Blatt 3

Philipps-Universität Marburg
Wintersemester 2014/15
Fachbereich Mathematik und Informatik
Prof. Dr. S. Dahlke, D. Lellek
Übungen zur Numerik von Differentialgleichungen
3. Aufgabenblatt
Aufgabe 7 (Beweis von Lemma 2.2.2)
Es sei n ∈ N. Zeige: Die Newton-Cotes-Gewichte
αn,j
1
=
n
Zn Y
n
0 `=0
`6=j
(4)
s−`
ds
j−`
gemäß (2.2.5) erfüllen (unter anderem) die Bedingungen
(i) αn,j = αn,n−j ,
(ii)
n
P
αn,j · j ` =
j=0
j = 0, . . . , n, und
n`
`+1 ,
` = 0, . . . , n.
Aufgabe 8 (Gauß-Quadratur mit Legendre-Polynomen)
(6)
Für das Intervall [a, b] := [−1, 1] und die konstante Gewichtsfunktion λ(x) ≡ 1, x ∈ [−1, 1],
stimmen die Orthogonalpolynome Qn ∈ Π̃n gemäß Satz 2.4.3 bis auf einen Normierungsfaktor
mit den Legendre-Polynomen
Pn (x) :=
∂n
1
·
[(x2 − 1)n ]
2n · n! ∂xn
überein.
(i) Weise die Orthogonalität der Legendre-Polynome auf [−1, 1] nach,
Z 1
hPm , Pn i :=
Pm (x) · Pn (x) dx = 0 für alle m 6= n.
−1
(ii) Betrachte nun den Fall
P3 (x) und weise nach, dass seine Nullstellen
q n = 3. Bestimme
q
3
3
durch x0 = 0, x1 = − 5 und x2 = 5 gegeben sind.
(iii) Bestimme für n = 3 die Gewichte λj , j = 0, 1, 2, der Gauß-Quadratur gemäß (2.4.8) und
approximiere damit das Integral
Z 2
1
x2 e 2 x dx.
0
Wie groß ist dabei der Quadraturfehler?
bitte wenden
1
Aufgabe 9 (Konsistenzordnung)
Es seien Ih := {t0 , . . . , tN } ein äquidistantes Punktgitter mit Schrittweite h, ϑ ∈ [0, 1] und
(4)
φ(tj , tj+1 , uj , uj+1 ) = ϑf (tj , uj ) + (1 − ϑ)f (tj + h, uj + hf (tj , uj )).
Zeige:
(i) Das durch die Verfahrensfunktion φ definierte Einschrittverfahren ist konsistent von der
Ordnung 1.
(ii) Das Verfahren ist darüber hinaus genau dann konsistent von der Ordnung 2, wenn ϑ =
ist.
1
2
Aufgabe 10 (Programmieraufgabe Einschrittverfahren)
(5)
1
Implementiere das Eulersche Polygonzugverfahren und das Verfahren aus Aufgabe 9 mit ϑ = 2
(im Folgenden als RK2 bezeichnet). Schreibe dazu Methoden euler(t0, y0, n, t1, f) und
0
die NäheRK2(t0, y0, n, t1, f), die zu Anfangswert y(t0 ) = y0 und Schrittweite h = t1 −t
n
rungen der Verfahren an der Stelle t1 berechnen. Die rechte Seite f (t, y) soll dabei außerhalb
des Verfahrens definiert werden (Trennung von Verfahren und Daten). Schreibe eine Methode,
die beide Verfahren zu der rechten Seite
f (t, y) = −y
mit Anfangswert y(0) = 1 testet. Gib für n = 10, 100, 1000 die Näherungen an y(1) aus den
Verfahren und die Abweichung von der exakten Lösung zu diesem Zeitpunkt aus. Ergänze das
Programm mit sinnvollen Kommentaren. Die Programmieraufgabe kann in Matlab (empfohlen),
Java oder Scala bearbeitet werden.
Abgabe: Dienstag, 11.11.14, vor der Vorlesung. Programmieraufgabe bis 18.11.14 per Mail.
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