Lösung I

Aufgabenblatt 4
Lösungen
1
A1. Definitionen
•
•
•
Zins = Rate
Zinskurve = Zinsstruktur
Rendite = Yield
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1
A1. Definitionen
•
Zerobond = Nullkuponanleihe = Zero coupon bond
–
Anleihe, die vor Ende der Laufzeit keine Zahlungen leistet und
am Ende der Laufzeit den Nennwert zahlt (i.d.R. 100).
pn =
–
–
100
(1 + yn ) n
Bei jährlicher Verzinsung ergibt sich der Zerobondpreis (pn)
aus der Abzinsung des Nennwerts mit der Zero- oder Spotrate
(yn). Die Spotzinskurve ist ein Graph der Spotrate als eine
Funktion der Zeit bis zur Fälligkeit.
Der Diskontfaktor für eine gegebene Laufzeit ist gleich dem
Zerobondpreis geteilt durch 100.
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A1. Definitionen
•
Kuponanleihe = Coupon bond
–
Anleihe, die regelmäßig Zinszahlungen (c) (Kupon * Nennwert)
leistet und am Ende der Laufzeit den Nennwert und die letzte
Zinszahlung zahlt.
k=
=
–
–
c1
c2
(100 + cn )
+
+L+
2
(1 + y1 ) (1 + y2 )
(1 + yn ) n
(100 + cn )
c1
c2
+
+L+
2
(1 + y ) (1 + y )
(1 + y ) n
Der Kuponbondpreis (k) ergibt sich aus der Summe der
Zahlungen der Kuponanleihe, die jeweils mit der Zerorate (yn)
für die entsprechende Laufzeit abgezinst werden.
Die Yield to Maturity (y) ist äquivalent zum internen Zinsfuß.
Es ist der einheitliche Zins, der dazu führt, dass der Barwert
der Anleihe gleich dem aktuellen Kuponbondpreis ist.
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A1. Definitionen
•
Kuponanleihe = Coupon bond
–
Die Par Yield ist der Kupon, der bei den geltenden
Diskontfaktoren bzw. Zerorates dazu führt, dass der
Kuponbondpreis gleich 100 ist.
100 =
–
–
(100 + cn )
c1
c2
+
+
L
+
(1 + y1 ) (1 + y2 ) 2
(1 + yn ) n
Die Par Yield Kurve ist ein Graph der Par Yields als eine
Funktion der Zeit bis zur Fälligkeit.
Ein Par Bond ist eine Kuponanleihe, deren Kuponbondpreis
gleich dem Nennwert (i.d.R. 100) ist. Bei einem Par Bond ist
der Kupon identisch mit der Yield to Maturity.
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A1. Definitionen
•
Forward Rate = Forwardzins = Terminzins
–
–
–
Die Forward Rate ist der Zins für eine zukünftige Zeitperiode n.
Forward Rates lassen sich unter Arbitragefreiheitsbedingungen
aus der Spotzinskurve bestimmen.
Die Forwardkurve oder Forwardzinsstruktur ist ein Graph
der Forward Rates als Funktion der Zeit bis zur Fälligkeit.
Die einperiodige Forward Rate (fn) für die Periode n ergibt sich
aus den Zerobondpreisen (pn) der Perioden n und n-1
pn − pn +1 (1 + yn +1 ) n +1
−1
fn =
=
pn +1
(1 + yn ) n
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A1. Definitionen
•
Die Ex post-Rendite für eine (kreditrisikolose und
ohne Sonderrechte ausgestattete) Anleihe hängt
davon ab,
–
–
•
Ob die Anleihe bis zum Ende der Laufzeit gehalten wird oder
nicht
Zu welchem Zins gezahlte Kupons wiederangelegt werde
können
Nur wenn die Anleihe bis zum Laufzeitende gehalten
wird und Kupons zu einem Zins wieder angelegt
werden können, der der Yield to Maturity entspricht, ist
die Ex post-Rendite gleich der Yield to Maturity.
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A2. Yield to Maturity
• Yield to Maturity ist der interne Zins einer Anleihe:
0 = − Pr eis +
c1
c1
c3
+
+
+ ...
2
(1 + y ) (1 + y )
(1 + y ) 3
Beispiel: 2 jährige Anleihe, 8% Kupon
0 = -105,6 + 8/(1+y) + 108/(1+y)2 => y = 4,988%
(z.Vergl.: Spotrate y2 = 5% s.o.)
Anmerkung: Yield hängt von Kuponhöhe ab (!)
Lösung für Laufzeiten ≥ 2 Jahre: Excel-Zielwertsuche
benutzen
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4
A2. Yield to Maturity / Ex post-Rendite
Nennwert
Preis
Kupon
Laufzeit
YTM
Cash-Flow
Abzinsen mit YTM
100,00 €
95,31 €
8,00%
3
9,88%
t0
t1
t2
t3
- 95,31 € 8,00 € 8,00 € 108,00 €
7,28 € 6,63 €
81,40 €
- 95,31 €
Einjahreszinssatz
Aufzinsen der Kupons
Ex-post Rendite
8,00 €
8,00 € 108,00 €
10,00%
12,00%
8,80 €
9,86 €
8,96 €
9,99%
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A3. Par Yields / Spotrates / Forward
Rates
Lfz. Zerorate Zeropreis Diskontfaktor Par Yield Forward Rates
1 5,00% 95,24 €
0,95238
5,00%
2 5,21% 90,34 €
0,90341
5,20%
5,42%
3 6,05% 83,84 €
0,83843
6,00%
7,75%
4 7,16% 75,83 €
0,75835
7,00%
10,56%
5
7,13% 70,87 €
0,70872
7,00%
7,00%
1. Zeropreise und Diskontfaktoren für Lfz. 1-4 berechnen
2. Diskontfaktor, Zeropreis und Zerorate für Lfz. 5 berechnen
3. Par Yields für Lfz. 1-4 berechnen
4. Forward Rates für Lfz. 2-5 berechnen
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A3. Spot- oder Zerorates
• Die Spot- oder Zerorate ist die Rendite (yield) eines
Zerobonds:
pn =
100
(1 + yn ) n
jährliche Verzinsung
(annual compounding)
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A3. Par Yields
• Finde Kuponhöhe, so daß Wert der Kuponanleihe = 100:
100 = Kupon (d1 + d2 + d3 + ...dn-1) + (100+Kupon) * dn
Æ Zinsstrukturkurve von Kuponanleihen, die zum
Nominalwert (100) gehandelt werden
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A3. Forwardrates
• Anlage in n-jährigen Zerobond muss gleiches
Endvermögen wie revolvierende einperiodige Anlagen
zum Forwardzins bringen
(1 + y1 ) = (1 + f 0 ) = (1 + y1 )
(1 + y2 ) 2 = (1 + f 0 )(1 + f1 )
(1 + y3 ) 3 = (1 + f 0 )(1 + f1 )(1 + f 2 )
(1 + y4 ) 4 = (1 + f 0 )(1 + f1 )(1 + f 2 )(1 + f 3 )
...
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A4. Arbitrage
•
•
Die Yield to Maturity eines Zerobonds ist gleich der
Zerorate (hier: 1 J.: 5%, 2 J.: 6%).
Bewertung der 2-J.-Kuponanleihe mit der YTM ergibt
111,40 und Bewertung mit Zerorates ergibt 111,11:
12
112
+
= 111,40
1 + 0,058 (1 + 0,058) 2
12
112
+
= 111,11
1 + 0,05 (1 + 0,06) 2
•
Arbitragemöglichkeit: Kaufe 12 1-J.-Zerobonds und
112 2-J.-Zerobonds, verkaufe eine Kuponanleihe;
risikoloser Gewinn von 111,40 – 111,11 = 0,29
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A5. Zinstheorien
•
Zu a: YTM des 2-J.-Zerobonds
y2 =
•
100
− 1 = 8,47%
84,99
Zu a: YTM des 2-J.-Kuponbonds (Preis ermitteln, dann
Zielwertsuche in Excel)
k = 0,9434 *12 + 0,8499 *112 = 106,51
12
112
106,51 =
+
y = 8,33%
1 + y (1 + y ) 2
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A5. Zinstheorien
Nennwert
Preis
Kupon
Laufzeit
YTM
Cash-Flow
Abzinsen mit YTM
100,00 €
106,51 €
12,00%
2
8,33%
t0
- 106,51 €
t1
12,00 €
11,08 €
t2
112,00 €
95,43 €
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A5. Zinstheorien
•
Zu b: Forward Rate für das zweite Jahr
f1 =
•
p1 − p2
= 11%
p2
Zu c: Gemäß Erwartungstheorie des Zinses ist die
Forward Rate für das zweite Jahr gleich dem
erwarteten Einjahres-Spotzins in einem Jahr.
112
= 100,90
1 + 0,11
100,90 + 12
− 1 = 6%
106,51
Die Einjahresrendite ist identisch
mit der Einjahreszerorate
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A5. Zinstheorien
•
•
Zu d: Unter der Liquiditätspräferenztheorie investieren
Investoren nur langfristig, wenn die Forward Rate für
das zweite Jahr höher ist als die erwartete Ein-JahresSpotrate in einem Jahr.
Das bedeutet, dass die erwartete Ein-Jahres-Spotrate
in einem Jahr kleiner als 11% sein muss.
112
> 100,90
1 + (< 0,11)
(> 100,90) + 12
− 1 > 6%
106,51
Der erwartete Return ist höher
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9