MAP 311 - Introduction aux probabilités et à la simulation aléatoire

MAP 311 - Introduction aux probabilités et à la simulation aléatoire.
PC 1 - Année 2014
S. De Marco, L.Gerin
Probabilités discrètes
EXERCICE 1 -Marche aléatoire
Une particule part de zéro et se déplace sur Z aléatoirement pendant 2n unités de temps. On
modélise son déplacement en supposant que la trajectoire de la particule est tirée uniformément
dans l’ensemble Ω2n de toutes les trajectoires de la forme :
s = (s0 , s1 , s2 , . . . , s2n )
avec s0 = 0 et où les sk vérifient |sk+1 − sk | = 1 pour tout 0 ≤ k ≤ 2n − 1.
Huit trajectoires tirées uniformément dans Ω500 .
1. Combien y a-t-il de trajectoires possibles dans Ω2n ?
2. Combien vaut P(s2n = 0) ? Déterminer un équivalent de cette
√ probabilité lorsque n tend
vers l’infini. (On rappelle l’équivalent de Stirling n! ∼ (n/e)n 2πn).
3. Plus généralement, calculer P(s2n = j) pour −2n ≤ j ≤ 2n.
4. Quelle est la valeur la plus probable pour s2n ?
EXERCICE 2 -Loi uniforme sur un groupe
Soit µn la probabilité uniforme sur les n! éléments du groupe symétrique Sn .
1. Montrer que µn est invariante par multiplication à gauche : pour tout σ dans Sn , si S est
tirée suivant la probabilité µn alors σ ◦ S est également uniforme.
2. Montrer la réciproque : la seule mesure de probabilité sur Sn invariante par multiplication
à gauche est la mesure uniforme.
Indépendance et conditionnement
EXERCICE 3 - Soit Ω := {ω1 , ω2 , ω3 , ω4 } muni de la probabilité uniforme. On définit les
événements A := {ω1 , ω2 }, B := {ω1 , ω3 } et C := {ω2 , ω3 }. Montrer que A, B et C sont indépendants deux à deux. Comparer P(A ∩ B ∩ C) et P(A)P(B)P(C).
EXERCICE 4 - On cherche à faire un sondage anonyme pour savoir quelle proportion des
élèves a triché à l’examen de MAP311. Craignant que tous ne disent pas la vérité, on imagine le
protocole suivant.
Chaque élève doit s’isoler, lancer un dé équilibré et répondre ensuite à la question "Avez-vous
triché ?" :
– s’il a obtenu 6 il doit mentir ;
– sinon il doit dire la vérité.
Une proportion p d’élèves a répondu "j’ai triché", à combien estimeriez-vous la proportion de
tricheurs ?
EXERCICE 5 -Tennis
Dans un match de tennis, un joueur a une probabilité p de gagner un point contre son adversaire
lorsqu’il est au service. Calculer la probabilité qu’il a de gagner le jeu sachant qu’il est à 40-30
sur son service.
p(p2 − p + 1)
Vérification : on doit trouver
.
2p2 − 2p + 1
Événements, tribus
EXERCICE 6 -Tribus
1. Soit Ω = [0, 1], quelle est la plus petite tribu qui contienne [0, 1/2] et [1/4, 1] ?
2. Soit Ω = R muni de la tribu borélienne B(R). On rappelle qu’elle est la plus petite tribu
qui contient tous les intervalles de la forme
] − ∞, x],
x rationnel.
(a) Démontrer que tous les intervalles [a, b] avec a, b réels sont mesurables.
(b) Démontrer que B(R) est la plus petite tribu contenant tous les intervalles de la forme
[a, b] ou ]a, b] avec a, b réels.
EXERCICE 7 -limsup/liminf d’ensembles
1. Soit (An )n≥1 une suite d’ensembles, rappeler la définition de lim inf n An et lim supn An .
2. On pose
An = −5/n; n2 ,
Bn = [−2 − (−1)n ; 2 + (−1)n ] .
Déterminer lim inf n An , lim supn An , lim inf n Bn , lim supn Bn .
EXERCICE 8 -(Bonus) Un exemple d’ensemble non mesurable
Considérons l’espace R/Q des classes d’équivalence des réels modulo les rationnels : x ∼ y ssi
x − y ∈ Q. Pour chaque a ∈ R/Q, soit xa un représentant de a dans l’intervalle [0, 1]. On pose
F = {xa , a ∈ R/Q} ⊂ [0, 1].
Le but de cet exercice est de montrer que F n’est pas mesurable par rapport à la tribu borélienne.
S
1. On suppose que F est un ensemble borélien. Expliquer pourquoi R ⊂ q∈Q {q + F } , où
q + F = {q + f, f ∈ F }. En déduire que Lebesgue(F ) > 0.
2. Justifier que les ensembles {q + F } pour q ∈ Q sont tous disjoints.
P
3. Démontrer que
q∈Q Lebesgue(q + F ) ≤ 2 et en déduire que Lebesgue(F ) = 0.
|q|≤1
(Pour réellement définir F , il faut utiliser l’ axiome du choix : si A est une fonction définie sur
un ensemble I et à valeurs dans une classe d’ensembles, telle que A(x) 6= ∅ pour tout x de I, il
existe une fonction f telle que f (x) ∈ A(x) pour tout x ∈ I.)