Induktive Schlussweise Schätzfunktionen und Schätzverfahren

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Auswertung univariater Datenmengen
- induktiv -
Induktive Schlussweise
Schätzfunktionen und
Schätzverfahren
Dr. Ricabal Delgado / Prof. Kück
Lehrstuhl Statistik
Schätzung I
1
Bibliografie
¾ Prof. Dr. Kück
Universität Rostock
Statistik, Vorlesungsskript
Abschnitt 7.1.1; 7.1.2
¾ Bleymüller / Gehlert / Gülicher
Verlag Vahlen
Statistik für Wirtschaftswissenschaftler
¾ MM*Stat. Eine interaktive Einführung in die Welt der Statistik
PC Pool WISO-Fakultät
\\zeus\statistik\MMstat\start
¾ Dr. Roland Jeske, Universität Konstanz
http://www.wiwi.uni-konstanz.de/heiler/os2/
¾ Dr. H.-J. Mittag, Fernuniversität Hagen
http://www.fernuni-hagen.de/newstatistics
Lehrstuhl Statistik
Schätzung I
2
1
Induktive Schlussweise - Beispiel
Beispiel : (Durchmesser der Welle)
In einer Maschinenbaufabrik werden Wellen mit einem
Nennmaß von 40 mm Durchmesser (Merkmal X) gedreht.
Um die Zuverlässigkeit der Produktion zu überprüfen,
werden aus der Tagesproduktion von 1.000 Wellen 50
zufällig ausgewählte exakt gemessen und deren mittlerer
Durchmesser berechnet. Auf Grund der Differenz zwischen
dem Sollwert und dem berechneten mittleren Durchmesser
wird auf die Zuverlässigkeit der Tagesproduktion zurück
geschlossen.
Lehrstuhl Statistik
Schätzung I
3
Gemeinsamkeiten bei Anwendung der
Methoden der induktiven Statistik
¾ Gegeben ist eine statistische Masse (z. B. 1.000 Wellen
Tagesproduktion). Über ein bei dieser Masse untersuchtes
Merkmal (Durchmesser der Welle) möchte man bestimmte
Aussagen machen (Ausschussanteil).
¾ Eine Untersuchung der vollständigen statistischen Masse ist
nicht möglich, zu teuer, nicht zweckmäßig. Man beschränkt
sich deshalb auf einen ausgewählten Teil der Gesamtmasse,
eine Stichprobe (z. B. 50 zufällig ausgewählte Wellen).
¾ Aus den Ergebnissen der statistischen Untersuchung der
ausgewählten Stichprobe soll auf die Gesamtmasse
zurückgeschlossen werden.
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Schätzung I
4
2
Gegenstand der induktiven Statistik
Wie man aus den Ergebnissen der statistischen
Untersuchung einer Stichprobe (Teilmasse) auf die
übergeordnete Grundgesamtheit (Gesamtmasse)
schließen kann, ist der Gegenstand der induktiven
oder schließenden Statistik.
Die wichtigsten Teile der induktiven Statistik sind:
¾Schätzverfahren
¾Testverfahren
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Schätzung I
5
Grundlagen des Schätzens
Gesucht wird ein Wert,
ein Parameter für eine
unbekannte
Grundgesamtheit.
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Schätzung I
6
3
Testverfahren
¾ Statistische Tests sind Verfahren zur Überprüfung von
Annahmen bzw. Hypothesen über unbekannte
Parameterwerte einer Verteilung bzw. über die
unbekannte Verteilung eines Merkmals in der
Grundgesamtheit auf der Basis der Ergebnisse einer
Zufallsstichprobe.
¾ Solche Annahmen können auf theoretischen
Überlegungen, früheren Beobachtungen, Sollwerten,
Güteanforderungen, Erfahrungen, Behauptungen
usw. basieren.
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Schätzung I
7
Induktive Schlussweise
-ProblemstellungZufallsstichprobe
Grundgesamtheit
X: untersuchtes Merkmal in d. GG
x1, x2, x3, . . . xn
Parameter und Verteilungsfunktion
µ, σ², θ, F(x)
Für GG i. Allg. unbekannt

Schätzen
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Induktion
⎯x, s², p, Fi
Für SP bekannt
Testen (Hypothesen prüfen)
Schätzung I
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4
Schätzung von Lage- und Streuungsparametern
-Aufgabenstellung¾ Das Interesse richtet sich hier auf die unbekannten
Parameter q (wie z. B. Erwartungswert µ, Varianz σ2 oder
Anteilswert θ) einer Verteilung in der Grundgesamtheit
(Parameterschätzung).
¾ Der Wert dieses Parameters q ist unbekannt und soll mittels
einer Zufallsstichprobe geschätzt werden.
¾ Dabei unterscheidet man zwei Arten von Schätzungen:
Punktschätzung und Intervallschätzung.
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Schätzung I
9
Parameterschätzung
Beispiel: Es soll das Merkmal X: Einkommen aller
4-Personen-Haushalte der Hansestadt Rostock
untersucht werden. Dabei interessiert vor allem, wie
hoch das Durchschnittseinkommen µ sowie die
entsprechende Streuung σ² dieses Merkmals für diesen
Haushaltstyp in Rostock sind.
Dazu befragt man 100 zufällig ausgewählte 4-Personen
Haushalte.
Man kann je Parameter einen Schätzwert angeben oder
ein Intervall, welches den zu schätzenden Parameter mit
einer bestimmten Sicherheit einschließt bzw. überdeckt.
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Schätzung I
10
5
Punktschätzung
¾ Als Punktschätzung wird die Ermittlung eines
einzelnen Schätzwertes für den Parameter q
der Grundgesamtheit aufgrund der Ergebnisse
einer Zufallsstichprobe bezeichnet.
¾ Eine Aufgabe der Schätzungstheorie ist es,
„gute“ Schätzfunktionen, Schätzer genannt, zu
ermitteln. Diese Schätzfunktionen sollen einen
„möglichst guten“ Näherungswert für den
unbekannten Parameter liefern.
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Schätzung I
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Punktschätzung, Schätzer, Schätzungen
Grundgesamtheit
Zufallsstichproben
X
1
3
F(x)
Parameter
q
z. B. µ, σ², θ
Schätzer
2
Schätzungen
q̂ n = g(x 11 , x 12 , K , x 1 n )
Einfache Zufallsstichprobe
Realisationen
q̂n = g(x21, x 22 ,K, x2n )
X1, X2, . . . , Xn
x11, x12, . . . ,x1n
Fi(x)=F (x)
x21, x22, . . . , x2n
i=1, 2, ... , n
x31, x32, . . . , x3n
q̂ n = g(x 31 , x 32 ,K , x 3 n )
Q̂ n = g(X 1 , X 2 , K , X n )
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6
Schätzer bzw. Schätzfunktion als Zufallsgröße
¾Ein Schätzer Q̂ n = g(X 1 , X 2 , K , X n ) eines Parameters q ist eine
Funktion der Zufallsvariablen (der Stichprobenvariablen) und
deshalb selbst wieder eine Zufallsvariable.
¾Als Zufallsvariable besitzt er eine Verteilung,
Stichprobenverteilung genannt.
¾Für die Verteilung der Schätzfunktion (des Schätzers) kann
- der Erwartungswert E( Q̂ n )
- die Varianz Var( Q̂ n ) und
- die Standardabweichung σ(Q̂ n ) ermittelt werden.
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Schätzung I
13
Schätzer für µ - Beispiele
Für den Erwartungswert µ einer symmetrischen Verteilung in
der Grundgesamtheit können unterschiedliche Schätzer oder
Schätzfunktionen konstruiert werden.
¾ Das Stichprobenmittel als arithmetisches Mittel der SP
µ̂ n = X n =
1 n
∑ Xi
n i =1
¾ Das Stichprobenmittel als Median der SP
µ̂ n = Me{X1 , X 2 ,K, X n }
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Schätzung I
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7
Schätzer für σ2 - Beispiele
Für die Varianz σ2 der Grundgesamtheit können unterschiedliche Schätzer
verwendet werden.
¾ Die gewöhnliche Stichprobenvarianz
2
σ̂ 2n = S* n =
2
σ̂ 2n = S' n =
1 n
∑ (X i − µ) 2
n i =1
Anzuwenden, wenn µ für GG bekannt ist.
1 n
∑ (X i − X) 2
n i =1
Anzuwenden, wenn µ für GG unbekannt ist.
¾ Die modifizierte Stichprobenvarianz
σ̂ 2n = S2n =
1 n
∑ (X i − X) 2
n − 1 i =1
Anzuwenden, wenn µ für GG unbekannt ist.
Lehrstuhl Statistik
Schätzung I
15
„Gute“ Eigenschaften eines Schätzers
Da für jeden Parameter der Grundgesamtheit mehrere,
verschiedene Schätzer anwendbar sind, sucht man den Schätzer
(Stichprobenfunktion) mit den besten Eigenschaften.
Gute Eigenschaften eines Schätzers sind:
¾ Erwartungstreue
¾ Effizienz
¾ Konsistenz
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Schätzung I
16
8
Erwartungstreue
Ein Schätzer oder Schätzfunktion für den unbekannten Parameter q heißt
erwartungstreu oder unverzerrt (unbiased), wenn der Erwartungswert des
Schätzers existiert und mit dem wahren Parameter übereinstimmt. Die
Differenz zwischen Erwartungswert des Schätzers und Parameterwert wird
Verzerrung (bias) genannt.
Für erwartungstreue Schätzer ist die Verzerrung gleich Null.
E(Q̂ n ) = q
Verzerrung (Q̂ n ) = E(Q̂ n ) − q = 0
E(Q̂ n )
q
Die Eigenschaft der Erwartungstreue besagt, dass sich bei einer hinreichend großen
Anzahl von Stichproben des Umfangs n die positiven und negativen Schätzfehler
gegenseitig aufheben (d. h. zu Null addieren) und dass die Schätzfunktion tendenziell
den wahren Parameter weder überschätzt noch unterschätzt.
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Schätzung I
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Erwartungstreue Schätzer von µ - Beispiele
Eine Grundgesamtheit X hat den Mittelwert µ und die Varianz σ2. Es
sei (X1, X2, X3) eine einfache Zufallsstichprobe aus dieser
Grundgesamtheit, d. h. jede der Stichprobenvariablen Xi (i=1, 2, 3)
hat E(Xi) = µ und Var(Xi) = σ2. Folgende drei Schätzer von µ sind
erwartungstreu. (Beispiele aus MM*Stat)
(a)
µ̂ 1 =
1
(X 1 + X 2 + X 3 )
3
1
1
E( µ̂ 1 ) = E[ (X 1 + X 2 + X 3 )] = (µ + µ + µ) = µ
3
3
(b)
µ̂ 2 =
1
(2 X 1 + 2 X 3 )
4
1
1
E( µ̂ 2 ) = E[ (2 X 1 + 2 X 3 )] = (2 µ + 2 µ) = µ
4
4
1
3
1
1
E( µ̂ 3 ) = E[ (2 X 1 + X 3 )] = (2 µ + µ) = µ
3
3
(c) µ̂ 3 = (2 X 1 + X 3 )
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Schätzung I
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9
Mittlere quadratische Abweichung
(Mean Square Error) - MSE
Der mittlere quadratische Fehler bzw. Mean Square Error (Abkürzung:
MSE) eines Schätzers ist der mittlere quadratische Abstand zwischen der
Schätzfunktion und dem wahren Parameter in der Grundgesamtheit:
MSE(Q̂ n ) = E(Q̂ n − q)²
E(Q̂ n )
q
q
Verzerrung (Q̂ n ) = E(Q̂ n ) − q > 0
Verzerrung (Q̂ n ) = E(Q̂ n ) − q < 0
D. h. sie liefert im Durchschnitt
Unterschätzungen von q.
Lehrstuhl Statistik
E(Q̂ n )
D. h. sie liefert im Durchschnitt
Überschätzungen von q.
Schätzung I
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Zusammenhang zwischen MSE,
Verzerrung und Varianz
MSE( Q̂ n ) = E(Q̂ n − q)²
Es gilt:
mit
MSE(Q̂ n ) = [Verzerrung(Q̂ n )]² + Var(Q̂ n )
Verzerrung(Q̂ n ) = E(Q̂ n ) − q
¾ Für erwartungstreue Schätzer gilt:
Verzerrung (Q̂ n ) = E( Q̂ n ) − q = 0
Lehrstuhl Statistik
Schätzung I
MSE(Q̂ n ) = Var(Q̂ n )
20
10
Zusammenhang zwischen MSE,
Verzerrung und Varianz -Beweis
MSE(Q̂ n ) = [Verzerrung(Q̂ n )]² + Var(Q̂ n )
MSE(Q̂ n ) = E(Q̂ n − q)² = E[Q̂ n − E(Q̂ n ) + E(Q̂ n ) − q]²
= E{[Q̂ n − E(Q̂ n )]² + 2[Q̂ n − E(Q̂ n )][E(Q̂ n ) − q] + [E(Q̂ n ) − q]²}
= E[Q̂ n − E(Q̂ n )]² + 2[E(Q̂ n ) − E(Q̂ n )][E(Q̂ n ) − q] + [E(Q̂ n ) − q]²
= Var(Q̂ n ) + 0 + [Verzerrung(Q̂ n )]² = [Verzerrung(Q̂ n )]² + Var(Q̂ n )
Lehrstuhl Statistik
Schätzung I
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Vergleich von Schätzern - Beispiel
(a)
µ̂ 1 =
1
(X 1 + X 2 + X 3 )
3
Var( µ̂ 1 ) = Var[
(b)
µ̂ 2 =
Var( µ̂ 2 ) = Var[
(c)
µ̂ 3 =
1
1
(X 1 + X 2 + X 3 )] =
Var(X
3
3²
1
(2 X1 + 2 X 3 )
4
MSE(µ̂1 ) = Var(µ̂1 )
E( µ̂ 1 ) = µ
E( µ̂ 2 ) = µ
1
+ X 2+ X3) =
3σ ²
σ²
=
9
3
MSE(µ̂ 2 ) = Var(µ̂ 2 )
1
1
4σ ² + 4σ ² 8σ ² σ ²
(2 X 1 + 2 X 3 )] =
Var(2 X 1 + 2 X 3 ) =
=
=
4
4²
16
16
2
1
(2 X 1 + X 3 )
3
E( µ̂ 3 ) = µ
MSE(µ̂ 3 ) = Var(µ̂ 3 )
1
1
4σ ² + σ ² 5σ ²
Var( µ̂ 3 ) = Var[ (2 X 1 + X 3 )] = Var(2 X 1 + X 3 ) =
=
3
3²
9
9
Var(µ̂1 ) < Var(µ̂ 2 ) < Var(µ̂ 3 )
Lehrstuhl Statistik
µ1 ist der beste Schätzer von µ
Schätzung I
22
11
Effizienz
Ein erwartungstreuer Schätzer für den Parameter q einer
Grundgesamtheit heißt effizient (wirksam), wenn er eine
endliche Varianz hat und wenn es für q keinen anderen
erwartungstreuen Schätzer gibt, der eine kleinere Varianz
besitzt. Effizient bedeutet dann Erwartungstreue und
minimale Varianz. Diese Eigenschaft bei einem Schätzer zu
beweisen ist nicht leicht, da die Varianzen der anderen
denkbaren Schätzer unbekannt sind.
Verzerrung(Q̂ n ) = E(Q̂ n ) − q = 0
Var(Q̂ n ) ≤ Var(Q̂*n )
für alle anderen erwartungstreuen Schätzer Q̂*n des Parameters q
Lehrstuhl Statistik
Schätzung I
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Konsistenz
Man nennt eine Schätzfunktion konsistent, wenn der von ihr erzeugte
Schätzwert bei laufender Vergrößerung des Stichprobenumfanges (n→ ∞)
mit den zu schätzenden Parameter zusammenfällt und die Varianz gegen
Null strebt.
Ein Schätzer eines unbekannten Parameters q heißt dann
konsistent, wenn die beiden Bedingungen gelten:
1.
2.
lim [E(Q̂
n→∞
lim
n→∞
n
) − q] = 0
Var(Q̂ n ) = 0
Asymptotisch unverzerrt
Asymptotisch effizient
MSE(Q̂ n ) = E(Q̂ n − q)² = [E(Q̂ n ) − q]² + Var(Q̂ n )
Lehrstuhl Statistik
Schätzung I
lim
n →∞
E(Q̂ n − q)² = 0
24
12
Erwartungswert und Varianz der
modifizierten Stichprobenvarianz
Sei X eine Grundgesamtheit mit dem Mittelwert µ und der Varianz σ2. Es sei
(X1, X2, . . . , Xn) eine einfache Zufallsstichprobe aus dieser
Grundgesamtheit, d. h. jede der Stichprobenvariablen Xi (i=1, 2, . . . , n) hat
den Erwartungswert E(Xi) = µ und die Varianz Var(Xi) = σ2. Für die
modifizierte Stichprobenvarianz S²n gilt:
E(S2n ) = E[
1 n
1 n
2 σ4
(Xi − X)²] = σ ² und Var(S2n ) = Var[ ∑(Xi − X)²] =
∑
n−1 i=1
n−1
n−1 i=1
Der Beweis dieser Eigenschaften erfordert mathematische Kenntnisse, die
den Rahmen dieses Kurses überschreitet. Einen ausführlichen Beweis
können Sie bei http://www.wiwi.uni-konstanz.de/heiler/os2/ Kapitel 9
und 10 finden.
Lehrstuhl Statistik
Schätzung I
25
Eigenschaften der modifizierten
Stichprobenvarianz
Die modifizierte Stichprobenvarianz ist unverzerrt und konsistent.
unverzerrt
E(S2n ) = E[
1 n
∑ (Xi − X)²] = σ ²
n − 1 i=1
E(S2n ) − σ ² = 0
konsistent
1 n
2 σ4
Var(S2n ) = Var[
(X
X
)²]
−
=
∑ i
n−1 i=1
n−1
MSE(S 2n ) = [E(S2n ) − σ ²]² + Var(S2n )
Lehrstuhl Statistik
Schätzung I
lim
n→∞
Var(S2n ) = 0
lim MSE[S − σ
n →∞
2
n
2
]² = 0
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13
Erwartungswert und Varianz der
gewöhnlichen Stichprobenvarianz
Sei X eine Grundgesamtheit mit dem Mittelwert µ und der Varianz σ2. Es sei
(X1, X2, . . . , Xn) eine einfache Zufallsstichprobe aus dieser
Grundgesamtheit, d. h. jede der Stichprobenvariablen Xi (i=1, 2, . . . , n) hat
den Erwartungswert E(Xi) = µ und die Varianz Var(Xi) = σ2. Für die
gewöhnlichen Stichprobenvarianz S´²n gilt:
2
E(S' n ) = E[
1 n
n−1
(Xi − X)²] =
σ²
∑
n i=1
n
2
Var(S ' n ) = Var[
=
1
n
2
und Var(S' n ) = Var[
n
∑ (X
i =1
− X )²] = Var[
i
(n − 1)² Var(S 2 ) = (n − 1)² ⋅ 2 σ 4
n
n²
n−1
n²
Lehrstuhl Statistik
=
2(n − 1) σ 4
1 n
(X i − X )²] =
∑
n²
n i =1
n−1 1 n
⋅
∑ (X i − X )²]
n n − 1 i =1
2 (n − 1) σ 4
n²
Schätzung I
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Eigenschaften der gewöhnlichen
Stichprobenvarianz
Die gewöhnliche Stichprobenvarianz ist nicht unverzerrt aber konsistent.
Verzerrung
E(S´2n )
σ2
Verzerrung(S´2n ) = E(S´2n ) − σ 2 =
n−1
σ ² − σ2
n
1
= − σ ² < 0 ⇒ E(S´2n ) < σ 2
n
konsistent
lim
2
MSE(S' n ) =
n→∞
=
lim
n→∞
Lehrstuhl Statistik
lim [E(S
n→∞
1
(− σ 2 ) +
n
D. h. sie liefert im
Durchschnitt
Unterschätzungen von σ²,
aber sie ist für große
Stichprobenumfänge kein
schlechter Schätzer.
lim
n→∞
Schätzung I
'2
n
) − σ ²]² +
2(n − 1) σ 4
n²
lim
2
Var(S' n )
n→∞
=0
28
14
Prinzipien zur Erzeugung guter Schätzer
Bisher ist dargestellt worden, was eine Schätzfunktion ist
und welche wichtigsten Anforderungen (Eigenschaften) an
sie zu stellen sind. Behandelt werden jetzt noch die
Prinzipien, nach denen sich sinnvolle Schätzungen für
Parameter explizit erzeugen lassen.
Die folgenden Prinzipien werden zur Erzeugung von guten
Schätzern angewandt:
¾Das Prinzip der kleinsten Quadrate
¾Das Likelihood-Prinzip
Lehrstuhl Statistik
Schätzung I
29
Das Prinzip der kleinsten Quadrate
Wir werden dieses Prinzip anhand des Erwartungswertes µ einer
Grundgesamtheit X erläutern.
Es sei (X1, X2, . . . , Xn) eine einfache Zufallsstichprobe aus dieser
Grundgesamtheit, d. h. jede der Stichprobenvariablen Xi (i=1, 2, . . . , n)
hat E(Xi) = µ. Sei (x1, x2, . . . , xn) eine Realisation der Zufallsstichprobe.
Es wird ein Schätzer von µ (Funktion der Stichprobenvariablen Xi),
µn-Dach, so gewählt, dass die Summe der quadrierten Abweichungen
zwischen den Stichprobenwerten und dem Schätzwert des unbekannten
Parameters µ möglichst klein wird. Das bedeutet, dass µn-Dach so zu
bestimmen ist, dass für alle anderen möglichen Parameterschätzer
µ*n-Dach gilt:
∑ (x i − µ̂ n )² ≤ ∑ (x i − µ̂*n )²
n
n
i =1
i =1
Bei der Lösung dieser Aufgabe handelt es
sich um ein einfaches Extremwertproblem.
Man benutzt dafür die Differentialrechnung.
Man muss das Minimum der Funktion
Lehrstuhl Statistik
Schätzung I
f( µ̂ *n ) =
∑ (x
n
i =1
i
)
− µ̂ *n ²
bestimmen.
30
15
KQ-Schätzer des Erwartungswertes µ
(
n
(
n
df(µ̂ *n )
= −2∑ x i − µ̂ *n
*
dµ̂ n
i =1
)
f(µ̂ ) = ∑ x i − µ̂ ²
*
n
*
n
i =1
)
Wenn f zweimal ableitbar ist und an der Stelle µ̂ n ein Minimum besitzt,
dann gelten:
df(µ̂ *n )
dµ̂ *n
1.
2.
(
n
µ̂ n
d ² f(µ̂ *n )
dµ̂ *n ²
∑ (x − µ̂ ) = ∑ x − n µ̂
)
n
= −2∑ x i − µ̂ n = 0
i =1
i =1
n
µ̂ n
= −2∑1 = −2 n < 0
i
n
µ̂ n = X n =
i =1
Lehrstuhl Statistik
n
i
i =1
n
=0
1 n
∑ Xi
n i =1
Schätzung I
31
Das Likelihood-Prinzip
Die Maximum - Likelihood - Methode zur Konstruktion von
Schätzfunktionen besteht darin, denjenigen Wert q-Dach zu finden, für
den die Likelihood - Funktion L(q) bzw. ihr Logarithmus ln L(q) für eine
einfache Zufallstichproben (x1, x2, . . . , xn) ihr Maximum annimmt:
n
L(q) = f(x1 , x 2 , K , x n | q) = f(x1 | q) ⋅ f(x 2 | q) K f(x n | q) = ∏ f(x i | q)
i =1
n
n
i =1
i =1
lnL(q) = ln ∏ f(x i | q) = ∑ lnf(x i | q)
L(q̂ n ) = maxL(q) für alle q
Die Likelihood – Funktion ist
das Produkt der Dichte- bzw.
Wahrscheinlichkeitsfunktionen.
Da die Logarithmische Funktion monoton wachsend ist, haben L(q) und lnL(q)
das Maximum an der gleichen Stelle.
Lehrstuhl Statistik
Schätzung I
32
16
ML- Schätzer für die Parameter der
Normalverteilung
Dichtefunktion
f(x | µ, σ) =
−
1
⋅e
σ 2π
µ̂ n = X n =
Erwartungswert
E(X) = µ
(x −µ)²
σ²
Varianz
Var(X)= σ ²
1 n
∑ Xi
n i =1
σ̂ 2n = S*n =
1 n
∑ (X i − µ) 2
n i =1
Anzuwenden, wenn µ für GG bekannt
σ̂ 2n = S2n =
1 n
∑ (X i − X) 2
n − 1 i =1
Anzuwenden, wenn µ für GG unbekannt
2
Lehrstuhl Statistik
Schätzung I
33
ML- Schätzer für die Parameter
anderer Verteilungen
¾Poissonverteilte Grundgesamtheit
µ x −µ
f(x | µ) =
⋅e
x!
µ̂ n = X n =
E(X) = Var(X) = µ
1 n
∑ Xi
n i =1
¾Exponentialverteilte Grundgesamtheit
⎧ λe − λx für x ≥ 0
f(x | λ) = ⎨
für x < 0
⎩0
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E(X) =
1
λ
Schätzung I
Var(X) =
1
λ²
λ̂ n = X n =
1 n
∑ Xi
n i =1
34
17
Unzulänglichkeit der Punktschätzung
¾ Bei einer Punktschätzung erhält man für den
unbekannten Parameter einen Schätzwert. Bei jeder
konkret ausgewählten Stichprobe erhält man einen
entsprechenden Schätzwert des Parameters.
¾ Selbst wenn die Schätzfunktion „gute“ Eigenschaften
aufweist, ist die Wahrscheinlichkeit, dass der
Schätzwert mit dem wahren Wert des Parameters in
der Grundgesamtheit übereinstimmt, im Allgemeinen
gleich Null oder sehr klein.
¾ Um diese Unzulänglichkeit abzuschwächen und die
Genauigkeit des Schätzverfahrens einzubeziehen, geht
man meist zu einer Intervallschätzung über.
Lehrstuhl Statistik
Schätzung I
35
Intervallschätzung
Mit einer Intervallschätzung wird ein unbekannter Parameter
der Grundgesamtheit derart geschätzt, dass
¾ein Intervall entsteht und
¾die Wahrscheinlichkeit dafür angegeben werden kann, dass
der wahre Parameterwert der Grundgesamtheit in diesem
Intervall liegt. Diese Aussage erfolgt unter dem Vorbehalt
einer Irrtumswahrscheinlichkeit α.
Ein solches Intervall wird als Konfidenz- oder
Vertrauensintervall bezeichnet.
Die Wahrscheinlichkeit 1 - α heißt Konfidenzniveau.
Lehrstuhl Statistik
Schätzung I
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Vielen Dank!!!
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Schätzung I
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