Statistische Versuchsplanung
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Statistische Versuchsplanung
Kapitel 1.1 Statistische Versuchsplanung Seite 1 von 344 Statistische Versuchsplanung Theorie und Praxis mit Tabellenkalkulation V1.2 www.angewandte-statistik.com (profit) www.reiter1.com (non-profit) Seite 1 von 344 Kapitel 1.1 Statistische Versuchsplanung Seite 2 von 344 Vorwort Dieser Lehrgang vermittelt solides Hintergrundwissen zu statistischer Versuchsplanung, und richtet sich besonders an den Praktiker. Alles theoretisch Abgehandelte, sowie alle 10 Versuchsplanungsbeispiele, werden Schritt für Schritt mit konkreten Zahlenwerten durchgerechnet. Methodik und Rechengang orientieren sich an den Möglichkeiten von TabellenkalkulationsProgrammen wie z.B. MS Excel, die heute jedermann zur Verfügung stehen. Alle in diesem Lehrgang dargestellten Berechnungen stehen in einer separaten Exceldatei zur Verfügung. Alle Versuchsplanungsbeispiele können somit als Vorlage für eigene Studien und Versuche verwendet werden. Die konsequente Anlehnung an die Gegebenheiten von Tabellenkalkulationsprogrammen soll dem Anwender das „Spielen mit Zahlen“ ermöglichen. Dadurch bekommt er ein praktisches Gefühl für das bei vorgegebenen Rahmenbedingungen Machbare. Dieser Lehrgang verheimlicht nicht die realen Gegebenheiten in der statistischen Versuchspraxis. Genauso wie Prozesse selten fähig, und Weibullplots fast nie signifikant sind, gibt es in der Statistischen Versuchsplanung nur selten Situationen, wo man Wechselwirkungen (siehe Kapitel 4) tatsächlich vernachlässigen könnte. Gerade deshalb sind die Beispiele so aufgebaut, dass „schöne“ Ergebnisse kaum vorkommen. Zusammen mit noch weiteren eingebauten Tücken bilden sie daher die praktisch vorzufindende Realität gut ab, die freilich auch gescheiterte Versuche beinhaltet. Das bedeutet allerdings nicht, dass Statistische Versuchsplanung an sich oft scheitert, sondern vielmehr, dass die betreffenden Anwender mangels methodischer Kenntnisse die Situation falsch einschätzen. Meistens sind es unerkannte Wechselwirkungen, die aus nichtlinearen Zusammenhängen zwischen Variablen resultieren. Dieser Lehrgang vermittelt alle notwendigen Kenntnisse, damit der angehende Versuchsplaner vor derartigen Enttäuschungen bewahrt wird. Alle Berechnungen sind sehr ausführlich dargestellt. Es kommen keine nur in bestimmten Fällen funktionierenden Tricks vor. Insbesondere die Taguchi Methodik (Kapitel 17) kann durch Verzicht auf statistisches Fundament wohl ziemlich schnell beigebracht werden, doch gerade wegen der fast immer gegenwärtigen Wechselwirkungen erfordert ausgerechnet sie besondere Erfahrung in Statistischer Versuchsplanung. Ohne ausreichende Kenntnisse in der „klassischen“ Versuchsplanung, und dazu gehört unbedingt ein solides Fundament in allgemeiner Statistik, ist die Anwendung der Taguchi Methodik in der Regel zum Scheitern verurteilt. Daher ist Anfängern grundsätzlich zu empfehlen, mit „klassischer“ Versuchsplanung zu beginnen. Abgesehen davon, dass sich keine klare Grenze zwischen „klassischer“ Versuchsplanung und Taguchi Methodik ziehen lässt, sollte letztere als ein Spezialwerkzeug verstanden werden, das nur für ganz bestimmte Zwecke einsetzbar ist. Warum? Die Natur kümmert sich nicht darum, ob man Wechselwirkungen berücksichtigen will; es kommt allein darauf an, ob sie objektiv vorhanden sind, und ausschliesslich danach hat sich valide Versuchsplanung zu richten. Die Taguchi Versuchspläne, wenn man sie vollständig verwendet, setzen die Nichtexistenz von Wechselwirkungen, also lineares und additives Verhalten der Faktoren voraus. www.angewandte-statistik.com (profit) www.reiter1.com (non-profit) Seite 2 von 344 Kapitel 1.1 Statistische Versuchsplanung Seite 3 von 344 Doch gerade dann braucht man überhaupt keine Statistische Versuchsplanung, weil man nämlich mit der einfachen Methode „immer nur einen Faktor ändern“ genauso schnell zum Ziel kommt. Umgekehrt ist die Taguchi Methodik immer dann ungeeignet, wenn mit vielen Wechselwirkungen zu rechnen ist, oder wenn man die Wechselwirkungen schlecht einschätzen kann; beides ist der praktische Regelfall. Was für die Taguchi Methodik bleibt, ist eine Nische, in der tatsächlich nur wenige ausgewählte Wechselwirkungen vorkommen, die obendrein noch gut einschätzbar sein müssen. Damit ist die Anwendung der Taguchi Methodik faktisch beschränkt auf Six Sigma Projekte, also auf die weitere Verbesserung bereits gut funktionierender Prozesse. Änderungsliste Datum, Version 06.01.2016, V1.0 30.05.2016, V1.1 06.12.2016, V1.2 Änderungsgrund Erstausgabe Vollständige Überarbeitung. Kapitel 23, Computergestützte Verfahren, hinzu. Vollständige Überarbeitung. Kapitel 22.9, Alpha-Anpassung nach Bonferroni hinzu. Stichwortverzeichnis hinzu. Viele Textpassagen ausführlicher formuliert, dadurch insgesamt ca. 25 Seiten mehr. Diverse formale Korrekturen, insbesondere in Ausdrücken der Art „t14;0,95“ Korrektur diverser in Tabellen falsch abgebildeter oder gerundeter Zahlenwerte. Anmerkung: Der Verfasser verwendet kein ß. www.angewandte-statistik.com (profit) www.reiter1.com (non-profit) Seite 3 von 344 Kapitel 1.1 Statistische Versuchsplanung Seite 4 von 344 Kurzbeschreibung der Rechenbeispiele Beispiel_1 Seite 96 • • • • • • • Beispiel_2 Seite 125 • • • • Beispiel_3 Seite 137 • • • • Beispiel_4 Seite 148 • • • • • • • Beispiel_5 Seite 165 • • • • • • Beispiel_6 Seite 185 • • • • • 23 vollfaktorieller Versuchsplan mit Zentralpunkt. Bestimmung der Anzahl notwendiger Messungen, um einen vermuteten Effekt mit definierter Sicherheit nachzuweisen. Im Zentralpunkt wird 4x, und an den Eckpunkten jeweils 2x gemessen. Die Effekte werden zunächst visualisiert, dann mit der Methode der linearen Kontraste dargestellt. Alle Effekte und Wechselwirkungen, sowie die den Daten evtl. innewohnende Nichtlinearität, werden mit dem t-Test auf Signifikanz geprüft. Effekte und Wechselwirkungen werden zusätzlich mittels ANOVA-Tabelle und F-Test auf Signifikanz geprüft. Schliesslich wird aus den gewonnenen Daten ein Vorhersagemodell aufgestellt, das jedoch nicht weiter getestet wird. 25-1 teilfaktorieller Versuchsplan. Zunächst wird ein 25 vollfaktorieller Plan auf 25-1 reduziert und die Konsequenzen aufgrund der dadurch entstehenden Vermengungen aufgezeigt. An 4 Stellen wird 2x gemessen, an allen anderen Stellen nur 1x. Alle Effekte und Wechselwirkungen werden mit dem t-Test auf Signifikanz geprüft. 32 teilfaktorieller Versuchsplan. An allen Stellen wird nur 1x gemessen. Einführung in die Kleinste Quadrate Methode, und in die dafür nötige Matrizenrechnung. Aufstellung eines quadratischen Vorhersagemodells, einer sog. Response Surface. Quantitative Überprüfung des Modells. 33 teilfaktorieller Versuchsplan. An allen Stellen wird nur 1x gemessen. Zunächst Ausprobieren eines nicht funktionierenden Versuchsplanes. Die inverse Matrix als Indikator für a) funktionierende, und b) gute Versuchspläne. Entwicklung eines funktionierenden, aber schlechten Versuchsplanes anhand der inversen Matrix. Aufstellung eines quadratischen Vorhersagemodells, einer sog. Response Surface mit Hilfe der Kleinsten Quadrate Methode (Matrizenrechnung). Quantitative Überprüfung des Modells. 33 Box-Behnken Versuchsplan. Im Zentralpunkt wird 4x, und an allen anderen Stellen jeweils 1x gemessen. Aufstellung eines quadratischen Vorhersagemodells, einer sog. Response Surface mit Hilfe der Kleinsten Quadrate Methode (Matrizenrechnung).. Quantitative Überprüfung des Modells. Alle Effekte und Wechselwirkungen, sowie die den Daten evtl. innewohnende Nichtlinearität, werden mit dem t-Test auf Signifikanz geprüft. 33 Sternpunkt Versuchsplan. Im Zentralpunkt und an allen anderen Stellen wird jeweils 2x gemessen. Aufstellung eines quadratischen Vorhersagemodells, einer sog. Response Surface, mit Hilfe der Kleinsten Quadrate Methode (Matrizenrechnung). Quantitative Überprüfung des Modells. Alle Effekte und Wechselwirkungen, sowie die den Daten evtl. innewohnende Nichtlinearität, werden mit dem t-Test auf Signifikanz geprüft. www.angewandte-statistik.com (profit) www.reiter1.com (non-profit) Seite 4 von 344 Kapitel 1.1 Beispiel_7 Seite 200 Zusammenhängende Strategie aus 2 Versuchsplänen. Bestimmung der Anzahl notwendiger Messungen, um einen vermuteten Effekt mit definierter Sicherheit nachzuweisen. • • • • Erster Versuchsplan: 22 vollfaktoriell mit Zentralpunkt. Im Zentralpunkt wird 6x, und an den Eckpunkten jeweils 2x gemessen. Die Effekte werden mit der Methode der linearen Kontraste dargestellt. Alle Effekte und Wechselwirkungen, sowie die den Daten evtl. innewohnende Nichtlinearität werden mit dem t-Test auf Signifikanz geprüft. Aufstellen eines linearen Vorhersagemodells. Dieses Modell dient als Grundlage zur Entwicklung des zweiten Versuchsplans. • • • • • • • • Seite 225 • • • Beispiel_8b Seite 232 • • • • • Beispiel_8c Seite 236 • • • Beispiel_9 Seite 259 Seite 5 von 344 • • • Beispiel_8a Statistische Versuchsplanung • • • • • • Zweiter Versuchsplan: 32 teilfaktoriell mit Zentralpunkt. Im Zentralpunkt wird 2x, und an allen anderen Stellen jeweils 1x gemessen. Zur Erhöhung der Varianzinformation überschneiden sich die beiden Versuchspläne in einem Messpunkt. Aufstellung eines quadratischen Vorhersagemodells, einer sog. Response Surface, mit Hilfe der Kleinsten Quadrate Methode (Matrizenrechnung). Quantitative Überprüfung und Visualisierung des quadratischen Modells. Ausführliche Beschreibung des Zusammenhangs zwischen gepoolter Varianz, Varianz-Kovarianz Matrix und Modellkoeffizienten Die Koeffizienten des quadratischen Modells werden mit dem t-Test auf Signifikanz geprüft. Am Schluss wird das lineare Modell des ersten Versuchsplanes (anstelle mit der Methode der linearen Kontraste) mit der Kleinsten Quadrate Methode aufgestellt, und die Modellparameter auf Signifikanz geprüft. Randomisierter Blockversuch. Aufstellung eines speziellen Modells, das von vorne herein nur bestimmte Effekte berücksichtigt. Das Prinzip der Zerlegung in innere und äussere Quadratesummen, sowie der Umgang mit Freiheitsgraden, werden ausführlich unter verschiedenen Blickwinkeln dargestellt. Auswertung verschiedener Effekte mit dem F-Test. Auswertung verschiedener Effekte mit dem t-Test. Lateinisches Quadrat Aufstellung eines speziellen Modells, das von vorne herein nur bestimmte Effekte berücksichtigt. Das Prinzip der Zerlegung in innere und äussere Quadratesummen, sowie der Umgang mit Freiheitsgraden, werden ausführlich unter verschiedenen Blickwinkeln dargestellt. Split Plot Versuchsplan. Aufstellung eines speziellen Modells, das von vorne herein nur bestimmte Effekte berücksichtigt. Das Prinzip der Zerlegung in innere und äussere Quadratesummen, sowie der Umgang mit Freiheitsgraden, werden ausführlich unter verschiedenen Blickwinkeln dargestellt. Auswertung verschiedener Effekte mit ANOVA Tabellen (F-Tests). Taguchi Versuch 23 Designmatrix + Taguchi L4 Rauschmatrix. Festlegung einer Verlustfunktion. Im Zentralpunkt und an allen anderen Stellen wird jeweils 4x gemessen. Die Lageeffekte werden zunächst mit der Methode der linearen Kontraste dargestellt, und dann visualisiert. www.angewandte-statistik.com (profit) www.reiter1.com (non-profit) Seite 5 von 344 Kapitel 1.1 • • • Beispiel_10 Seite 270 • • • • • • • • Statistische Versuchsplanung Seite 6 von 344 Die Dispersionseffekte werden mit der Methode der linearen Kontraste dargestellt. Anwendung des Welch-Satterthwaite Verfahrens bei inhomogenen Varianzen. Alle Effekte und Wechselwirkungen, sowie die den Daten evtl. innewohnende Nichtlinearität, werden auf Signifikanz geprüft. Taguchi Versuch mit Dummyfaktorstufen Taguchi L16 Designmatrix + Taguchi L16 Rauschmatrix. Graphische Darstellung der Lage- und Dispersionseffekte Auswertung verschiedener Lage- und Dispersionseffekte mit ANOVA Tabellen und F-Tests in einer allgemeineren Weise, die auch für mehr als 2stufige Faktoren anwendbar ist. Nach enttäuschender Versuchsbilanz neue Auswertung von nur einem Teil der Daten. Graphische Darstellung der Lage- und Dispersionseffekte Auswertung verschiedener Lage- und Dispersionseffekte mit ANOVA Tabellen und F-Tests in einer allgemeineren Weise, die auch für mehr als 2stufige Faktoren anwendbar ist. Überprüfung der neuen Auswertung auf Signifikanz mit dem t-Test. Inhaltsverzeichnis, nur Grosskapitel 1 Einleitung............................................................................................................................... 17 2 Allgemeine Grundlagen ......................................................................................................... 23 3 Varianzanalyse, ANOVA Grundprinzip................................................................................... 74 4 Visualisierung von Haupteffekten und Wechselwirkungen ..................................................... 83 5 23 Vollfaktorieller Plan mit Zentralpunkt, Beispiel_1 ............................................................... 96 6 2k Teilfaktorielle Versuchspläne, Theorie ............................................................................. 112 7 25-1 Teilfaktorieller Plan, Beispiel_2 ...................................................................................... 125 8 3k Teilfaktorielle Versuchspläne, Response Surface, Theorie .............................................. 133 9 32 Teilfaktorieller Plan, Response Surface, Regressionsmodell und Kleinste Quadrate Methode, Theorie und Beispiel_3................................................................................................ 137 10 33 Teilfaktorieller Plan, Response Surface, Beispiel_4 ..................................................... 148 11 Box-Behnken Versuchspläne, Theorie ............................................................................. 157 12 33 Box-Behnken Versuchsplan, Beispiel_5....................................................................... 165 13 Sternpunkt Versuchspläne, Theorie.................................................................................. 181 14 33 Sternpunkt Versuchsplan, Beispiel_6 ........................................................................... 185 15 Zweistufige Versuchsplanungs-Strategie, Beispiel_7 ....................................................... 200 16 Blockbildung, Übungen mit Freiheitsgraden, Beispiele 8a, 8b, 8c..................................... 223 17 Statistische Versuchsplanung nach Taguchi .................................................................... 249 18 Taguchi: Beispiel_9 .......................................................................................................... 259 19 Taguchi: Beispiel_10, Dummyvariablen............................................................................ 270 20 Signal-Rauschverhältnisse ............................................................................................... 286 21 Orthogonale Felder .......................................................................................................... 290 22 Verschiedenes ................................................................................................................. 308 23 Computergestützte Verfahren........................................................................................... 327 24 Zusammenfassung........................................................................................................... 335 25 Stichwortverzeichnis......................................................................................................... 340 www.angewandte-statistik.com (profit) www.reiter1.com (non-profit) Seite 6 von 344 Kapitel 1.1 Statistische Versuchsplanung Seite 7 von 344 Inhaltsverzeichnis, alle Unterkapitel 1 Einleitung............................................................................................................................... 17 1.1 Grundkonzepte ............................................................................................................... 17 1.2 Statistische Methoden..................................................................................................... 17 1.3 Verteilungsfunktionen ..................................................................................................... 18 1.4 Varianz ........................................................................................................................... 19 1.5 Orthogonale Felder, Versuchspläne................................................................................ 20 1.6 Freiheitsgrade................................................................................................................. 20 1.7 Signifikanz versus Relevanz ........................................................................................... 21 1.8 Matrizenrechnung ........................................................................................................... 22 2 Allgemeine Grundlagen ......................................................................................................... 23 2.1 Varianz, Standardabweichung und Freiheitsgrade.......................................................... 23 2.1.1 Freiheitsgrade............................................................................................................ 24 2.1.1.1 Beispiel: Mittelwert ............................................................................................. 24 2.1.1.2 Beispiel: Varianz ................................................................................................ 24 2.1.2 Mittelung von Varianzen, Pooling............................................................................... 27 2.1.3 Veranschaulichung der Varianz, Normalverteilung..................................................... 27 2.2 Kovarianz........................................................................................................................ 30 2.3 Zentraler Grenzwertsatz, Normalverteilung..................................................................... 32 2.3.1 Veranschaulichung .................................................................................................... 32 2.4 t-Verteilung ..................................................................................................................... 35 2.4.1 Vertrauensintervall von Mittelwerten, Signifikanz ....................................................... 38 2.4.1.1 Abgrenzung Zufallsstreubereich - Vertrauensintervall ....................................... 38 2.4.1.2 Alpharisiko und Signifikanz ................................................................................ 40 2.4.2 t-Test für 1 Stichprobe, Signifikanz & Rechenbeispiele .............................................. 42 2.4.2.1 Szenario 1.......................................................................................................... 42 2.4.2.2 Szenario 2.......................................................................................................... 44 2.4.2.3 Szenario 3.......................................................................................................... 45 2.4.2.4 Szenario 4.......................................................................................................... 46 2.4.2.5 Szenario 5.......................................................................................................... 47 2.5 t-Test für 2 Stichproben, Signifikanz & Rechenbeispiele ................................................. 49 2.5.1 Gleiche Varianzen ..................................................................................................... 49 2.5.1.1 Szenario 1.......................................................................................................... 51 2.5.1.2 Szenario 2.......................................................................................................... 52 2.5.1.3 Szenario 3.......................................................................................................... 54 2.5.2 Ungleiche Varianzen.................................................................................................. 55 2.5.2.1 Szenario 1.......................................................................................................... 56 2.5.2.2 Szenario 2.......................................................................................................... 58 2.5.2.3 Szenario 3.......................................................................................................... 59 2.6 F-Test auf Varianzunterschiede, Signifikanz & Rechenbeispiele..................................... 61 2.6.1.1 Szenario 1.......................................................................................................... 62 2.6.1.2 Szenario 2.......................................................................................................... 63 2.7 Fallzahlplanung............................................................................................................... 65 2.7.1 Betarisiko................................................................................................................... 65 2.7.2 Herleitung .................................................................................................................. 68 2.7.3 Beispiel...................................................................................................................... 71 2.7.3.1 Bestimmung des optimalen Stichprobenumfangs............................................... 71 2.7.3.2 Abschätzung Betarisiko aus dem bisher verwendeten Beispiel .......................... 72 3 Varianzanalyse, ANOVA Grundprinzip................................................................................... 74 3.1 Abgrenzung ANOVA mit F-Test versus t-Test. Diverse theoretische und praktische Aspekte ..................................................................................................................................... 74 3.2 1 Faktor auf 2 Stufen: 21 Versuchsplan........................................................................... 75 3.3 2 Faktoren auf je 2 Stufen: 22 Versuchsplan ................................................................... 78 4 Visualisierung von Haupteffekten und Wechselwirkungen ..................................................... 83 www.angewandte-statistik.com (profit) www.reiter1.com (non-profit) Seite 7 von 344 Kapitel 1.1 Statistische Versuchsplanung Seite 8 von 344 3 Faktoren auf je 2 Stufen: 23 Versuchsplan ................................................................... 83 4.1 4.2 A-Haupteffekt.................................................................................................................. 84 4.3 B- und C-Haupteffekt ...................................................................................................... 86 4.4 AB Wechselwirkung ........................................................................................................ 87 4.5 AC und BC Wechselwirkung ........................................................................................... 88 4.6 A Haupteffekt + BC Wechselwirkung .............................................................................. 90 4.7 Haupteffekt A + AB Wechselwirkung............................................................................... 91 4.8 ABC Wechselwirkung ..................................................................................................... 92 4.9 Alle Effekte ..................................................................................................................... 93 4.10 A Haupteffekt A + AB Wechselwirkung, keine Messwiederholung ............................. 94 3 5 2 Vollfaktorieller Plan mit Zentralpunkt, Beispiel_1 ............................................................... 96 5.1 Fallzahlbestimmung ........................................................................................................ 97 5.2 Visualisierung der Messwerte ......................................................................................... 99 5.3 Lineare Kontraste Methode........................................................................................... 100 5.4 Signifikanzbetrachtungen.............................................................................................. 102 5.4.1 Gepoolte Varianz..................................................................................................... 102 5.4.2 Varianz des Gesamtmittelwertes ............................................................................. 103 5.4.3 Varianz eines Effektes ............................................................................................. 103 5.4.4 Varianz einer Wechselwirkung................................................................................. 103 5.4.5 Nichtlinearität........................................................................................................... 104 5.4.5.1 Varianz des Mittelwertunterschieds.................................................................. 104 5.4.6 t-Test ....................................................................................................................... 105 5.4.6.1 Effekte und Wechselwirkungen ........................................................................ 105 5.4.6.2 Nichtlinearität, Krümmung................................................................................ 107 5.4.7 ANOVA Tabelle, F-Test ........................................................................................... 108 5.5 Vorhersagemodell......................................................................................................... 110 5.6 Zusammenfassung von Beispiel_1 ............................................................................... 111 6 2k Teilfaktorielle Versuchspläne, Theorie ............................................................................. 112 6.1 Motivation ..................................................................................................................... 112 6.2 23-1 Versuchsplan und Taguchi L4 ................................................................................ 112 6.3 24-1 Versuchsplan, sinnvoll reduziert ............................................................................. 116 6.4 24-1 Versuchsplan, nicht sinnvoll reduziert ..................................................................... 117 6.5 27-4 Versuchsplan / Taguchi L8 ...................................................................................... 118 6.5.1 Vermengung ............................................................................................................ 119 6.6 Plackett- Burman Versuchspläne .................................................................................. 122 6.7 Screening ..................................................................................................................... 123 7 25-1 Teilfaktorieller Plan, Beispiel_2 ...................................................................................... 125 7.1 Vermengung ................................................................................................................. 126 7.2 Zahlenbeispiel............................................................................................................... 128 7.3 Signifikanz der Effekte und Wechselwirkungen............................................................. 129 7.3.1 Gepoolte Varianz..................................................................................................... 129 7.3.2 Varianz eines Effektes oder einer Wechselwirkung.................................................. 129 7.3.3 t-Test ....................................................................................................................... 130 7.3.3.1 Effekte und Wechselwirkungen: Lineare Kontraste .......................................... 130 7.4 Zusammenfassung von Beispiel_2 ............................................................................... 132 8 3k Teilfaktorielle Versuchspläne, Response Surface, Theorie .............................................. 133 8.1 Abgrenzung zu 2k Versuchsplänen, Motivation ............................................................. 133 8.2 3k Versuchspläne.......................................................................................................... 133 2 9 3 Teilfaktorieller Plan, Response Surface, Regressionsmodell und Kleinste Quadrate Methode, Theorie und Beispiel_3................................................................................................ 137 9.1 Kleinste Quadrate Methode: Einleitung......................................................................... 138 9.2 Kleinste Quadrate Methode: Matrixrechnung Theorie ................................................... 141 9.2.1 Auflösen nach e....................................................................................................... 141 9.2.2 Ableiten nach c ........................................................................................................ 142 9.2.3 Auflösen nach c ....................................................................................................... 143 www.angewandte-statistik.com (profit) www.reiter1.com (non-profit) Seite 8 von 344 Kapitel 1.1 Statistische Versuchsplanung Seite 9 von 344 Kleinste Quadrate Methode: Matrixrechnung Zahlenbeispiel ........................................ 143 9.3 9.3.1 XTX .......................................................................................................................... 143 9.3.2 (XTX)-1 ...................................................................................................................... 144 9.3.3 XTY .......................................................................................................................... 145 9.3.4 (XTX)-1 XTY ............................................................................................................... 146 9.3.5 Modellgleichung....................................................................................................... 146 9.3.6 Visualisierung des Modells ...................................................................................... 147 10 33 Teilfaktorieller Plan, Response Surface, Beispiel_4 ..................................................... 148 10.1 Ungeeigneter Versuchsplan..................................................................................... 148 10.1.1 XTX ...................................................................................................................... 149 10.1.2 (XTX)-1 .................................................................................................................. 150 10.2 Mittelmässig geeigneter Versuchsplan..................................................................... 152 10.2.1 XTX ...................................................................................................................... 152 10.2.2 (XTX)-1 .................................................................................................................. 153 10.2.3 XTY ...................................................................................................................... 154 10.2.4 (XTX)-1 XTY ........................................................................................................... 154 10.2.5 Modellgleichung................................................................................................... 155 10.3 Zusammenfassung von Beispiel_4 .......................................................................... 156 11 Box-Behnken Versuchspläne, Theorie ............................................................................. 157 11.1 33 Box Behnken Versuchsplan................................................................................. 157 11.2 43 Box-Behnken Versuchsplan ................................................................................ 159 11.3 Räumliche Vorstellungshilfe..................................................................................... 159 11.4 Tesserakt (Hyperwürfel)........................................................................................... 159 11.5 53 Box-Behnken Versuchsplan ................................................................................ 163 11.6 Höherdimensionale Box Behnken Versuchspläne ................................................... 164 12 33 Box-Behnken Versuchsplan, Beispiel_5....................................................................... 165 12.1 Allgemeine Berechnung........................................................................................... 165 12.1.1 XTX ...................................................................................................................... 166 12.1.2 (XTX)-1 .................................................................................................................. 167 12.1.3 XTY ...................................................................................................................... 168 12.1.4 (XTX)-1 XTY........................................................................................................... 169 3 12.2 3 BB Versuchsplan mit 4 Zentralpunkt Runs, Zahlenbeispiel.................................. 171 12.2.1 XTX ...................................................................................................................... 171 12.2.2 (XTX)-1 ................................................................................................................. 172 12.2.3 XTY ...................................................................................................................... 172 12.2.4 (XTX)-1 XTY ........................................................................................................... 173 12.2.5 Modell .................................................................................................................. 173 12.2.6 Signifikanzbetrachtungen..................................................................................... 174 12.2.6.1 Gepoolte Varianz ......................................................................................... 174 12.2.6.2 Varianz des Gesamtmittelwertes.................................................................. 174 12.2.6.3 Varianz eines Effektes oder einer Wechselwirkung ...................................... 174 12.2.6.4 Varianz des Mittelwertunterschieds: Nichtlinearität....................................... 175 12.2.7 t-Test ................................................................................................................... 176 12.2.7.1 Effekte und Wechselwirkungen .................................................................... 177 12.2.7.2 Nichtlinearität ............................................................................................... 179 12.3 Zusammenfassung von Beispiel_5 .......................................................................... 180 13 Sternpunkt Versuchspläne, Theorie.................................................................................. 181 13.1 33 Sternpunkt Versuchsplan..................................................................................... 181 13.2 34 Sternpunkt Versuchsplan..................................................................................... 182 13.3 35 und höherdimensionale Sternpunkt Versuchspläne ............................................. 184 3 14 3 Sternpunkt Versuchsplan, Beispiel_6 ........................................................................... 185 14.1 Allgemeine Berechnung........................................................................................... 185 14.1.1 XTX ...................................................................................................................... 186 14.1.2 (XTX)-1 .................................................................................................................. 187 14.1.3 XTY ...................................................................................................................... 188 www.angewandte-statistik.com (profit) www.reiter1.com (non-profit) Seite 9 von 344 Kapitel 1.1 Statistische Versuchsplanung Seite 10 von 344 (XTX)-1 XTY........................................................................................................... 189 14.1.4 3 14.2 3 Sternpunkt Versuchsplan mit Zentralpunkt, Zahlenbeispiel................................. 190 14.2.1 XTX ...................................................................................................................... 191 14.2.2 (XTX)-1 .................................................................................................................. 191 14.2.3 XTY ...................................................................................................................... 192 14.2.4 (XTX)-1 XTY ........................................................................................................... 192 14.2.5 Modell .................................................................................................................. 193 14.2.6 Signifikanzbetrachtungen..................................................................................... 193 14.2.6.1 Gepoolte Varianz ......................................................................................... 193 14.2.6.2 Varianz des Gesamtmittelwertes.................................................................. 194 14.2.6.3 Varianz eines Effektes oder einer Wechselwirkung ...................................... 194 14.2.6.4 Varianz des Mittelwertunterschieds: Nichtlinearität....................................... 195 14.2.7 t-Test ................................................................................................................... 196 14.2.7.1 Effekte und Wechselwirkungen .................................................................... 197 14.2.7.2 Nichtlinearität, Krümmung ............................................................................ 198 14.3 Zusammenfassung von Beispiel_6 .......................................................................... 199 15 Zweistufige Versuchsplanungs-Strategie, Beispiel_7 ....................................................... 200 15.1 Fallzahlplanung ....................................................................................................... 200 15.2 22 vollfaktorieller Versuchsplan mit Zentralpunkt ...................................................... 201 15.2.1 Berechnung einiger Varianzen............................................................................. 201 15.2.1.1 Varianz des Gesamtmittelwertes.................................................................. 202 15.2.1.2 Varianz eines Haupteffektes und einer Wechselwirkung .............................. 202 15.2.1.3 Varianz der Nichtlinearität ............................................................................ 202 15.2.2 t-Test für Effekte, Wechselwirkung und Krümmung.............................................. 203 15.2.3 Modellgleichung................................................................................................... 204 15.3 32 Teilfaktoriell mit Zentralpunkt: „Hineinzoomen“ .................................................... 206 15.3.1 XTX ...................................................................................................................... 207 15.3.2 (XTX)-1 .................................................................................................................. 208 15.3.3 XTY ...................................................................................................................... 209 15.3.4 (XTX)-1 XTY........................................................................................................... 209 15.3.5 Modellgleichung................................................................................................... 209 15.3.6 Signifikanz der Modellparameter: Varianz-Kovarianz Matrix ................................ 210 15.3.6.1 Gepoolte Varianz ......................................................................................... 210 15.3.6.2 Varianz-Kovarianz Matrix ............................................................................. 211 15.3.6.3 Signifikanz der Kovarianzen ......................................................................... 214 15.3.6.4 Wie kann man sich die Entstehung der Kovarianzen vorstellen?.................. 215 15.3.6.5 Vertrauensintervalle von Parametern bei Vorhandensein von Kovarianzen.. 215 15.3.7 Signifikanz der Modellparameter.......................................................................... 216 15.3.8 Test des Modells.................................................................................................. 218 15.3.9 Visualisierung des Modells................................................................................... 218 15.3.10 Nochmal Lineares Modell, nun mit Matrixrechnung.............................................. 219 15.3.10.1 XTX............................................................................................................... 219 15.3.10.2 (XTX)-1 .......................................................................................................... 220 15.3.10.3 XTY............................................................................................................... 220 15.3.10.4 (XTX)-1 XTY ................................................................................................... 220 15.3.10.5 Varianz-Kovarianz Matrix ............................................................................. 221 15.3.10.6 Signifikanz der Modellparameter .................................................................. 221 15.4 Zusammenfassung Beispiel 7 .................................................................................. 222 16 Blockbildung, Übungen mit Freiheitsgraden, Beispiele 8a, 8b, 8c..................................... 223 16.1 Abgrenzung zu Randomisierung.............................................................................. 223 16.2 Blockbildung ............................................................................................................ 224 16.3 1 Blockfaktor, Randomisiertes Blockmodell, Beispiel_8a ......................................... 225 16.3.1 Beispiel ................................................................................................................ 225 16.3.1.1 Quadratesummenzerlegung und Freiheitsgrade........................................... 227 16.3.2 Signifikanzbetrachtungen..................................................................................... 228 www.angewandte-statistik.com (profit) www.reiter1.com (non-profit) Seite 10 von 344 Kapitel 1.1 Statistische Versuchsplanung Seite 11 von 344 a) Unterscheiden sich die Dünger signifikant?........................................... 228 16.3.2.1 16.3.2.2 b1) Unterscheiden sich Dünger 1 und Dünger 2 signifikant? F-Test ......... 230 16.3.2.3 b2) Unterscheiden sich Dünger 1 und Dünger 2 signifikant? t-Test .......... 230 16.4 2 und mehr Blockfaktoren: Lateinische Quadrate, Beispiel_8b ................................ 232 16.4.1 Beispiel ................................................................................................................ 232 16.4.1.1 Quadratesummenzerlegung und Freiheitsgrade........................................... 234 16.4.1.2 Signifikanz.................................................................................................... 235 16.5 Split Plot Versuchsplan, Beispiel_8c ........................................................................ 236 16.5.1 Beispiel ................................................................................................................ 236 16.5.2 Übung: Quadratesummenzerlegung und Freiheitsgrade...................................... 239 16.5.3 Auswertung.......................................................................................................... 244 16.5.3.1 ANOVA Tabelle............................................................................................ 245 16.5.3.2 Einzeltests, Paarvergleiche .......................................................................... 245 17 Statistische Versuchsplanung nach Taguchi .................................................................... 249 17.1 Grundsätzliche Kritik zur Taguchi Methodik ............................................................. 249 17.2 Taguchis Qualitätsphilosophie ................................................................................. 250 17.2.1 Andere qualitätstechnische Ansätze .................................................................... 250 17.2.1.1 Alt und bewährt ............................................................................................ 250 17.2.1.2 Statistische Prozessregelung (SPC):............................................................ 250 17.2.2 Taguchis Verlustfunktion...................................................................................... 251 17.2.2.1 Beispiel für ein Optimierungsproblem Lieferant – Abnehmer ........................ 252 17.2.3 Bezug zur Versuchsplanung ................................................................................ 253 17.2.4 Taguchis Robust Design und Parameter-Design Methode................................... 254 17.2.5 Zusammenfassung .............................................................................................. 257 18 Taguchi: Beispiel_9 .......................................................................................................... 259 18.1 Lageeffekte, lineare Kontraste ................................................................................. 261 18.2 Dispersionseffekte, lineare Kontraste....................................................................... 262 18.3 Signifikanzbetrachtungen......................................................................................... 263 18.3.1 Varianzhomogenität ............................................................................................. 263 18.3.2 Gepoolte Varianz ................................................................................................. 264 18.3.3 Varianz des Gesamtmittelwertes.......................................................................... 264 18.3.4 Varianz eines Effektes oder einer Wechselwirkung.............................................. 264 18.3.5 Varianz des Mittelwertunterschieds: Nichtlinearität .............................................. 265 18.4 t-Test ....................................................................................................................... 265 18.4.1 Effekte und Wechselwirkungen............................................................................ 266 18.4.2 Nichtlinearität, Krümmung.................................................................................... 268 18.5 Zusammenfassung von Beispiel_9 .......................................................................... 268 19 Taguchi: Beispiel_10, Dummyvariablen............................................................................ 270 19.1 Beschreibung des Experiments ............................................................................... 270 19.1.1 Designfaktoren..................................................................................................... 270 19.1.2 Rauschfaktoren.................................................................................................... 271 19.2 Stufenbelegungen.................................................................................................... 272 19.2.1 Graphische Darstellung der Effekte ..................................................................... 275 19.2.2 Signifikanz der Lageeffekte.................................................................................. 276 19.2.3 Signifikanz der Dispersionseffekte ....................................................................... 277 19.2.4 Zwischenbilanz .................................................................................................... 278 19.3 Neue Auswertung .................................................................................................... 278 19.3.1 Graphische Darstellung der Effekte ..................................................................... 280 19.3.2 Signifikanz der Lageeffekte.................................................................................. 281 19.3.3 Signifikanz der Dispersionseffekte ....................................................................... 282 19.3.4 Signifikanz der neuen Auswertung....................................................................... 283 19.4 Zusammenfassung von Beispiel_10 ........................................................................ 285 20 Signal-Rauschverhältnisse ............................................................................................... 286 20.1 Taguchis Verlustfunktion.......................................................................................... 286 20.1.1 Je näher am Zielmass, desto besser ................................................................... 287 www.angewandte-statistik.com (profit) www.reiter1.com (non-profit) Seite 11 von 344 Kapitel 1.1 Statistische Versuchsplanung Seite 12 von 344 Je mehr desto besser .......................................................................................... 287 20.1.2 20.1.3 Je weniger desto besser ...................................................................................... 288 20.1.4 Andere Schreibweisen ......................................................................................... 288 20.1.4.1 Je weniger, desto besser ............................................................................. 288 20.1.4.2 Je mehr, desto besser.................................................................................. 289 21 Orthogonale Felder .......................................................................................................... 290 21.1 Taguchi Versuchspläne ........................................................................................... 290 21.2 Plackett – Burman Versuchspläne ........................................................................... 291 21.3 Umgang mit orthogonalen Feldern........................................................................... 291 21.3.1 Auswahl geeigneter orthogonaler Felder.............................................................. 292 21.3.1.1 Beispiel 1a: 23 vollfaktoriell mit Messwiederholung und Zentralpunkt (ZP) . 293 21.3.1.2 Beispiel 1b: 23 Taguchi L4 teilfaktoriell mit Messwiederholung und ZP ....... 293 21.3.1.3 Beispiel 1c: 23 Taguchi L4 teilfaktoriell mit Messwiederholung .................... 293 21.3.1.4 Beispiel 1d: 23 Taguchi L4 teilfaktoriell ohne Messwiederholung................. 293 21.3.1.5 Beispiel 2a: 24 Taguchi L8 teilfaktoriell, 1 Wechselwirkung ......................... 294 21.3.1.6 Beispiel 2b: 24 Taguchi L8 teilfaktoriell, 3 Wechselwirkungen ..................... 294 21.3.1.7 Beispiel 2c: 28 Taguchi L16 teilfaktoriell, 5 Wechselwirkungen .................... 295 21.3.1.8 Beispiel 3a: 22x41 Taguchi L8 teilfaktoriell, keine Wechselwirkungen .......... 298 21.3.1.9 Beispiel 3b: 22x41 Taguchi L8 teilfaktoriell, eine Wechselwirkung................ 299 21.3.1.10 Beispiel 3c: 45 Taguchi L16 teilfaktoriell mit Dummyfaktorstufen.................. 300 21.3.2 Vermengung, teilweise oder ganz ........................................................................ 304 21.3.2.1 Vollständige Vermengung: Taguchi L8.......................................................... 304 21.3.2.2 Teilweise Vermengung: Taguchi L9 .............................................................. 306 21.3.2.3 Teilweise Vermengung: Taguchi L25 ............................................................. 306 22 Verschiedenes ................................................................................................................. 308 22.1 Was sind Wechselwirkungen ................................................................................... 308 22.2 Kategoriale Prozessergebnisse ............................................................................... 310 22.3 Dummyfaktorstufen.................................................................................................. 311 22.4 Vertrauensintervalle................................................................................................. 312 22.4.1 Gepoolte Varianz eines 2k vollfaktoriellen Versuchsplans .................................... 314 22.4.2 Varianz des Mittelwerts eines 2k vollfaktoriellen Versuchsplans ........................... 314 22.4.3 Varianz eines Haupteffektes oder einer Wechselwirkung eines 2k vollfaktoriellen Versuchsplans ..................................................................................................................... 315 22.4.4 Varianz der Krümmung eines 2k vollfaktoriellen Versuchsplans ........................... 315 22.5 Varianzhomogenität................................................................................................. 316 22.5.1 Welch–Satterthwaite Formel ................................................................................ 316 22.5.2 Beispiele .............................................................................................................. 317 22.6 Vertrauensintervalle für Varianzen........................................................................... 319 22.7 Schätzmethoden...................................................................................................... 322 22.7.1 Kleinste Quadrate Methode, OLS ........................................................................ 322 22.7.2 Maximum Likelihood Estimation, MLE ................................................................. 323 22.8 Korrelation ............................................................................................................... 323 22.8.1 Korrelation zwischen x und y ............................................................................... 324 22.8.2 Korrelation der x untereinander............................................................................ 324 22.8.2.1 Bedingt durch den Versuchsplan.................................................................. 324 22.8.2.2 Technisch bedingt ........................................................................................ 324 22.8.3 Korrelation der y untereinander............................................................................ 325 22.9 Alpharisiko Anpassung nach Bonferroni .................................................................. 325 23 Computergestützte Verfahren........................................................................................... 327 23.1 „ ... -optimale“ Versuchspläne: Motivation ................................................................ 327 23.1.1 Zu 1. Orthogonalität ............................................................................................. 328 23.1.2 Zu 2. Viele Versuchsläufe .................................................................................... 328 23.1.3 Zu 3. Budgetvorgaben ......................................................................................... 329 23.1.4 Beispiel ................................................................................................................ 329 23.2 „ ... -optimale“ Versuchspläne: Theorie .................................................................... 330 www.angewandte-statistik.com (profit) www.reiter1.com (non-profit) Seite 12 von 344 Kapitel 1.1 Statistische Versuchsplanung Seite 13 von 344 Klassisch ............................................................................................................. 330 23.2.1 23.2.2 Computerbasiert .................................................................................................. 330 23.2.2.1 T-optimal...................................................................................................... 331 23.2.2.2 A-optimal...................................................................................................... 332 23.2.2.3 G-optimal ..................................................................................................... 332 23.2.2.4 I-optimal ....................................................................................................... 333 23.2.2.5 V-optimal...................................................................................................... 333 23.2.2.6 D-optimal...................................................................................................... 333 24 Zusammenfassung........................................................................................................... 335 24.1 Kernaussagen ......................................................................................................... 335 24.1.1 Versuchsplanung vs. klassisch ............................................................................ 335 24.1.2 Der Grad des (Nicht-) Wissens & Budget............................................................. 336 24.1.3 „Taguchi“ ............................................................................................................. 337 24.1.4 Fallzahlbestimmung ............................................................................................. 337 24.1.5 Orthogonale Felder .............................................................................................. 338 24.1.6 "Block what you can, randomize what you can not" ............................................. 338 24.1.7 Felddaten versus Experiment .............................................................................. 338 24.2 Links und weiterführende Dokumente...................................................................... 339 25 Stichwortverzeichnis......................................................................................................... 340 Abbildungsverzeichnis Hinweis: Manche Elemente können sowohl als Tabelle, als auch als Bild aufgefasst werden. Im Zweifelsfall wurde als Tabelle eingeordnet. Bild 1: Dichtefunktion der Normalverteilung................................................................................... 28 Bild 2: Verteilungsfunktion der Normalverteilung ........................................................................... 28 Bild 3: Detail von Bild 2 ................................................................................................................. 29 Bild 4: Binomialverteilung für verschiedene Anzahlen Münzwürfe................................................. 33 Bild 5: Zufallszahlen mit Gewichtungsprofil ................................................................................... 34 Bild 6: Zentraler Grenzwertsatz, Veranschaulichung..................................................................... 34 Bild 7: t-Verteilung mit 1 Freiheitsgrad .......................................................................................... 36 Bild 8: t-Verteilung mit 5 Freiheitsgraden ...................................................................................... 37 Bild 9: t-Verteilung mit 10 Freiheitsgraden..................................................................................... 37 Bild 10: t-Verteilung mit 25 Freiheitsgraden................................................................................... 38 Bild 11: Alpharisiko, Schwellwert und Prüfgrösse allgemein.......................................................... 41 Bild 12: t-Verteilung, Alpharisiko zweiseitig, Schwellwert und Prüfgrösse, Signifikant ................... 43 Bild 13: t-Verteilung, Alpharisiko zweiseitig, Schwellwert und Prüfgrösse, Nicht Signifikant .......... 45 Bild 14: t-Verteilung, Alpharisiko einseitig, Schwellwert und Prüfgrösse, Signifikant...................... 46 Bild 15: t-Verteilung, Alpharisiko einseitig, Schwellwert und Prüfgrösse, Nicht Signifikant............. 48 Bild 16: t-Verteilung, Alpharisiko zweiseitig, Schwellwert und Prüfgrösse, Nicht Signifikant .......... 52 Bild 17: t-Verteilung, Alpharisiko einseitig, Schwellwert und Prüfgrösse, Signifikant...................... 53 Bild 18: t-Verteilung, Alpharisiko einseitig, Schwellwert und Prüfgrösse, Nicht Signifikant............. 55 Bild 19: t-Verteilung, Alpharisiko zweiseitig, Schwellwert und Prüfgrösse, Nicht Signifikant .......... 57 Bild 20: t-Verteilung, Alpharisiko einseitig, Schwellwert und Prüfgrösse, Signifikant...................... 59 Bild 21: t-Verteilung, Alpharisiko einseitig, Schwellwert und Prüfgrösse, Nicht Signifikant............. 60 Bild 22: F-Verteilung, Alpharisiko, Schwellwert und Prüfgrösse, Nicht Signifikant ......................... 63 Bild 23: F-Verteilung, Alpharisiko, Schwellwert und Prüfgrösse, Signifikant .................................. 64 Bild 24: Alpharisiko, Betarisiko, Effektgrösse, Schwellenwert, H0, H1........................................... 66 Bild 25:Alpharisiko, Betarisiko, Effektgrösse, Schwellenwert, H0, H1............................................ 67 Bild 26:Alpharisiko, Betarisiko, Effektgrösse, Schwellenwert, H0, H1............................................ 67 Bild 27:Alpharisiko, Betarisiko, Effektgrösse, Schwellenwert, H0, H1............................................ 68 www.angewandte-statistik.com (profit) www.reiter1.com (non-profit) Seite 13 von 344 Kapitel 1.1 Statistische Versuchsplanung Seite 14 von 344 Bild 28: ANOVA einfaktoriell, Veranschaulichung.......................................................................... 76 Bild 29: ANOVA-Tabelle einfaktoriell............................................................................................. 77 Bild 30: ANOVA zweifaktoriell, Veranschaulichung ....................................................................... 79 Bild 31: ANOVA zweifaktoriell, Gesamte Streuung........................................................................ 79 Bild 32: ANOVA zweifaktoriell, Innere Streuung............................................................................ 79 Bild 33: ANOVA zweifaktoriell, Streuung zwischen den Stufen von Faktor 1................................. 80 Bild 34: ANOVA zweifaktoriell, Streuung zwischen den Stufen von Faktor 2................................. 80 Bild 35: ANOVA zweifaktoriell, Streuung der Wechselwirkung ...................................................... 81 Bild 36: ANOVA zweifaktoriell, Streuung zwischen allen 4 Stufen beider Faktoren ....................... 82 Bild 37: Dreifaktoriell, Räumliche Veranschaulichung ................................................................... 83 Bild 38: ANOVA, Haupteffekt A ..................................................................................................... 84 Bild 39: ANOVA, Haupteffekt B ..................................................................................................... 86 Bild 40: ANOVA, Haupteffekt C..................................................................................................... 86 Bild 41: ANOVA, Wechselwirkung A-B.......................................................................................... 87 Bild 42: ANOVA, Wechselwirkung A-C.......................................................................................... 89 Bild 43: ANOVA, Wechselwirkung B-C.......................................................................................... 89 Bild 44: ANOVA, Haupteffekt A + Wechselwirkung B-C ................................................................ 90 Bild 45: ANOVA, Haupteffekt A + Wechselwirkung A-B ................................................................ 91 Bild 46: ANOVA, Wechselwirkung A-B-C ...................................................................................... 92 Bild 47: ANOVA, alle Effekte und Wechselwirkungen ................................................................... 93 Bild 48: ANOVA, Haupteffekt A + Wechselwirkung A-B, ohne Messwiederholung ........................ 94 Bild 49: Dreifaktoriell mit Zentralpunkt, Räumliche Veranschaulichung ......................................... 96 Bild 50: ANOVA, dreifaktoriell mit Zentralpunkt ............................................................................. 99 Bild 51: Fläche Y = 1 + X1 + X2 + X1*X2 ....................................................................................... 134 Bild 52: 1 + X + Y + X*Y + X2 + Y2 Fläche .................................................................................. 134 Bild 53: Ausgeschriebene Matrixgleichung.................................................................................. 140 Bild 54: Quadratische Kurve im Raum ........................................................................................ 147 Bild 55: Quadratische Kurve im Raum ........................................................................................ 156 Bild 56: 33 Box Behnken Veranschaulichung .............................................................................. 157 Bild 57: Tesserakt (4D-Würfel) .................................................................................................... 160 Bild 58: Tesserakt, Verbindungsflächen zw. Innerem und äusserem Würfel ............................... 162 Bild 59: 33 Box Behnken Veranschaulichung .............................................................................. 175 Bild 60: 33 Sternpunkt Plan, Veranschaulichung ......................................................................... 181 Bild 61: Tesserakt ....................................................................................................................... 183 Bild 62: 33 Sternpunkt Plan, Veranschaulichung ......................................................................... 195 Bild 63: Lineares Modell, Flächendarstellung im Raum ............................................................... 205 Bild 64: Zweistufiger Versuchsplan, Visualisierung ..................................................................... 206 Bild 65: Gepoolte Varianz bei überlappenden Versuchsplänen ................................................... 210 Bild 66: Quadratische Kurve im Raum ........................................................................................ 218 Bild 67: 23 Designmatrix mit Taguchi L4 Rauschmatrix, Veranschaulichung ................................ 255 Bild 68: Taguchi, Minimierung der Streuung, Veranschaulichung................................................ 256 Bild 69: 23 Designmatrix mit Taguchi L4 Rauschmatrix, Veranschaulichung ................................ 259 Bild 70: 23 vollfaktoriell mit Zentralpunkt Designmatrix + Taguchi L4 Rauschmatrix: Lageeffekte, Lineare Kontraste, Ergebnisdarstellung ............................................................................... 261 Bild 71: Taguchi, visuelle Darstellung von Effekten ..................................................................... 262 Bild 72: 23 Plan mit Zentralpunkt Designmatrix + Taguchi L4 Rauschmatrix: Dispersionseffekte, Lineare Kontraste, Ergebnisdarstellung ............................................................................... 262 Bild 73: 23 Plan mit Zentralpunkt Designmatrix + Taguchi L4 Rauschmatrix: Lageeffekte, Signifikanz ........................................................................................................................... 267 Bild 74: Graphische Ergebnisdarstellung "vorher" Beispiel_10.................................................... 275 Bild 75: Graphische Ergebnisdarstellung "nachher" Beispiel_10 ................................................. 280 Bild 76: Graphische Ergebnisdarstellung vorher + nachher Beispiel_10...................................... 284 www.angewandte-statistik.com (profit) www.reiter1.com (non-profit) Seite 14 von 344 Kapitel 1.1 Statistische Versuchsplanung Seite 15 von 344 Tabellenverzeichnis Hinweis: Es sind insgesamt weit über 200 Tabellen. In dieses Verzeichnis wurden nur diejenigen Tabellen aufgenommen, die grundlegende Zusammenhänge darstellen. Tabellen, die lediglich Rechenschritte oder einfache Ergebnisse darstellen (dies sind die meisten), wurden nicht in das Tabellenverzeichnis aufgenommen. Tabelle 1: Kovarianz Veranschaulichung ...................................................................................... 31 Tabelle 2: ANOVA Tabelle, zweifaktoriell, alle Effekte und WW aufgelöst..................................... 81 Tabelle 3: ANOVA Tabelle, zweifaktoriell, Effekte und WW nicht aufgelöst................................... 82 Tabelle 4: ANOVA-Tabelle, Haupteffekt A signifikant.................................................................... 85 Tabelle 5: ANOVA-Tabelle, Haupteffekt B signifikant.................................................................... 86 Tabelle 6: ANOVA-Tabelle, Haupteffekt C signifikant.................................................................... 86 Tabelle 7: ANOVA-Tabelle, Wechselwirkung A-B signifikant......................................................... 88 Tabelle 8: ANOVA-Tabelle, Wechselwirkung A-C signifikant ........................................................ 89 Tabelle 9: ANOVA-Tabelle, Wechselwirkung B-C signifikant ........................................................ 89 Tabelle 10: ANOVA-Tabelle, Haupteffekt A + Wechselwirkung B-C signifikant ............................. 90 Tabelle 11: ANOVA, Haupteffekt A + Wechselwirkung A-B signifikant .......................................... 91 Tabelle 12: ANOVA-Tabelle, Wechselwirkung A-B-C signifikant ................................................... 92 Tabelle 13: ANOVA-Tabelle, alle Effekte und Wechselwirkungen signifikant ................................ 93 Tabelle 14: ANOVA-Tabelle, Haupteffekt A + Wechselwirkung A-B signifikant, ohne Messwiederholung ................................................................................................................. 94 Tabelle 15: 23 Plan mit Zentralpunkt, Methode der linearen Kontraste ........................................ 101 Tabelle 16: 23 Plan mit Zentralpunkt, Methode der linearen Kontraste, Signifikanz ..................... 106 Tabelle 17: ANOVA-Tabelle, Haupteffekte A und B + Wechselwirkung A-C................................ 109 Tabelle 18: Vergleich der mit t-Tests und ANOVA berechneten Signifikanzniveaus.................... 109 Tabelle 19: 23 Versuchsplan: Effekte und daraus berechnete Modellkoeffizienten ...................... 110 Tabelle 20: 24-1 Plan, Haupteffekte und Wechselwirkungen ........................................................ 116 Tabelle 21: Taguchi L8 ................................................................................................................ 118 Tabelle 22: Taguchi L8 und L8W .................................................................................................. 119 Tabelle 23: Plackett-Burman Feld PB12 ....................................................................................... 122 Tabelle 24: Plackett Burman Feld PB12 Vermengung, Beispiel.................................................... 123 Tabelle 25: 25 Vollfaktorieller Plan............................................................................................... 125 Tabelle 26: 25-1 Teilfaktorieller Plan ............................................................................................. 126 Tabelle 27: 25-1 teilfaktorieller Plan, Zahlenbeispiel ..................................................................... 128 Tabelle 28: 25-1 Plan Auswertung, Lineare Kontraste, Signifikanz ............................................... 131 Tabelle 29: Anzahl Faktorstufenkombinationen und Anzahl Modellkoeffizienten......................... 135 Tabelle 30: 32 teilfaktorieller Plan ................................................................................................ 137 Tabelle 31: 22 vollfaktorieller Plan mit Modell 2. Ordnung: Modell vs. Messergebnisse .............. 147 Tabelle 32: 33 teilfaktorieller Plan, nicht funktionierend ............................................................... 148 Tabelle 33: 33 teilfaktorieller Plan, mässig geeignet .................................................................... 152 Tabelle 34: Vollfaktorieller 23 Plan mit Modell 2. Ordnung: Modell vs. Messergebnisse.............. 155 Tabelle 35: 33 Box Behnken Plan................................................................................................ 158 Tabelle 36: 43 Box Behnken Plan, inoffiziell ................................................................................ 160 Tabelle 37: 43 Box Behnken Plan, offiziell ................................................................................... 162 Tabelle 38: 53 Box Behnken Plan, offiziell ................................................................................... 163 Tabelle 39: Anzahl Faktorstufenkombinationen bei Box Behnken Plänen ................................... 164 Tabelle 40: 33 Box Behnken Plan, Beispiel mit 3 Zentralpunkt Versuchsläufen ........................... 165 Tabelle 41: 33 Box Behnken Plan mit 4 Zentralpunkt Versuchsläufen ......................................... 171 Tabelle 42: BB 33 Versuch mit Modell 2. Ordnung: Modellergebnisse vs. Messergebnisse......... 174 Tabelle 43: 33 Box Behnken Plan Auswertung, Kleinste Quadrate Methode, Signifikanz ............ 177 Tabelle 44: BB 33 Versuchsplan: Vergleich der Modellkoeffizienten mit den Effekten ................. 178 Tabelle 45: 33 Sternpunkt Plan mit Zentralpunkt ......................................................................... 182 www.angewandte-statistik.com (profit) www.reiter1.com (non-profit) Seite 15 von 344 Kapitel 1.1 Statistische Versuchsplanung Seite 16 von 344 Tabelle 46: 34 Sternpunkt Plan mit Zentralpunkt ......................................................................... 184 Tabelle 47: Anzahl Faktorstufenkombinationen bei Sternpunkt-Plänen....................................... 184 Tabelle 48: 33 Sternpunkt Plan, Beispiel mit einem Zentralpunkt Versuchslauf ........................... 185 Tabelle 49: 33 Sternpunkt Versuchsplan, Zahlenbeispiel............................................................. 190 Tabelle 50: 33 Sternpunkt Plan Auswertung, Lineare Kontraste, Signifikanz ............................... 197 Tabelle 51: Sternpunkt 33 Versuchsplan: Vergleich der Modellkoeffizienten mit den Effekten .... 198 Tabelle 52: 22 vollfaktorieller Versuchsplan mit Zentralpunkt, codierte Werten, tatsächlichen Einstellwerten und Messwerten............................................................................................ 201 Tabelle 53: 22 Plan Auswertung, Lineare Kontraste, Signifikanz ................................................. 203 Tabelle 54: 32 vollfaktorieller Versuchsplan mit Messergebnissen............................................... 207 Tabelle 55: Varianz-Kovarianzmatrix........................................................................................... 213 Tabelle 56: Quadratisches Modell, Kleinste Quadrate Methode, Signifikanz ............................... 217 Tabelle 57: Lineares Modell, Kleinste Quadrate Methode, Signifikanz ........................................ 221 Tabelle 58: Verschiedene Quadratesummen-Zerlegungen ......................................................... 228 Tabelle 59: Lateinische Quadrate ............................................................................................... 232 Tabelle 60: Verschiedene Quadratesummen-Zerlegungen ......................................................... 235 Tabelle 61: Split Plot Beispiel, Verschiedene Quadratesummen-Zerlegungen ............................ 242 Tabelle 62: Split Plot Beispiel, Erklärung unterschiedlicher Quadratesummen-Zerlegungen....... 243 Tabelle 63: Split Plot Beispiel, zweckmässige, jedoch nicht orthogonale QuadratesummenZerlegung ............................................................................................................................ 244 Tabelle 64: Split Plot Beispiel, ANOVA Tabelle........................................................................... 245 Tabelle 65: 23 Plan Designmatrix mit Taguchi L4 Rauschmatrix: Versuchsplan ........................... 256 Tabelle 66: 23 Versuchsplan ....................................................................................................... 255 Tabelle 67: Taguchi L4 ................................................................................................................ 255 Tabelle 68: 23 Plan...................................................................................................................... 259 Tabelle 69: Taguchi L4 ............................................................................................................... 259 Tabelle 70: Taguchi L18 ............................................................................................................... 272 Tabelle 71: Taguchi L16(e)........................................................................................................... 272 Tabelle 72: Taguchi L16 Designmatrix mit Taguchi mit L16 Rauschmatrix. Beispiel 10 „vorher“ .... 274 Tabelle 73: Taguchi L16 Designmatrix mit Taguchi mit L16 Rauschmatrix. Beispiel 10 „nachher“ . 279 Tabelle 74: Taguchi L4 mit Wechselwirkungstabelle.................................................................... 293 Tabelle 75: Taguchi L8 mit Wechselwirkungstabelle.................................................................... 294 Tabelle 76: Taguchi L16 mit Wechselwirkungstabelle .................................................................. 296 Tabelle 77: Taguchi L8 ................................................................................................................ 298 Tabelle 78: Taguchi L8 modifiziert mit Wechselwirkungstabelle, 1 Faktor mit 4 Stufen ................ 299 Tabelle 79: Taguchi L8 modifiziert mit Wechselwirkungstabelle, 1 Faktor mit 4 Stufen ................ 299 Tabelle 80: Taguchi L18 ............................................................................................................... 301 Tabelle 81: Taguchi L16 ............................................................................................................... 301 Tabelle 82: Taguchi L16 modifiziert, 3 Faktoren zu je 4 Stufen (schlecht) .................................... 302 Tabelle 83: Wechselwirkungstabelle zu Taguchi L16 modifiziert (schlecht) .................................. 302 Tabelle 84: Taguchi L16 modifiziert, 3 Faktoren zu je 4 Stufen (besser)....................................... 303 Tabelle 85: Wechselwirkungstabelle zu Taguchi L16 modifiziert (besser) .................................... 303 Tabelle 86: Taguchi L8, Vermengungen ...................................................................................... 305 Tabelle 87:Taguchi L9, Vermengungen ....................................................................................... 306 Tabelle 88: Taguchi L25, Vermengungen..................................................................................... 307 Tabelle 89: Welch Satterthwaite Formel bei Varianzinhomogenität, Zahlenbeispiele .................. 318 Tabelle 90: Varianz der Varianz, Zahlenbeispiele ....................................................................... 320 Tabelle 91: Vertrauensintervall der Varianz, Zahlenbeispiele ...................................................... 321 Tabelle 92: Alpharisiko Anpassung nach Bonferroni ................................................................... 326 Tabelle 93: Determinanten, Beispiele.......................................................................................... 334 Tabelle 94: Versuchsplanung versus Ausgangslage ................................................................... 336 Tabelle 95: Links und weiterführende Informationen ................................................................... 339 Tabelle 96: Stichwortverzeichnis................................................................................................. 344 www.angewandte-statistik.com (profit) www.reiter1.com (non-profit) Seite 16 von 344 Kapitel 1.1 Statistische Versuchsplanung Seite 17 von 344 1 Einleitung In diesem Kapitel wird grob umrissen, was den Leser erwartet. Es werden die grundsätzlichen Methoden angesprochen, ohne in die Tiefe zu gehen. Die statistischen Grundlagen werden ab Kapitel 2 behandelt. Bis zum Ende des Kapitels 2 werden alle notwendigen Grundlagen vermittelt, um den Einstieg in Statistische Versuchsplanung zu ermöglichen. In späteren Kapiteln, insbesondere in jedem der 10 Beispiele, kommen weitere Grundlagen hinzu. Beispielsweise wird die Varianz-Kovarianzmatrix erst in Beispiel_7 vorgestellt, obwohl damit auch vorhergehende Beispiele (tiefergehend) behandelt werden könnten, und Dummyfaktorstufen kommen sogar erst im Beispiel_10 vor. In diesem Lehrgang sind viele Elemente farblich markiert. Gleiche Farben sollen auf inhaltlich Zusammenhängendes oder Gleiches hinweisen und das Verständnis erleichtern; dies kann sich in Einzelfällen auch über mehrere Seiten hinweg erstrecken. 1.1 Grundkonzepte Alle Rechenbeispiele, sowie alles, was in diesem Lehrgang in Form einer Berechnung vorgeführt wird, liegt in einer separaten Exceldatei vor. Alle Rechenbeispiele sind so aufgebaut, dass sie als Vorlagen für eigene Experimente verwendet werden können. Die Exceldatei richtet sich an diejenigen, die statistische Versuchsplanung operativ anwenden möchten, und ist für diesen Lehrgang nicht zwingend notwendig. Die Detailtiefe der Rechenschritte orientiert sich daran, was angesichts der Verwendung von Tabellenkalkulationsprogrammen naheliegend erscheint. Konsequenterweise wurde daher auf besondere Rechentricks, die in Zeiten ohne Software hilfreich gewesen sein mögen, verzichtet. Die Komplexität der Beispiele ist so bemessen, dass sie ohne spezielle Software, dafür mit Tabellenkalkulationsprogrammen, noch gut handhabbar ist. Gleichzeitig vermitteln die Beispiele ein Gefühl dafür, ab wann es angeraten ist, auf geeignete Statistiksoftware zurückzugreifen. Die Hyperlinks in diesem Lehrgang dienen der Vertiefung, und stellen die jeweiligen Sachverhalte meistens in einem allgemeineren Kontext dar. Für diesen Lehrgang sind sie nicht zwingend notwendig. 1.2 Statistische Methoden Design of Experiments bzw. Statistische Versuchsplanung bedient sich zweier grundlegender mathematischer Methoden: 1. Varianzanalyse 2. Regression http://www.reiter1.com/Glossar/ANOVA_Einstieg.html http://www.reiter1.com/Glossar/Regressionsanalyse.html Beide erfüllen völlig unterschiedliche Zwecke, und daher ist auch die Motivation, die eine oder die andere im Rahmen von Statistischer Versuchsplanung zu verwenden, verschieden. www.angewandte-statistik.com (profit) www.reiter1.com (non-profit) Seite 17 von 344 Kapitel 1.3 Statistische Versuchsplanung Seite 18 von 344 Meistens kommt nur eine der beiden Methoden, und zwar die Varianzanalyse (Analysis of Variance, ANOVA) zum Einsatz. Das Grundprinzip der Varianzanalyse ist der Vergleich von Varianzen. Aus dem Verhältnis von Varianzen kann man nämlich beurteilen, ob gemessene Unterschiede signifikant sind oder nicht. Varianzanalyse dient daher zum Auffinden von signifikanten Zusammenhängen, ist also für Situationen geeignet, wo man wesentliche Eigenschaften des zu untersuchenden Prozesses noch nicht kennt. Die Bedeutung von Signifikanz, sowie der Unterschied zu praktischer Relevanz, wird in einem späteren Kapitel erklärt. Regressionsanalyse dagegen bedeutet die Entwicklung eines mathematischen Modells, mit dem Messergebnisse - abhängig von Einstellparametern - vorhergesagt werden können. Regressionsanalyse dient daher primär der näheren Beschreibung von Zusammenhängen. In den folgenden Kapiteln werden für beide Methoden sowohl einfachere als auch komplexere Beispiele behandelt. Dadurch bekommt man ein Gefühl dafür, - ab welchem Komplexitätsgrad der Gebrauch spezieller Statistiksoftware angeraten ist, - wie umfangreich Experimente bei gegebener Komplexität sein müssen, um nützliche Ergebnisse zu erzielen. Der notwendige experimentelle Umfang ist oft geringer als man naiverweise vermuten würde, und gerade darin liegt die Rechtfertigung für statistische Versuchsplanung. Die Hürde der dafür notwendigen Einarbeitung wird sich in der Versuchspraxis schnell als lohnend erwiesen haben. 1.3 Verteilungsfunktionen http://www.reiter1.com/Glossar/Verteilungsfunktion.html Folgende Verteilungsfunktionen sind in diesem Lehrgang besonders wichtig: 1. Normalverteilung 2. t-Verteilung 3. F-Verteilung http://www.reiter1.com/Glossar/Normalverteilung.html http://www.reiter1.com/Glossar/t_Verteilung.html http://www.reiter1.com/Glossar/F_Verteilung.html Zweck und Bedeutung der Normalverteilung werden im Kapitel 2.3 veranschaulicht. Ihre besonders grosse Bedeutung in der allgemeinen Statistik (also nicht nur in diesem Lehrgang) gründet auf 2 Eigenschaften: 1. Sie ist eine "natürliche" Verteilungsfunktion, das bedeutet, sie beschreibt in der Natur tatsächlich stattfindende Vorgänge. 2. Der zentrale Grenzwertsatz. In einfachen Worten besagt er, dass Mittelwerte von hinreichend grossen Stichproben IMMER normalverteilt sind, ganz unabhängig von der Verteilungsform der zugrundeliegenden Ausgangsdaten. Das ist äusserst praktisch. Unter „hinreichend gross“ kann man kontextabhängig bereits Stichproben ab Umfang 5, spätestens jedoch ab 15 bezeichnen. www.angewandte-statistik.com (profit) www.reiter1.com (non-profit) Seite 18 von 344 Kapitel 1.4 Statistische Versuchsplanung Seite 19 von 344 Da in der Praxis der Umfang sehr vieler Stichproben deutlich kleiner als 15 ist, kommt die tVerteilung ins Spiel. Diese ist eine "praktische Erfindung", die, salopp gesagt, den zentralen Grenzwertsatz auf kleine Stichproben erweitert. Die Mittelwerte kleiner Stichproben sind damit per Definition t-verteilt. Die t-Verteilung beinhaltet als Parameter jedoch eine so genannte Anzahl Freiheitsgrade, denn die Verteilung des Mittelwertes kleiner Stichproben hängt von der Stichprobengrösse ab. Die F-Verteilung ist ebenfalls eine "praktische Erfindung", die dazu dient, 2 Varianzen auf Unterschied zu testen. Weil mit 2 Varianzen in der Regel 2 unterschiedlich grosse Stichproben einher gehen, besitzt die F-Verteilung sogar 2 Anzahlen Freiheitsgrade, das bedeutet, die F-Verteilung hängt von den Grössen beider Stichproben ab. Die Varianzverhältnisse zweier Stichproben sind damit per Definition F-verteilt. 1.4 Varianz http://www.reiter1.com/Glossar/Varianz.html Vorweg: Varianz ist das Quadrat der so genannten Standardabweichung. Der Begriff Standardabweichung ist historisch gewachsen, allerdings sehr ungünstig gewählt; es müsste eigentlich "Standardfehler der Ausgangsdaten" o.Ä. heissen, denn der Standardfehler an sich ist etwas Allgemeineres, das auch für andere Grössen existiert. Um mit der allgemeinen Übereinkunft konform zu bleiben, wird in diesem Lehrgang der Standardfehler der Ausgangsdaten „Standardabweichung“ genannt. Konsequenterweise werden dann die Standardfehler anderer Grössen entsprechend „Standardfehler der betreffenden Grösse“ genannt. Die Standardabweichung ist zwar populärerer als die Varianz, wahrscheinlich wegen ihrer Anschaulichkeit, allerdings ist sie schwer interpretierbar und mathematisch weniger bedeutend. Die Varianz dagegen ist mathematisch sehr bedeutsam und sehr gut interpretierbar, denn: Varianz ist Information In der Statistik unterscheidet man zwischen aufgeklärter Varianz und unaufgeklärter Varianz, entsprechend verwerteter Information und unverwerteter Information. Letztere wird meistens als Streuung, Rauschen, etc. bezeichnet. Im Grunde handelt es sich bei der Streuung um im Rahmen eines Modells nicht habhaft gewordener Information. Ziel einer jeden statistischen Methodik sollte sein, diese unaufgeklärte Information möglichst klein zu halten, allerdings ohne allzu viel Zusatzannahmen zu treffen. (Siehe z.B. die "Kleinste Quadrate Methode", welche direkt auf die Minimierung der unaufgeklärten Varianz abzielt). Im Englischen gibt es einige "… least squares …" genannte Methoden und Begrifflichkeiten (z.B. OLS, PLS) Beispielsweise ist das Quadrat des Korrelationskoeffizienten, (auch Bestimmtheitsmass oder Reliabilität genannt), schlicht und einfach das Verhältnis von aufgeklärter Varianz zur gesamten Varianz, also von verwerteter Information zur gesamten, dem Datenmaterial innewohnender Information. http://www.reiter1.com/Glossar/Bestimmtheitsmass.htm Von der Varianz grundsätzlich zu unterscheiden ist die mittlere Quadratesumme. www.angewandte-statistik.com (profit) www.reiter1.com (non-profit) Seite 19 von 344 Kapitel 1.5 Statistische Versuchsplanung Seite 20 von 344 Zwar ist auch sie - wie die Varianz- eine Summe aus quadrierten Abweichungen dividiert durch eine Anzahl Freiheitsgrade (siehe Kapitel 1.6), doch ist die Anzahl Freiheitsgrade sehr kontextabhängig. Varianzanalytische Methoden haben - entgegen ihres Namens - viel mehr mit (mittleren) Quadratesummen als mit Varianzen zu tun, denn die varianzanalytischer Methoden arbeiten mehr mit Quadratesummen als mit Varianzen. 1.5 Orthogonale Felder, Versuchspläne http://www.reiter1.com/Glossar/Orthogonale_Felder.html In der Welt der statistischen Versuchsplanung hat sich eine recht überschaubare Anzahl an Versuchsplänen etabliert. Die Anzahl derjenigen Versuchspläne, die über eigene Namen oder Bezeichner verfügen, dürfte im Bereich von 30 liegen. Die weitaus meisten davon sind orthogonal, und werden daher "orthogonale Felder" genannt. Die Bedeutung von Orthogonalität in der Statistischen Versuchsplanung ist nicht ganz naheliegend und geht über die aus der Schulmathematik bekannte Definition von Orthogonalität hinaus. Dies wird in Kapitel 21 näher erklärt. Die Tatsache, dass es "nur“ relativ wenige Versuchspläne mit eigenen Namen gibt, hat den Grund, dass diese sowohl bezüglich ihrer mathematischen Eigenschaften, als auch bezüglich ihrer praktischen Eigenschaften "günstig" sind. Diese bieten nämlich für spezielle Problemstellungen meistens den geringsten Aufwand bei maximal erreichbarem Informationsgehalt. Da die Motivation für diese Versuchspläne sehr unterschiedlich ist, sehen diese Pläne auch sehr unterschiedlich aus. Zwar spricht mathematisch nichts dagegen, eigene Versuchspläne zu entwickeln, doch meistens ist es günstiger, einen bestehenden Plan zu wählen, und diesen nur teilweise zu verwenden, oder ggfs. umzugestalten (Siehe Kapitel 21). Nicht-orthogonale Felder kommen praktisch nur bei relativ grossen Versuchsplänen vor, und bei solchen Versuchsplänen, die ein nicht-lineares (in der Regel quadratisches) Regressionsmodell zum Ziel haben. Nicht-orthogonale Felder kommen in mehreren Beispielen, z.B. ab Beispiel_4 (Kapitel 10) vor. 1.6 Freiheitsgrade http://www.reiter1.com/Glossar/Freiheitsgrad.html In statistischen Auswertungen taucht häufig der Begriff Freiheitsgrad auf. Irgend etwas habe sound-so viele Freiheitsgrade. Dieser in seiner allgemeinen Form schwer zu verstehende Sachverhalt hat eine grosse Tragweite, das heisst, mit einer fehlerhaft bestimmten Anzahl an Freiheitsgraden ist schnell die gesamte Auswertung ruiniert und es werden falsche Schlüsse gezogen. Die Bestimmung der Anzahl Freiheitsgrade gestaltet sich für den Anfänger meist schwierig. In diesem Lehrgang gibt es allerdings viele Beispiele, anhand derer der richtige Umgang mit Freiheitsgraden erlernt werden kann. Insbesondere die Beispiele 8a, b und c gehen in besonders vertiefter Weise mit Freiheitsgraden um. www.angewandte-statistik.com (profit) www.reiter1.com (non-profit) Seite 20 von 344 Kapitel 1.7 Statistische Versuchsplanung Seite 21 von 344 1.7 Signifikanz versus Relevanz http://www.reiter1.com/Glossar/Signifikanz.html http://www.reiter1.com/Glossar/Relevanz.html Man hat eine Vermutung bezüglich eines unbekannten Sachverhaltes. Ein signifikantes Ergebnis bedeutet, dass das Ergebnis statistisch gesehen ein Mindestmass an „Unwahrscheinlichkeit“ aufweist, etwas falsches zu suggerieren. Am Beispiel der allseits bekannten Glockenkurve ist ein Ergebnis genau dann signifikant, wenn es weit weg vom Mittelwert (im Bereich einer der Schwänze) zu liegen kommt, und zwar jenseits einer vorher festgelegte Grenze. Die quantitative Aussagekraft statistischer Hypothesentests hat viel Erklärungsbedarf, daher wird auf folgende Vertiefung verwiesen: http://www.reiter1.com/Glossar/Hypothese_Hypothesentest_Risikoarten.htm Die Quintessenz statistischer Hypothesentests kann man jedoch wie folgt beschreiben: Fall 1: Nullhypothese wird explizit formuliert; Alternativhypothese ist lediglich die Negation der Nullhypothese. --> Der Testausgang („signifikant“ oder nicht) lässt keinen quantitativen Schluss auf unbekannte Sachverhalte zu. Insbesondere ist das Betarisiko unbestimmt, bzw. nicht bestimmbar. Dieser Fall ist nicht zu empfehlen; der folgende Fall ist weitaus professioneller. Fall 2: Sowohl Nullhypothese, als auch Alternativhypothese werden explizit formuliert, und beide sind durch eine sog. Effektgrösse getrennt. Sowohl Alpharisiko als auch Betarisiko werden explizit festgelegt. --> Der Testausgang kann direkt als Wahrscheinlichkeitsaussage für unbekannte Sachverhalte verwendet werden. Hat man z.B. Alpha- und Betarisiko jeweils zu 10% festgelegt, dann zeigt der Testausgang mit genau 90% Wahrscheinlichkeit die wahren Verhältnisse an; man täuscht sich also in genau 10% aller Fälle, wenn man den Testausgang immer als „wahr“ betrachtet. Bei unsymmetrischem Alpha bzw. Betarisiko ist es einfach die Mitte: Wurden die Risiken z.B. zu 95% und 99 % festgelegt, dann täuscht man sich in genau 3% aller Fälle (3% = Mitte aus 5% und 1%). Dieser Sachverhalt gilt ganz unabhängig davon, ob der Hypothesenformulierer Experte oder Anfänger in seinem Fachgebiet ist. Unabhängig von zuvor Gesagtem ist es dem Experimentator grundsätzlich gestattet, nicht signifikante Effekte dennoch als technisch relevant, bzw. signifikante Effekte für technisch wenig bedeutsam einzustufen. Ersteres betrifft insbesondere kleine Stichproben, letzteres insbesondere kleine Effekte. Die statistischen Methoden sind (nur) ein Hilfsmittel, den Einfluss des Zufalls von systematischen Einflüssen zu unterscheiden. Abschliessende Entscheidungen über Bedeutsamkeit sollten immer bevorzugt aus technischer Sicht erfolgen. Statistische Hypothesentest sollten als eine Entscheidungshilfe verstanden werden. www.angewandte-statistik.com (profit) www.reiter1.com (non-profit) Seite 21 von 344 Kapitel 1.8 Statistische Versuchsplanung Seite 22 von 344 Das lässt sich verallgemeinern: Unplausible Ergebnisse sind ein starkes Indiz dafür, dass mit der Anwendung statistischer Methoden etwas nicht stimmt. Umgekehrt sind plausible Ergebnisse *tendenziell* ein Indiz dafür, dass keine grösseren methodischen Fehler gemacht wurden. 1.8 Matrizenrechnung Matrizen sind spezielle Gebilde aus der höheren Mathematik. Mit den Regeln der Matrizenrechnung kann man komplexe Gleichungssysteme darstellen und umformen, ohne dabei den Überblick zu verlieren. Da diese Regeln, wie Matrizenrechnung an sich, im Kontext der statistischen Versuchsplanung reine Rechenhilfen darstellen und keine wesentlichen Erkenntnisse bringen, wird ihr kein separates theoretisches Kapitel gewidmet, sondern es werden anhand von Beispielen die wesentlichen Schritte gezeigt (ab Kapitel 9.1). www.angewandte-statistik.com (profit) www.reiter1.com (non-profit) Seite 22 von 344