énoncé pdf - maquisdoc

MPSI B
DS 2
5 février 2012
Dβ
Exercice I.
∆γ
Pour une fonction 1 f à valeurs réelles et continue sur I = [0, 1], on recherche
les fonctions y vérifiant
 00

 y − y =f
y(0) =y 0 (0)
(1)


y(1) = − y 0 (1)
B
C
γ
β
1. On note sp une solution particulière de l’équation differentielle y 00 − y = f
sur I. Déterminer en fonction de sp la solution générale de cette équation.
2. Exprimer la solution du système (??) dont on démontrera l’unicité à l’aide
de sp et sp0 .
Fig. 1 – Dβ et ∆γ
3. Résoudre (??) dans le cas f (x) = x puis f (x) = x2 .
Attention, il s’agit d’angles orientés de droites.
Problème I.
1. Dans quel cas ces droites se coupent-elles ? Déterminer alors les coordonnées
du point d’intersection noté A
Ce problème2 étudie quelques propriétés des triangles pseudo-rectangles.
Un triangle (A, B, C) est dit pseudo rectangle lorsque les mesures des angles
b B,
b C
b (par définition dans ]0, π[) vérifient
géométriques A,
2. Pour γ ∈]0, π4 [, comment doit-on choisir β pour que (A, B, C) soit pseudorectangle ? Donner une expression simple des coordonnées de A.
b−C
b=π
B
2
Partie III
On considère un réel γ ∈]0, π4 [, un point B de coordonnées (−1, 0), un point C
de coordonnées (1, 0) et un point Aγ de coordonnées
Partie I
1. Quels sont les triangles pseudo-rectangles isocèles ? Décomposer un triangle
équilatéral en trois triangles pseudo-rectangles.
(−
2. On se donne deux points B et C et une droite passant par C faisant avec
la droite (B, C) un angle γ ∈]0, π4 [. Comment peut-on construire un point A
sur cette droite tel que (A, B, C) soit pseudo-rectangle ?
1
, − tan 2γ)
cos 2γ
1. Déterminer les coordonnées du milieu du segment BB 0 où B 0 est l’intersection
de (BC) avec la droite perpendiculaire à (Aγ C) issue de Aγ .
Partie II
2. Déterminer un vecteur directeur de la bissectrice intérieure en Aγ au triangle
(Aγ , B, C).
Soit B le point de coordonnées (−1, 0) et C le point de coordonnées (1, 0). Pour
tous réels β et γ, on définit les droites (Fig. ??) Dβ et ∆γ par :
3. Déterminer les coordonnées du centre Iγ du cercle circonscrit à (Aγ , B, C).
Préciser le rayon Rγ de ce cercle.
Dβ passe par B et (Dβ\
, (BC)) = β
\
∆γ passe par C et ((BC), ∆γ ) = γ
1 d’après
2 d’après
4. Déterminer les coordonnées de l’orthocentre du triangle (Aγ , B, C).
5. Former une équation cartésienne de l’ensemble des points Aγ pour γ ∈]0, π4 [.
E3A 2001 M1
e3A 2001 M2
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l’Identique 2.0 France
disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
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Rémy Nicolai S0502E
MPSI B
DS 2
5 février 2012
a. Former l’équation de la tangente en (1, λ) à la courbe de f .
b. Montrer que lorsque λ varie, ces tangentes sont toutes concourantes en
un point à déterminer.
2. Résoudre l’équation (??) sur I. Déterminer l’unique solution fλ telle que
fλ (1) = λ.
3. Soit I un intervalle de R et a, b, c trois fonctions continues définies dans I.
On suppose que a ne prend jamais la valeur 0. On considère l’équation
ay 0 + by = c
(3)
Soit x0 ∈ I fixé, pour tout λ réel, on note fλ la solution de (??) qui prend en
x0 la valeur λ. On note Dλ la tangente en (x0 , λ) à la courbe de fλ . Montrer
que les droites Dλ sont concourantes ou parallèles. Préciser dans quel cas elles
sont parallèles. Lorsqu’elles sont concourantes préciser leur point commun.
4. Soient J un intervalle de R et F une fonction de J × R dan sR. Notons (E)
l’équation différentielle
y 0 = F (x, y)
(E)
On suppose que F est telle que :
– pour tout (x0 , y0 ) ∈ J × R, il existe une solution de (E) satisfaisant la
condition de Cauchy y(x0 ) = y0 ;
– les tangentes au point d’abscisse x0 aux solutions de (E) sont soit toutes
parallèles, soit toutes concourantes.
Fig. 2 – Des tangentes aux graphes de solutions
a. Pour x0 ∈ J et (y0 , y1 ) ∈ R2 avec y0 6= y1 , montrer que
Problème II.
F (x0 , y0 ) − F (x0 , y1 )
y0 − y1
On rappelle que si f est une fonction définie dans un intervalle de R et à valeurs
réelles, l’équation de la tangente en un point (x0 , f (x0 )) à la courbe représentative
de f s’écrit :
x − x0
1
=0
y − f (x0 ) f 0 (x0 )
est une quantité qui ne dépend pas du couple (y0 , y1 ). On la notera
α(x0 ) dans la suite .
b. En déduire que F (x0 , y0 ) − α(x0 )y0 ne dépend pas de y0 .
On considère l’équation differentielle3 dans I =]0, +∞[
1
(1 + x2 )y 0 (x) + 2xy(x) =
x
c. Conclure que (E) est linéaire c’est-à-dire que F est de la forme F (x, y) =
α(x) · y + β(x) , pour (x, y) ∈ J × R avec α et β deux fonctions.
(2)
Exercice II.
1. Soit f une solution de (??), on pose λ = f (1).
b = α,
On cherche les triangles (ABC) tels que la somme des cosinus des angles A
3
b = β, C
b = γ. soit . (citez un tel triangle)
B
2
3 d’après
un problème de Serge Dupont (http ://moduloserge.free.fr/http ://moduloserge.free.fr/)
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C
b
C
→
−
a
b
B
b
A
A
→
−
c
B
→
−
b
Fig. 3 – Exercice II
Pour un triangle (ABC) quelconque, on définit des vecteurs
−
1 −→ −
1 −−→
1 −−→ →
→
−
c = −−→ AB
a = −−→ BC, b = −→ CA, →
kBCk
kCAk
kABk
→
− −
−
b = α, B
b = β,
1. Préciser les angles entre les vecteurs →
a, b,→
c en fonction de A
b
C = γ.
→
−
−
−c . En déduire les triangles
2. Transformer le carré de la norme de →
a + b +→
cherchés.
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