Technische Universität München Fakultät für Mathematik M14

Technische Universität München
Fakultät für Mathematik
M14 Wahrscheinlichkeitstheorie
Interacting Particle Systems
WS 2012/13, Blatt 3
Gantert
Übungen
Abgabetermin: Dienstag, 20.11.2012, 10 Uhr
Aufgabe 9 (4 Punkte)
Sei pt (x, y) eine Übergangsfunktion einer Markovkette auf einem (maximal abzählbaren)
Zustandsraum S. Ferner sei (Tt )t≥0 eine Familie von Operatoren definiert durch
X
Tt f (x) :=
pt (x, y)f (y) für x ∈ S.
y∈S
Zeigen Sie:
(i) Ist S endlich, so ist (Tt )t≥0 eine Übergangshalbgruppe (im Sinne von Definition 3.2
aus der Vorlesung).
N
(ii) Ist S =
(versehen mit der diskreten Metrik), so ist (Tt )t≥0 genau dann eine
Übergangshalbgruppe, wenn
lim pt (x, y) = 0 ∀ y ∈ S, t > 0.
x→∞
Aufgabe 10 (4 Punkte)
Sei S = und (X(t))t≥0 eine Brownsche Bewegung auf S. Ferner Sei C(S) der Raum
der stetigen Funktionen auf S, die im Unendlichen verschwinden.
R
(i) Zeigen Sie, dass (Tt )t≥0 für f ∈ C(S) definiert durch
Tt f (x) := Ex f (X(t)) für x ∈ S
eine Übergangshalbgruppe ist.
(ii) Zeigen Sie, dass (i) nicht richtig ist, falls C(S) durch den Raum der beschränkten
stetigen Funktionen ersetzt wird.
Aufgabe 11 (4 Punkte)
Sei S :=
und Px := δω(x) , wobei ω (x) gegeben sei durch ω (x) (t) := x + t für t ≥ 0.
Zeigen Sie, dass der zugehörige Prozess (X(t))t≥0 ein Feller-Prozess ist und bestimmen
Sie dessen Übergangshalbgruppe und Erzeuger L.
R
Bitte wenden!
Aufgabe 12 (4 Punkte)
Sei S := und ferner sei der Operator L auf
R
D(L) = {f ∈ C(S) : f ist differenzierbar und f ′ ∈ C(S)}
(1)
definiert durch Lf := f ′ . Zeigen Sie direkt mit der Definition 3.2 aus der Vorlesung,
dass L ein Erzeuger ist.
Aufgabe 13 (4 Punkte)
Sei S := und ferner sei der Operator L auf
R
D(L) = {f ∈ C(S) : f ist zweimal differenzierbar und f ′ , f ′′ ∈ C(S)}
definiert durch Lf := 21 f ′′ . Ferner sei (Tt )t≥0 die Brownsche Halbgruppe. Das heißt
Z ∞
Tt f (x) :=
ϕx,t (y)f (y) dy für x ∈ S,
−∞
wobei ϕx,t die Dichte der N (x, t)-Verteilung bezeichne. (Vgl. Beispiel 3.4 aus der Vorlesung.) Zeigen Sie, dass L der zu (Tt )t≥0 gehörige Erzeuger ist.