Chapitre 2 Analyse de circuits

Chapitre
2
Analyse de circuits
La transformée de Laplace a deux caractéristiques qui la rende intéressante pour l’analyse
de circuits. En premier, elle permet de transformer une série d’équations linéaires contenant
des dérivées et intégrales en une série d’équations polynômial, qui sont plus simples à manipuler. Deuxièmement, les conditions initiales du circuit sont automatiquement prises en
considération dans les équations polynômiales.
Dans ce chapitre, on commence en premier en montrant comment on peut sauter l’étape
d’écrire l’équation du circuit avec les dérivées et intégrales et plutôt écrire directement les
équations dans le domaine de Laplace. On verra aussi que toutes les techniques d’analyse de
circuits, comme les tensions de maille ou l’équivalent Thévenin, s’appliquent dans le domaine
de Laplace.
On verra ensuite le concept de fonction de transfert, et comment on peut s’en servir pour
l’analyse de circuits.
2.1
Éléments de circuit dans le domaine de Laplace
La méthode utilisée pour transformer les éléments de circuit dans le domaine de Laplace
est très simple. On écrit en premier la relation v −i de l’élément, puis on utilise la transformée
de Laplace sur cette équation.
Note : les tensions dans le domaine de Laplace ont une unité de volt-seconde, tandis que
les courants sont en ampère-seconde.
1
CHAPITRE 2. ANALYSE DE CIRCUITS
2.1.1
Résistance
La loi qui relie la tension au courant pour une résistance est la loi d’Ohm :
v = Ri
(2.1)
On applique la transformée de Laplace aux deux côtés de l’équation :
V = RI
(2.2)
La relation est la même que dans le domaine du temps. Une résistance de R Ohm dans le
domaine du temps est une résistance de R Ohm dans le domaine de Laplace, comme à la
figure 2.1.
R
+
+
v(t)
V
–
–
Domaine
du temps
R
Domaine de Laplace
Fig. 2.1 – Résistance dans le domaine de Laplace.
Note : On utilise des lettres majuscules pour représenter les variables dans le domaine
de Laplace. De plus, on enlève le (s) pour chaque variable, car il est implicite que s est la
variable utilisée.
2.1.2
Inductance
L’équation qui relie la tension au courant d’une inductance est :
v=L
di
dt
(2.3)
La transformée de Laplace donne :
V = L(sI − i(0− )) = sLI − LI0
(2.4)
Selon l’équation 2.4, la transformée de Laplace d’une inductance est une inductance
d’impédance sL en série avec une source de tension de valeur LI0 , comme à la figure 2.2.
On peut aussi transformer la source de tension en une source de courant, en utilisant une
équivalence Thévenin-Norton.
2
GELE3132
CHAPITRE 2. ANALYSE DE CIRCUITS
+
+
sL
L
v(t)
V
sL
I0
s
LI0
–
–
Domaine
du temps
Domaine de Laplace
Fig. 2.2 – Inductance dans le domaine de Laplace.
2.1.3
Capacitance
Une capacitance initialement chargée aura aussi deux circuits équivalents dans le domaine
de Laplace. L’équation qui relie la tension au courant est :
dv
dt
On transforme cette équation dans le domaine de Laplace :
i=C
(2.5)
I = C(sV − v(0− ))
(2.6)
I = sCV − CV0
(2.7)
ou
On peut transformer pour isoler la tension :
µ ¶
1
V0
I+
V =
sC
s
(2.8)
Selon l’équation 2.8, la transformée de Laplace d’une capacitance est une capacitance
d’impédance 1/sC en série avec une source de tension V0 /s, comme à la figure 2.3. On peut
aussi utiliser un modèle avec une source de courant.
2.2
Analyse de circuits dans le domaine s
Avant de commencer l’analyse de circuits dans le domaine de Laplace, il faut en premier
quelques règles.
Premièrement, si aucune énergie n’est stockée dans une inductance ou capacitance, la
relation entre la tension aux bornes et le courant prend la forme de :
V = ZI
3
(2.9)
GELE3132
CHAPITRE 2. ANALYSE DE CIRCUITS
+
+
C
v(t)
V
–
–
Domaine
du temps
1
sC
1
sC
CV0
V0
s
Domaine de Laplace
Fig. 2.3 – Capacitance dans le domaine de Laplace.
où Z est l’impédance dans le domaine s de l’élément. Une résistance a donc une impédance
de R, une inductance une impédance de sL, et une capacitance une impédance de 1/sC.
Les règles pour combiner des impédances (ou admittances) dans le domaine de Laplace
sont les mêmes que celles dans le domaine du temps. Les simplifications série-parallèle et ∆-Y
sont applicables. Les lois de Kirchhoff s’appliquent dans le domaine de Laplace de la même
façon. De plus, toutes les techniques d’analyse de circuits (comme les tensions de maille ou
l’équivalent Thévenin) s’appliquent de la même façon.
2.3
Applications
On va maintenant utiliser la transformer de Laplace pour déterminer le comportement
transitoire de circuits. On fera en premier l’analyse de circuits connus comme RC et RLC,
pour ensuite faire l’analyse de circuits plus complexes.
2.3.1
Circuit RC
On analyse en premier un circuit RC. La capacitance est chargée avec une tension initiale
de V0 volts, et on cherche l’expression de la tension et du courant dans le domaine du temps.
Le circuit RC et son équivalent dans le domaine de Laplace sont montrés à la figure 2.4.
Si on fait la somme des tensions dans la boucle, on obtient :
1
V0
=
I + RI
s
sC
On isole pour I,
I=
CV0
V0 /R
=
sRC + 1
s + 1/RC
4
(2.10)
(2.11)
GELE3132
CHAPITRE 2. ANALYSE DE CIRCUITS
t=0
1
sC
i
vC
C
R
I
R
V0
s
Fig. 2.4 – Circuit RC
Cette dernière équation est sous la forme d’une des transformée de Laplace vue au chapitre
précédent. On peut donc donner l’expression de i(t) :
i=
V0 −t/RC
e
u(t)
R
(2.12)
ce qui est la même expression que celle obtenue avec les équations différentielles.
On peut calculer la tension aux bornes de la résistance :
v = Ri = V0 e−t/RC u(t)
(2.13)
On aurait aussi pu calculer V directement en utilisant le circuit équivalent avec une source
de courant dans la figure 2.4.
2.3.2
Réponse échelon d’un circuit RLC parallèle
On analyse maintenant un circuit RLC parallèle. On cherche le courant iL après que la
source de courant continue soit appliquée sur les éléments en parallèle, comme à la figure 2.5.
L’énergie initiale du système est nulle.
t=0
C
Idc
25nF
24mA
R
625Ω
iL
L
25mH
Fig. 2.5 – Circuit RLC
Il faut transformer le circuit dans le domaine de Laplace. Lorsque l’interrupteur sera
ouvert, la source de courant Idc sera appliquée aux éléments en parallèle. Ceci produit le
5
GELE3132
CHAPITRE 2. ANALYSE DE CIRCUITS
même effet qu’une entrée échelon : au temps t = 0, le courant passe de 0 à Idc . La transformée
de Laplace de la source de courant est donc Idc /s.
On obtient donc dans le domaine de Laplace le circuit de la figure 2.6.
1
sC
Idc
s
R
IL
sL
Fig. 2.6 – Circuit RLC dans le domaine de Laplace
Si on fait la somme des courants dans le noeud supérieur on obtient :
V
V
Idc
+
=
R sL
s
(2.14)
Idc /C
+ s(1/RC) + (1/LC)
(2.15)
sCV +
On isole V :
V =
s2
Le courant dans l’inductance est V /sL :
IL =
Idc /LC
+ s(1/RC) + (1/LC))
(2.16)
384 × 105
s(s2 + 64000s + 16 × 108 )
(2.17)
s(s2
et si on remplace les valeurs,
IL =
On peut vérifier si l’expression obtenue est correcte en vérifiant la valeur finale de iL .
Lorsque t → ∞, l’inductance devient un court-circuit, et donc tout le courant y circule, soit
24mA. Selon le théorème de la valeur finale,
lim sIL =
s→0
384 × 105
= 24 mA
16 × 108
(2.18)
ce qui est le bon résultat. On peut donc faire la transformée inverse.
En utilisant l’expansion en fractions partielles,
IL =
K2
K2∗
K1
+
+
s
s + 32000 − j24000 s + 32000 + j24000
6
(2.19)
GELE3132
CHAPITRE 2. ANALYSE DE CIRCUITS
Les coefficients obtenus sont :
384 × 105
= 24 × 10−3
16 × 108
384 × 105
K2 =
= 0.02∠126.87˚
(−32000 + j24000)(j48000)
K1 =
(2.20)
(2.21)
On peut maintenant faire la transformée inverse :
iL = (24 + 40e−32000t cos(24000t + 126.87˚)) u(t) mA
2.3.3
(2.22)
Réponse transitoire d’un circuit RLC parallèle
Un autre exemple d’utilisation de la transformée de Laplace pour trouver la réponse
transitoire d’un circuit est de remplacer la source DC dans le circuit de la figure 2.5 par une
source sinusoı̈dale. La nouvelle source de courant est
ig = Im cos ωt
(2.23)
où Im = 24 mA et ω = 40 000 rad/s. On suppose ici aussi que l’énergie initiale du circuit est
nulle.
La transformée de Laplace de la source de courant est
Ig =
sIm
+ ω2
s2
(2.24)
La tension aux bornes des éléments en parallèle est :
V =
s2
(Ig /C)s
+ s(1/RC) + (1/LC)
(2.25)
Si on remplace la valeur de la source de courant,
(Im /C)s2
V = 2
(s + ω 2 )(s2 + s(1/RC) + (1/LC))
(2.26)
et donc on obtient
IL =
V
(Im /LC)s
= 2
2
2
sL
(s + ω )(s + s(1/RC) + (1/LC))
(2.27)
On substitue les valeurs numériques :
IL =
384 × 105 s
(s2 + 16 × 108 )(s2 + 64000s + 16 × 108 )
7
(2.28)
GELE3132
CHAPITRE 2. ANALYSE DE CIRCUITS
qu’on factorise par la suite :
IL =
384 × 105 s
(s − j40000)(s + j40000)(s + 32000 − j24000)(s + 32000 + j24000)
(2.29)
Dans ce cas-ci, on ne peut pas utiliser le théorème de la valeur finale, puisqu’on a deux
pôles dont la partie réelle n’est pas négative (pôles ±j40000).
On utilise l’expansion en fractions partielles :
IL =
K1
K1∗
K2
K2∗
+
+
+
s − j40000 s + j40000 s + 32000 − j24000 s + 32000 + j24000
(2.30)
Les coefficients sont :
(384 × 105 )(j40000)
= 7.5 × 10−3 ∠(−90˚)
(j80000)(32000 + j16000)(32000 + j64000)
(384 × 105 )(−32000 + j24000)
= 12.5 × 10−3 ∠(90˚)
K2 =
(−32000 − j16000)(−32000 + j64000)(j48000)
K1 =
(2.31)
(2.32)
On aurait aussi pu trouver ces coefficients à l’aide de Matlab :
>> N = [384e5 0];
>> D = conv([1 0 16e8],[1 64000 16e8]);
>> [R,P,K] = residue(N,D)
R =
-0.0000
-0.0000
0.0000
0.0000
+
+
0.0125i
0.0125i
0.0075i
0.0075i
P =
1.0e+004 *
-3.2000
-3.2000
-0.0000
-0.0000
+
+
-
2.4000i
2.4000i
4.0000i
4.0000i
K =
[]
8
GELE3132
CHAPITRE 2. ANALYSE DE CIRCUITS
On voit bien que Matlab obtient les mêmes solutions que celles calculées.
Il suffit maintenant de faire la transformée inverse pour obtenir iL :
iL = 15 cos(40000t − 90˚) + 25e−32000t cos(24000t + 90˚) mA
= 15 sin(40000t) − 25e−32000t sin(24000t)u(t) mA
(2.33)
La valeur en régime permanent de iL est 15 sin(40000t) mA, ce qui est la même réponse
que celle obtenue par la méthode des phaseurs.
2.3.4
Réponse échelon d’un circuit à plusieurs boucles
Il est très difficile d’analyser des circuits ayant plusieurs mailles en utilisant des équations
différentielles. Cependant, on peut le faire très facilement en utilisant la transformée de
Laplace. On utilise comme exemple le circuit de la figure 2.7.
t=0
8.4H
10H
i1
i2
42Ω
336V
48Ω
Fig. 2.7 – Exemple de circuit à mailles multiples
On cherche le courant dans les branches lorsque la source de tension est appliquée soudainement au circuit. L’énergie initiale emmagasinée dans le circuit est nulle.
Pour commencer, il faut transformer le circuit au domaine de Laplace. La source de
tension, puisqu’elle est appliquée soudainement, comme un échelon, devient une source de
336/s. Les deux inductances deviennent 8.4s et 10s, respectivement, tandis que les résistances
ne changent pas.
On peut écrire les équations des courants de maille :
336
= (42 + 8.4s)I1 − 42I2
s
0 = −42I1 + (90 + 10s)I2
9
(2.34)
(2.35)
GELE3132
CHAPITRE 2. ANALYSE DE CIRCUITS
C’est un système à deux équations, deux inconnues. On résout pour obtenir :
40(s + 9)
s(s + 2)(s + 12)
168
I2 =
s(s + 2)(s + 12)
I1 =
(2.36)
(2.37)
On peut faire l’expansion en fractions partielles :
15
14
1
−
−
s
s + 2 s + 12
7
8.4
1.4
I2 = −
+
s s + 2 s + 12
I1 =
(2.38)
(2.39)
Il reste à faire la transformée inverse pour obtenir les équations en fonction du temps :
i1 = 15 − 14e−2t − e−12t u(t) A
i2 = 7 − 8.4e−2t + 1.4e−12t u(t) A
(2.40)
(2.41)
On peut vérifier les solutions pour voir si elles font du sens. Puisque l’énergie initiale du
circuit est nulle, les courants i1 et i2 doivent être nuls pour t = 0. On obtient bel et bien 0
pour les deux courants à t = 0. À t = ∞, les inductances agissent comme des court-circuits.
Les valeurs finales des courants, selon le circuit, sont :
90
336 = 15 A
(42)(48)
42
i2 (∞) = 15 = 7 A
90
i1 (∞) =
(2.42)
(2.43)
ce qui est la même valeur que celle obtenue avec les équations en fonction du temps.
On peut voir le comportement des courants à la figure 2.8. Noter bien que les courants
prennent un certain temps à atteindre leur valeur finale, environ 3s dans ce cas-ci. L’effet
n’est pas instantané.
2.3.5
Utilisation de l’équivalent Thévenin
Soit un autre exemple d’utilisation de la transformée de Laplace dans l’analyse de circuits.
Cette fois, on utilise l’équivalent Thévenin pour l’analyse du circuit de la figure 2.9. On
cherche le courant iC . L’énergie emmagasinée initialement dans le circuit est nulle.
Le circuit équivalent dans le domaine de Laplace est donné à la figure 2.10.
10
GELE3132
CHAPITRE 2. ANALYSE DE CIRCUITS
16
14
Courant (A)
12
10
8
6
4
2
0
0
1
2
3
temps (s)
4
5
Fig. 2.8 – Exemple de circuit à mailles multiples : courants
20Ω
60Ω
a
t=0
480V
2mH
iC
5µF
b
Fig. 2.9 – Exemple d’utilisation de l’équivalent Thévenin
La tension Thévenin entre les bornes a et b est la tension obtenue lorsqu’il y a un circuit
ouvert entre a et b (comme si on enlève la capacitance). On obtient donc :
VT h =
480
480
0.002s
·
=
20 + 0.002s s
s + 104
(2.44)
La résistance Thévenin est égale à la résistance de 60Ω en série avec la combinaison
parallèle de l’inductance et la résistance de 20Ω. Donc :
ZT h = 60 +
80(s + 7500)
0.002s(20)
=
20 + 0.002s
s + 104
(2.45)
On peut donc simplifier le circuit original à une tension VT h en série avec une résistance
11
GELE3132
CHAPITRE 2. ANALYSE DE CIRCUITS
20Ω
60Ω
480
s
0.002s
a
IC
2×105
s
b
Fig. 2.10 – Exemple d’utilisation de l’équivalent Thévenin
RT h . Le courant IC est donc égal à la tension VT h divisée par l’impédance totale du circuit :
IC =
480/(s + 104 )
6s
=
4
5
[80(s + 7500)/s + 10 ] + [(2 × 10 )/s]
(s + 5000)2
(2.46)
On fait l’expansion en fraction partielles :
IC =
−30000
6
+
2
(s + 5000)
s + 5000
(2.47)
et dans le domaine du temps,
iC = −30000te−5000t + 6e−5000t u(t) A
(2.48)
On peut vérifier si la solution obtenue fait du sens. De l’équation 2.48, le courant initial
dans la capacitance est iC (0+ ) = 6A. Si on analyse le circuit, lorsque l’interrupteur est fermé,
aucun courant ne circule dans l’inductance, et la tension aux bornes de la capacitance est
nulle. Il y a donc un courant initial de 480/80 = 6A, ce qui est la même réponse.
La valeur finale du courant dans la capacitance est 0, ce qui fait du sens si on analyse
le circuit. À t = ∞, l’inductance est un court-circuit, et donc aucun courant circule dans la
capacitance.
On peut voir la courbe du courant en fonction du temps à la figure 2.11. Remarquer que le
courant devient négatif (change de direction) à t = 200µs. Initialement, le condensateur sera
chargé, puis il se déchargera au fur et à mesure que l’inductance agit comme un court-circuit.
12
GELE3132
CHAPITRE 2. ANALYSE DE CIRCUITS
6
5
courant (A)
4
3
2
1
0
−1
0
0.2
0.4
0.6
temps (s)
0.8
1
−3
x 10
Fig. 2.11 – Exemple d’utilisation de l’équivalent Thévenin : courant
2.4
Fonction de transfert
Une fonction de transfert est définit comme étant le rapport dans le domaine de Laplace
de la sortie sur l’entrée. Dans le cadre de ce cours, on se limite à des circuits où les conditions
initiales sont nulles. Si un circuit a plusieurs sources, on trouve la fonction de transfert pour
chaque source puis on utilise la superposition pour obtenir la fonction de transfert globale.
Par définition, la fonction de transfert est :
H(s) =
Y (s)
X(s)
(2.49)
où Y (s) est la transformée de Laplace du signal de sortie, et X(s) est la transformée de
Laplace du signal d’entrée. Noter que la fonction de transfert dépend de ce qui est défini
comme la sortie. On prend comme exemple le circuit de la figure 2.12, un circuit RLC série.
R
sL
1
sC
Vg
Fig. 2.12 – Circuit RLC série
13
GELE3132
CHAPITRE 2. ANALYSE DE CIRCUITS
Si on cherche la fonction de transfert I/Vg , on obtient
H(s) =
I
1
sC
=
= 2
Vg
R + sL + 1/sC
s LC + sRC + 1
(2.50)
Cependant, si la sortie est la tension aux bornes de la capacitance, on obtient une fonction
de transfert différente :
H(s) =
Vc
1/sC
1
=
= 2
Vg
R + sL + 1/sC
s LC + sRC + 1
(2.51)
On voit bien que la fonction de transfert dépend de la sortie choisie.
2.4.1
Pôles et zéros de la fonction de transfert
Pour un circuit où les composantes sont linéaires, H(s) est toujours une fonction rationnelle de s. Des pôles complexes doivent toujours être en paires et conjugués. Les pôles de
H(s) doivent être dans la partie de gauche du plan s pour obtenir une réponse qui est finie
(la partie réelle des pôles doit être négative ou zéro).
On peut réécrire l’équation de la fonction de transfert pour obtenir :
Y (s) = H(s)X(s)
(2.52)
Lorsqu’on veut trouver l’équation de y(t), on remarquera que les pôles de H(s) sont
responsables pour les composantes transitoires de la réponse totale, tandis que les pôles de
X(s) sont responsables de la composante en régime permanent de la réponse totale.
2.4.2
Utilisation de H(s)
On peut faire deux observations importantes à partir de l’équation 2.52. Premièrement,
qu’arrive-t’il à la réponse du circuit si l’entrée a un certain délai ? Si l’entrée est retardée
d’un certain délai de a secondes, alors
L {x(t − a)u(t − a)} = e−as X(s)
(2.53)
Y (s) = H(s)X(s)e−as
(2.54)
et la réponse est donc :
Si on cherche maintenant la réponse en fonction du temps,
©
ª
y(t − a)u(t − a) = L−1 H(s)X(s)e−as
14
(2.55)
GELE3132
CHAPITRE 2. ANALYSE DE CIRCUITS
C’est-à-dire qu’un délai de a secondes de l’entrée correspond à un délai de a secondes à la
sortie.
Deuxièmement, si l’entrée est un impulsion (x(t) = δ(t)), on obtient alors :
X(s) = 1
(2.56)
Y (s) = H(s)
(2.57)
y(t) = h(t)
(2.58)
et donc
ce qui donne
où la sortie est égale à la réponse naturelle du système.
La réponse impulsionnelle d’un système, h(t), contient assez d’information pour calculer
la réponse à n’importe quelle entrée au circuit. On utilise alors la convolution pour calculer
la réponse.
2.5
Convolution
La convolution permet de relier la sortie y(t) d’un système linéaire à son entrée x(t) et la
réponse impulsionnelle h(t). On peut écrire la convolution de deux façons :
Z ∞
Z ∞
y(t) =
h(λ)x(t − λ)dλ =
h(t − λ)x(t)dλ
(2.59)
−∞
−∞
Pourquoi utiliser la convolution ?
1. Permet de travailler seulement dans le domaine du temps. Ceci est important si x(t)
et h(t) sont seulement connus à travers de données expérimentales. Dans ces cas, la
transformée de Laplace est souvent impossible.
2. La convolution introduit les concepts de mémoire et de poids dans l’analyse. On verra
comment le concept de mémoire peut être utilisé pour prédire quelque peu la réponse
d’un système.
On utilise le plus souvent une représentation simplifiée pour noter la convolution :
y(t) = h(t) ∗ x(t) = x(t) ∗ h(t)
(2.60)
où le texte se lit ”la convolution de h(t) avec x(t)”. La notation h(t) ∗ x(t) implique qu’on
utilise la forme intégrale
Z ∞
h(t) ∗ x(t) =
h(λ)x(t − λ)dλ
(2.61)
−∞
15
GELE3132
CHAPITRE 2. ANALYSE DE CIRCUITS
tandis que x(t) ∗ h(t) implique
Z
∞
x(t) ∗ h(t) =
h(t − λ)x(t)dλ
(2.62)
−∞
Pour des circuits pratiques, on peut changer les bornes des intégrales. Pour des circuits
réels, h(t) = 0 pour t < 0, puisqu’il n’y a pas de réponse avant qu’on applique une impulsion.
On a donc :
Z t
y(t) =
h(λ)x(t − λ)dλ
(2.63)
0
2.5.1
Convolution graphique
Une interprétation graphique de la convolution est un outil important pour comprendre
l’implantation de la convolution comme outil de calcul. On se sert d’un exemple pour illustrer.
Soit la réponse impulsionnelle de la figure 2.13 a), et l’entrée au système, un pulse de
largeur finie, de la figure 2.13 b).
B
A
0
t
t
0
t1
(a) h(t)
t2
(b) x(t)
Fig. 2.13 – Formes d’ondes a) de la réponse impulsionnelle b) de l’entrée.
On utilise en premier la forme de l’équation 2.63. Dans les graphes, on remplace t par λ,
la constante d’intégration. La forme d’onde de x(t) sera modifiée à cause de ceci. Le fait de
remplacer λ par −λ ne fait que tourner la fonction x(t) autour de l’axe vertical. On obtient
alors les graphes de la figure 2.14.
Il faut maintenant faire l’intégrale. L’équation 2.63 implique que les deux fonctions sont
multipliées ensembles. On accomplit ceci de façon graphique en faisant glisser la fonction
x(t − λ) de la gauche vers la droite. On multiplie les deux courbes ensembles. L’intégrale est
alors l’aire comprise sous cette nouvelle courbe.
Selon la figure 2.15, le graphe de la sortie y(t) sera composée de trois courbes distinctes.
1. La première partie est lorsque x(λ) n’a pas encore dépassé le point λ1 . Dans ce cas-là,
la superficie sous les deux courbes augmente.
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CHAPITRE 2. ANALYSE DE CIRCUITS
(a) h(λ)
(b) x(t − λ)
Fig. 2.14 – Convolution a) de la réponse impulsionnelle et b) de l’entrée.
Fig. 2.15 – Convolution graphique
2. La deuxième partie se produit lorsque le point t est dépassé λ1 , mais que le point t − λ2
n’a pas encore atteint 0. La superficie sous les deux courbes est alors constante.
3. La troisième partie arrive lorsque le point t − λ2 a dépassé 0.
La durée totale de la réponse sera la somme des temps de l’entrée et de la réponse
impulsionnelle, soit t1 + t2 . La réponse obtenue est donnée à la figure 2.16. Remarquer que
pendant les segments 1 et 3, la courbe est de la forme d’une parabole, puisqu’il s’agit de
l’intégrale d’une pente.
y(t)
0
t1
t2
t1 + t2
t
Fig. 2.16 – Convolution graphique
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CHAPITRE 2. ANALYSE DE CIRCUITS
Exemple 1
Soit le circuit de la figure suivante et l’entrée donnée. Calculer la sortie vo , et tracer la
réponse pour 0 < t < 15s.
1H
vi
+
vi
1Ω
(V)
20
vo
–
0
5
10
t (s)
La première étape est de trouver la réponse impulsionnelle du circuit. L’équation de Vo
est
Vo =
ou,
1
Vi
s+1
Vo
1
= H(s) =
Vi
s+1
Lorsque vi est une impulsion δ(t), on a alors que vo = h(t), ce qui donne
h(t) = L−1 {H(s)} = e−t u(t)
en faisant la transformée inverse. La réponse impulsionnelle dans ce cas est donc un exponentiel décroissant.
Il faut maintenant appliquer la convolution. Il faudra donc faire une image miroir de
l’entrée et la faire glisser de gauche à droite sur la réponse impulsionnelle. Ceci donnera trois
points importants : 0, 5 et 10s.
Pour l’intervalle 0 < t < 5s, l’équation de l’entrée est :
vi (t) = 4t
Lorsqu’on replie l’entrée, on obtient comme équation :
vi (t − λ) = 4(t − λ)
Pour la convolution, lors de l’intervalle 0 < t < 5s, on obtient :
Z t
vo =
4(t − λ)e−λ dλ
0
= 4(e−t + t − 1)
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CHAPITRE 2. ANALYSE DE CIRCUITS
Pour le deuxième intervalle, 5 < t < 10s,
Z
Z t−5
−λ
vo =
20e dλ +
0
−t
= 4(5 + e
−e
= 4(e
)
−(t−5)
−e
(t − λ)e−λ dλ
t−5
−(t−5)
Pour le troisième intervalle, 10 < t < ∞,
Z t−5
Z
−λ
vo =
20e dλ +
t−10
−t
t
t
(t − λ)e−λ dλ
t−5
−(t−10)
+ 5e
)
La réponse est tracée (avec Matlab) à la figure suivante.
20
Entrée
Réponse
tension (V)
15
10
5
0
0
5
10
15
temps (s)
Remarquer que la réponse suit de façon assez près l’entrée, mais avec un certain délai. Ce
délai est dû à l’inductance, une composante qui emmagasine de l’énergie.
2.5.2
Propriétés de la convolution
Voici quelques propriétés de la convolution :
Kx(t) ∗ h(t) = x(t) ∗ Kh(t) = Ky(t)
[x1 (t) + x2 (t)] ∗ h(t) = y1 (t) + y2 (t)
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