Formeln Mathematik 2
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Formeln Mathematik 2
Formelsammlung (1) Formelsammlung (2) Ebene Figuren (A: Flächeninhalt u: Umfang) Quadrat A=a a b A=a·b u=2·a+2·b a Dreieck g h 2 Würfel Rechteck 2 u=4·a A Körper (V: Volumen O: Oberfläche G: Grundfläche M: Mantelfläche) b a h Im rechtwinkligen Dreieck gilt: 2 2 Höhen- und Kathetensatz Im rechtwinkligen Dreieck gilt: Parallelogramm b a G G Quadratische Pyramide V = S · r2 · h b h r O = 2 ·S· r + 2 ·S· r · h d b h A Kreis d=2·r A = S r2 a Kreissektor und Kreisbogen ʌ r 2Į A r 3600 D b ʌr Į r b 0 180 u = 2Sr S V Sd ʌ r2 h 3 s h Kreisring r O = 4 · S · r2 Maßeinheiten ra ri Länge 1 km Beispiel: AB A´B´ usw. AC A´C´ außerdem gilt: Z ZA AB usw. ZA´ A´B´ 4 ʌ r3 3 V r O = S · r2 + S · r · s Fläche =1000 m 1m Zentrische Streckung und Ähnlichkeitsbeziehungen Wird das Original '(ABC) bei einer zentrischen Streckung mit dem Streckungszentrum Z und dem Streckungsfaktor k (k v 0) auf das Bild '(A´B´C´) abgebildet, dann sind beide Dreiecke zueinander ähnlich. Das bedeutet: Æ die Winkelgrößen bleiben erhalten Æ die Streckenverhältnisse sind konstant a a d d2 4 A ʌ ra2 ʌ ri 2 hs Kugel Kegel r h O = a2 + 2 · a · hs c c a2 h 3 V 2 g=a h M Zylinder q Trapez ac h 2 u=a+b+c+d G V=G·h h b a O=2·a·b+2·a·c+2·b·c h O=2·G+M u=2·a+2·b V=a·b·c Prisma a A=g·h h p b c u=a+b+c a =c·q b2 = c · p a a 2 a +b =c 2 O = 6 · a2 a c a V = a3 Satz des Pythagoras g=c h2 = p · q Quader C´ kv0 =1000 mm =100 mm =10 mm Volumen 1 m³ C B 1 m² =10 dm =100 cm 1 dm =10 cm 1 cm =1000 dm³ 1 dm³ 1 Liter = 1l = 1 dm3 A´ =100 cm² 1 cm² 1 a = 100 m² =100 mm² 1 ha = 10000 m² Masse 1t =1000 cm³ 1 cm³ =1000 mm³ B´ A =100 dm² 1 dm² 1 Milliliter = 1 ml = 1 cm3 =1000 kg 1 kg =1000 g 1g =1000 mg Formelsammlung (3) Formelsammlung (4) Trigonometrie (im rechtwinkligen Dreieck) Prozentrechnung G: Grundwert W: Prozentwert p%: Prozentsatz W G p 100 Im rechtwinkligen Dreieck gilt: K0: Kn: n: p%: a b Zinseszinsen (exponentielles Wachstum) D Kapital am Anfang 100 p Kapital nach n Jahren Zinsfaktor: q Zeit in Jahren 100 Zinssatz in Prozent Kn = K0 · q n c sin Į a Gegenkathete c Hypotenuse cos Į b Ankathete c Hypotenuse tan Į a Gegenkathete b Ankathete E Beschreibende Statistik / Stochastik Binomische Formeln Arithmetisches Mittel (Mittelwert x ) (a + b)2 = a2 + 2·a·b + b2 (a – b)2 = a2 – 2·a·b + b2 (a + b)·(a – b) = a2 – b2 x Potenzgesetze Für m, n\ bei positiven reellen Basen bzw. für m, n] bei Basen aus \ \ ^0` am · an = am+n am : an = am–n an · bn = (a · b)n an : bn = (a : b)n a0 = 1 a n a1n (am)n = am·n Wurzelgesetze (… für a, b p 0) n n a n b n a b n a b n a (b ! 0) b n m a m n a m n a n a m n am Quadratische Gleichungen Lösung: Normalform: 2 x + px + q = 0 x1/ 2 2p r ( 2p )2 q ; wenn ( 2p )2 q t 0, sonst x Lineare Funktionen: y = m · x + n Quadratische Funktionen: m: Steigung der Geraden g durch die Punkte P1(x1|y1) und P2(x2|y2) y y m 2 1 ( x2 z x1 ) x2 x1 n: Schnittpunkt mit der y-Achse Allgemeine Form: y = ax2 + bx + c (av0) Normalform: y = x2 + px + q b c (aus der allg. Form durch p und q ) a a y . . P1 x2 – x1 P2 y2 – y1 Scheitelform: y = (x – d)2 + e Æ S (d | e) y x x g S (d | e) x1 x2 ... xn n Median (Zentralwert) In einer Stichprobe, deren Werte nach der Größe geordnet sind, stehen links und rechts vom Median gleich viele Werte. Der Median ist also die Mitte der Liste. Bei einer geraden Anzahl von Werten ist der Median deswegen nicht eindeutig bestimmt (man nimmt dann z.B. das arithmetische Mittel der in der Mitte stehenden Werte oder einen dieser beiden Werte). Laplace - Versuch Zufallsversuch, bei dem alle Ergebnisse gleich wahrscheinlich sind (z. B. Münzwurf). Die Wahrscheinlichkeit P für das Eintreten eines Ereignisses E berechnet man wie folgt: Anzahl der günstigen Ergebnisse P (E) Anzahl der möglichen Ergebnisse Mehrstufige Zufallsversuche lassen sich in einem Baumdiagramm darstellen. Dabei kann ein Ergebnis als Pfad veranschaulicht werden. Die Wahrscheinlichkeiten lassen sich mithilfe von Pfad- und Summenregel berechnen. 1. Pfadregel (Produktregel) Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses ergibt sich aus dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades. p1 ... p2 P(E) = p1 · p2 ... ... E 2. Pfadregel (Summenregel) Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten. p2 p 1 P(E) = P(E1) + P(E2) = p1 · p2 + q1 · q2 E1 E E2 q 1 q2