Classification des Formes Quadratiques Entières Unimodulaires en

Classification des Formes Quadratiques Entières
Unimodulaires en Dimension 8 et 16
Yan Wang, Cong Xue
Tuteur: Gaëtan Chenevier
15 décembre 2012
Table des matières
1
Introduction
2
2
Le problème de la classification des formes quadratiques entières
2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Les formes quadratiques entières . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Les réseaux entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Les liens entre 2.1.1 et 2.1.2 . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Le problème de classification . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 La question clé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Exemples et des premières observations . . . . . . . .
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3
3
3
4
4
5
5
5
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7
7
7
7
7
8
9
9
11
Système de racines
4.1 Définition et propriétés des système de racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Exemples des systèmes de racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Classification des diagrammes de Dynkin connexes . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
12
13
14
3
4
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Fonction θ d’une forme quadratique entière
3.1 Définition de fonction θ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Forme modulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Définition de forme modulaire et forme parabolique . . . . . . . .
3.2.2 Série Eisenstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Exemples de série Eisenstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.4 L’espace de forme modulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 La fonction θ d’un réseau entier pair unimodulaire est une forme modulaire
3.4 Exemple pour n = 8 et n = 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.4
4.5
Lien entre le réseau et le système de racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Résumé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
18
5
Résultat pour n = 8 et n = 16
20
6
Conclusion
21
7
Annexe
22
1
Introduction
La classification des formes quadratiques sur R et Q est claire. En revanche, la classification des
formes quadratiques entières est beaucoup plus compliquée.
D’ailleurs, les formes quadratiques entières (et les réseaux entières) interviennent dans beaucoup d’autres questions intéressantes. De plus, en les étudiant, on rencontrera de belles choses, par
exemple, les formes modulaires et les systèmes de racines (groupe des réflexions)...
C’est les raisons pour lesquelles on s’intéresse à la classification des formes quadratiques entières. Notre but est de comprendre un cas spécial : les formes quadratiques entières définies positives ayons discriminant égal à 1. Après une première description de formes quadratiques entières
dans 2.1, on va expliquer la raison pour laquelle on commence par le cas spécial dans 2.2.
Ensuite, on va étudier la fonction θ dans chapitre 3 et le système de racines dans chapitre 4 pour
mieux comprendre les formes qui nous intéressent. Ces deux choses, qui impliquent repectivement
le lien entre les formes quadratiques entières (les réseaux entières) et les formes modulaires et le
lien entre les formes quadratiques entières et les groupes de Lie, sont aussi nécessaires pour la classification des formes quadratiques entières définies positives de discriminant 1. On donne donc le
résultat de la classification pour dimension 8 et 16 dans chapitre 5.
2
2
Le problème de la classification des formes quadratiques entières
2.1
Définitions
2.1.1
Les formes quadratiques entières
Définition 2.1. Une forme quadratique entière sur Zn est une fonction Q : Zn → Z telle que
1
∀X = (x1 , · · · , xn ) ∈ Zn , Q(X) = (x1 , · · · , xn )A(x1 , · · · , xn )T , d’où A ∈ Mn (Z) est une
2
matrice symétrique dont les éléments diagonaux sont pairs. On appelle A la matrice de la forme
quadratique Q. On dit qu’une forme quadratique est définie positive (resp. négative) ou indéfinie si
sa matrice l’est.
Le produit dans Z est noté xy pour x, y ∈ Z.
Définition 2.2. On définit une forme bilinéaire symétrique associée à Q : X.Y = Q(X + Y ) −
Q(X) − Q(Y ) = X T AY pour X, Y ∈ Zn . C’est un produit scalaire sur Zn . Quand Q est définie
positive, elle induit une norme sur Zn : ||X||2 = X.X.
Notons que X.X ∈ 2Z. Par définition, on a Q(X) =
X.X
.
2
Définition 2.3. Deux formes quadratiques entières sur Zn , Q (dont la matrice est A) et Q0 (dont la
matrice est A0 ), sont dites équivalentes s’il existe B ∈ GLn (Z) t.q. A0 = B T AB.
Notons que det(A0 ) = det(B T )det(A)det(B) = det(A). On a donc un invariant d’une classe
d’équivalence ainsi définie.
Définition 2.4. Le discriminant de la forme Q (dont la matrice A) est disc(Q) = det(A) ∈ Z.
!
2a b
Exemple 2.5. En dimension n = 2, soit A =
, avec a, b, c ∈ Z, alors Q(x1 , x2 ) =
b 2c
ax21 + bx1 x2 + cx22 pour (x1 , x2 ) ∈ Z2 . Disc(Q) = det(A) = 4ac − b2 . C’est cohérent avec les
formes quadratiques binaires entières étudiées dans le cours (sauf les signes du discriminant sont
au contraire).
Explication (les détails sont donnés dans l’annexe) :
En fait, on peut considérer les formes ci-dessus comme les formes sur des réseaux E = ⊕ni=1 Zei '
Zn . L’isomorphisme de groupe (qui conserve la métrique) ⊕ni=1 Zei → Zn les transforme aux
formes quadratiques entières sur Zn .
Ainsi, deux formes quadratiques entières équivalentes sur Zn sont en fait les expressions d’une
même forme quadratique entière sur un réseau dans les bases différentes.
3
2.1.2
Les réseaux entiers
Définition 2.6. Un réseau Γ de Rn muni de la norme euclidienne || · || est un sous-groupe discret
qui engendre Rn comme R-espace vectoriel.
Définition 2.7. Deux réseaux Γ et Γ0 de Rn sont dits équivalents s’il existe g ∈ On (R) t.q. Γ = gΓ0 .
Notons que la norme euclidienne induit un unique produit scalaire X.Y =
||X||2
||X||2 − ||Y ||2 ) et une unique forme quadratique Q(X) =
sur Rn .
2
1
2 (||X
+ Y ||2 −
Définition 2.8. Un réseau Γ de Rn ci-dessus est dit entier si X.Y ∈ Z, ∀X, Y ∈ Γ. Si on a de plus
X.X ∈ 2Z, ∀X ∈ Γ, on dit que Γ est pair.
Exemple 2.9. Exemples du cours...
Réseau entier : Zn . Réseau entier pair : (2Z)n .
2.1.3
Les liens entre 2.1.1 et 2.1.2
Proposition 2.10. Il y a une bijection entre l’ensemble des classes d’équivalence des formes quadratiques entières définies positives sur Zn (comme un groupe abélien) et celui des classes d’équivalence des réseaux entiers pairs de Rn (muni de la norme euclidienne). De plus, si Q (dont la matrice
est A) est la forme quadratique associée au réseau Γ, alors det(A) = covol(Γ)2 , d’où covol(Γ) est
le covolume de Γ.
La démonstration se trouve dans l’annexe.
En fait, deux formes quadratiques entières définies positives équivalentes sur Zn correspondent
à un même réseau entier pair de Rn . Deux réseaux entiers pairs équivalents de Rn correspondent à
une même forme quadratique entière définie positive sur Zn . On peut voir d’ici que nos définitions
d’équivalence sont naturelles.
Exemple : En dimension 2, d’après le cours, on sait que pour les formes quadratiques entières
définies positives avec disc = D > 0 (D < 0 si on prend la définition du cours), il y a une bijection
1
entre Cl(AD ) et Cl(D). Si on présente chaque classe des idéaux par un réseau de covolume |D| 2
(on peut faire cela car tous idéaux dans une même classe sont des réseaux qui est différent seulement par une dilatation xI = yJ), alors la bijection entre Cl(AD ) et Cl(D) est la bijection dans la
proposition ci-dessus.
4
2.2
2.2.1
Le problème de classification
La question clé
On s’intéresse à la question suivante : pour chaque n, il y a combien de (classes d’équivalence
des) formes quadratiques entières non équivalentes sur Zn ?
La démarche de la réponse s’oriente vers deux directions :
1) Pour une dimension n petite, classifier toutes les formes quadratiques entières. Par exemple, la
situation de la dimension n = 2 est déjà étudiée dans le cours (au moins pour les formes de discriminant négatif (positif dans notre définition)).
2) donner un discriminant petit, classifier les formes quadratiques entières ayant ce discriminant
dans toutes les dimensions.
On s’intéresse ici à la deuxième direction. On va commencer par le discriminant le plus petit,
c’est-à-dire ±1.
De plus, on restreint ici nos désirs sur les formes définies positives (disc(Q) = 1). La situation
des formes définies negative (disc(Q) = −1) est analogue. Pour compléter, la discussion sur les
formes indéfinies de discriminant = ±1 se trouve dans [Serre 1, Chap V]. Mais c’est dehors de
notre rapport.
D’après la restriction (définie positive), la question ci-dessus peut aussi se poser comme : il y a
combien de réseaux entiers pairs de Rn de covolume = 1 à l’équivalence près (un réseau de covolume 1 est dite unimodulaire) ? On répondra cette question dans les chapitres suivantes.
2.2.2
Exemples et des premières observations
D’après le cours (exercice 2.13), on sait que pour n ≤ 7, il y a une seule classe d’équivalence
des réseaux entiers unimodulaires, i.e. la classe de Zn . Notons qu’il n’existe pas de réseau entier
pair unimodulaire pour n ≤ 7 (les Zn ne sont pas pairs).
Grâce au cours (exercice 2.14), on sait aussi qu’il existe un réseau entier pair unimodulaire pour
n = 8. Voici la première description de ce réseau :
P
Exemple 2.11. Soit D8 = {(x1 , · · · , x8 ) ∈ Z8 , i xi ≡ 0 mod 2} et soit e = 12 (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) ∈
R8 (muni du produit scalaire euclidien standard).
Alors D8 est un sous-réseau de Z8 d’indice 2 comme sous-groupe. Donc, on a covol(D8 ) = 2.
On définit E8 = Ze + D8 . C’est un réseau car D8 ⊂ E8 ⊂ 21 D8 . De plus, il est unimodulaire
car D8 est un sous-groupe d’indice 2 (E8 = D8 ∪ (e + D8 )). Par calcul direct, on voit qu’il est
5
entier pair.
Donc, E8 est un réseau entier pair unimodulaire qui n’est pas équivalent à Z8 (ce qui n’est pas
pair).
On voit donc que :
1) Il n’existe pas toujours de réseau entier pair unimodulaire pour tout dimension (en fait, un tel
réseau n’existe que pour la dimension n t.q. 8|n. On montrera cela au chapitre suivant).
2) Dans le cas où il existe un réseau entier pair unimodulaire, on se pose la question qu’il y en a
combien ? Par exemple, est-ce que le réseau E8 défini ci-dessus est le seul réseau entier pair unimodulaire pour n = 8 ?
Pour répondre ces questions, on a besoin d’outils plus avancés. Deux tels outils sont la fonction θ
et le système de racines. La première nous donne le nombre d’élément d’un réseau ayant la longueur
la plus petite. Le deuxième nous dit que cette information suffit pour déterminer tous les réseaux
cherchés dans certain cas. Ces sont les contenus des chapitres 3 et 4.
6
3
Fonction θ d’une forme quadratique entière
Dans ce chapitre, on introduit un premier outil - la fonction θ. On va montrer que la fonction θ
est une forme modulaire si et seulement si quand 8|n. De cette manière, on peut aussi calculer le
nombre d’éléments d’un réseau ayant la longueur la plus petite qui servira dans la suite.
3.1
Définition de fonction θ
Soient Γ un réseau entier pair de Rn et m ≥ 0 entier. On note rΓ (m) le nombre d’éléments
X ∈ Γ tel que X.X = 2m.
Définition 3.1. La fonction de θ associée à un réseau entier pair est définie par la formule :
X
θΓ (z) =
rΓ (m)q m
m=0
sur le demi plan de Poincaré H avec q = e2πiz .
On remarque que rΓ (m) = O(mn/2 ). Ainsi, θΓ (z) converge lorsque |q| < 1. Elle est donc bien
définie sur H.
P πiz(X.X)
P X.X/2
e
. Cette formule nous donne
q
=
Par le calcul direct, on a aussi θΓ (z) =
X∈Γ
X∈Γ
directement la relation entre la fonction θ et le nombre d’éléments d’un réseau ayant une certaine
longueur. En fait, la fonction θ est la série génératrice du nombre d’éléments d’un réseau.
3.2
3.2.1
Forme modulaire
Définition de forme modulaire et forme parabolique
Définition 3.2. Une forme modulaire de poids
! 2k est une fonction holomorphe (y compris à l’infini)
a b
f telle que pour tout z ∈ H et tout
∈ SL2 (Z), on a :
b c
f (z) = (cz + d)−2k f (
az + b
)
cz + d
Définition 3.3. Une forme parabolique de poids 2k est une forme modulaire f telle qu’elle vaut 0
à l’infini.
3.2.2
Série Eisenstein
[Zagier] introduit la série Eisenstein par une façon intéressante. On veut construire une série
invariante par SL2 (Z). La manière la plus intuitive est la suivante.
7
a b
b c
D’abord, on définit l’action d’un élément de g =
!
∈ SL2 (Z) sur une fonction définie
sur H :
az + b
)
cz + d
Donc, la propriété vérifiée par la forme modulaire devient (f |k g) = f .
Soit 1 la fonction constante qui vaut 1 partout. Soit Γ∞ ⊂ SL2 (Z) le stabilisateur du point
infini.
P
Définition 3.4. On appelle Ek =
1|2k γ la série Eisenstein.
(f |k g)(z) = (cz + d)−k f (
γ∈SL2 (Z)/Γ∞
Notons que la série Eisenstein est bien invariante par SL2 (Z). On montrera qu’elle est une
forme modulaire. Pour cela, on calcule Ek tout d’abord.
!
a b
Par définition, Γ∞ envoie ∞ à ∞. Un élément γ =
∈ SL2 (Z) envoie ∞ à ac . Donc,
c d
(
!
)
1 n
|n ∈ Z .
on obtient que Γ∞ = ±
0 1
!
!
a b
a0 b0
0
On observe que si γ =
∈ P SL2 (Z) et γ =
∈ P SL2 (Z), alors il existe
c d
c d
!
1 n
n ∈ Z tel que γ =
γ 0 . D’autre part, toutes les paires de nombre (c, d) qui sont premiers
0 1
entre eux peuvent être associées à un élément de P SL2 (Z). Donc, on a :
X
Ek =
γ∈SL2 (Z)/Γ∞
(
!
X
1|2k γ =
1|2k γ =
γ∈P SL2 (Z)/Γ∞
1
2
X
c,d∈Z,(c,d)=1
1
(cz + d)2k
)
1 n
|n ∈ Z . La facteur 21 vient du fait que (c, d) et (−c, −d) donnent la même
0 1
élément de P SL2 (Z)/Γ∞ . Il est aussi facile de voir que cette somme converge pour k ≥ 2. En effet,
∞
P
le nombre de paires (c, d) avec N ≤ |cz + d| < N + 1 est O(N ). Ainsi, |Ek | =
O(N 1−2k ).
avec Γ∞ =
N =1
Cela montre que c’est une forme modulaire de poids 2k. De plus, on sait que Ek n’est pas nul car :
lim
Im(z)→∞
3.2.3
P
Ek (z) =
1
lim
2 Im(z)→∞
X
c,d∈Z,c6=0,(c,d)=1
1
+ 1 = 1 6= 0
(cz + d)2k
Exemples de série Eisenstein
On calcule les séries Eisenstein de petite dimension qui servira à la suite. On définit σm (n) =
dm .
d|n
(1) k = 2. E2 (z) = 1 + 240
∞
P
σ3 (n)q n .
n=1
8
(2) k = 4. E4 (z) = 1 + 480
∞
P
σ7 (n)q n .
n=1
Les détails de calcul se trouvent dans l’annexe.
3.2.4
L’espace de forme modulaire
Définition 3.5. Pour k ∈ Z, on définit Mk (resp. Mk0 ) comme la C-espace vectorielle de formes
modulaires (resp. formes paraboliques) de poids 2k.
Par définition, Mk0 est le noyau du morphisme de C-espace vectorielle Mk → C, f 7→ f (∞).
Donc dimMk /Mk0 ≤ 1. De plus, pour k ≥ 2, Gk := 2ζ(2k)E2k (z) ∈ Mk mais Gk ∈
/ Mk0 . Donc
Mk /Mk0 = CGk et
Mk = Mk0 ⊕ CGk .
Théorème 3.6. 1) Mk = 0 pour k < 0 et k = 1.
2) Mk0 ' Mk−6 .
3) M0 = C, Mk = CGk pour k = 2, 3, 4, 5. Ainsi Mk0 = 0 pour k = 0, 2, 3, 4, 5.
La démonstration se trouve dans l’annexe.
On peut obtenir une description sur la dimension de Mk :
Corollaire 3.7.

[k/6]
dimMk =
[k/6] + 1
3.3
si
k ≡ 1(mod6), k ≥ 0
si
k 6= 1(mod6), k ≥ 0
La fonction θ d’un réseau entier pair unimodulaire est une forme modulaire
Pour la fonction θ d’un réseau entier pair Γ définie dans section 3.1, θΓ (z) =
P
πizX.X , il y a un fait important :
X∈Γ e
P
X∈Γ q
X.X/2
=
Théorème 3.8. Quand le réseau entier pair Γ est unimodulaire,
1) 8|n ;
2) θΓ est une forme modulaire de poids n/2.
Démonstration. On a besoin d’un lemme :
Lemme 3.9. Pour un réseau entier unimodulaire, on définit une fonction sur R+ \{0} : ΘΓ (t) =
P
−πtX.X . Alors
X∈Γ e
ΘΓ (t) = t−n/2 ΘΓ (t−1 ).
La démonstration du lemme se trouve dans [Serre 1, Chap. VII].
D’abord on veut montrer l’équation suivant :
θΓ (−1/z) = (−iz)n/2 θΓ (z).
9
(1)
Comme tous les deux côtés sont holomorphiques sur z, il suffit de la montrer pour z = it avec
t ∈ R+ \{0}.
Comme on a
X
θΓ (it) =
e−πtX.X = ΘΓ (t)
X∈Γ
θΓ (−1/it) =
X
1
e−π t X.X = ΘΓ (t−1 ),
X∈Γ
et Γ est unimodulaire, d’après le lemme, on a
θΓ (it) = t−n/2 θΓ (−1/it),
i.e.
θΓ (−1/it) = (−i · it)n/2 θΓ (it).
Pour 1), supposons que 8 - n. Supposons d’abord que n ≡ 4(mod8). La formule (1) devient
θΓ (−1/z) = (−1)n/4 z n/2 θΓ (z) = −z n/2 θΓ (z).
Notons que θΓ (z + 1) = θΓ (z) car X.X ∈ 2Z pour X ∈ Γ, c’est-à-dire que θΓ (T (z)) = θΓ (z).
Donc on a θΓ (ST (z)) = θΓ (Sz) = θΓ (−1/z) = −z n/2 θΓ (z), c’est-à-dire que
θΓ (ST (z))
= −z n/2 .
θΓ (z)
Donc
θΓ ((ST )2 (z))
= −(ST (z))n/2 ,
θΓ (ST (z))
θΓ ((ST )3 (z))
= −((ST )2 (z))n/2 .
θΓ ((ST )2 (z))
On en déduit que
θΓ ((ST )3 (z))
1
1 + z n/2
= −(zST (z)(ST )2 (z))n/2 = −(z(−
)(−
))
= −1.
θΓ (z)
z+1
z
C’est absurde avec le fait (ST )3 = 1. Donc n 6= 4(mod8).
Si n ≡ 1 ou 3 (mod8), alors considérons le réseau Γ̄ = Γ ⊕ Γ ⊕ Γ ⊕ Γ. C’est encore un réseau
entier pair unimodulaire, avec le rang m = 4n ≡ 4(mod8). D’après l’argument ci-dessus, c’est
impossible. Si n ≡ 2(mod8), alors considérons le réseau pair unimodulaire Γ̄ = Γ ⊕ Γ avec le rang
m = 2n ≡ 4(mod8). Cela n’existe pas non plus.
Donc 8|n.
Pour 2), comme 8|n, (∗) devient θΓ (−1/z) = z n/2 θΓ (z). De plus, on a déjà vu que θΓ (z + 1) =
θΓ (z). D’après la définition de forme modulaire, θΓ en est un de poids n/2.
Corollaire 3.10. Il existe une forme parabolique fΓ de poids n/2 telle que θΓ = Ek + fΓ avec
k = n/4.
10
3.4
Exemple pour n = 8 et n = 16
(1) n = 8. Toutes les formes paraboliques de poids 4 est nulle. D’après le corollaire 3.10, on a
θΓ = E2 . Donc, on a rΓ (m) = 240σ3 (m) pour m ≥ 1. En particulier, rΓ (2) = 240, i.e. l’équation
x.x = 2 a 240 racines dans la dimension 8.
(2) n = 16. Toutes les formes paraboliques de poids 8 est nulle. D’après le corollaire 3.10, on a
θΓ = E4 . Donc, on a rΓ (m) = 480σ7 (m) pour m ≥ 1. En particulier, rΓ (2) = 480, i.e. l’équation
x.x = 2 a 480 racines dans la dimension 16.
11
4
Système de racines
Dans le chapitre précédent, on a calculé le nombre de vecteurs de longueur 2 dans le réseau.
Dans ce chapitre, on va montrer que cette information suffit dans certains cas pour déterminer le
réseau. Pour cela, on introduit les systèmes de racines et ses propriétés. Ici, on se restreint dans
le cas où toutes les racines sont de longueur 2. La discussion sur le cas general se trouve dans la
référence [Serre2-Chap V].
4.1
Définition et propriétés des système de racines
Soit (Rn , ·) un espace euclidien. Soit α ∈ Rn non nul.
Définition 4.1. La symétrie orthogonale par rapport au vecteur α est sα (x) = x − (x, α)α.
On voit facilement que sα (α) = −α.
Définition 4.2. Un sous-ensemble R ⊂ Rn est dit un système de racines dans Rn s’il satisfait les
conditions suivantes :
(1) V ectR R = Rn , i.e. R engendre Rn .
(2) ∀x ∈ R, (x, x) = 2.
(3) ∀α ∈ R, sα (R) = R.
(4) ∀α, β ∈ R, (α, β) ∈ Z.
On note φ l’angle entre α et β, et |α| la longueur du vecteur α. Puisqu’on a (α, β) = |α||β| cos φ =
√ √
2 2 cos φ = 2 cos φ, on a donc 2 cos φ ∈ Z. Alors, il y a seulement trois cas possibles quitte à
échanger α et β :
(1) (α, β) = 0, φ = π2 .
(2) (α, β) = 1, φ = π3 .
(3) (α, β) = −1, φ = 2π
3 .
Définition 4.3. Un sous-ensemble S ⊂ R est dite une base du système de racines R s’il vérifie les
conditions suivantes :
(1) S est une base de Rn .
P
(2) Pour tout β ∈ R, β =
mα α où les coefficients mα sont des entiers avec la même signe (tous
α∈S
positives ou négatives).
On a tout de suite un théorème sur l’existence de base.
Théorème 4.4. Pour tout système de racines R, il existe une base.
Proposition 4.5. ∀α, β ∈ S, (α, β) ≤ 0.
12
En effet, un système de racines R est déterminé par sa base S. Or, vu que tous les éléments de
R sont de longueur 2, il suffit de connaitre les angles entre les bases ou les produits scalaires des
bases. Donc, on introduit la matrice de Cartan qui facilite le calcul dans la suite.
Définition 4.6. La matrice de Cartan du système de racines R (par rapport à la base S) est la
matrice ((α, β))α,β∈S .
D’après Proposition 4.5, toutes les entrées de la matrice de Cartan sont négatives. Ainsi, on peut
reformuler ce qu’on vient de dire.
Proposition 4.7. Un système de racines R est déterminé à l’isomorphisme près par sa matrice de
Cartan.
Maintenant, on cherche à classifier les systèmes de racines. Si un système de racines peut réduire
à des sous-systèmes isolés, on peut les classifier séparément. Ainsi, on introduit les systèmes de
racines irréductibles.
Définition 4.8. Un système de racines R est dit irréductible s’il n’existe pas V1 , V2 ⊂ Rn non
triviaux tels que V1 ⊕ V2 = Rn et que R ⊂ V1 ∪ V2 , Ri = R ∩ Vi , i = 1, 2, Ri est un système de
racines dans Vi .
Afin de représenter les systèmes de racines plus intuitivement, on peut utiliser le diagramme de
Dynkin.
Définition 4.9. Le diagramme de Dynkin d’un système de racines R est un graphe fini dont les
sommets sont les éléments de base S. De plus, il existe une arête entre deux sommets α et β si et
seulement si (α, β) = −1.
Par définition, on a la proposition suivante :
Proposition 4.10. Un système de racines R est irréductible si et seulement si son diagramme de
Dynkin est connexe et non vide.
Similaire à la proposition 4.7, on peut aussi déterminer le système de racines grâce à son diagramme de Dynkin :
Proposition 4.11. Un système de racines R est déterminé à l’isomorphisme près par son diagramme
de Dynkin.
4.2
Exemples des systèmes de racines
Dans ce chapitre, on va présenter quelques exemples des systèmes de racines qui serviront dans
la suite. Notons (ei )i=1,...,n la base canonique de Rn .
(1) An
13
An = {ei − ej |1 ≤ i, j ≤ n + 1, i 6= j}.
Une base de An est S = {ei − ei+1 |1 ≤ i ≤ n}.
(2) Dn
Dn = {±ei ± ej |1 ≤ i, j ≤ n, i 6= j}.
Une base de Dn est S = {en−1 + en , ei − ei+1 |1 ≤ i ≤ n − 1}.
(3) E8
8
8
P
1 P
m(i)
m(i) pair .
(−1)
ei |1 ≤ i, j ≤ 8, i 6= j,
E8 = ±ei ± ej , 2
k=1
k=1
Une base de E8 est
S = 21 (e1 + e8 ) − 12 (e2 + ... + e7 ), e2 − e1 , e3 − e2 , e4 − e3 , e5 − e4 , e6 − e5 , e7 − e6 , e2 + e1 .
(4) E7
8
E7 = {±(e7 − e8 ), ±ei ± ej ,
1X
(−1)m(i) ei |1 ≤ i, j ≤ 8, i 6= j, i, j 6= 7, 8,
2
k=1
8
X
m(i) pair, m(8) + m(7) ≡ 0 (2)}
k=1
Une base de E7 est
S = 12 (e1 + e8 ) − 12 (e2 + ... + e7 ), e2 − e1 , e3 − e2 , e4 − e3 , e5 − e4 , e6 − e5 , e2 + e1 .
On peut aussi considérer E7 comme E7 ∩ < e8 + e7 >⊥ .
(5) E6
8
1X
(−1)m(i) ei |1 ≤ i, j ≤ 8, i 6= j, i, j 6= 6, 7, 8,
E6 = {±ei ± ej ,
2
k=1
8
X
m(i) pair, m(6) ≡ m(7) 6= m(8) (2)}
k=1
Une base de E6 est
S = 12 (e1 + e8 ) − 12 (e2 + ... + e7 ), e2 − e1 , e3 − e2 , e4 − e3 , e5 − e4 , e2 + e1 .
On peut aussi considérer E6 comme E8 ∩ < e7 − e6 , e8 + e7 >⊥ ou encore E7 ∩ < e7 − e6 >⊥ .
Maintenant, on donne les diagramme de Dynkin de An , Dn , E6 , E7 , E8 dans les bases qu’on
donne :
4.3
Classification des diagrammes de Dynkin connexes
Théorème 4.12. Tous les diagrammes de Dynkin connexe est isomorphique à un des diagrammes
suivantes : An (n ≥ 1), Dn (n ≥ 4), E6 , E7 , E8 .
La démonstration se trouve dans l’annexe. Ce théorème nous donne la classification de tous les
diagrammes de Dynkin, et donc celle des systèmes de racines.
14
F IGURE 1 – Les diagramme de Dynkin de An , Dn , E6 , E7 , E8
4.4
Lien entre le réseau et le système de racines
Soit R ⊂ Rn un système de racines avec une base S. Nous voulons trouver les réseaux entières
dans Rn contenant R. Considérons d’abord deux réseaux naturellement associés à R :
Définition 4.13.
Q(R) =
X
Zr =
r∈R
M
Zr.
r∈S
P (R) = {x ∈ Rn |(x, α) ∈ Z, ∀α ∈ S}.
C’est évident que Q(R) est un sous-réseau de P (R). Par définition, pour tout réseau entier Γ
contenant R, Q(R) ⊂ Γ ⊂ P (R).
Remarquons que P (R)/Q(R) est un groupe fini. Donc chercher un réseau entier Q(R) ⊂
Γ ⊂ P (R) est équivalent à chercher un sous groupe Γ/Q(R) de P (R)/Q(R). On note Res(R) =
P (R)/Q(R). Pour voir la structure de ce groupe, on regarde d’abord son ordre.
Propriété 4.14. L’ordre |Res(R)| = det(Cartan(R)).
Démonstration. Soit S = {α1 , α2 , · · · , αn }. Alors
15
P (R) = {x =
= {x =
= {x =
n
X
i=1
n
X
i=1
n
X
xi αi , xi ∈ R, i = 1, · · · , n | (x, αj ) ∈ Z, j = 1, · · · , n}
xi αi , xi ∈ R, i = 1, · · · , n |
n
X
xi (αi , αj ) ∈ Z, j = 1, · · · , n}
i=1
xi αi , xi ∈ R, i = 1, · · · , n | M atrice((αi , αj ))(x1 , · · · , xn )T ∈ Zn }
i=1
= {x =
n
X
xi αi , xi ∈ R, i = 1, · · · , n | Cartan(R)(x1 , · · · , xn )T ∈ Zn }
i=1
= {x =
n
X
xi αi , xi ∈ R, i = 1, · · · , n | (x1 , · · · , xn )T ∈ Cartan(R)−1 Zn }
i=1
En fait, ∀(y1 , · · · , yn ) ∈ Zn , considérons y = (α1 , · · · , αn )Cartan(R)−1 (y1 , · · · , yn )T ∈ Rn .
∀αj ∈ S, (y, αj ) = ((α1 , αj ), · · · , (αn , αj ))Cartan(R)−1 (y1 , · · · , yn )T . Or ((α1 , αj ), · · · , (αn , αj ))
est la j-ème ligne de Cartan(R) (qui est symétrique), donc (y, αj ) = yj ∈ Z. Donc y ∈ P (R). On
en déduit que comme un réseau,
P (R) = (α1 , · · · , αn )Cartan(R)−1 Zn .
Sous la base canonique de Rn ,
1
covol(Q(R)) = |det(α1 , · · · , αn )| = |det(Cartan(R))| 2
1
covol(P (R)) = |det(α1 , · · · , αn )||det(Cartan(R)−1 )| = |det(Cartan(R))|− 2 .
Finalement,
|Res(R)| = |P (R)/Q(R)| = covol(Q(R))/covol(P (R)) = det(Cartan(R)).
En fait, on a vu que si on note β1 , · · · , βn une Z−base de P (R), alors (β1 , · · · , βn ) = (α1 , · · · , αn )Cartan(R)−1
et (α1 , · · · , αn ) = (β1 , · · · , βn )Cartan(R). Cela donne le résultat directement.
Nous allons voir la structure du groupe Res(R) cas par cas.
(1) An

2

−1

Cartan(An )=
0

· · ·
0

−1 · · · 0
0

2 −1 · · · 0 

−1 2 · · · 0 


· · · · · · · · · · · ·
· · · 0 −1 2
16
|Res(An )| = |det(Cartan(An ))| = n + 1.
Q(An ) = {(x1 , · · · , xn+1 ) ∈ Zn+1 |
P (An ) = Q(An ) + Z(e1 −
1
n+1
Pn+1
i=1
Pn+1
i=1
xi = 0} =
n
L
Z(ei − ei+1 ).
i=1
ei ).
Pour obtenir l’expression explicite ci-dessus de P (An ), notons que si on peut trouver un élément x0 dans P (An )/Q(An ) d’ordre n + 1, alors on a Q(An ) ⊂ Q(An ) + Zx0 ⊂ P (An ) et
|(Q(An ) + Zx0 )/Q(An )| = n + 1 = |P (An )/Q(An )|, donc P (An ) = Q(An ) + Zx0 .
n
n−1
1
Un tel élément est proposé comme x0 = n+1
(e1 − e2 ) + n+1
(e2 − e3 ) + · · · + n+1
(en − en+1 ) =
P
n+1
1
/ Q(An ), 1 ≤ m < n + 1, l’ordre de
e1 − n+1 i=1 ei . Comme (n + 1)x0 ∈ Q(An ) et mx0 ∈
x0 + Q(An ) dans Res(An ) est bien n + 1.
Ainsi Res(An ) =< x0 >' Z/(n + 1)Z.
Pour chaque diviseur m de n + 1, il y a un unique sous groupe d’ordre m de Res(An ), donc il
1
1
|det(Cartan(R))| 2 .
y a un unique réseau entier contenant Q(An ) de covolume m
(2) Dn

2

−1

0

 .
Cartan(Dn )=
 ..

0

0

0
−1 0
0 ···
2 −1 0 · · ·
−1 2 −1 · · ·
..
..
..
..
.
.
.
.
···
···
···
0
0
0
0
0
0
..
.
0
0
0
..
.










−1 2 −1 −1

0 −1 2
0

0 −1 0
2
|Res(Dn )| = |det(Cartan(Dn ))| = 4.
Q(Dn ) = {(x1 , · · · , xn ) ∈ Zn |
P (Dn ) =
n
L
i=1
Zei + Z( 21
n
P
Pn
i=1 xi
≡ 0mod2} =
n−1
L
Z(ei − ei+1 ) ⊕ Z(en−1 + en ).
i=1
ei ).
i=1
Pour obtenir l’expression de P (Dn ), remarquons que d’après définitiion, x = (x1 , · · · , xn ) ∈
P (Dn ) ⇐⇒ (x, en−1 + en ) ∈ Z, (x, ei − ei+1 ) ∈ Z, i = 1, · · · , n − 1 ⇐⇒ 2xi ∈ Z, xi − xj ∈
Z, ∀i, j ⇐⇒ x − 21 (1, 1, · · · , 1) ∈ Zn .
17
Res(Dn ) est abélien d’ordre 4 donc isomorphe à Z/4Z ou Z/2Z × Z/2Z.
Si n est impair, on a a · ( 21
n
P
ei ) ∈ Q(Dn ) ⇐⇒ a ≡ 0mod4. Donc Res(Dn ) ' Z/4Z. Il a un
i=1
seul sous groupe d’ordre 2. Donc le seul réseau entier (non trivial) contenant Q(Dn ) est
n
L
Zei à
i=1
équivalent près, avec covolume 1.
Si n est impair, on a a · ( 21
n
P
ei ) ∈ Q(Dn ) ⇐⇒ a ≡ 0mod2. Donc Res(Dn ) ' Z/2Z × Z/2Z.
i=1
Il a trois sous groupes d’ordre 2. Les réseaux entières (non triviaux) contenant Q(Dn ) sont :
n
L
Q(Dn ) ⊂
Zei ⊂ P (Dn )
i=1
Q(Dn ) ⊂ Q(Dn ) + 21 (e1 + e2 + · · · en ) ⊂ P (Dn )
Q(Dn ) ⊂ Q(Dn ) + 21 (−e1 + e2 + · · · en ) ⊂ P (Dn )
Or comme réseau, Q(Dn ) + 12 (e1 + e2 + · · · en ) et Q(Dn ) + 21 (−e1 + e2 + · · · en ) sont équivalents,
n
L
ils sont pairs. Ce réseau n’est pas équivalent à
Zei qui n’est pas pair. Donc il y a deux réseaux
i=1
non éuivalents, leur covolumes sont tous 1.
(3) E8
|Res(E8 )| = |det(Cartan(E8 ))| = 1.
Q(E8 ) = Z( 21 (e1 + e8 ) − 12 (e2 + ... + e7 )) ⊕ Z(e2 + e1 )
7
L
Z(ei − ei−1 )
i=2
P (E8 ) = Q(E8 ). Le seul réseau entier contenant Q(E8 ) est lui-même. C’est un réseau unimodulair et pair.
(4) E7
|Res(E7 )| = |det(Cartan(E7 ))| = 2.
P (E7 )/Q(E7 ) ' Z/2Z. Les seuls réseaux entières contenant Q(E7 ) sont lui-même et P (E7 ).
(5) E6
|Res(E6 )| = |det(Cartan(E6 ))| = 3.
P (E6 )/Q(E6 ) ' Z/3Z. Les seuls réseaux entières contenant Q(E6 ) sont lui-même et P (E6 ).
4.5
Résumé
Dans cette section, on résume ce qu’on étudie dans ce chapitre.
18
TABLE 1 – Résumé des systèmes de racines
Diagramme de Dynkin
Nb. de racines
Nb. Coxeter
Det(Cartan)
Residu
An
Dn
E6
E7
E8
n(n + 1)
2n(n − 1)
72
126
240
n+1
2(n − 1)
12
18
30
n+1
4
3
2
1
Z/(n + 1)Z
Z/4Z ou Z/2Z × Z/2Z
Z/3Z
Z/2Z
{1}
19
5
Résultat pour n = 8 et n = 16
Dans ce chapitre, on va appliquer les études des chapitres précédents à l’étude des classifications des formes quadratiques entières. Grace à la discussion du chapitre 2, on réduit l’étude des
classifications des formes quadratiques entières positives définies à l’étude des réseaux entiers pairs
unimodulaires. Ensuite, en introduisant la fonction θ, on a prouvé que les réseaux entiers pairs unimodulaires existent si et seulement si 8|n avec n la dimension d’espace. Enfin, on va utiliser le
système des racines pour conclure maintenant. Pour cela, on se restreint dans les cas où n = 8 et
n = 16.
(1) n = 8 On a montré dans la section 3.4 que x.x = 2 a 240 solutions dans la dimension 8.
Or, parmi tous les systèmes de racines de dimension 8, E8 est le seul qui peut avoir 240 racines.
Les autres sont impossibles d’avoir tellement de racines par le calcul simple. D’après 4.4, on voit
qu’il y a un seul réseau entier pair unimodulaire contenant le système de racines E8 , c’est Q(E8 ).
C’est-à-dire que Q(E8 ) est le seul réseau entier pair unimodulaire qui peut avoir 240 éléments de
longueur 2. Donc on conclut que Q(E8 ) est l’unique réseau unimodulaire entier pair en dimension
8. On le note aussi E8 . Remarquons que c’est le même réseau que celui dans l’exemple 2.11.
(2) n = 16 On a montré dans la section 3.4 que x.x = 2 a 480 solutions dans la dimension
16. Or, parmi tous les systèmes de racines, E8 ⊕ E8 et D16 sont les seuls qui peuvent avoir 480
racines. Les autres sont impossibles d’avoir tellement de racines par le calcul simple. On sait que le
réseau entier ayant E8 ⊕ E8 comme les éléments de longueur 2 est Q(E8 ) ⊕ Q(E8 ). C’est encore
pair et unimodulaire. D’après 4.4, il y a un seul réseau entier pair unimodulaire contenant D16 , c’est
Q(D16 ) + 21 (e1 + e2 + · · · e16 ) (l’autre n’est pas pair). Donc on conclut que Q(E8 ) ⊕ Q(E8 ) et
Q(D16 ) + 21 (e1 + e2 + · · · e16 ) sont les seuls réseaux unimodulaires entiers pairs en dimension 16.
Ils sont souvent notés comme E8 ⊕ E8 et E16 .
20
6
Conclusion
Dans cet article, on a étudié la classification des formes quadratiques unimodualires paires en
utilisant les formes modulaires et les systèmes de racines. On donne aussi la classification en dimension 8 et 16. La dimension 24 a été étudiée dans la publication de [Venkov]. L’idée de traiter ce cas
est similaire à celui pour dimension 8 et 16. Mais les cas de dimension supérieure restent toujours
ouverts parce que le nombre de système de racines possible augmente brutalement. Dans [Serre1,
ChapV], on peut voir un peu cette phénomène à l’aide de considérant le groupe d’automophisme
d’une forme (ou d’un système de racines).
Mais le cas de discriminant = ±1 est seulement le premier pas dans le chemin de la classification. Les travaux à l’avenir contiennent naturellement l’étude du cas de discriminant > 1 (ou
< −1). D’après 3.3, on voit que dans ce cas-là, la fonction θ n’est plus une forme modulaire définie
en considérant le groupe SL(2, Z). En fait, il faut introduire les sous-groupes de congruence de
SL(2, Z) au lieu du groupe modulaire SL(2, Z).
21
7
Annexe
Explication pour 2.1.1 :
En fait, on peut considérer les formes définies ci-dessus comme les formes sur des réseaux. On
peut les introduire comme cela :
Définition 7.1. Soit E = ⊕ni=1 Zei un réseau de rang n avec une base ei , une forme quadratique
entière sur E est une fonction Q0 : E → Z telle que :
Q0 (aX) = a2 Q0 (X) pour a ∈ Z et X ∈ E ;
et la fonction (X, Y ) 7→ Q0 (X + Y ) − Q0 (X) − Q0 (Y ) pour X, Y ∈ E est une forme bilinéaire.
On peut définir X.Y = Q0 (X + Y ) − Q0 (X) − Q0 (Y ) pour X, Y ∈ E. C’est une forme
bilinéaire symétrique sur E. Inversement, étant donné une forme bilinéaire symétrique entière telle
X.X
.
que X.X ∈ 2Z pour tout X ∈ E, on peut y associer une forme quadratique entière Q0 (X) =
2
Si on écrit X0 sous la forme X0 = x1 e1 + · · · + xn en , alors on peut exprimer Q0 (X0 ) comme
1
Q0 (X0 ) = (x1 , · · · , xn )A(x1 , · · · , xn )T , d’où A = (aij ) ∈ Mn (Z) avec aij = ei .ej . On re2
marque qu’elle est symétrique et que ses éléments diagonaux sont pairs.
D’après l’isomorphisme de groupe (qui conserve la métrique) E = ⊕ni=1 Zei → Zn , X0 =
x1 e1 + · · · xn en 7→ X = (x1 , · · · , xn ), on peut voir Q0 comme une forme quadratique entière sur
1
Zn : Q(X) = (x1 , · · · , xn )A(x1 , · · · , xn )T .
2
Notons que pour la même forme bilinéaire symétrique entière sur E, si on exprime E sous
une autre base e0i , alors la expression de X0 devient X0 = x01 e01 + · · · x0n e0n et celle de Q0 devient
X0 .X0
1
Q0 (X0 ) =
= (x01 , · · · , x0n )A0 (x01 , · · · , x0n )T , d’où A0 = (a0ij ) ∈ Mn (Z) avec a0ij =
2
2
e0i .e0j . L’isomorphisme de groupe devient X0 = x01 e01 + · · · x0n e0n 7→ X 0 = (x01 , · · · , x0n ). Donc on
peut voir Q0 comme une autre forme quadratique entière sur Zn :
1
Q0 (X 0 ) = (x01 , · · · , x0n )A0 (x01 , · · · , x0n )T
2
Soit B la matrice t.q. (e01 , · · · , e0n ) = (e1 , · · · , en )B, alors on sait que B ∈ GLn (Z) et que
(x1 , · · · , xn )T = B(x01 , · · · , x0n )T . Donc, on a :
1
1
Q0 (X 0 ) = Q0 (X0 ) = Q(X) = (x1 , · · · , xn )A(x1 , · · · , xn )T = (x01 , · · · , x0n )B T AB(x01 , · · · , x0n )T .
2
2
On a alors A0 = B T AB.
22
Ainsi, deux formes quadratiques entières équivalentes sur Zn sont en fait les expressions d’une
même forme quadratique entière sur un réseau dans les différentes bases. De plus, elles induisent
une même norme sur Zn et donc sur Rn = Zn ⊗Z R.
Démonstration de la proposition 2.10
D’une part, chaque forme quadratique entière définie positive (Q(X) = 21 XAX T ) introduit
une injection de Zn dans Rn . Comme A est symétrique définie positive, il existe P ∈ GLn (R)
tel que A = P T P . L’injection est donnée comme : X 7→ P X. Ainsi l’image de Zn est un réseau
dans Rn , on le note ΓQ = P Zn . De plus, c’est un réseau entier pair car ∀X, Y ∈ Zn , P X.P Y =
X T P T P Y = X T AY ∈ Z, P X.P X = X T AX ∈ 2Z.
Ce réseau est défini à équivalence près car ∀g ∈ On (R), A = P T g T gP , donc l’image de Zn est
gP Zn qui est équivalent à P Zn .
Si Q0 = 21 XA0 X T est équivalent à Q tel que A0 = B T AB avec B ∈ GLn (Z), alors l’image de
Zn de l’injection introduit par Q0 est P BZn . C’est le même réseau que P Zn .
D’autre part, chaque réseau entier pair Γ =
n
L
Zγi de Rn introduit une forme quadratique :
i=1
||X(γ1 , · · · , γn )T ||2
= 12 X T (γi .γj )X. Comme ∀i, j γi .γj ∈ Z, γi .γi ∈ 2Z,
∀X ∈ Z, QΓ (X) =
2
Q est une forme quadratique entière définie positive.
Cette forme quadratique est définie à équivalence près. En fait, si on écrit Γ sous une autre base :
n
L
Γ=
Zωi , alors (ω1 , · · · , ωn ) = (γ1 , · · · , γn )B avec B ∈ GLn (Z). Donc la matrice de QΓ (X)
i=1
est (ωi .ωj ) = B T (γi .γj )B. C’est une forme équivalent à la forme avec matrice (γi .γj ).
n
L
Si Γ0 =
Zγi0 tel que Γ = gΓ0 avec g ∈ On (R), alors QΓ0 (X) = 21 X T (γ10 , · · · , γn0 )T (γ10 , · · · , γn0 )X =
i=1
1 T
0 , · · · , γ 0 )T g T g(γ 0 , · · ·
X
(γ
n
1
1
2
, γn0 )X = 21 X T (γ1 , · · · , γn )T (γ1 , · · · , γn )X = QΓ (X). Donc les
réseaux équivalents correspondent à une même forme.
Ainsi, Q 7→ ΓQ et Γ 7→ QΓ donne la bijection dans la proposition.
Calcul des exemples de série Eisenstein de la section 3.2.3
Par définition, Ek (z) =
1
2
On définit Gk (z) =
P
P
c,d∈Z,(c,d)=1
m,n∈Z\(0,0)
1
.
(cz+d)2k
1
. On observe que Gk (z)
(nz+m)2k
et que Gk (z) = 2ζ(2k)Ek (z).
23
= 2ζ(2k)+2
∞ P
P
n=1 m∈Z
1
(nz+m)2k
D’après l’analyse complexe, on sait que :
sin z = z
∞
Y
(1 −
n=1
z
z
)(1 +
)
nπ
nπ
Prenons le logarithme de deux cotés :
log(sin z) = log z
∞
X
(log(1 −
n=1
z
z
) + log(1 +
))
nπ
nπ
Prenons la dérivée de deux cotés :
z cot z = 1 +
∞
X
2z 2
z 2 − n2 π 2
n=1
∞ X
∞
X
=1+2
n=1 k=1
(2)
nπ
( )2k
z
A partir de l’équation 2, si on remplace z par πz, on obtient :
πz cot(πz) = 1 + 2
∞
∞
X
n=1
π cot(πz) =
On pose que q =
e2πiz .
1
+2
z
∞
X
n=1
X z2
π2z2
=
1
+
2
π 2 z 2 − n2 π 2
z 2 − n2
n=1
z
1
= +
z 2 − n2
z
∞
X
(
n=1
1
1
+
)
z−n z+n
Calculons la coté gauche,
cos(πz)
sin(πz)
2 cos(πz) cos(πz) + i sin(πz)
= iπ
.
2 sin(πz) − sin(πz) + i cos(πz)
2 cos(πz)2 + i2 sin(πz) cos(πz)
= iπ
−2 sin(πz)2 + i2 sin(πz) cos(πz)
q+1
= iπ
q−1
2iπ
= iπ −
1−q
∞
X
= iπ − 2iπ
qn
π cot(πz) = π
(3)
n=0
D’autre part,
P
m∈Z
1
m+z
= iπ − 2iπ
∞
P
qn.
n=0
Prenons la k-ème dérivée, on a :
∞
X
m∈Z
X
1
1
=
(−2iπ)k
nk−1 q n
k
(k − 1)!
(m + z)
n=1
24
(4)
Dans l’équation 4, remplaçons z par nz et k par 2k, on a :
∞
X
m∈Z
X
1
1
=
(2iπ)2k
d2k−1 q nd
2k
(2k − 1)!
(m + nz)
d=1
Finalement, on obtient :
Gk (z) = 2ζ(2k) + 2
∞
X
n=1
= 2ζ(2k) +
= 2ζ(2k) +
∞
X
1
(2iπ)2k
d2k−1 q nd
(2k − 1)!
d=1
2(2iπ)2k
(2k − 1)!
(
∞ X
∞
X
(5)
n=1 d=1
∞
2k
2(2iπ) X
(2k − 1)!
σ2k−1 (n)q n )
(
n=1
∞
P
(2iπ)2k
(
σ2k−1 (n)q n ).
ζ(2k)(2k−1)!
n=1
expressions de E2 (z) et E4 (z).
Ainsi, Ek (z) = 1 +
trouve bien les
d2k−1 q nd )
Or, ζ(4) =
π4
90
et ζ(8) =
27
8
8!.30 π .
On re-
Démonstration du Théorème 3.6
Démonstration. On va utiliser le fait
1
1
v∞ (f ) + vi (f ) + vρ (f ) +
2
3
X
p∈H/G,p6=i,ρ
vp (f ) =
k
6
sans démonstration (qui peut être trouvée par exemple dans [Serre 1, Chap VII]).
Où f 6= 0 est une forme modulaire de poids 2k. Soit p un point dans H := {z ∈ C, Im(z) > 0},
l’ordre de f en p est définie comme l’entier n t.q. f /(z − p)n est holomorphique et non nul en p et
notée comme vp (f ). i ∈ H et ρ = e2πi/3 ∈ H.
Pour 1), notons que pour f ∈ Mk \ {0}, tous termes à gauche dans la formule ci-dessus sont
≥ 0 donc k ≥ 0. De plus, k 6= 1 car 16 ne peut pas être exprimé sous la forme n + n0 /2 + n00 /3 avec
n, n0 , n00 ≥ 0.
Pour 2), considérons d’abord f = G2 et f = G3 . Pour G2 ∈ M2 , la seule possibilité d’exprimer 62
sous la forme n + n0 /2 + n00 /3 avec n, n0 , n00 ≥ 0 est n = n0 = 0, n00 = 1. Donc vρ (G2 ) = 1 et
vp (G2 ) = 0 si p 6= ρ. Pour G3 ∈ M3 , la seule possibilité d’exprimer 63 sous la forme n+n0 /2+n00 /3
avec n, n0 , n00 ≥ 0 est n = n00 = 0, n0 = 1. Donc vi (G3 ) = 1 et vp (G3 ) = 0 si p 6= i.
Maintenant considérons ∆ := (60G2 )3 − 27(140G3 )2 . C’est facile de voir que ∆ est une forme
modulaire de poids 12. Comme G2 (i) 6= 0 et G3 (i) = 0, on sait que ∆(i) 6= 0. Donc ∆ ∈ M6 \{0}.
25
D’après la section précédente, on sait déjà que ∆(∞) = 0 donc v∞ (∆) ≥ 1. D’après la formule
ci-dessus, on doit avoir v∞ (∆) = 1 et vp (∆) = 0 si p 6= ∞. C’est-à-dire que ∆ n’a pas de zéro sur
H et a un zéro simple en ∞.
Donc on a un isomorphisme de C-espace vectorielle Mk0 → Mk−6 , f 7→ f /∆, le morphisme inverse est g 7→ g∆.
Pour 3), quand k ≤ 5, k − 6 < 0. D’sprès 1) et 2), Mk0 ' Mk−6 = 0. Donc pour k = 2, 3, 4, 5,
Mk = Mk0 ⊕ CGk = CGk . Pour k = 1, comme 1 ∈ M0 et dimM0 ≤ 1, on a M0 = C.
Démonstration du Théorème 4.12
Démonstration. On sait que la matrice de Cartan est définie positive. On montre que les matrices
correspond aux autres diagrammes de Dynkin ne peuvent pas être définies positives. Plus précisément, on va éliminer les cas suivants :
F IGURE 2 – Les diagramme de Dynkin de Ãn , D̃n , Ẽ6 , Ẽ7 , Ẽ8
(1). Il n’y pas de cycles Ãn . La matrice de Cartan de Ãn est :


2 −1 0 · · · 0 −1


0
−1 2 −1 · · · 0


 0 −1 2 · · · 0
0


 .
..
..
..
..
.. 
 ..
.
.
.
.
. 




0
0 · · · 2 −1
0
−1 0
0 · · · −1 2
Son déterminant est égal à 0.
(2). Il n’y pas de D̃5 . La matrice de Cartan de D̃5 est :
26


2
0 −1 0
0


0
2 −1 0
0


−1 −1 2 −1 −1




0 −1 2
0
0
0
0 −1 0
2
Son déterminant est égal à 0.
(3). Il n’y pas de D̃n . La matrice de Cartan de D̃n est :


2
0 −1 0
0 ··· 0
0


0
2 −1 0
0 ··· 0
0


−1 −1 2 −1 0 · · · 0
0




0 −1 2 −1 · · · 0
0
0
 .
..
..
..
.. 
..
..
..

 .
.
.
.
 .
.
.
.
. 


 0 ··· 0
0 −1 2 −1 −1




0
0 −1 2
0
 0 ··· 0
0 ··· 0
0
0 −1 0
2
Son déterminant est égal à 0.
(4). Il n’y pas de Ẽ6 . La matrice de Cartan de Ẽ6 est :

2 −1 0
0
0

−1 2 −1 0
0

 0 −1 2 −1 0


0 −1 2 −1
0

0
0
0 −1 2


0 −1 0
0
0
0
0
0
0
0

0
0

0
0

−1 0 


0
0

0
0


2 −1
−1 2
Son déterminant est égal à 0.
(5). Il n’y pas de Ẽ7 . La matrice de Cartan de Ẽ7 est :


2 −1 0
0
0
0
0
0



−1 2 −1 0
0
0
0
0


 0 −1 2 −1 0
0
0
0





0
0
−1
2
−1
−1
0
0


0
0
0 −1 2
0
0
0




0
0
0 −1 0
2 −1 0 


0
0
0
0
0 −1 2 −1


0
0
0
0
0
0 −1 2
27
Son déterminant est égal à 0.
(6). Il n’y pas de Ẽ8 . La matrice de Cartan de Ẽ8 est :

2 −1 0
0
0
0

−1 2 −1 0
0
0

 0 −1 2 −1 −1 0


0
0 −1 2
0
0

0
0 −1 0
2 −1


0
0
0 −1 2
0

0
0
0
0
0 −1


0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

0
0
0

0
0
0

0
0
0


0
0
0

0
0
0


−1 0
0

2 −1 0 


−1 2 −1
0 −1 2
Son déterminant est égal à 0.
En fait, on observe que si le diagramme de Dynkin contient Ãn , D̃n , Ẽ6 , Ẽ7 , Ẽ8 comme sousgraphe, la matrice de Cartan n’est pas définie positive.
Pour un diagramme de Dynkin, on peut dire qu’il y a pas de cycles. On considère le plus long
chemin dans le diagramme. S’il y a pas de branches sur ce chemin, il doit forcement être An . Sinon,
s’il y a deux branches, il doit forcement contenir un sous-graphe D̃n .
Il reste à traiter le cas où il y a une seule branche. Si la diagramme n’est pas Dn , la branche n’est
pas sur le deuxième sommet de l’extrémité. Si la branche est de longueur au moins 2, il contient le
sous-graphe Ẽ6 . Si la branche est sur le quatrième sommet de l’extrémité ou plus loin, il contient
Ẽ7 . De plus, si le chemin est de longueur plus grande que 8, il contient un sous-graphe Ẽ8 .
En éliminant toutes ces situations, on conclut que seuls An , Dn , E6 , E7 , E8 peuvent être le
diagramme. CQFD
Référence
[Serre1] Jean-Pierre Serre, Cours d’arithmétique.
[Serre2] Jean-Pierre Serre, Complex Semisimple Lie Algebras.
[Zagier] Don Zagier, Elliptic modular forms and their applications in The 1-2-3 of Modular
Forms : Lectures at a Summer School in Nordfjordeid, Norway.
[Venkov] B.B. Venkov, Even Unimodular 24-Dimensional Lattices.
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