4.2. Prüfungsaufgaben zu quadratischen Gleichungen - Poenitz

4.2. Prüfungsaufgaben zu quadratischen Gleichungen
Aufgabe 1: Quadratische Bruchgleichung
Bestimme die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der folgenden Gleichung auf der Grundmenge G =
2x − 8
2x − 5
3x − 4
+
=
.
2
2
x −9
x − 3x
x 2 + 3x
Lösung
Nenner durch Ausklammern und binomische Formeln in Faktoren aufspalten:
HN = x⋅(x − 3)⋅(x + 3)
\{−3;0;3}
2x − 8
+
(x − 3)(x + 3)
D=
:
(1)
(1)
2x − 5
3x − 4
=
(x − 3)x (x + 3)x
(2x − 8)x + (2x − 5)(x + 3) = (3x − 4)(x − 3)
x2 + 6x − 27 = 0
x1 = −9 und x1 = 3
 ⋅ x⋅(x − 3)⋅(x + 3)
(1)
 Ausmultiplizieren und auf die linke Seite bringen (1)
 p-q-Formel
(1)
mit Definitionsbereich vergleichen
L = {−9}
(1)
Aufgabe 2: Quadratische Bruchgleichung
Bestimme die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der folgenden Gleichung auf der Grundmenge G =
2 x − 14
2x − 5
3x − 7
+
=
2
2
x − 16
x − 4x
x 2 + 4x
Lösung
Nenner durch Ausklammern und binomische Formeln in Faktoren aufspalten:
HN = x⋅(x − 4)⋅(x + 4)
D = \{−4;0;4}
2x − 14
+
(x − 4)(x + 4)
:
(1)
(1)
2x − 5
3x − 7
=
(x − 4)x
(x + 4)x
(2x − 14)⋅x + (2x − 5)⋅(x + 4) = (3x − 7)⋅(x − 4)
x2 + 8x − 48 = 0
x1 = −12 und x2 = 4
L = {−12}
 ⋅ x⋅(x − 4)⋅(x + 4)
(1)
Ausmultiplizieren und auf die linke Seite bringen (1)
p-q-Formel
(1)
mit Definitionsbereich vergleichen
(1)
(1)
Aufgabe 3: Quadratische Bruchgleichung
Bestimme die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der folgenden Gleichung auf der Grundmenge G =
x −1
x+2
+
x−4
x −3
=
x 2 − 3x − 5
x2 − x −6
Lösung
Nenner durch Ausklammern und binomische Formeln in Faktoren aufspalten:
HN = (x − 3)⋅(x + 2)
D=
\{−2;3}
x −1
x−4
x 2 − 3x − 5
+
= 2
 ⋅ HN
x+2
x −3
x −x −6
(x − 1)(x − 3) + (x − 4)(x + 2) = x2 − 3x −5  Ausmultiplizieren
2
(x − x − 3x + 3) + (x2 − 4x + 2x − 8) = x2 − 3x − 5 − x2 + 3x + 5
x2 − 3x = 0
 Satz vom Nullprodukt oder p-q-Formel
x1 = 0 und x2 = 3
 Vergleich mit der Definitonsmenge
L = {0}
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
(1)
:
Aufgabe 4: Quadratische Bruchgleichung
Bestimme die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der folgenden Gleichung auf der Grundmenge G =
x−2
x + 3x
2
+
x+7
x − 5x
2
=
x + x + 34
x ⋅ ( x + 3) ⋅ ( x − 5)
Lösung
Nenner durch Ausklammern und binomische Formeln in Faktoren aufspalten:
HN x⋅(x + 3)⋅(x − 5)
D = R\{−3, 0, 5}
x−2
x 2 + 3x
+
x+7
x 2 − 5x
=
:
2
x 2 + x + 34
x ⋅ ( x + 3) ⋅ ( x − 5)
(x − 5)(x − 2) + (x + 7)(x + 3) = x2 + x + 34
x2 + 2x − 3 = 0
x1 = −3 und x2 = 2
L = {2}
(1)
(1)
· x⋅(x + 3)⋅(x − 5)
(1)
Ausmultiplizieren und auf die linke Seite bringen
p-q-Formel
mit Definitionsbereich vergleichen
(1)
(1)
(1)
(1)
Aufgabe 5: Quadratische Bruchgleichung
Bestimme die Definitionsmenge und die Lösungsmenge der folgenden Gleichung auf der Grundmenge G =
x−2
x+7
x 2 + 10
+
=
x ⋅ (x − 3) ⋅ (x + 2)
x 2 − 4 x 2 − 3x
:
Lösung
Nenner durch Ausklammern und binomische Formeln in Faktoren aufspalten und linken Summanden durch (x 2) kürzen (!):
HN x⋅(x - 3)⋅(x + 2)
(1)
D = R\{−2; 0; 2; 0; 3}
(1)
2
1
x+7
x + 10
· x⋅(x - 3)⋅(x + 2)
(1)
+
=
x ⋅ (x − 3) ⋅ (x + 2)
x + 2 x 2 − 3x
x⋅(x - 3) + (x + 7)(x + 2) = x2 + 10
2
x + 6x + 4 = 0
x1/2 = -3 ±
L = {-3 ±
5
Ausmultiplizieren und auf die linke Seite bringen
p-q-Formel
mit Definitionsbereich vergleichen
5}
Aufgabe 6: Substitution (2)
Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichung:
2x4 − 6x2 + 4 = 0
Lösung
Substitution z = x2 ergibt z1 = 1 und z2 = 2 L = {±1; ± 2 }
Aufgabe 7: Substitution (2)
Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichung:
3x4 − 6x2 − 9 = 0
Lösung
Substitution z = x2 ergibt z1 = −1 und z2 = 3 L = {± 3 }
(1)
(1)
(1)
(1)