Gleichungen mit Brüchen

Gleichungen mit Brüchen
1
4
1.
13 − − x = 3x
2.
2
− x − 10 = 4x
3
3.
1
−x − 3 = x + 7
2
4.
x − 1 = −x + 5
5.
3
1
−x − −x = 4
5
3
6.
1
2
− x = 11 − − x
2
7
7.
5
− (x − 3) = 5
8
8.
4
− (x + 6) = 4
9
9.
7x − − (x + 1) = −1
10.
16 − − (x − 8) = 10
1
2
3
5
1
6
Merke:
Falls Brüche in der Gleichung enthalten sind,
ist es ratsam, mit dem Hauptnenner zu
multiplizieren.
Beispiel:
1
2
− x + − x = 11
3
5
1
3/1
| · 15
2
5/1
15
/ 5 · − x + 15
/ 3 · − x = 15 · 11
5x + 6x = 165
11x = 165
x = 15
| : 11
Die 2. Zeile wird im allgemeinen nicht
aufgeschrieben.
c Roolfs
1
Gleichungen mit Brüchen
1
4
1. x = 4
1.
13 − − x = 3x
2.
2
− x − 10 = 4x
3
3.
1
−x − 3 = x + 7
2
1
13 − −x = 3x | · 4
4
52 − x = 12x | + x
52 = 13x | : 13
2. x = −3
3. x = −20
1
2
4 = x
−x − 3 = x + 7
4.
1
2
x − 1 = −x + 5
5.
3
1
−x − −x = 4
5
3
6.
1
2
− x = 11 − − x
2
7
7.
5
− (x − 3) = 5
8
8.
4
− (x + 6) = 4
9
9.
7x − − (x + 1) = −1
4. x = 12
5. x = 15
3
5
1
−x
2
x
−x
x
= x + 10
| +3
| ·2
= 2x + 20 | −2x
= 20
| · (−1)
= −20
1
3
9x − 5x = 60
4x = 60 | : 4
x = 15
−x − −x = 4 | · 15
6. x = 14
7. x = 11
5
8
5(x − 3) = 40 | : 5
x−3 = 8 | +3
x = 11
−(x − 3) = 5 | · 8
3
5
Beachte hierbei die Umformungen:
10.
2+3 = 5 | ·4
8 + 12 = 20
1
6
16 − − (x − 8) = 10
Jeder Summand wird also multipliziert.
Merke:
Falls Brüche in der Gleichung enthalten sind,
ist es ratsam, mit dem Hauptnenner zu
multiplizieren.
Beispiel:
1
2
− x + − x = 11
3
5
1
3/1
| · 15
2
5/1
15
/ 5 · − x + 15
/ 3 · − x = 15 · 11
2·3 = 6 | ·4
4 · 2 · 3 = 24
8 · 3 = 24
Es wird nur ein Faktor multipliziert.
8. x = 3
1
9. x = −−
16
3
7x − −(x + 1) = −1 | · 5
5
35x − 3(x + 1) = −5
35x − 3x − 3 = −5
5x + 6x = 165
11x = 165
x = 15
| : 11
Die 2. Zeile wird im allgemeinen nicht
aufgeschrieben.
10. x = 44
c Roolfs
2
32x − 3 = −5 | + 3
32x = −2 | : 32
2
x = −−
32
1
x = −−
16
Die Gleichung
In Worten:
5
−x
7
= 20
5
7
Der Anteil − von einer unbekannten Anzahl (Zahl) beträgt 20.
1. Weg
5
− x = 20 |
7
: 5
1
−x = 4
7
·7
|
x = 28
2. Weg
5
− x = 20
7
|
·7
5x = 140 |
: 5
x = 28
3. Weg
5
− x = 20
7
x =
|
20 ·7
5
7
5
·−
kürzen
x = 28
4. Weg
5
− x = 20
7
20
x = 5
|
5
7
: −
mit dem Kehrwert multiplizieren
7
x =
20 ·7
5
kürzen
x = 28
Der 2. Weg ist im Allgemeinen den übrigen Wegen vorzuziehen, da dieses Vorgehen leicht
auf Gleichungen mit mehreren Brüchen ausgedehnt werden kann.
Die 2. Zeile enthält auch dann keine Brüche mehr.
c Roolfs
3
Fassaden-Aufgaben
1. Die Gesamtfläche (einschließlich des Fensters) einer Häuserfassade beträgt 57 m2 .
Bestimme die Breite x des Hauses.
(m)
5
2
x
3
x
2. Die Fassadenfläche ohne die Fensterfläche beträgt 106 m2 .
Bestimme die Breite x dieses Hauses.
c Roolfs
4
7
Fassaden-Aufgaben
Lösungen
1. Die Gesamtfläche (einschließlich des Fensters) einer Häuserfassade beträgt 57 m2 .
Bestimme die Breite x des Hauses.
(m)
5
7
2
x
3
x
2. Die Fassadenfläche ohne die Fensterfläche beträgt 106 m2 .
Bestimme die Breite x dieses Hauses.
Lösungen:
1.
2.
c Roolfs
5
5
7x + 2 x = 57, x = 6 (m)
2
5
7x + x − x = 106, x = 12 (m)
2
3
Gleichungen
Löse nach a auf, mache die Probe im Kopf.
1.
6 − 7 · (a + 2) = a
2.
a + 9 · (2a − 1) = 10
3.
2
1
−a + −a + 8 = −6
3
2
4.
3 − − · (a − 6) = 1
5.
2 − −(a + 4) = 5
6.
6 · (a − 5) − 4 · (a − 5) = 4
2
5
3
4
c Roolfs
6
Gleichungen
Löse nach a auf, mache die Probe im Kopf.
1.
6 − 7 · (a + 2) = a
2.
a + 9 · (2a − 1) = 10
3.
2
1
−a + −a + 8 = −6
3
2
4.
3 − − · (a − 6) = 1
5.
2 − −(a + 4) = 5
6.
6 · (a − 5) − 4 · (a − 5) = 4
1.
a = −1
2.
a=1
3.
a = −12
4.
a = 11
5.
a = −8
6.
a=7
2
5
3
4
c Roolfs
7