Gruppe B - Lösungen (Maple

Kurt Frischmuth
FB Mathematik
30.07.2013
Klausur zur Vorlesung
Mathematik für
Wirtschaftswissenschaftler
Lösungen, Gruppe B
Aufgabe20130730B1
Kombinatorik
> restart;
es gibt eine Spalte doppelt, sonst würde jede der Variationen von 3 aus 5 eine andere
Matrix ergeben
> binomial(5,3)*3!;
60
(1)
es gibt wegen der Dopplung reduzierte Matrizen mit und ohne die doppelte Spalte
ohne sind Variationen von 3 aus 4, mit sind 3 (einfach vorhandene) mal 3
(Positionen)
> binomial(4,3)*3!+3*3;
33
(2)
alle mit doppelter Spalte sind singulär
> CC:=<1,2,3|1,3,1|2,1,6|0,8,15|1,3,1>;
(3)
> LinearAlgebra[Rank](CC[1..3,1..3]);
LinearAlgebra[Rank](CC[1..3,[1,2,4]]);
LinearAlgebra[Rank](CC[1..3,2..4]);
3
3
3
alle 24 ohne doppelte Spalte sind somit regulär
Aufgabe 20130730B2
(4)
Lineare Algebra
> M:=<CC[1..3,1]+lambda*CC[1..3,4]|CC[1..3,2]|CC[1..3,3]+mu*CC[1.
.3,5]>;
(5)
die 5. Spalte ist identisch mit der 2., sie ist irrelevant, mu also beliebig
> LinearAlgebra[Determinant](M);
(6)
> solve(%);
(7)
für genau einen Wert von lambda wir die Matrix singulär - wenn man also die erste
Spalte um das entsprechente Vielfache
der vierten modifiziert, entsteht eine singuläre Matrix
Aufgabe 20130730B3
Zinseszinsrechnung
> restart;
wir rechnen in Tausend
> K0:=30; p:=0.1; E:=-1.5; Kn:=100000;
(8)
> ZZF:=Kn=K0*(1+p)^n+E*((1+p)^n-1)/p;
(9)
> solve(ZZF);
92.37969408
(10)
nach 93 Zeitschritten ist die Schallmauer geknackt
Aufgabe 20130730B4
Differenzengleichung
> restart;
> alpha:=0.008;beta:=0.96;
(11)
Gleichgewicht
das E eliminieren wir mittels G=100-E
> Geq:=solve(Geq=Geq+alpha*(100-Geq-Geq)+beta*(Geq-Geq));
(12)
charakteristische Gleichung
> lam1:=solve(lambda^2=lambda*(1-2*alpha+beta)-beta)[1];
lam2:=solve(lambda^2=lambda*(1-2*alpha+beta)-beta)[2];
(13)
von den Imaginärteilen lassen wir uns nicht stören
allgemeine Lösung
> Ga:=n->Geq+A1*lam1^n+A2*lam2^n;
(14)
spezielle Lösung - Einsetzen der Anfangswerte
> A12:=solve({Geq+A1*lam1^0+A2*lam2^0=28,Geq+A1*lam1+A2*lam2=28});
(15)
> Gs:=n->subs(A12,Ga(n));
(16)
> Gs(55);
(17)
brutale Lösung
> G[0]:=28; G[1]:=28; E[0]:=100-G[0]; E[1]:=100-G[1];
(18)
> for n from 1 to 54 do
G[n+1]:=G[n]+alpha*(E[n]-G[n])+beta*(G[n]-G[n-1]);
E[n+1]:=100-G[n+1];
end:
> G[55];
43.34630544
> plot([[k,G[k]]$k=0..55]);
(19)
Aufgabe 20130730B5
Differentialrechnung
> restart;
> solve({K+B=In,K/B=q},{K,B});
(20)
> q:=t->(t^3+3)/(t^2+7);
In:=t->t*exp(-0.4*t);
(21)
> plot([q(t),In(t)],t=0..10);
> K:=t->q(t)*In(t)/(1+q(t));
B:=t->In(t)-K(t);
simplify(K(t));
(22)
> plot([K(t),B(t)],t=0..12,color=[red,black]);
die Kritiker bekommen erst etwas später alles mit - vergessen aber wesentlich
langsamer
> simplify(diff(K(t),t));
(23)
die Ableitung wird nur Null, wenn das Polynom Null wird - das passiert für positive
t-t0 nur zwischen zwei und 3
> plot(2.*t^7-3.*t^6-10.*t^5+26.*t^4-164.*t^3+15.*t^2+60.*t-150.,t=
0..4);
> fsolve(2.*t^7-3.*t^6-10.*t^5+26.*t^4-164.*t^3+15.*t^2+60.*t-150.,
t=3..4);
3.592638832
(24)
> K(%);
0.6083912456
(25)