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MPSI B DS 2 5 février 2012 Dβ Exercice I. ∆γ Pour une fonction 1 f à valeurs réelles et continue sur I = [0, 1], on recherche les fonctions y vérifiant 00 y − y =f y(0) =y 0 (0) (1) y(1) = − y 0 (1) B C γ β 1. On note sp une solution particulière de l’équation differentielle y 00 − y = f sur I. Déterminer en fonction de sp la solution générale de cette équation. 2. Exprimer la solution du système (??) dont on démontrera l’unicité à l’aide de sp et sp0 . Fig. 1 – Dβ et ∆γ 3. Résoudre (??) dans le cas f (x) = x puis f (x) = x2 . Attention, il s’agit d’angles orientés de droites. Problème I. 1. Dans quel cas ces droites se coupent-elles ? Déterminer alors les coordonnées du point d’intersection noté A Ce problème2 étudie quelques propriétés des triangles pseudo-rectangles. Un triangle (A, B, C) est dit pseudo rectangle lorsque les mesures des angles b B, b C b (par définition dans ]0, π[) vérifient géométriques A, 2. Pour γ ∈]0, π4 [, comment doit-on choisir β pour que (A, B, C) soit pseudorectangle ? Donner une expression simple des coordonnées de A. b−C b=π B 2 Partie III On considère un réel γ ∈]0, π4 [, un point B de coordonnées (−1, 0), un point C de coordonnées (1, 0) et un point Aγ de coordonnées Partie I 1. Quels sont les triangles pseudo-rectangles isocèles ? Décomposer un triangle équilatéral en trois triangles pseudo-rectangles. (− 2. On se donne deux points B et C et une droite passant par C faisant avec la droite (B, C) un angle γ ∈]0, π4 [. Comment peut-on construire un point A sur cette droite tel que (A, B, C) soit pseudo-rectangle ? 1 , − tan 2γ) cos 2γ 1. Déterminer les coordonnées du milieu du segment BB 0 où B 0 est l’intersection de (BC) avec la droite perpendiculaire à (Aγ C) issue de Aγ . Partie II 2. Déterminer un vecteur directeur de la bissectrice intérieure en Aγ au triangle (Aγ , B, C). Soit B le point de coordonnées (−1, 0) et C le point de coordonnées (1, 0). Pour tous réels β et γ, on définit les droites (Fig. ??) Dβ et ∆γ par : 3. Déterminer les coordonnées du centre Iγ du cercle circonscrit à (Aγ , B, C). Préciser le rayon Rγ de ce cercle. Dβ passe par B et (Dβ\ , (BC)) = β \ ∆γ passe par C et ((BC), ∆γ ) = γ 1 d’après 2 d’après 4. Déterminer les coordonnées de l’orthocentre du triangle (Aγ , B, C). 5. Former une équation cartésienne de l’ensemble des points Aγ pour γ ∈]0, π4 [. E3A 2001 M1 e3A 2001 M2 Cette création est mise à disposition selon le Contrat Paternité-Partage des Conditions Initiales à l’Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/ 1 Rémy Nicolai S0502E MPSI B DS 2 5 février 2012 a. Former l’équation de la tangente en (1, λ) à la courbe de f . b. Montrer que lorsque λ varie, ces tangentes sont toutes concourantes en un point à déterminer. 2. Résoudre l’équation (??) sur I. Déterminer l’unique solution fλ telle que fλ (1) = λ. 3. Soit I un intervalle de R et a, b, c trois fonctions continues définies dans I. On suppose que a ne prend jamais la valeur 0. On considère l’équation ay 0 + by = c (3) Soit x0 ∈ I fixé, pour tout λ réel, on note fλ la solution de (??) qui prend en x0 la valeur λ. On note Dλ la tangente en (x0 , λ) à la courbe de fλ . Montrer que les droites Dλ sont concourantes ou parallèles. Préciser dans quel cas elles sont parallèles. Lorsqu’elles sont concourantes préciser leur point commun. 4. Soient J un intervalle de R et F une fonction de J × R dan sR. Notons (E) l’équation différentielle y 0 = F (x, y) (E) On suppose que F est telle que : – pour tout (x0 , y0 ) ∈ J × R, il existe une solution de (E) satisfaisant la condition de Cauchy y(x0 ) = y0 ; – les tangentes au point d’abscisse x0 aux solutions de (E) sont soit toutes parallèles, soit toutes concourantes. Fig. 2 – Des tangentes aux graphes de solutions a. Pour x0 ∈ J et (y0 , y1 ) ∈ R2 avec y0 6= y1 , montrer que Problème II. F (x0 , y0 ) − F (x0 , y1 ) y0 − y1 On rappelle que si f est une fonction définie dans un intervalle de R et à valeurs réelles, l’équation de la tangente en un point (x0 , f (x0 )) à la courbe représentative de f s’écrit : x − x0 1 =0 y − f (x0 ) f 0 (x0 ) est une quantité qui ne dépend pas du couple (y0 , y1 ). On la notera α(x0 ) dans la suite . b. En déduire que F (x0 , y0 ) − α(x0 )y0 ne dépend pas de y0 . On considère l’équation differentielle3 dans I =]0, +∞[ 1 (1 + x2 )y 0 (x) + 2xy(x) = x c. Conclure que (E) est linéaire c’est-à-dire que F est de la forme F (x, y) = α(x) · y + β(x) , pour (x, y) ∈ J × R avec α et β deux fonctions. (2) Exercice II. 1. Soit f une solution de (??), on pose λ = f (1). b = α, On cherche les triangles (ABC) tels que la somme des cosinus des angles A 3 b = β, C b = γ. soit . (citez un tel triangle) B 2 3 d’après un problème de Serge Dupont (http ://moduloserge.free.fr/http ://moduloserge.free.fr/) Cette création est mise à disposition selon le Contrat Paternité-Partage des Conditions Initiales à l’Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/ 2 Rémy Nicolai S0502E MPSI B DS 2 5 février 2012 C b C → − a b B b A A → − c B → − b Fig. 3 – Exercice II Pour un triangle (ABC) quelconque, on définit des vecteurs − 1 −→ − 1 −−→ 1 −−→ → → − c = −−→ AB a = −−→ BC, b = −→ CA, → kBCk kCAk kABk → − − − b = α, B b = β, 1. Préciser les angles entre les vecteurs → a, b,→ c en fonction de A b C = γ. → − − −c . En déduire les triangles 2. Transformer le carré de la norme de → a + b +→ cherchés. Cette création est mise à disposition selon le Contrat Paternité-Partage des Conditions Initiales à l’Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/ 3 Rémy Nicolai S0502E