Neue Volatilitätskonventionen in Negativzinsmärkten - d

Bewertung von Zinsswaps mittels
Mehrkurvenbootstrapping
OIS-Marktstandard gewinnt im Rahmen des EMIR-Portfolioabgleichs an Bedeutung
1. Einleitung
Die Bewertungsmethodik von Zinsswaps hat sich
gewandelt. Bis vor der Finanzkrise wurde zur
Bestimmung des Fair Value eines Zinsswaps das
Discounted Cashflow Verfahren (DCF) auf Basis
der Standard-Swapkurve verwendet (Einkurvenwelt). Es lieferte gute Ergebnisse in dem Sinne,
dass für die Benchmark-Instrumente der berechnete Fair Value innerhalb der am Markt quotierten Bid-Offer Spanne lag. Seit der Finanzkrise
müssen neue Effekte berücksichtigt werden, insbesondere die Ausweitung von Basisspreads, die
in der Einkurvenwelt nicht abzubilden sind.
Gleichzeitig hat die Bedeutung des Fair Value in
verschiedenen Bereichen zugenommen, wie dem
Collateralmanagment oder zuletzt dem Portfolioabgleich, wie ihn die European Market Infrastructure Regulation (EMIR) für die zwischen zwei
Marktteinehmern bestehenden OTC-Derivatepositionen vorsieht. Dieser schließt den Abgleich
des Fair Values ein und kann bei einer schlechten
Bewertungsmethodik zu (Er)klärungsbedarf gegenüber Geschäftspartnern bzw. im Extremfall
meldepflichtiger Fälle gegenüber der Aufsicht
führen.
Das Discounted Cashflow Verfahren auf Basis
eines Mehrkurvenuniversums hat sich als neuer
Standard zur Bestimmung des Fair Value etabliert. Diese Methode, sauber aufgesetzt, führt zu
einer Bewertung, die sich innerhalb des Bid-Offer
Spreads bewegt und damit eine angemessene
Bewertungsqualität bietet.
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Dieses Paper stellt diese Mehrkurvenmethodik
vor. Das Beispiel am Ende zeigt die Differenzen
zur traditionellen Einkurvenwelt auf.
2. Definition eines Zinsswaps
Es wird der Standardfall eines fixed-to-float Plain
Vanilla Zinsswaps (IRS) betrachtet. Bei einem IRS
werden periodisch feste Zinszahlungen auf Basis
des fixen Kupons des Swaps gegen variable Zinszahlungen auf Basis eines Referenzzinssatzes (z.B.
6M-Euribor) getauscht. Die Gesamtheit der fixen
Zahlungen nennt man das fixe Leg, die Gesamtheit der variablen Zahlungen das variable Leg.
Man unterscheidet zwischen Payer- und Receiver-Swaps je nachdem, ob man die fixe Seite des
Swaps zahlt oder empfängt.
Um die Zahlungsstruktur eines IRS eindeutig festzulegen, sind verschiedene Parameter zu definieren. Diese betreffen:

die Zahlungstermine und

die Zahlungshöhen.
Zahlungstermine. Die wesentlichen Faktoren für
die Bestimmung der Zahlungstermine sind:

das Start- und das Enddatum,

die Zahlungsfrequenzen der Legs,

ein Feiertagskalender in Verbindung mit der
Business-Day-Convention (BDC) zur Bestimmung der Payment-Dates sowie

die Richtung, in die ausgerollt wird.
Die Richtung des Ausrollens kann „Vorwärts“
oder „Rückwärts“ sein. Der Unterschied der beiden Methoden besteht hauptsächlich darin, wo
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1
ggf. eine kurze Periode des Swaps zu liegen
kommt. Der Standard ist „Rückwärts“1. Nach dem
ersten Ausrollen der Zahlungstermine kann es
vorkommen, dass ein Zahlungstermin auf ein
Wochenende oder einen Feiertag fällt. In diesem
Fall wird durch die ausgewählte Business Day
Convention eine Verschiebung der Zahlung auf
den entsprechenden Bankarbeitstag durchgeführt.
Für einen EUR-Swap sieht der Standard [2] folgendermaßen aus:
Parameter
Fixes Leg
Variables Leg
Frequenz
12M
6M
Analog ergeben sich die Cashflows der variablen
Zinsperioden des variablen Legs aus:

dem Nominal N,

dem Referenzzins {idxj}j=1..m und

den Längen { ~j }j=1..m der Accrualperioden, die
wieder im Sinne der verwendeten Day-CountConvention in Year-Fractions gemessen werden.
Für einen EUR-Swap sehen die Standards für die
Business Day- und die Day Count Convention
folgendermaßen aus [2]:
Parameter
Payment-BDC Modified Following Modified Following
Kalender
TARGET
BDC
TARGET
DCC
Fixes Leg
Variables Leg
Modified Following Modified Following
30/360
Act/360
Tabelle 1: Parameter zur Zahlungsterminerzeugung
Tabelle 2: Parameter zur Erzeugung der Zahlungshöhen
Zahlungshöhen. Um den Zahlungsterminen echte
Zahlungshöhen (Cashflows) zuordnen zu können,
werden weitere Informationen benötigt. Zunächst wird das fixe Leg betrachtet. Die Menge
der Zahlungstermine grenzt sogenannte Zinsperioden (Accrualperioden) ab2. Die Cashflows der
fixen Zinsperioden ergeben sich aus:
Es ergibt sich eine Cashflowstruktur, wie sie in
Abbildung 1 gezeigt ist.

dem Nominal N,

dem fixen Kupon c des Swaps3 und

den Längen {τi}i=1..n der Accrualperioden, die
im Sinne der verwendeten Day-CountConvention in Year-Fractions gemessen werden.
1
Das Rückwärtsausrollen der Zahlungstermine geschieht pro Leg folgendermaßen: Man startet mit dem
End-Date und subtrahiert so oft die Zahlungsfrequenz
bis man das Start-Date erreicht.
2
Der Vollständigkeit halber sei darauf hingewiesen,
dass die exakte Definition der Accrual-Periode von der
Art und Weise der Erzeugung der Zahlungstermine
abhängt und ggf. geringfügig von der Differenz benachbarter Zahlungstermine abweichen kann.
3
Der fixe Kupon heißt auch Swap-Rate. Die Swap-Rate,
die zu einem Swap mit dem Barwert Null führt, heißt
auch Par-Rate.
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12M
N·c·τi
MM
6M
~
῀ N·idxj·τj
Fix.
Var.
Abbildung 1: Cashflowstruktur eines Fixed-To-Float IRS
Die Zahlungshöhen des variablen Legs werden
typischerweise zwei Tage vor Beginn der entsprechenden variablen Accrualperiode mit Hilfe des
dann gültigen Referenzzinses fixiert4.
3. Forecastkurve und variabler Index
Um eine Prognose für den Referenzzins zu erhalten, wird ein technisches Konstrukt, der sogenannte variable Index eingeführt. Seine Aufgabe
ist es, auf Basis der sogenannten Forecastkurve
Prognosen für noch nicht gefixte Referenzzinsen
(z.B. 6M-Euribor) zu erzeugen. Aus der Forecast4
Im Fall von „In Arrears Swaps“ fixt der Indes zwei
Tage vor Ende der Periode. Die Bewertung ist dann
noch etwas komplizierter und erfordert ein sogenanntes Convexity-Adjustment.
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kurve wird ein noch nicht gefixter Referenzzins
durch den Indexwert idxi geschätzt, der eine Forwardrate über die relevante Accrualperiode darstellt und mit Hilfe der folgenden Formel berechnet wird5:
6M

1  df
idxi  ~   i61M  1 .

 i  df i


Hier bezeichnen df i61M und df i6 M formale Diskontfaktoren6 der noch näher zu beschreibenden
Forecastkurve an den beiden Daten ti 1 und ti ,
die die Ränder der Accrualperiode definieren.
4. Bewertung eines Zinsswaps
Die Bewertung von Plain Vanilla Interest Rate
Swaps verwendet das Discounted Cashflow Verfahren (DCF). Dieses Verfahren bestimmt den Fair
Value (PV) eines IRS, indem die vertraglich vereinbarten Cashflows mit Hilfe der Diskontfaktoren dfDisc(tj) der anzuwendenden Diskontierungskurve verbarwertet werden7.
PV  N  i idxi  ~i  df Disc (ti )  N c   j  j  df Disc (t j )
Das Verfahren spezifiziert nicht, welche Zinskurve
zur Diskontierung und zur Generierung des variablen Index zu verwenden ist. Im Gegensatz zur
alten Einkurvenwelt, die für beide Zwecke ein
und dieselbe Kurve heranzog, verwendet das
moderne Mehrkurvenbootstrapping
5
Es gibt ein paar Subtilitäten bei der Auswahl zu beachten, welche Forwardrate zu berechnen ist. Das
hängt mit der technischen Definition des Referenzzinses zusammen. Die damit verbundenen Effekte sind
für die Darstellung des grundsätzlichen Verfahrens
aber nicht von Bedeutung.
6
Diese Diskontfaktoren sind formal, weil sie nur eine
spezielle Darstellung der Forecastkurve realisieren. Sie
werden selbst nicht zur Diskontierung angewendet.
7
Bei diesem PV handelt es sich um den Dirty-Preis
eines Payer Swaps. Der Dirty-Preis enthält alle bereits
aufgelaufenen Stückzinsen (Accrued Interest). Diese
stammen aus den bereits angebrochenen AccrualPerioden auf der fixen bzw. variablen Seite. Ein CleanPreis ergibt sich aus dem Dirty-Preis durch Abzug der
aufgelaufenen Stückzinsen.
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
als Diskontkurve i.d.R. die risikolose OISKurve8 und

zur Generierung des variablen Index die Forecastkurve.
OIS-Kurve. Diese Zinskurve wird aus am Markt
quotierten OIS-Swaps gewonnen. Die OIS-Kurve
kann durch traditionelles Bootstrapping erzeugt
werden, da für OIS-Swaps die Diskontierungskurve und die für die Prognose von Referenzzinsen
im variablen Index anzuwendende Forecastkurve
übereinstimmen9.
Der Einsatz der OIS-Kurve zur Diskontierung folgt
der gängigen Praxis, Derivategeschäfte zu besichern10. Im Idealfall einer unendlich schnellen
Anpassung der gestellten Sicherheiten (Collateral)
„repliziert“ die Summe der Collateralaccounts
beider Kontrahenten spiegelbildlich den Barwert
des Derivateportfolios. Da die beiden Collateralaccounts üblicherweise OIS-verzinst werden,
muss das Derivateportfolio mit dem Äquivalent
einer OIS-Verzinsung diskontiert werden11.
Forecastkurve. Die Forecastkurve wird aus
Marktdaten von liquiden Swaps (fix versus 6MEuribor) ermittelt12. Der Markt bewertet diese
Swaps bereits mit zwei unterschiedlichen Zinskurven (Trennung zwischen Diskontierung und
Forecasterzeugung). Um die Forecastkurve - z.B.
für die Prognose des 6M-Euribor durch den variablen Index - zu erzeugen, muß ein Mehrkurvenbootsrapping durchgeführt werden. Ein Einkurvenbootstrapping – wie bei der Erzeugung der
OIS-Kurve – ist nicht mehr ausreichend. Standard8
OIS = Overnight Index Swap
Ggf. entstehen Probleme bei der nicht exakten Berücksichtigung der OIS-Marktkonventionen, die leicht
von den herkömmlichen IRS-Konventionen abweichen.
10
Für unbesicherte OTC-Derivate ist die Wahl der
Dsikontkurve nicht eindeutig festgelegt.
11
Der Fall, dass die Geschäftswährung und die Collateralwährung auseinanderfallen, wird hier nicht betrachtete und ist gesondert zu diskutieren.
12
Für die Konstruktion der Forecastkurven für andere
Euribor-Indizes sind ggf. geignete Basisswaps zu verwenden.
9
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implementierungen von Bootstrappern sind häufig noch nicht in der Lage, dieses Mehrkurvenbootsrapping umzusetzen. Auf Details der Konstruktion der Forecastkurve wird im vorletzten
Abschnitt eingegangen.
5. Bewertungsgenauigkeit
Bei der Beurteilung eines Bewertungsverfahrens
ist zwischen der internen und der externen Sicht
zu unterscheiden.
Die interne Sicht verwendet Zinskurven zur Bewertung realer Geschäfte. Die Qualität der Zinskurven wird auf Basis von am Markt quotierten
Benchmarkpreisen beurteilt. Hierzu wird geprüft,
wie genau die Zinskurven (synthetische Marktdaten) die ursprünglich zur Konstruktion der Zinskurven verwendeten Benchmarkpreise (observable Markdaten) reproduzieren können. Beim
Bootstrapping, dem Prozess der Zinskurvenerzeugung, werden i.d.R. die Mid-Quotes der
Benchmarkinstrumente verwendet. Diese MidQuotes müssen bei korrekter Parametrisierung
der Benchmarkinstrumente mit extrem hoher
Genauigkeit reproduziert werden können.
Die externe Sicht wird zur Beurteilung der Güte
von Preisen unterschiedlicher Kontrahenten verwendet. Die implizite Annahme ist dabei, dass
beide Kontrahenten im Grundsatz die gleiche
Methodik (Marktkonsensus) einsetzen. Die Ausgestaltung des Marktkonsensus lässt aber immer
noch eine Reihe von institutsspezifischen Entscheidungen zu, die Differenzen in den Preisen
hervorrufen können. Beispiele für solche Entscheidungen sind die Wahl des Snapshotzeitpunkt der Marktdaten und Modelldetails, wie z.B.
die verwendete Interpolationmethode beim Aufbau der Zinskurven. Aus diesem Grund werden in
der externen Sicht zur Beurteilung der Bewertungsgüte zum einen die Bid-Ask-Spannen der
liquiden Benchmarkquotes herangezogen (wenige Basispunkte) und zum anderen der PV01 eines
konkreten Geschäfts, der den Barwert eines Ba© d-fine 2013
sispunkts auf dem variablen Leg beschreibt (Funding Leg). So läßt sich z.B. ein PV-Unterschied
zwischen Kontrahenten für ein und denselben
Swap mittels Division durch den PV01 auf den
zusätzlichen Spread transformieren, den man
über dem Referenzzins (Funding) zahlen muss,
um die Barwerte anzugleichen.
Dieser Spread stellt unabhängig von Nominal und
Laufzeit ein für alle IRS gleichermaßen geeignetes
Abweichungsmaß dar. Weiterhin ist dieses Maß
anschaulich zu interpretieren als zusätzlicher
Fundingspread. Daher muss sich dieser Fundingspread innerhalb der Bid-Offer-Spanne der
relevanten Benchmarkinstrumente bewegen. Als
Faustregel für Nicht-Market-Maker kann das etwas stärkere ökonomische Kriterium einer Abweichung von maximal einem halben Basispunkt
zusätzlichem Spread über dem Referenzzinssatz
(Euribor/ Libor) Verwendung finden13.
6. Zinskurvenkonstruktion
(Bootstrapping)
In diesem Abschnitt werden die BenchmarkInstrumente beschrieben, d.h. die am Markt observable Größen, die in die Konstruktion der Zinskurven einfließen. Für den numerischen Algorithmus, der zum Bootstrapping verwendet wird,
sei z.B. auf [3] und [4] verwiesen. Konkret wird
eine mögliche Auswahl von Benchmarkinstrumenten für die Eonia-Kurve (EUR-OIS-DISC) und
die 6M-Euribor-Forecast-Kurve (EUR-6M-FWD)
einschließlich ihrer Reuters-Ticker angegeben
(vgl. Tabelle 3 und Tabelle 4).
Eonia-Kurve (EUR-OIS-DISC) :
Term
Benchmark
RIC
Source
O/N
EONIA Index
EUROND=
1W, 2W, 3W
Eonia Swaps
EUREON<Term>=Source
ICAP
1M - 11M
Eonia Swaps
EUREON<Term>=Source
ICAP
13
Für einen 10-jährigen Swap mit Nominal von EUR 1
Mio bedeutet das eine Preisunsicherheit von ca. EUR
500.
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4
1Y-60Y
Eonia Swaps
EUREON<Term>=Source
ICAP
aber von der gleichen Größenordung wie der alte
PV01.
Tabelle 3: EUR-OIS-DISC
Alte Methodik Neue Methodik
6M-Euribor-Forecast Kurve (EUR-6M-FWD):
NPV [EUR]
Term
Benchmark
RIC
Source
6M
Euribor 6M
EURIBOR6MD=
1Mx7M bis
5Mx11M
FRAs
EUR<i>X<j>F=Source
ICAP
1Y-50Y
Swaps
EURAB6E<Term>=Source
ICAP
Tabelle 4: EUR-6M-FWD
Bemerkung: Für die zuletzt beschrieben ForecastKurve werden am kurzen Ende (bis zu einem Jahr)
gelegentlich noch tenorinkongruente Euriborsätze verwendet. Das führt zu einer inkonsistenten Gestalt der Kurve am kurzen Ende und ist für
den Zweck der Prognose von Forwardraten nicht
mehr adäquat.
7. Beispiel: Forwardkurve und PV
eines Zinsswaps
Für einen einfachen IRS mit einem fixen Kupon
von 3% und einer Laufzeit von 3 Jahren (vgl. Tabelle 5) sollen die Effekte aus der Verwendung
der neuen Zinskurven illustrativ zusammengestellt werden.
Parameter
Fixes Leg
Variables Leg
Währung
EUR
EUR
Nominal
1,000,000
1,000,000
Start
04/09/2012
04/09/2012
End
04/09/2015
04/09/2015
Kupon
3%
-
Index
-
Euribor 6M
DCC
30/360
Act/360
BDC
71,618.93
72,042.08
PV01
303.49
Tabelle 6 : Ergebnisse der alten und neuen Bewertung
Man erkennt, dass der Wechsel der Diskontierung einen deutlichen PV-Effekt von ca. anderthalb Basispunkten nach sich zieht. Das bedeutet,
dass schon für einen IRS mit vergleichsweise kurzer Laufzeit die Bewertungen - über die in Abschnitt 5 als akzeptabel definierte Bewertungsungenauigkeit hinaus - voneinander abweichen.
Bei IRS mit längeren Laufzeiten würde ein weiterer Effekt sichtbar werden, der auf der Art und
Weise der Erzeugung der Forecastkurve (Verwendung der alten oder der neuen Methodik)
beruht. Dieser ist mit dem ersten Effekt vergleichbar und liegt damit ebenfalls über der nach
Abschnitt 5 als akzeptabel definierten Bewertungsungenauigkeit. Abbildung 2 zeigt den Unterschied in der Prognose der 6-Monatsforwardraten für den Zeitraum von 2013 bis 2063 bei
Verwendung der Einkurvenwelt oder des Mehrkurvenuniversums. Der Effekt, den das Mehrkurven-Bootstrapping im Vergleich zum Einkurvenbootstrapping in die Euribor-Forecasts importiert,
bewegt sich selbst im einstelligen Basispunktbereich. Aus diesem Grunde sollte sowohl die Parametrisierung der IRS als auch die Marktdatenerzeugung an die Regeln der neuen Mehrkurvenwelt angepasst werden.
Modified Following Modified Following
Tabelle 5 : Beispiel eines Plain Vanilla IRS
In Tabelle 6 sind die Ergebnisse der alten (Einkurvenwelt) und der neuen Bewertungsmethodik
(Mehrkurvenuniversum) für den Bewertungsstichtag 31.08.2013 gegenübergestellt. Der PV01
wurde mit dem neuen Verfahren berechnet, ist
© d-fine 2013
Abbildung 2 : Effekt des unterschiedlichen Bootstrappings
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5
8. Referenzen
[1]
[2]
[3]
[4]
EMIR, Regulation (EU), No. 648/2012
ICAP Information London, Interest Rate Swap Definitions/Conventions
H.P.Deutsch, M.Beinker, Derivate und Interne Modelle, 5.
Auflage, erscheint 2014
L.B.G. Andersen, V.V. Piterbarg, Interest Rate Modeling, Atlantic Financial Press, 2010
Für Fragen und Diskussionen stehen Ihnen zur Verfügung:
Dr. Mark Beinker, Partner
d-fine GmbH, Frankfurt
[email protected]
Dr. André Miemiec, Manager
d-fine GmbH, Frankfurt
[email protected]
Dr. Matthias Horn, Manager
d-fine GmbH, Frankfurt
[email protected]
© d-fine 2013
31. Oktober 2013
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