Kapitel 8 Platonische Körper

Kapitel 8
Platonische Körper
Platonische Körper sind regelmäßige Polyeder, die die folgenden Bedingungen
erfüllen:
• Die Begrenzungsflächen sind regelmäßige Vielecke, die untereinander kongruent sind
• An jeder Ecke stoßen gleichviel Flächen zusammen
• Die Körper sind konvex; d.h. alle Verbindungsstrecken zweier Punkte liegen vollständig im Innern. ( Anschaulich: es gibt keine Dellen)
Ein regelmäßiges (d.h. gleichseitiges) Dreieck hat den Innenwinkel 60°; das regelmäßige Viereck (Quadrat) 90°; das regelmäßige Fünfeck 108° und das regelmäßige Sechseck 120°.
An einer Ecke des Körpers müssen mindestens drei Flächen zusammenstoßen,
die Winkelsumme der Flächen-Ecken muss unter 360° liegen.
Damit können an einer Ecke nur drei, vier oder fünf Dreiecke, drei Vierecke
oder drei Fünfecke zusammenstoßen. Außer den im folgenden behandelten
fünf platonischen Körpern kann es also keine weiteren geben.
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8.1 ganz einfach: Der Würfel (Hexaeder)
Würfel = Kubus (grch kubos, Spielwürfel; engl cube; frz. cube). Einer der fünf regelmäßigen (platonischen) Körper. Er wird von 6 Quadraten begrenzt. Der Würfel besitzt 8 Ecken, 12 Kanten und 6 Flächen.
( Athen/Brun: Lexikon der Schulmathematik)
Dieser hier abgebildete Würfel Würfel hat die acht Eckpunkte
• A(1,1,1)
• B(-1,1,1)
• C(-1-1,1)
• D(1,-1,1)
• E(1,1,-1)
• F(-1,1,-1)
• G(-1-1,-1)
• H(1,-1,-1)
Der Ursprung des Koordinaten-Systems ist sein Mittelpunkt. Beachte, dass er
die Kantenlänge 2 hat.
Wir werden diesen Würfel benutzen, um die Koordinaten der Eckpunkte der
anderen Platonischen Körper herzuleiten.
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8.1.1 Volumen des Würfels
Beim obigen Würfel ist lediglich zu beachten, dass die Kantenlänge 2 LE ist.
V = a3
(8.1)
3
= (2 LE) = 8 LE
3
(8.2)
8.2 Tetraeder
Tetraeder(engl. regular tetrahedron; frz. tetraedre). Ein regelmäßiger (platonischer) Körper, der von vier gleichseitigen Dreiecken begrenzt wird. Der Tetraeder
besitzt 4 Ecken, 6 Kanten und vier Flächen; Er ist zu sich selbst dual.
( Athen/Brun: Lexikon der Schulmathematik)
Dieser Tetraeder hat die Eckpunkte
• A(1,1,1)
• C(-1-1,1)
• F(-1,1,-1)
• H(1,-1,-1)
p
Seine Kantenlänge ist die Diagonale eines der Quadrate, also 2 · 2.
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8.2.1 Volumen eines Tetraeders
Für alle Pyramiden gilt (vgl. Mathebuch Seite 119):
1
(8.3)
V = Ah
3
Im Klassen-Unterricht Mathematik hast Du wahrscheinlich das Volumen eines
Tetraeders berechnet, indem du zuerst die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks
als Grundfläche bestimmt hast. Dann wurde der Fußpunkt der Höhe und die
Höhe bestimmt1 .
Wir werden sehen, dass wir es mit unserem Ansatz einfacher haben:
In der obigen Zeichnung ist erkennbar, dass vom Würfel mit dem Volumen
VW = 8LE2 die vier gleichgroßen Pyramiden PABCF ,PAEHF ,PHGFC und PACDH „fehlen“.
Für alle Pyramiden gilt2 :
1
(8.4)
V = Ah
3
Wenn wir beider Pyramide PABCF das Dreieck ∆ABC (rechtwinklig, Kantenlänge
2) und die Strecke BF als Höhe wählen erhalten wir:
¶
µ
4
1 1
·4 ·2 =
(8.5)
VABCF =
3 2
3
Damit ist das Volumen des Tetraeders:
VT = 8 − 4 ·
4 8
=
3 3
(8.6)
p
Dies ist aber das Volumen des Tetraeders mit der Kantenlänge 2 · 2. Wir müssen es zuerst noch auf die des Tetraeders mit der Kantenlänge a umrechnen:
p
a3
a3 2
8
=
VT = · p
3 (2 2)3
12
1
2
siehe z.B.Kuypers et. al; Mathematik 10. Schuljahr; Berlin 1995; S.121; Aufgabe 3
vgl. im o.a. Mathebuch Seite 119
8-4
(8.7)
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8.3 Oktaeder
Das Oktaeder (nach griech. oktáedron = Achtflächner) ist einer der fünf platonischen Körper, genauer ein regelmäßiges Polyeder (Vielflächner) mit
• acht gleichseitigen (kongruenten) Dreiecken als Flächen
• zwölf (gleich langen) Kanten und
• sechs Ecken, in denen jeweils vier Dreiecke aneinander liegen.
•
Das Oktaeder ist eine gleichseitige vierseitige Bipyramide (mit quadratischer
Grundfläche).
Oktaeder und Hexaeder (Würfel) sind zueinander duale Polyeder.
Die Eckpunkte des abgebildeten Oktaeders sind offensichtlich die sechs „Einheitspunkte“ aus den Koordinatenachsen:
• R(0, 0, −1)
• S(1, 0, 0)
• T(0, 1, 0)
• U(−1, 0, 0)
• V(0, −1, 0)
• W(0, 0, 1)
Die Kantenläge
des Oktaeders ist die Diagonale im Einheitsquadrat mit der
p
Länge 2.
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8.3.1 Volumen eines Oktaeders
Wir berechnen mit der bekannten Formel für das Volumen einer Pyramide das
Volumen der „oberen Hälfte“. Die Grundfläche ist das Quadrat QSTVU mit der
Fläche 2; die Höhe von W auf dies Quadrat ist die Stecke zwischen dem Koordinatenursprung und dem Punkt (0|0|1) und hat die Länge 1.
1
·A·h
3
2
1
VSTVUW = · 2 · 1 =
3
3
(8.8)
V=
VOkt aed er = 2 · VSTVUW =
(8.9)
4
3
(8.10)
Wir müssen wieder noch auf das Volumen des Oktaeders der Kantenlänge a
umrechnen:
p
2 3
4 a3
a
(8.11)
VO = · p 3 =
3
3
2
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8.4 Dodekaeder
Ein Dodekaeder (von griech. Zwölfflächner) ist (allgemein) ein Körper mit zwölf
Flächen.
In der Regel wird damit oft ein platonischer Körper gemeint, nämlich das (regelmäßige) Pentagondodekaeder, ein Körper mit
• 12 (kongruenten) regelmäßigen Fünfecken als Flächen
• 20 Ecken, in denen immer drei dieser Fünfecke zusammentreffen
• 30 (gleich langen) Kanten, von denen jede die Seite von zwei Fünfecken
ist.
Die Konstruktion des Dodekaeders kann man sich so vorstellen, dass man auf
alle sechs Seitenflächen eines Würfels kongruente „Walmdächer“ setzt. Dies ist
in der Abbildung für drei Seiten der sechs Würfelseiten dargestellt.
Beachte: Der Würfel in dieser Abbildung hat die acht Eckpunkte A(1,1,1); B(-1,1,1);
C(-1-1,1); D(1,-1,1); E(1,1,-1); F(-1,1,-1); G(-1-1,-1) und H(1,-1,-1) - der Ursprung des
Koordinaten-Systems ist also auch sein Mittelpunkt. Beachte ferner, dass er die Kantenlänge 2 hat.
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Nun müssen wir die Höhe h und die Länge der Oberseite - ich bezeichne sie
mit 2s - so wählen, dass das Fünfeck AKLBM regelmäßig wird. Da der Würfel
ein regelmäßiger Körper ist, folgt dann dass alle anderen - auf die gleiche Art
erzeugten - Fünfecke auch regelmäßig sind; wir haben dann also einen Dodekaeder.
So, wie wir den Würfel festgelegt haben, haben die Punkte K,L,M die folgenden
Koordinaten:
K(s|1 + h|0), L(−s|1 + h|0) und M(0|s|1 + h).
Da das Fünfeck AKLBM regelmäßig sein soll, muss nun gelten:
AK = KL =
p
(1 − s)2 + h 2 + 12 = 2s
(8.12)
AL = AB =
p
(1 + s)2 + h 2 + 12 = 2
(8.13)
(8.14)
Durch quadrieren erhält man:
(1 − s)2 + h 2 + 12 = 4s 2
(8.15)
(1 + s)2 + h 2 + 12 = 4
(8.16)
Subtrahiere ich diese beiden Gleichungen voneinander, so folgt:
−4s = 4s 2 − 4
s2 + s − 1 = 0
(8.17)
(8.18)
von den beiden Lösungen dieser quadratischen Gleichung
1 p
1 p
s 1 = ( 5 − 1); s 2 = (− 5 − 1)
2
2
ist nur die erste positiv, also muss gelten:
1 p
s = ( 5 − 1) ≈ 0, 6180
2
(8.19)
(8.20)
Weiter ist:
p
p
1
1
s 2 = (5 − 2 5 + 1 = (3 − 5)
4
2
h 2 = 2 − s 2 − 2s = 2 − s 2 − 2s = 2 −
p
1
= (3 − 5) = s 2
2
(8.21)
p
3 1 p
+ ( 5 + 1) − ( 5 − 1)
2 2
(8.22)
(8.23)
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also:
1 p
h = s = ( 5 − 1)
2
(8.24)
BL = AK
(8.25)
BK = AL
(8.26)
Aus Symmetriegründen ist :
Durch die Konstruktion der Punkte K,L,M ist leicht zu sehen, dass BL = BM =
AK ist.
Das Fünfeck AKLBM hat also fünf gleich lange Seiten Trotzdem wäre es noch
möglich, dass das Fünfeck an der Kante AB „abgeknickt“, also nicht eben wäre.
Dies kann ich dadurch widerlegen, dass ich zusätzlich zeige, dass alle Diagonalen gleich lang sind. Wir wissen schon, dass AB = AL = 2 ist. Wieder ist leicht zu
sehen, dass AL und BK gleich lang sind. Falls ich nun zeigen kann, dass auch
MK = 2 - und damit auch ML = 2 gilt, kann das Fünfeck AKLBM nur regulär
sein.
Es ist M(0|s|1 + s) und K(s|s + 1|)
Damit errechne ich:
p
MK = s 2 + 12 + (1 + s)2
(8.27)
p
= 2s 2 + 2s + 2
(8.28)
q
p
p
p
= 4=2
(8.29)
= (3 − 5) + ( 5 − 1) + 2
Damit kann ich die Eckpunkte des Dodekaeders angeben (die Eckpunkte des
Würfels sind ja auch Ecken des Dodekaeders):
(ich habe auch gleich die Koordinaten für die Darstellung in der Kavalierperspektive mit angegeben)
Würfel:













A
B
C
D
E
F
G
H


 
 
 
 
 
 
=
 
 
 
 
 
1
−1
−1
1
1
−1
−1
1
 
1
1

1
1 
 

−1 1  

 
−1 1  
→
1 −1  
 

1 −1 
 


−1 1
−1 −1
8-9
1
3
−1
−3
1
3
−1
−3
1, 5
2, 5
2, 5
1, 5
−2, 5
−1, 5
−1, 5
−2, 5













(8.30)
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p
Walmdächer: es ist s = 12 ( 5 − 1) ≈ 0, 6180

































→










K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
U
V


 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
s +2
3s + 2
2s
−2s
−(s + 1)
−(s + 1)
(s + 1)
(s + 1)
−s − 2
−3s − 2
2s
−2s

s
s +1
0

−s
1+s
0

0
s
1+s 


0
−s
1+s 


1+s
0
−s


1+s
0
s


−(1 + s)
0
s


−(1 + s)
0
−s


−s
−(1 + s)
0



s
−(1 + s)
0

0
s
−(1 + s) 
0
−s
−(1 + s)
 
−s
2, 6 −0, 3
2
s
  3, 9
0, 3
 
2


2(s + 1)   1, 2
3, 2
 
2(s + 1)   −1, 2 3, 2
 
  −1, 6 −2, 0
− −5s−1
2
 
3s−1
  −1.6 0, 4
− 2
→
5s−1
  1, 6
2, 0
− 2
 


1−3s
− 2
  1, 6 −0, 4
 
s
  −2, 6 0, 3
2
 
−s
  −3, 9 −0, 3
2
 
−2(s + 1)   1, 2 −3, 2
−1, 2 −3, 2
−2(s + 1)
(8.31)






















(8.32)
Die zwölf Flächen sind :
APOEK AKLBM AMNDP
QCNMB QBLFR QRGSC
SCNDT SGRQC SGVHT
UFLKE UFRGV UEOHV
8.4.1 Volumen des Dodekaeders
Um das Volumen des Dodekaeders zu berechnen, zerlegen wir ihn in sieben
Teilkörper:
• den Würfel
• sechs „Walmdächer“(z.B. in Abb. 8.4.1) mit den Eckpunkten AKEFLB)
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Jedes Walmdach zerlegen wir weiter in:
• zwei Pyramiden (hier: Fv ABFh F und DE v Eh CE)
• ein dreiseitiges Prisma E v Fv Fh Eh EF
Bei der Pyramide ist die Grundfläche das Recheck mit APy = Fv A · AB = (1 − s) · 2
und der Höhe s = h, also
1
VPy = 2s(1 − s)
3
2
= (s − s 2 )
3
2 1p
1 3 1p
= (
5− − +
5)
3 2
2 2 2
2 p
= ( 5 − 2)
3
(8.33)
(8.34)
(8.35)
(8.36)
Als Grundfläche des Prismas wähle ich das Dreieck Fv Fh F mit der Grundseite 2
und der Höhe h=s, also der Grundfläche APr = 12 · 2 · s = s und der Höhe FE = 2s.
Damit ist das Volumen des Prismas:
VPr = s · 2s = 2s 2
p
1
= 2 · (3 − 5)
2p
= 3− 5
(8.37)
(8.38)
(8.39)
Das ganze Dodekaeder setzt sich also zusammen aus einem Würfel, zwölf Pyramiden und sechs Prismen mit dem Volumen:
8-11
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0
VD
= VW + 6VPr + 12VPy
p
2 p
= 8 + 6 · (3 − 5) + 12 · ( 5 − 2)
p
p 3
= 8 + 18 − 6 5 + 8 5 − 16
p
= 10 + 2 5
Dies ist das Volumen des Dodekeaeders mit der Seitenlänge 2s =
Der Dodekeaeder mit der Seitenlänge a hat dann das Volumen
VD =
0
a 3 · VD
(2s)3
p
3 10 + 2 5
=a · p
8 5 − 16
p
1
= a 3 · (15 + 7 5)
4
8-12
(8.40)
(8.41)
(8.42)
(8.43)
p
5 − 1.
(8.44)
(8.45)
(8.46)
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8.5 Ikosaeder
Ikosaeder (griech. eikosi zwanzig, hedra Grund, Grundfläche; engl. icosahedron; frz. icosaeder) Zwanzigflächner, Zwanzigflach,
einer der fünf platonischen Körper.
Er wird von 20 gleichseitigen Dreiecken begrenzt. Das Ikosaeder besitzt 12 Ecken,
30 Kanten und zwanzig Flächen.
( Athen/Brun: Lexikon der Schulmathematik)
Wir wollen den Ikosaeder mit wxMaxima/gnuplot darstellen. Dazu brauchen
wir die Koordinaten der Eckpunkte.
Die 12 Punkte lassen sich - wie in der Zeichnung auf die Mittellinien eines Würfels legen.
Der Würfel hat die acht Eckpunkte
A w (1, 1, 1)
E w (1, 1, −1)
Bw (−1, 1, 1)
Fw (−1, 1, −1)
Cw (−1 − 1, 1)
Gw (−1 − 1, −1)
Dw (1, −1, 1)
Hw (1, −1, −1)
Der Ursprung des Koordinaten-Systems ist also auch sein Mittelpunkt. Beachte, dass er die Kantenlänge 2 hat.
Wir betrachten jetzt das schraffierte Dreieck mit den Eckpunkten A(0, −s, 1);
B(0, s, 1) und C(1, 0, s): Es muss gleichseitig sein. Offensichtlich ist | AB |= 2s;
also müssen auch AC und BC diese Länge haben. Für sie gilt:
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| AB |= 2s =
p
und Matrizen
1 + s 2 + (1 − s)2 =
4s 2 = 2s 2 − 2s + 1
0 = 2s 2 + 2s − 11
p
2s 2 − 2s + 1
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(8.47)
(8.48)
(8.49)
(8.50)
Diese Gleichung hat die positive Lösung
1 p
s = ( 5 − 1) ≈ 0, 6180
(8.51)
2
p
(Die zweite Lösung s = 12 (− 5 − 1) ≈ −1, 6180 ist eindeutig negativ und damit
nicht relevant )
Überraschend ist es, dass die Kantenlänge des in einen Würfel einbeschriebenen Ikosaeders und die des umbeschriebenen Dodekaeders gleich sind.
8.5.1
Zeichne einen in einen Würfel einbeschriebenen Ikosaeder mit wxmaxima!
Hinweis: Definiere eine Konstante s!
8-14