9 Die trigonometrischen Funktionen und ihre

Übungsmaterial
9
1
Die trigonometrischen Funktionen und ihre Umkehrfunktionen
Die trigonometrischen Funktionen sind die Sinus-, die Kosinus- und die Tangensfunktion.
9.1
Eigenschaften der trigonometrischen Funktionen
Die trigonometrischen Funktionen haben folgende Eigenschaften:
• Die Sinus- und die Kosinusfunktion sind periodisch mit Periode 2π .
• Die Tangensfunktion ist periodisch mit Periode π .
• Der Graph der Sinusfunktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung, der Graph der Kosinusfunk-
tion ist achsensymmetrisch zur y-Achse.
• Der Graph der Tangensfunktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
• sinx hat Nullstellen bei x = kπ , cosx hat Nullstellen bei x = (2k + 1) π2 , (jeweils k ∈ Z).
sinx
• tanx = cosx
• tanx hat Nullstellen bei x = kπ , k ∈ Z.
• tanx ist nicht deniert für x = (2k + 1) π2 , k ∈ Z (dort sind die Nullstellen des Kosinus). Die
Tangensfunktion hat dort senkrechte Asymptoten.
Die folgenden Abbildungen zeigen die Graphen der trigonometrischen Funktionen.
y
sinx
1
x
1
π
-1
Abbildung 1: Die Sinusfunktion
2π
Übungsmaterial
2
y
cosx
1
x
π/2
3π/2
π
2π
-1
Abbildung 2: Die Kosinusfunktion
tanx
y
1
x
-π
-π/2
π/2
π
-1
Abbildung 3: Die Tangensfunktion
Ableitungen der trigonometrischen Funktionen
(sin x)0 = cos x
(cos x)0 = − sin x
(tan x)0 =
1
cos2 x
Stammfunktionen der trigonometrischen Funktionen
Z
Z
sin x dx = − cos x + c
Z
cos x dx = sin x + c
tan x dx = − ln | cos x| + c
Übungsmaterial
9.2
3
Die Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen
Da keine der trigonometrischen Funktionen eindeutig in dem Sinne ist, dass jeder Wert der Zielmenge
nur einmal angenommen wird, sind sie auf ihrem Denitionsbereich nicht umkehrbar. Wir werden daher jeweils den Denitionsbereich einschränken müssen, um die Funktionen umkehren zu können.
9.2.1
Die Umkehrfunktion der Sinusfunktion
Wir schränken den Denitionsbereich ein auf D = [− π2 ; π2 ]. Die Sinusfunktion ist in diesem Bereich
eindeutig, besitzt also eine Umkehrfunktion. Diese nennen wir arcsin, die Arcussinusfunktion. Ihr
Denitionsbereich ist [−1; 1], ihr Wertebereich ist [− π2 ; π2 ].
Ihr Graph ergibt sich aus der Spiegelung der Sinusfunktion an der Winkelhalbierenden des I. und III.
Quadranten.
y
arcsinx
1
x
-π/2
π/2
π
-1
Abbildung 4: Die Arcussinusfunktion
Die Ableitung der Arcussinusfunktion ist
(arcsin x)0 = √
1
1 − x2
Beispiele
1a) arcsin 1 = π2 , weil sin π2 = 1 ist.
b) arcsin 12 = π6 , weil sin π6 =
1
2
ist.
2) f (x) = arcsin x + x2
⇒ f 0 (x) = √
1
+ 2x
1 − x2
Übungsmaterial
9.2.2
4
Die Umkehrfunktion der Kosinusfunktion
Wir schränken den Denitionsbereich ein auf D = [0; π]. Die Kosinusfunktion ist in diesem Bereich
eindeutig, besitzt also eine Umkehrfunktion. Diese nennen wir arccos, die Arcuskosinusfunktion.
Ihr Denitionsbereich ist [−1; 1], ihr Wertebereich ist [0; π].
Ihr Graph ergibt sich aus der Spiegelung der Kosinusfunktion an der Winkelhalbierenden des I. und
III. Quadranten.
y
arccosx
π/2
1
x
π/2
π
2π
-1
Abbildung 5: Die Arcuskosinusfunktion
Die Ableitung der Arcuskosinusfunktion ist
(arccos x)0 = √
−1
1 − x2
Beispiele
1a) arccos 0 = π2 , weil cos π2 = 0 ist.
b) arccos 12 = π3 , weil cos π3 =
1
2
ist.
2) f (x) = arccos(2x2 )
⇒ f 0 (x) = √
−4x
−1
· 4x = √
4
1 − 4x
1 − 4x4
Übungsmaterial
9.2.3
5
Die Umkehrfunktion der Tangensfunktion
Wir schränken den Denitionsbereich ein auf D = [− π2 ; π2 ]. Die Arcustangensfunktion ist in diesem
Bereich eindeutig, besitzt also eine Umkehrfunktion. Diese nennen wir arctan, die Arcustangensfunktion. Ihr Denitionsbereich ist R, ihr Wertebereich ist [− π2 ; π2 ]].
Ihr Graph ergibt sich aus der Spiegelung der Tangensfunktion an der Winkelhalbierenden des I. und
III. Quadranten.
y
arctanx
1
x
-π
-π/2
π/2
π
-1
Abbildung 6: Die Arcustangensfunktion
Die Ableitung der Arcustangensfunktion ist
(tan x)0 =
1
1 + x2
Beispiele
1a) arctan 0 = 0, weil tan0 = 0 ist.
b) arctan 1 = π4 , weil arctan π4 = 1 ist.
2) f (x) = arctan
x
x+1
⇒ f 0 (x) =
1
x+1−x
=
x 2 ·
1 + ( x+1 )
(x + 1)2
1
(x+1)2 +x2
(x+1)2
·
1
1
=
2
2
(x + 1)
2x + 2x + 1
Übungsmaterial
9.3
Aufgabe
1) Beweise:
Z
tan x dx = − ln | cos x| + c
2) Berechne:
a) arcsin 0; arcsin(− 21 ); arcsin(−1); arcsin
b) arccos 1; arccos 12 ; arccos 0; arccos(−
√
√
√
3
2
√
2
2 )
c) arctan 0; arctan 3; arctan(− 3); arctan(−
√
3
3 )
3) Berechne die Ableitung von
f (x) =
1
1
· arcsin
x2
x
Lösung
1)
Z
Z
tan x dx =
sin x
dx = −
cos x
Z
− sin x
dx = − ln | cos x| + c
cos x
2a)
arcsin 0 = 0
arcsin(−1) = − arcsin 1 = −
π
2
1
1
π
arcsin(− ) = − arcsin =
2
2
6
√
2
π
arcsin
=
2
2
b)
arccos 1 = 0
arccos 0 =
π
2
1
π
=
2
3
√
2
arccos(−
)=π
2
arccos
c)
arctan 0 = 0
√
√
π
arctan(− 3) = − arctan 3 = −
3
√
π
arctan 3 =
3
√
√
3
3
π
arctan(−
) = − arctan
=−
3
3
4
6
Übungsmaterial
7
3)
f (x) =
1
1
· arcsin
= x−2 · arcsin(x−1 )
x2
x
⇒ f 0 (x) = −2x−3 · arcsin(x−1 ) +
= −
1
1
·q
2
x
1−
2
1
1
1
arcsin + 4 q
3
x
x x
1−
1
x
·
1
x
1
=
x2