Cours 12

COURS 12
Version du 31 mars 2016.
Vous vous souvenez du dernier cours que W est engendré par les
réflexions simples, et qu’il agit de façon transitive sur les bases et sur
les chambres.
Il s’ensuit qu’un système de racines a une matrice associée, Cji (Φ) =
hαi , αj i, qui est bien-définie à permutation simultanée des rangs et des
colonnes près. Cette matrice s’appelle la matrice de Cartan. [H] utilise
la transposition de cette définition de la matrice de Cartan — nous
suivons la convention de Fomin et Zelevinsky.
La raison pour laquelle on a besoin des résultats du dernier cours est
que, à moins que l’on sache que W agit de façon transitive sur les bases,
il aurait été possible que deux bases différentes de Φ produiraient de
différentes matrices de Cartan. Nous savons maintenant que cela est
impossible.
Nous représentons la matrice de Cartan par son diagramme de Dynkin. Il s’agit d’un graphe dont les sommets correspondent aux racines
positives. On lie les sommets i et j par hαi , αj ihαj , αi i arêtes. (Vous
vous souvenez que cette expression donne un nombre entre 0 et 3.)
Dans le cas où il y a plus qu’un seul arête entre i et j, les racines αi et
αj ont des longueurs différentes. Dans ce cas, nous mettons une flèche
sur ces arêtes, telle que, si on le voit comme un signe “>”, la racine
plus longue est sur le côté “supérieur.” Il est facile de vérifier que le diagramme contient maintenant assez d’information pour en réconstruire
la matrice de Cartan.
Pour la liste des diagrammes de Dynkin possibles, voir les diagrammes.
Le problème de déterminer cette liste est important (mais pas trop difficile) et nous n’allons pas l’aborder dans ce cours. (C’est démontré
dans [H], si vous êtes curieux.)
Écrivons I = {1, . . . , n} pour l’ensemble qui indexe les racine simples.
On peut diviser I en deux moitiés, I+ et I− , tels qu’il n’y a pas d’arête
entre deux sommets d’une même partie. (On peut le faire vu que tout
diagramme de Dynkin est un arbre, ce que l’on peut voir en consultant
la liste, et puisque tout arbre est graphe biparti.) Supposant que le
système de racines est irréductible, ou, ce qui est équivalent, que le
diagramme de Dynkin est connexe, il y a une façon de le faire.
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Pour Φ un système de racines, definissons Bij (Φ) = Cij (Φ) si i ∈
I+ , j ∈ I− , Bij (Φ) = −Cij (Φ) si i ∈ I− , j ∈ I+ ; et autrement Bij (Φ) =
0. Cette matrice B est antisymétrisable. Nous pouvons maintenant
énoncer la classification des algèbres amassées de type fini.
Theorème 1. Une algèbre amassée est de type fini si et seuelement si
elle possède un amas dont la partie principale de la B-matrice est de
la forme B(Φ) pour un système de racines Φ.
Il faut faire quelques commentaires. Notons qu’il s’ensuit de cet
énoncé que la propriété d’être de type fini ne dépend que de la partie principale des B-matrices (c’est à dire, la matrice carré et antisymétrisable d’en haut de la matrice B, où les variables gelées ne figurent pas).
Notons aussi que pour presque toute algèbre amassée, il y a certains
amas dont les B-matrices sont de la forme B(Φ), et certains amas dont
les B-matrices ne sont pas de cette forme. Nous avons déjà vu que cela
se passe même en type A3 .
De retour aux systèmes de racines. Vous vous souvenez de ce lemme
du dernier cours (que nous n’avons justement pas encore utilisé) :
Lemme 1. Considérons une suite de racines simples α1 . . . αt (possiblement avec des répétitions, et dont l’ordre est essentiel). Si sα1 . . . sαt−1 αt
est négative, il s’ensuit qu’il y a une indice j telle que sα1 . . . sαt =
sα1 . . . sc
αj . . . sαt−1 . C’est à dire que nous obtenons le même élément de
GL(V ) en enlevant la dernière réflexion et une autre réflexion.
Corollaire 1. Si w(∆) = ∆, il s’ensuit que w = 1, ce qui implique que
W agit de façon simplement transitive.
Démonstration. Supposons que w n’est pas l’identité, et considérons
une expression réduite pour w. Selon le lemme, w doit envoyer au
moins la racine simple correspondant à sa dernière réflexion à une racine
négative, ce que va à l’encontre notre supposition que w(∆) = ∆. Pour w ∈ W , définisson `(w) comme la longueur d’une expression
de longueur minimale pour w comme produit des réflexions simples.
Pour w ∈ W , définission I(w) comme l’ensemble des racines positive
qui sont envoyées sur des racines négatives par w−1 .
Proposition 1. Si w = si1 . . . sir est une expression réduite pour w,
il s’ensuit que les inversions de w sont, sans répétitions, αi1 , si1 αi2 ,
si1 si2 (αi3 ), . . . . En particulier, `(w) = |I(w)|.
Démonstration. Par le lemme, chacun des racines que j’ai enumérées
est une racine positive.
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Appliquant w−1 à la première, nous obtenons w−1 αi1 = −sir . . . si2 αi1 ,
et par le lemme, celle-ci est une racine négative. De façon semblable,
w−1 si1 αi2 = −sir . . . si3 αi2 , qui est une racine négative. Donc chacun
de ces racines est racine positive qui est envoyé sur une racine négative
par w−1 .
Pour que deux de ces racines soient la même, on aurait forcément
que
si1 si2 . . . sik−1 αik = si1 si2 . . . sip−1 αip .
Supposons que k < p. Il s’ensuit que
αik = sik . . . sip−1 αip
ce qui peut aussi être exprimé comme
−αik = sik+1 . . . sip−1 αip .
Mais par le lemme, le côté droit doit être une racine positive, et donc
ceci est impossible.
Puisque chaque réflexion de w a l’effet de changer une seule racine
positive en racine négative, le plus grand nombre possible de racines
positives que w pourrait envoyer sur des racines négatives, est r. Nous
avons énuméré autant, et donc celles-ci doivent être tout l’ensemble.
Proposition 2. I(w) indique quels hyperplans séparent la chambre
indexé par w de la chambre fondamentale.
Démonstration. Pour n’importe quelle racine positive α, α est une
inversion de w si et seulement si (w−1 α, δ) < 0, si et seulement si
(α, wδ) < 0, et cette dernière condition veut dire exactement que wδ
est de l’autre côté de Pα que la chambre fondamentale.
Proposition 3. Il y a un seul élément de W le plus long, w0 . C’est
une involution. Il envoit ∆ sur −∆. Son ensemble d’inversions est Φ+ .
Démonstration. −∆ est une base, donc il y a un élément de W qui
envoit ∆ sur −∆. Celui-ci envoit chaque racine positive sur une racine
négative. Donc, l’ensemble d’inversions de w−1 est égal à Φ+ . Les longueurs de w et de w−1 sont les mêmes. (Ceci est toujours vrai, parce
que l’inversement d’un mot pour w est un mot pour w−1 .) Donc, l’ensembles des inversions de w est également Φ+ , et w = w−1 , donc w est
une involution. La proposition est démontrée.
Note : il y a une opération évidente qui conserve (·, ·) et qui envoit ∆
sur −∆ : multiplication par −1. Cette opération peut être égale à w0 ,
et peut ne pas y être égale. Évidemment, si −1 ∈ W , il est l’élément le
plus long.
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Dans types Bn et Cn , multiplication par −1 est dans W , et donc cela
donne l’élément le plus long. (Vous vous souvenez que les changements
de signe sont dans W dans ces cas.)
Dans type An−1 , w0 est la permutation qui inverse complètement. (Il
est facile à voir que cette permutation envoit tous les racines positives
sur des racines négatives, donc celle-ci doit être w0 .) Cette permutation
n’est pas égale à −1.
Dans les cas Bn et Cn , ou n’importe quand on a −1 ∈ W , l’élément le
plus long ne dépend pas de notre choix de racines simples ! Mais ce n’est
pas le cas en général. Par exemple, dans A2 , on choisit normalement
(12) et (23) comme les réflexions simples, et l’élément le plus long est
(13) – c’est à dire qu’il est la réflexion non-simple. Si on fait un choix
différent de réflexions simples, il est évident que l’identité de la réflexion
non-simple change aussi !
Références
[H] J. Humphreys. Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Springer Verlag, New York, 1972.