Normalverteilung, normal distibution Normalverteilung, normal

10.11.2015
StandardNormalverteilung ,
standard normal distibution
Normalverteilung, normal distibution
W.‐Rechner
früher in Tafeln
Carl Friedrich Gauß, der „Fürst der Mathematik“ , the „lord of mathematics“
Nur die Flächen haben Bedeutung einer Wahrscheinlichkeit.
1777‐1855, Professor in Göttingen,
Lehrer von Bernhard Riemann Only areas have the meaning of probabilities, not the ordinates. Der alte 10‐Mark‐Schein, gültig bis 2002
The old 10‐mark‐note available till 2002
Folie 1
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Normalverteilung, normal distibution
1
f ( x) 
e
 2

1
 ( x) 
e
2

( x )
2
2 2
x2
2
sie treten mit 5% W. auf.
Results outside of the 2‐sigma‐region are called „abnormal“, their probability is 5%.
Gaußsche Glockenkurve Gaussian bell curve
Folie 5
Folie 2
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Normalverteilung, normal distribution
stetig und nicht diskret
Binomial‐ und Normalverteilung
binomial and normal distibution
1‐sigma‐Abstand
sehr ungewöhnlich
eminent abnormal
eminent abnormal
liegt bei den Wendepunkten
liegt bei den Wendepunkten
The inflection points Ergebnisse außerhalb des 2‐sigma‐
define the 1‐sigma‐
Bereichs heißen „ungewöhnlich“,
distance
Vorsicht, wilde Formel, attention strange formula
Wahrscheinlichskeitsdichte‐Funktion
probability density function
Folie 4
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continuous and not discrete
Beim Testen: signifikant auf dem 5% Niveau // hochsignifikant
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Messwerte sind normalverteilt,(meist)
collected data are normal distibuted, mostly
und nun?
what is to do now?
Die (n‐1) im Nenner ist richtig denn so ist es
ist richtig, denn so ist es
ein erwarungstreuer
Schätzer für das wahre sigma.
Bei beschreibender Statistik steht dort n.
the (n‐1) is important
Messreihe, test series
Mittelwert
mean
Stichproben‐
Wahrscheinlichskeitsdichte‐Funktion probability density function PDF Folie 3
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Standardabweichung
standard deviation
s
1
n 1
xq 
1
 xi
n i
 x
i
i
 xq 
2
Folie 6
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1
10.11.2015
Messwerte sind normalverteilt,(meist)
Gaußsches Wurzel‐n‐Gesetz
collected data are normal distibuted, mostly
Gaussian square root n theorem
Wuzel(n)‐Gesetz
for english there
are the slides 13+14
Und was ist die Wahrheit, what
d
d
hh
h is the
h truth?
h?
Wurzel‐n‐Gesetz

Wir haben mit vermutlich nicht getroffen
xq
und mit s nicht !

What are the valid values for
 and  ? Folie 7
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Folie 10
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Gaußsches Wurzel‐n‐Gesetz
Messungen auswerten
Gaussian square root n theorem
evaluation of the collected data
english on slide 13
x1 , x2 , x3 ,..., xn
Wurzel‐n‐Gesetz
entstammen einer (Normal‐) Verteilung mit  und  .
unbekannt
result
lt off the
th
mesurement
for english there
are the slides 13+14
Folie 8
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Gaußsches Wurzel‐n‐Gesetz
s  n11  ( xi  x )2
berechne x   xi
Mittelwert
Standardabweichung als
Standardabweichung
als
als Schätzwert für  Schätzwert für 
Je mehr Messungen man gemacht hat, desto weniger wird der
gemessene Mittelwert vom wahren Wert  abweichen.
Daher hat die Verteilung der Mittelwerte aus n Messungen eine

kleinere Standardabweichung , nämlich
s
n
Man schätzt sie mit dem
Standardfehler n .
Angabe des Mess‐Ergebnisses
x
s
n
Folie 11
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Bedeutung des Mess‐Ergebnisses
Gaussian square root n theorem
Wurzel‐n‐Gesetz
Angabe des Mess‐Ergebnisses
Jeweils mit diesem
 und 
x
s
n
z.B. 57   2.3 
gemessene normalverteilte n Messwerte werden etwa mit 68% Wahrscheinlichkeit Mittelwerte in dem durch die 
wahre Standardabweichung gegebenen Bereich um haben. n
zu 95% liegen sie im ‐Bereich um . 2
n


english on slide
on slide 14
x
Solch ein Mittelwert ist der von uns gemessene Wert . Wir kennen weder

s
noch . Letzteres schätzen wir mit dem Standardfehler .
n
for english there
are the slides 13+14
Folie 9
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

n
s
Wir hoffen nun, das nun auch umgekehrt das wahre in dem durch n
gegebenen Bereich mit etwa 68% Wahrscheinlichkeit und im Bereich
2 s mit etwa 95% Wahrscheinlichkeit liegt. Mit größerem n werden wir immer n
genauer.
Sieht man auf einem Messgerät z.B. die Angabe
a
Genauigkeit , so deutet man a als für Einzelmessungen.

Folie 12
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2
10.11.2015
Was weiß man denn überhaupt?
Can we say any thing at all?
Messungen auswerten
evaluation of the collected data
x1 , x2 , x3 ,..., xn This two pages will be available in English soon
follow a normal didtribution with the unkrown parameters  and  .
calculate x   xi
s
mean
estimating value for 
1
n 1
 ( xi  x )2
standard deviation
estimating value for

The more measured data you have the merrier is the calculated
mean near the truthful value  .
Therefor the distribution of the means out of n measurements has
a lower standard deviation, that is 
s
n
We estimate this value with the standard error n .
We give as result of the measurement x 
s
n
Folie 13
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s
n
x
i.e. 57   2.3 
There is a probaility of round about 68% that the calculated means for the n measured
values under the normal distribution with parameters  and  will be in a 
n
region round
. With a probability of 95% they are in a region
of the width 2  round
. 
Folie 16
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Man hat Verabredungen wie man mit der Unsicherheit umgeht There are rules to handle with uncertainty.
Meaning of the Result
result of the measurement
Gibt es denn gar keine Gewissheit ??
Is there any certainty?

Gedankenexperiment: Ho gilt. Thought experiment: Ho is valid 20 Forscher testen, 19 können Ho nicht ablehnen. 20 scientists, they keep Ho
1 Forscher hat zufällig ein signifikantes Ergebnis, er kann nichts dazu, wenn er nun den alpha‐Fehler begeht. One scientist has accidentally a significant result, so he slipped up the error of type 1.
n
x
x
Such a mean is the measured an calculated mean
, also called q . s
we know neither
nor  but we estimate this with the standard error n
n
and with 95% in the s ‐region round

2

n
We hope in reverse that the true
x wth an probability of 68% will be in the
s
n ‐region
With growing up n we will be better and more accurate. If you see on a measuring tool the declaration
 for single measured values.
 a , so this is the
Folie 14
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Messungen auswerten
x
s
n
Mess‐Ergebnis
g
measurement result
95%. Konfidenzintervall my liegt hoffentlich darin we hope, my is in the confidence interval
Aber
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Alle empirischen Wissenschaften haben die gleichen Probleme
evaluation of the collected data
Wahrheit
truth
Später wird seine H1 in der Fachwelt nicht mehr bestätigt, die anderen 19 können froh sein, dass sie nichts behauptet haben, was falsch ist. Aber er eine hat sich korrekt verhalten. But other sientists will not confirm H1, but he Folie 17
does‘nt work wrong. The 19 are glad, that they nothing accepted.
Pech gehabt, tough luck
All empirical
working sciences
have the same
problems
problems.
In the inference
statistics we learn
the rules.
In der Beurteilenden Statistik lernt man die Regeln.
Namen auch: Inferenzstatistik, schließende Statistik, Induktive Statistik
Folie 15
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Folie 18
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