Math 436 - Troisanges.com

Math 436
Examens de pratique
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Mathématiques Ajna
Table des matières
Introduction
L’examen de Math 436
Notations usuelles
Problèmes par sujet
v
vi
vii
viii
Examen
Examen
Examen
Examen
Examen
Examen
Examen
Examen
Examen
Examen
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
15
27
41
53
67
79
93
107
121
Examen
Examen
Examen
Examen
Examen
Examen
Examen
Examen
Examen
Examen
1 Solutions
2 Solutions
3 Solutions
4 Solutions
5 Solutions
6 Solutions
7 Solutions
8 Solutions
9 Solutions
10 Solutions
137
149
159
169
181
193
205
217
227
239
Formules
251
Introduction
Ce livre a été rédigé dans le but d’aider les étudiants au Québec à préparer
leur examen de Math 436. Il est important de savoir les difficultés que l’on peut
rencontrer à cet examen. Toutefois, beaucoup d’étudiants font l’erreur de ne
consulter les examens antérieurs que lorsqu’ils sont déjà en fin d’année scolaire.
Cette approche à l’examen final explique pourquoi beaucoup d’étudiants échouent
à celui-ci. La meilleure façon d’acquérir la confiance nécessaire pour passer cet
examen est de résoudre, sur une base régulière et à longueur d’année, des questions de type examen. Malheureusement, il est en général difficile de se procurer
les vieux examens, et, même quand on y parvient, les solutions ne sont pas toujours disponibles.
Afin de fournir aux étudiants ce matériel d’apprentissage vital, ce livre regroupe
dix examens pratiques de Math 436, avec la solution détaillée à chaque question.
Ces examens sont basés sur le format et le niveau requis par les examens officiels depuis plusieurs années. Tous les problèmes de ce livre ont été sélectionnés
afin de développer ou d’approfondir la compréhension des étudiants du type de
connaissance que l’on attend d’eux. Il n’y a pas meilleur moyen de se préparer
pour l’examen de Math 436 que de s’exercer sur tous les 250 problèmes que l’on
trouve dans ce livre.
Ne vous découragez si à première vue ces problèmes vous semblent difficile. Il
est même tout à fait normal que, pour certains problèmes, l’étudiant ne sache pas
par où commencer. Mais comme ceci est le niveau de difficulté réel de l’examen,
il est beaucoup mieux préférable que l’on soit averti des défis auxquels s’attendre
en bout de ligne. Lorsque vous expérimentez quelque difficulté avec un problème,
vous devez consulter la solution afin de savoir comment s’y prendre. Si malgré
cela vous ne comprenez toujours pas, vous devez demander au professeur, à un
autre étudiant ou à un tuteur en maths de vous expliquez la solution. La chose
la plus importante est de vous assurer que vous avez assez compris le problème
pour être à mesure de le résoudre quelques semaines plus tard sans aucune aide.
Il est fort probable qu’à ce jour, l’examen de Math 436 soit l’examen le plus
important que vous ayez passé dans votre vie. Il est donc important que vous
commenciez à le préparer le plus tôt possible. Si vous vous y prenez serieusement,
vous aurez du succès. Bonne chance!
L’examen de Math 436
L’examen de Math 436 est requis par le ministère de l’éducation de Québec.
Tous les étudiants du Québec passent cet examen le même jour à la même heure.
Les étudiants ont trois heures pour résoudre toutes les questions. L’examen est
offert trois fois par an. La plupart des éudiants passent l’examen de juin en fin
d’année scolaire. Si un étudiant échoue, il ou elle peut reprendre l’examen en
juillet. Il y a aussi un autre examen en janvier.
L’examen comprend 25 questions. Chaque question vaut 4 points, soit un total
de 100 points. Ainsi, chaque question compte pour 4%. L’examen est composé
de trois parties: Partie A, Partie B et Partie C. La Partie A est constituée de
10 questions au choix multiple (40% de l’examen), la Partie B, de 6 questions
à réponse courte (24% de l’examen), et la Partie C, de 9 questions à réponse
détaillée (36% de l’examen). Pour les Parties A et B, aucune justification n’est
nécessaire, seules la bonne réponse est requise. Pour la Partie C, on exige des
solutions complètes détaillées afin d’obtenir tous les points. L’avantage de la
Partie C est qu’il est possible d’obtenir une partie des points. Il est conseillé de
toujours écrire quelque chose pour chaque question de la Partie C, car cela peut
vous procurer des points. Cela donne une indication de l’importance des questions
au choix multiple dans cet examen. Cela peut pénaliser énormément d’avoir un
mauvais résultat à la partie A, puisque chaque réponse incorrecte coûte 4%. En
général, les étudiants qui ont de bons résultats aux questions à choix multiple
passent l’examen.
Les règles de l’examen autorisent une page d’aide-mémoire. Le formulaire à
la fin de ce livre pourrait vous aider à préparer cet aide-mémoire. En plus des
formules, il peut être utile d’inclure la solution à certains problèmes afin de s’en
rappeler les principales étapes.
Notations usuelles
• Conditions pour
triangles isométriques
• Conditions pour
triangles semblables
CCC: Condition Côté-Côté-Côté
CCC: Condition Côté-Côté-Côté
CAC: Condition Côté-Angle-Côté
CAC: Condition Côté-Angle-Côté
ACA: Condition Angle-Côté-Angle
AA: Condition Angle-Angle
• Une fonction linéaire a la forme f (x) = ax + b.
Une fonction quadratique a la forme f (x) = ax2 + bx + c.
• Supposons que P et Q soient deux points. Le segment de droite
joignant P à Q est noté P Q ou P Q. La mesure du segment de
droite P Q est notée m P Q. Nous allons très souvent abréger m P Q
à P Q ou à P Q, s’il n’y pas de confusion.
• Le rapport d’une homothéthie est noté par p.
Le rapport d’une similitude est aussi noté par p.
Quand p désigne un rapport d’homothétie, p peut être un nombre réel
positif ou négative, non nul.
Pour un rapport de similitude, p doit être un nombre réel positif non nul, et
nous devons toujours supposer que p > 1 quand c’est possible.
• Supposons que P1 P2 soit un segment de droite. Un point Pd sur
le segment P1 P2 est appelé point de partage du segment P1 P2 .
m P1 Pd
Pd partage le segment P1 P2 en la fraction F =
.
m P1 P2
Pd partage le segment P1 P2 dans un rapport de partie à partie
m P1 Pd : m Pd P2 .
• Le symbole “ ≈ ” signifie approximativement. Par exemple, π ≈ 3,14.
• La virgule est utilisée pour la notation décimale.
Problèmes par sujet
Exposants et racines.
1.5, 2.5, 3.8, 4.23, 5.5, 5.7, 7.4, 8.2, 9.1, 10.1
Opérations sur les polynômes.
1.24, 3.22, 4.13, 6.9, 6.13, 6.20, 7.8, 8.21, 9.3, 9.6, 9.21
Factorisation de polynômes.
2.3, 4.9, 5.15, 7.10, 8.21, 10.9
Expressions rationnelles.
1.6, 3.9, 6.4, 6.11, 7.14, 8.6, 9.9, 10.13
Propriétés des fonctions.
1.3, 2.8, 2.9, 3.3, 3.7, 5.3, 6.3, 6.10, 8.1, 9.8, 10.5
Transformations de fonctions.
1.8, 4.1, 6.3, 7.5, 8.10, 10.10
Équations et fonctions linéaires.
1.4, 1.14, 1.16, 1.17, 1.21, 2.2, 2.16, 2.21, 3.1, 3.12, 3.23, 4.3, 4.5, 4.7, 4.16,
4.21, 4.22, 5.1, 5.19, 5.22, 6.6, 6.16, 6.23, 7.1, 7.8, 7.16, 7.17, 7.21, 7.24, 8.5,
8.17, 8.20, 8.22, 9.11, 9.14, 9.23, 10.5, 10.7, 10.14, 10.16, 10.18, 10.24
Équations et fonctions quadratiques.
1.8, 1.19, 1.25, 2.6, 2.7, 2.9, 2.25, 3.16, 3.23, 4.6, 4.19, 5.9, 5.16, 5.21, 5.24,
6.2, 6.3, 6.9, 6.20, 6.23, 6.25, 7.5, 7.17, 7.19, 7.20, 7.24, 8.10, 8.12, 8.17, 8.24,
9.20, 9.21, 10.3, 10.5, 10.23
Système de deux équations linéaires.
1.17, 1.21, 2.23, 3.18, 4.7, 4.22, 4.24, 5.12, 5.24, 6.22, 7.6, 7.7, 8.4, 8.22, 9.18,
10.14, 10.20
Système d’une équation linéaire et d’une équation quadratique.
2.15, 3.5, 4.11, 4.21, 5.21, 7.17, 9.5, 9.11
Formule de la distance.
1.22, 3.21, 4.4, 4.25, 6.24, 7.16, 7.25, 9.11, 10.6
Formules du point de partage et du point milieu.
1.11, 2.12, 2.19, 3.13, 3.17, 3.21, 4.20, 5.14, 6.5, 6.24, 6.25, 7.16, 7.25, 8.11,
9.12, 9.23
Distance entre un point et une droite.
1.14, 3.21, 5.2, 7.21, 8.14
Aires de figures, et volumes de solides.
1.13, 1.15, 1.18, 2.13, 2.21, 2.23, 3.21, 3.25, 4.4, 4.20, 5.4, 5.8, 5.18, 5.19, 5.20,
5.22, 6.12, 7.24, 8.20, 8.21, 8.25, 9.15, 9.21, 9.22, 9.23, 10.25
Figures et solides équivalents.
1.7, 1.23, 2.4, 3.6, 3.11, 3.22, 4.2, 4.17, 6.8, 7.18, 9.2 9.21, 10.22
Géométrie des droites parallèles.
1.2, 1.6, 2.17, 3.14, 5.11, 7.6, 7.23, 8.13, 8.16, 8.19, 10.17
Isométries du plan.
2.1, 6.7, 10.8
Figures isométriques.
1.11, 2.22, 3.15, 4.8, 6.8, 7.15, 8.9, 8.16, 9.10, 9.16, 10.2
Homothéties et similitudes.
3.17, 3.21, 4.20, 5.14, 5.23, 7.22, 9.22, 10.14
Similitudes de figures et de solides.
1.7, 1.9, 1.13, 1.20, 2.4, 2.13, 2.14, 2.18, 2.20, 3.4, 3.6, 3.15, 3.19, 3.25, 4.15,
4.23, 5.8, 5.10, 5.13, 5.20, 5.25, 6.14, 6.17, 6.19, 7.2, 7.12, 7.13, 8.3, 8.9, 8.15,
8.23, 8.25, 9.2, 9.13, 9.15, 9.22, 9.24, 9.25, 10.4, 10.12, 10.17, 10.21
Preuves en géométrie.
3.15, 4.25, 5.25, 8.16, 9.16, 10.17
Trigonométrie du triangle rectangle.
1.18, 2.11, 2.18, 2.22, 2.25, 3.14, 3.24, 4.12, 5.4, 5.18, 6.12, 7.15, 7.22, 7.23,
8.7, 8.19, 9.19, 10.11, 10.18, 10.25
Lois du sinus et du cosinus.
1.1, 1.22, 2.17, 3.10, 3.24, 4.18, 5.23, 6.1, 7.20, 8.19, 9.4, 9.24, 9.25, 10.21
Distance, vitesse et temps.
3.18, 6.18
Statistiques.
1.10, 1.12, 2.10, 2.24, 3.2, 3.20, 4.10, 4.14, 5.6, 5.17, 6.15, 6.21, 7.3, 7.11, 8.8,
8.18, 9.7, 9.17, 10.15, 10.19
EXAMEN DE
PRATIQUE 1
MATHÉMATIQUES 436
INSTRUCTIONS
1. Chaque question vaut quatre points.
2. Les diagrammes dans ce cahier d’examen ne sont pas reproduits à l’échelle.
3. L’usage d’un papier millimétré, d’un coffret de géométrie et d’une calculatrice
scientifique est permis.
4. Vous pouvez également utiliser un aide-mémoire d’une page recto-verso.
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1
Examen 1
Partie A
Cette partie de l’examen comprend les questions 1 à 10.
1. Trois trottoirs forment un triangle EF G.
Le trottoir allant du point E au point G est
endommagé et doit être complètement refait.
Il coûte 20 $ pour paver 1 mètre de trottoir.
Au dollar près, quel est le coût de refection
du trottoir?
A) 2 600 $
C) 1 400 $
B) 2 000 $
D) 3 000 $
2. Dans le diagramme ci-dessous, les droites L1 et L2 ont une sécante commune.
Lequel des énoncés suivant concernant les droites L1 et L2 est-il vrai?
A) L1 et L2 sont parallèles.
C) L1 et L2 coı̈ncident.
B) L1 et L2 sont perpendiculaires.
D) L1 et L2 se coupent.
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2
Examen 1
3. Considérons le graphique de la fonction f donné dans le plan cartésien ci-dessous.
Lequel des énoncés suivants est-il vrai?
A) Le maximum de la fonction f est 2.
B) f (2) = 0.
C) L’image de f est [−1,2].
D) La fonction f est décroissante sur [2,4].
4. Une droite ` dans le plan cartésien a les propriétés suivantes:
5
• La droite ` est parallèle à y = − x + 8.
4
• L’abscisse à l’origine de ` est négative.
Laquelle des équations suivantes peut-elle être celle de la droite `?
4
A) y = x + 1
5
5
C) y = − − 1
4
5
B) y = − x + 1
4
4
D) y = x − 1
5
1
5. Avec x < 0, laquelle des expressions suivantes est-elle équivalente à (−x)− 2 ?
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1
−x
A)
√
B)
−1
√
x
C)
D)
3
−1
√
−x
√
x
Examen 1
Partie B
Cette partie de l’examen comprend les questions 11 à 16.
11. Trouvez toutes les solutions, s’il y en a, au système d’équations suivant:
(4x)2 = 2(y − 1)
16x − y − 7 = 0.
12. Le socle d’un pont est constuit en utilisant des supports triangulaires en acier. Le
diagramme ci-dessous donne la forme de l’un de ces supports. La poutre principale,
notée RU dans le diagramme, mesure 8 m.
Quelle est la longueur de la plus courte poutre SU , au centimètre près?
13. Quel est le résultat de la division polynomiale suivante?
(8x3 + 10x2 + 7x + 15) ÷ (2x + 3)
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47
Examen 4
21. Un canard flottant au-dessus d’un petit lac décide, non sans regret, de plonger à la
recherche de nourriture. La situation est illustrée dans le diagramme ci-dessous, dans
lequel toutes les distances sont données en mètres.
La trajectoire du canard lors de sa plongée est donnée par la fonction quadratique
1
y = (x − 7)2 − 5.
3
À l’affût, au fond du lac, se trouve un crocodile rusé. Ce dernier s’élance en ligne
droite vers le canard, après que ce dernier eut entamé sa remontée. La trajectoire du
crocodile est donnée par y = −2x + 18.
Quelle est la distance, par rapport à la surface du lac, entre le point initial de flottaison
du canard et l’endroit de sa fin tragique? Arrondissez votre réponse au centième de
mètre près.
22. Le quadrilatère ABCD, avec ∠ABC = 90◦ , est donné dans le diagramme ci-dessous.
Quelle est l’aire du quadrilatère ABCD?
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64
Examen 5
Examen 1 - solutions
Partie A
1.
2.
3.
4.
5.
A
D
D
C
A
6.
7.
8.
9.
10.
A
D
D
A
C
Partie B
11.
12.
13.
14.
15.
16.
Les coordonnées de T sont (3,2).
Les coureurs avec un temps de 65 se classent dans le 81ème rang centile.
Le volume de la petite pyramide est 10 cm3 .
La distance est approximativement 17 unités.
Le volume est approximativement 69 m3 .
L’équation de la droite L2 est y = −3x + 7.
Partie C
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
Pour un travail qui dure 5 heures, les deux compagnies demandent le
même prix.
Le volume de la pyramide est approximativement 5 179 m3 .
La différence entre le revenu maximum et le revenu actuel est de 54 $.
Le périmètre de la ferme est 446 hm.
La pente du segment P Q est 74 .
La mesure de l’angle Q est approximativement 86◦ .
La base inclinée du verre est approximativement 5,66 cm.
L’aire du rectangle ABCD est 120 cm2 .
La fusée atterrit approximativement à 9,2 mètres du mat.
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137
Examen 1 - solutions
Examen 1 - solutions
Partie A
1. L’angle GEF mesure 180◦ − 40◦ − 64◦ = 76◦ . Soit x la longueur du côté EG. Par la
loi des sinus, nous avons le rapport
x
140,3
=
.
sin 64 sin 76
D’où x = 140,3(sin 64)/ sin 76 ≈ 130 m. Le coût du trottoir est donc de 130(20 $) =
2 600 $.
La bonne réponse est A.
2. On dit que deux droites coı̈ncident si elles correspondent à la même droite. Ceci n’est
pas le cas pour les droites L1 et L2 . Donc la réponse C est fausse. Observons que les angles
141◦ et 142◦ sont des angles correspondants. Comme ils ne sont pas égaux, les droites L1
et L2 ne sont pas parallèles. Ainsi la réponse A est fausse. Puisque les droites L1 et L2 ne
sont pas parallèles, elles doivent se couper en un point. Donc la réponse D est correcte.
Pour voir pourquoi la réponse B est fausse, imaginons que nous ayons prolongé les droites
L1 et L2 jusqu’à ce qu’elles se coupent comme l’indique le diagramme suivant.
L’angle où les droites s’intersectent mesure alors seulement 1◦ , donc elles ne peuvent pas
être perpendiculaires, car l’angle formé par deux droites perpendiculaires doit mesurer 90◦ .
Ainsi donc, B est faux.
La bonne réponse est D.
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138
Examen 1 - solutions
3. Le maximum de la fonction ne peut être 2 car, lorsque x = 1, la valeur correspondante
de y est plus grande que 2. Donc, la réponse A est fausse. S’il était vrai que f (2) = 0,
cela signifierait que (2,0) est sur le graphique, ce qui n’est visiblement pas le cas. Donc
B est aussi faux. (Bien que f (2) = 0 soit faux, nous avons f (0) = 2). Le graphique a
des ordonnées plus grandes que 2 et également des ordonnées plus petites que −1. Ainsi
l’image de la fonction ne peut être [−1,2]. Et donc, la réponse C est fausse. En observant
le graphique, on voit que la fonction décroı̂t sur l’intervalle [1,5]. Comme [2,4] est contenu
dans [1,5], on en conclut que f est aussi décroissante sur [2,4]. Donc la réponse D est vraie.
La bonne réponse est D.
4. La pente de la droite ` est − 54 car elle est parallèle à la droite y = − 45 x + 8. Comme
les droites dans les réponses A et D ont la même pente 45 , ces dernières ne peuvent être
correctes. Pour déterminer l’abscisse à l’origine des droites dans les réponses B et C, posons
y = 0 et résolvons l’équation obtenue en x. Nous obtenons alors que l’abscisse à l’origine
de la droite dans B est x = 45 , et l’abscisse à l’origine de la droite dans C est x = − 45 . Ainsi
la droite dans C a une abscisse à l’origine négative.
La bonne réponse est C.
5. Changeons l’exposant négatif en un exposant positif en le ramenant au dénominateur.
Ensuite, remplaçons l’exposant rationnel par une notation racine carrée.
1
− 12
(−x)
1
(−x)− 2
1
=
.
=
1 = √
1
−x
(−x) 2
La bonne réponse est A.
6. Développons le numérateur, ensuite factorisons le numérateur et le dénominateur.
x2 − 2x + 1
(x − 1)(x − 1) x − 1
x(x − 2) + 1
=
=
=
.
x2 − 3x + 2
x2 − 2x − 1x + 2 (x − 1)(x − 2) x − 2
La bonne réponse est A.
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139
Examen 1 - solutions
Examen 4 - solutions
Partie B
11. Développons la première équation pour obtenir 16x2 = 2y − 2, ensuite divisons les
deux membres par 2. On a alors 8x2 = y − 1. En résolvant cela en fonction de y, on obtient
y = 8x2 + 1. En résolvant la deuxième équation en fonction de y, cela donne y = 16x − 7.
Par la méthode de comparaison, on aboutit à l’équation 8x2 + 1 = 16x − 7, ou plus
simplement 8x2 − 16x + 8 = 0. En divisant les deux membres par 8, on a x2 − 2x + 1 = 0.
On peut ensuite factoriser cette équation pour obtenir (x − 1)(x − 1) = 0. Cela implique
que x = 1. Quand x = 1, on a y = 16(1) − 7 = 9.
Ce système a une solution: (1,9).
12. Nous allons utiliser la trigonométrie du triangle rectangle à deux reprises. D’abord,
pour le triangle rectangle RT U , on a le rapport
TU
sin 24 =
,
8
ainsi T U = 8(sin 24) ≈ 3,254. Ensuite, pour le triangle rectangle ST U , on a le rapport
3,254
cos 47 =
,
SU
d’où SU = 3,254/(cos 47) ≈ 4,77 m = 477 cm.
La poutre SU mesure approximativement 477 cm.
13. Le quotient est égal à 4x2 − x + 5.
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174
Examen 4 - solutions
21. Nous allons d’abord déterminer le point de la rencontre tragique entre notre canard
et le crocodile. En utilisant la méthode de comparaison, on a l’équation
1
(x − 7)2 − 5 = −2x + 18.
3
Multiplions les deux membres de l’égalité par 3 pour éliminer les dénominateurs. Cela donne
(x − 7)2 − 15 = −6x + 54.
Par simplification, on a x2 − 8x − 20 = 0, qui se factorise en (x − 10)(x + 2) = 0.
D’où x = 10 ou x = −2. Le diagramme nous indique que x est positif, d’où x = 10, et
y = −2x + 18 = −2(10) + 18 = −2. Le point de la rencontre est (10, − 2). Nous devons
maintenant déterminer les coordonnées du point où le canard flottait à la surface du lac
avant d’amorcer sa plongée fatale. Ce point correspond à l’un des zéros de la fonction
1
quadratique y = (x − 7)2 − 5. Pour calculer ses zéros, on utilise la formule quadratique.
3
Cela donne
s
r
√
−k
−(−5)
=7±
= 7 ± 15.
x=h±
a
(1/3)
√
√
D’où les deux zéros sont 7 − 15 ≈ 3,13 et 7 + 15 ≈ 10,87. Le diagramme nous indique
que le point de départ du canard doit être en (3,13 , 0). Nous voulons la distance entre
(3,13 , 0) et (10 , 0), soit 10 − 3,13 = 6,87 m.
La distance est approximativement 6,87 m.
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189
Examen 5 - solutions
22. Nous devons d’abord calculer les coordonnées du point C. La pente de la droite AB
est
30 − 26
4
2
y2 − y1
=
=
= .
x2 − x1
10 − 0
10 5
5
Comme BC est perpendiculaire à AB, la pente de BC est − = −2,5. Ainsi, l’équation
2
de la droite BC a la forme y = −2,5x + b. En y substituant le point (10,30), on a
30 = −2,5(10) + b, d’où b = 55. L’équation de la droite BC est y = −2,5x + 55. Le
point C est l’abscisse à l’origine de la droite BC. Pour le déterminer on résoud l’équation
0 = −2,5x + 55. Cela donne x = 22. D’où C = (22,0), et nous pouvons alors dessiner le
diagramme suivant:
Pour déterminer l’aire du quadrilatère ABCD, nous allons trouver l’aire du rectangle
CDEF , de laquelle on soustrait les aires des triangles rectangles ABE et BCF . L’aire du
rectangle CDEF est (30)(22) = 660. Celle du triangle rectangle ABE est (4)(10)/2 = 20,
et celle du triangle rectangle BCF est (12)(30)/2 = 180. D’où l’aire du quadrilatère
ABCD est 660 − 20 − 180 = 460 unités carrées.
L’aire du quadrilatère ABCD est 460 unités carrées.
23. Nous utilisons d’abord la loi des cosinus pour déterminer la mesure du côté QR,
(QR)2 = (P R)2 + (P Q)2 − 2(P R)(P Q)(cos ∠P )
(QR)2 = 182 + 102 − 2(18)(10)(cos 71).
Cela donne QR ≈ 17,5 cm. D’où le rapport de similitude est
m Q0 R0
122,5
≈
= 7,0.
17,5
m QR
Le rapport de similitude est approximativement 7,0.
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