente. On pourra se baser sur un exemple.
iii. Expliquer pourquoi une courbe de LORENZ représente toujours une fonction
croissante.
(b) Justifier que pour qu’une fonction f convienne, il faut qu’elle vérifie les points suivants :
• 𝑓 doit être définie sur [0; 1] ;
• 𝑓 (0) = 0 et 𝑓 (1) = 1 ;
• 𝑓 (𝑥) ≤ 𝑥 pour tout 𝑥 ∈ [0; 1];
• 𝑓 croissante sur [0; 1].
(c) Montrer que les fonctions suivantes conviennent :
• 𝑓1 (𝑥) = 𝑥² ;
• 𝑓2 (𝑥) = 𝑥 3 ;
• 𝑓3 (𝑥) = 𝑒 𝑥 − (𝑒 − 2)𝑥 − 1 ;
Partie B : Indice de GINI
D’après Wikipédia, le coefficient de GINI, noté γ, est une mesure du degré d’inégalité de la distribution
des revenus dans une société donnée, développée par le statisticien italien CORRADO GINI.
Mathématiquement, on a :
𝛾 =
𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 [𝑂𝐴]𝑒𝑡 𝐶
𝑎𝑖𝑟𝑒 𝑑𝑢 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑙𝑒 𝑂𝐵𝐴
1. Expliquer pourquoi 0 ≤ 𝛾 ≤ 1 .
Préciser dans quelle situation on a 𝛾 = 0 et dans quelle situation on a 𝛾 = 1 .
1
2. Si on note 𝑓 la fonction associée à la courbe de LORENZ, montrer que 𝛾 = 1 − 2 ∫0 𝑓(𝑥)𝑑𝑥.
3. (a) Calculer 𝛾1 , 𝛾2 et 𝛾3, les coefficients de GINI correspondant aux fonctions 𝑓1 , 𝑓2 et 𝑓3 de
la question 3c de la Partie A.
(b) Ranger ces fonctions de celle correspondant à la répartition des salaires la plus égalitaire
à la répartition la moins égalitaire.
4. Rechercher sur Internet l’indice de GINI (ou le coefficient de GINI = 100× γ) de la France et
des États-Unis à une même date (on donnera l’adresse exacte de la source sur sa copie) et
comparer ces deux indices.
T ES/L
INDICATIONS : DM : CONVEXITE – COEFFICIENT DE GINI
14/04/2015
Exercice 1
1. Par lecture graphique :
• Bien faire attention à la courbe tracée : 𝐶𝑓′
• 𝑓 ′′ est la dérivée seconde de 𝑓 et également la dérivée de 𝑓 ′
D’où 𝑓 ′′ (0) est le nombre dérivé de … ou le coefiicient
directeur de …
2. Une des quatre courbes 𝑪𝟏 , 𝑪𝟐 , 𝑪𝟑 et 𝑪𝟒 ci-dessous est la courbe représentative de la fonction
𝒇 et une autre la courbe représentative de la dérivée seconde 𝒇′′.
a. Déterminer la courbe qui représente 𝒇 et celle qui représente la dérivée seconde 𝒇′′.
Chercher les variations de la fonction 𝑓 et celles de la fonction 𝑓 ′
Puis en déduire les signes de la dérivée.
b. Déterminer les intervalles sur lesquels 𝒇 est convexe ou concave.
Pour connaitre la convexité d’une fonction, il faut connaitre le signe de sa dérivée
seconde
c. La courbe représentative de la fonction 𝒇 admet-elle un point d'inflexion ?
Il y a un point d’inflexion quand…
Exercice 2
PARTIE B
2. Étudier les variations de la fonction 𝑭.
Il faut se souvenir que pour tout 𝑥, 𝐹 ′ (𝑥) = 𝑓(𝑥)
En connaissant le signe de la fonction 𝑓 on en déduit les variations de 𝐹
3. Étudier la convexité de la fonction 𝑭.
Pour connaitre la convexité d’une fonction, il faut connaitre les variations de sa dérivée
Exercice 3 Courbe de Lorentz et Indice de Gini
Partie A : Courbe de LORENZ
2. (b) On suppose que tous les ménages d’un pays ont exactement la même part du total
des revenus. On parle alors d’égalité parfaite.
Expliquer pourquoi la courbe de LORENZ est alors confondue avec le segment
[OA].
Si tous les ménages ont le même revenu, si l’on prend les 10 % les moins
riches (n’importe quels 10 % de la population puisqu’ils sont tous à égalité), ils
se partagent 10 % des revenus, si on prend les 20 % les moins riches de la
population, ils se partagent 20 % des revenus, etc.
Plus généralement 𝑥 % de la population se partage 𝑥 % des revenus et la
courbe de Lorenz est donc d’équation 𝑦 = 𝑥, où 𝑦 est le pourcentage de
revenu partagé et 𝑥 les 𝑥 % les moins riches.
3. Généralités sur les courbes de LORENZ.
(a) i. Expliquer pourquoi une courbe de LORENZ passe toujours par les points O et
A.
Les 0 % les moins riches se partagent toujours 0 % des revenus, donc la
courbe de Lorenz passe forcément par O (0; 0). Les 100 % les moins riches se
partagent toujours 100 % des revenus, donc la courbe de Lorenz passe
forcément par A(1; 1).
ii. Expliquer pourquoi une courbe de LORENZ ne peut jamais être au-dessus de
la première bissectrice (la droite (OA) d’équation 𝒚 = 𝒙 tracée en pointillés sur
les figures page précédente. On pourra se baser sur un exemple.
Supposons que la courbe passe par (0,5; 0,6) qui est situé au-dessus de la
première bissectrice.
On aurait alors les 50 % les moins riches qui toucheraient 60 % du revenu
disponible, ce qui signifierait qu’il ne resterait alors que 40 % du revenu pour
les 50 % les plus riches de la population.
Les plus riches seraient moins riches que les moins riches, ce qui est
contradictoire.
iii. Expliquer pourquoi une courbe de LORENZ représente toujours une fonction
croissante.
Soient 𝑥 et 𝑥 ′ deux pourcentages de la population telles que 𝑥 < 𝑥′ et 𝑦 et
𝑦 ′ les pourcentages respectifs du revenu total qu’ils se partagent.
D’après la définition de la courbe de Lorenz, étant des fréquences cumulées,
les 𝑥 les moins riches sont contenus dans les 𝑥′ les moins riches, donc les
revenus cumulés correspondant à 𝑥′ contiennent les revenus cumulés
correspondant à 𝑥, donc 𝑦 < 𝑦′ .
On a donc : si 𝑥 < 𝑥′ alors 𝑦 < 𝑦′ , ce qui correspond à la définition d’une
fonction croissante.
(b) Justifier que pour qu’une fonction f convienne, il faut qu’elle vérifie les points
suivants :
• 𝒇 doit être définie sur [𝟎; 𝟏] ;
• 𝒇 (𝟎) = 𝟎 et 𝒇 (𝟏) = 𝟏 ;
• 𝒇 (𝒙) ≤ 𝒙 pour tout 𝒙 ∈ [𝟎; 𝟏];
• 𝒇 croissante sur [𝟎; 𝟏].
• 𝑥 variant de 0 à 1, la fonction f doit être définie sur [0; 1]
• On a vu qu’une courbe de Lorenz passe forcément par O et A,
donc 𝑓 (0) = 0 et 𝑓 (1) = 1.
• On a vu qu’une courbe de Lorenz y = f (x) est forcément au-dessous de la
première bissectrice y = x,
donc 𝑓 (𝑥) ≤ 𝑥.
• On a vu qu’une courbe de Lorenz est la représentation graphique d’une
fonction croissante.
(c) Montrer que les fonctions suivantes conviennent :
• 𝒇𝟏 (𝒙) = 𝒙² ;
• 𝒇𝟐 (𝒙) = 𝒙𝟑 ;
• 𝒇𝟑 (𝒙) = 𝒆𝒙 − (𝒆 − 𝟐)𝒙 − 𝟏 ;
Il faut donc vérifier que ces fonctions vérifient bien les quatre conditions du
(b)
• 𝑓1 (𝑥) = 𝑥²
Aucun souci
• 𝑓2 (𝑥) = 𝑥 3
Aucun souci
• 𝑓3 (𝑥) = 𝑒 𝑥 − (𝑒 − 2)𝑥 − 1
• sur [0 ; 1], 𝑓3 (𝑥) ≤ 𝑥
Car …
Il faut poser une fonction ℎ tel que ℎ(𝑥) = 𝑥 − 𝑓3 (𝑥)
Pour étudier le signe de ℎ(𝑥), il faut étudier ses
variations et montrer qu’elle admet un minimum de 0 sur
[0; 1]
Voici le tableau qu’on doit obtenir :
• la fonction 𝑓3 est strictement croissante sur [0; 1]
Car…
Il faut déterminer sa dérivée puis étudier le signe de celle-ci
Pour pour tout réel 𝑥 de [0,1],
0≤𝑥≤1
…
0 ≤ 3 − 𝑒 ≤ 𝑒𝑥 ≤ 2
Donc pour tout réel 𝑥 de [0,1],
0 ≤ 𝑓3 ′(𝑥)
Partie B : Indice de GINI
3. (a) Calculer 𝜸𝟏 , 𝜸𝟐 et 𝜸𝟑 , les coefficients de GINI correspondant aux fonctions 𝒇𝟏 , 𝒇𝟐 et
𝒇𝟑 de la question 3c de la Partie A.
• 𝑓1 (𝑥) = 𝑥²
donc 𝐹1 (𝑥) =……. est une primitive de 𝑓1 .
Alors 𝛾1 = ……………………..
• 𝑓2 (𝑥) = 𝑥 3
donc 𝐹2 (𝑥) =…….. est une primitive de 𝑓2 .
Alors 𝛾2 =……………………..
• 𝑓3 (𝑥) = 𝑒 𝑥 − (𝑒 − 2)𝑥 − 1
donc 𝐹3 (𝑥) = 𝑒 𝑥 − (𝑒 − 2)
Alors 𝛾3 =………………………..
𝑥2
2
− 𝑥 est une primitive de 𝑓3 .