Correction Contrôle de Mathématiques n°4 (1H30)

3A-Lundi 22 janvier 2007
Correction Contrôle de Mathématiques n°4 (1H30)
Exercice 1: (4 points)
2
2
1. ( −2 − 7 ) − 81 = ( −9 ) − 81 = 0 . On obtient le nombre 0.
2. On appelle n le nombre auquel on applique le programme de calcul précédent.
2
a) Le résultat de ce programme de calcul est ( n − 7 ) − 81
b) En donnant à n, la valeur –2, on retrouve le calcul du 1.
3. Soit l’expression : F = ( x − 7 ) − 81 .
2
a) F = ( x − 7 ) − 81 = x 2 − 14 x + 49 − 81 = x 2 − 14 x − 32 . Ceci est la forme
2
développée, réduite et ordonnée de l’expression F.
2
b) F = ( x − 7 ) − 81 = ( x − 7 + 9 )( x − 7 − 9 ) = ( x + 2 )( x − 16 ) . Ceci est la forme
factorisée de l’expression F.
c) ( x + 2 )( x − 16 ) = 0
Un produit est nul signifie que l’un des facteurs au moins est nul
x − 16 = 0
x+2=0
x = −2
x = 16
Les solutions de cette équation sont 16 et -2
S = {16; −2}
Exercice 2
(4 points)
4 ( x − 5) − 6 ( 7 − 2 x ) = 5 x − 1
4 x − 20 − 42 + 12 x = 5 x − 1
16 x − 62 = 5 x − 1
On ajoute 62 à chaque membre de l’égalité
16 x = 5 x − 1 + 62
16 x = 5 x + 61
On ajoute -5x à chaque membre de l’égalité.
16 x − 5 x = 61
11x = 61
On multiplie chaque membre de l’égalité par
1
11
61
61
x = . L’équation a une seule solution
.
11
11
( 3x − 1) − ( 3x − 1)( 2 x + 3) = 0
2
Il faut tout d’abord factoriser cette expression
2
( 3x − 1) − ( 3x − 1)( 2 x + 3) = 0
x +1 4 − x 1
=
−
5
2
2
On réduit au même dénominateur
( x + 1) × 2 − ( 4 − x ) × 5 = 1× 5
5× 2
2×5
2×5
2 x + 2 20 − 5 x 5
−
=
10
10
10
2 x + 2 − ( 20 − 5 x ) 5
=
10
10
2 x + 2 − 20 + 5 x = 5
7 x − 18 = 5
7 x = 23
23
x=
7
23
L’équation a une seule solution
7
2
2 x ( x − 1) = 2 x − 4 x + 1
Il est impossible de factoriser cette expression par
contre en développant x2 va disparaître et on
obtient une équation du 1er degré.
( 3x − 1) ⎡⎣( 3x − 1) − ( 2 x + 3) ⎤⎦ = 0
( 3x − 1)( 3x − 1 − 2 x − 3) = 0
( 3x − 1)( x − 4 ) = 0
2 x2 − 2 x = 2 x2 − 4 x + 1
−2 x = −4 x + 1
−2 x + 4 x = 1
Un produit est nul si et seulement si l’un de ses
facteurs est nul donc
3x − 1 = 0
x−4=0
3x = 1
x=4
1
x=
3
1
Les solutions de l’équation sont et 4.
3
Exercice 3
effectifs
Effectifs
cumulés
2x = 1
x=
1
2
L’équation a une seule solution
1
2
(3 points)
310
4
320
4
330
5
340
7
350
3
360
2
4
8
13
20
23
25
L’étendue de cette série est la différence entre la valeur maximum et la valeur minimum :
360 – 310 = 50 tours
25 + 1
L’effectif total de cette série est 25, nombre impair,
= 13 , la médiane correspond à la 13ème
2
valeur, c'est-à-dire 330 tours.
310 × 4 + 320 × 4 + 330 × 5 + 340 × 7 + 350 × 3 + 360 × 2
m=
Soit m la moyenne de cette série
25
m = 332,8
La moyenne de cette série arrondie à l’unité est 333 tours par excès.
Exercice 4 (3 points)
On sait que : AD = 1,5 m ; EY = 1,7 m ; EA = 0,6 m.
1. La droite (DC) est perpendiculaire à la droite (ED) et
la droite (EY) est également perpendiculaire à cette
même droite donc les droites (DC) et (EY) sont
parallèles.
2. Les droites (DC) et (EY) sont parallèles, donc on a
une configuration de Thalès « papillon » et on peut
écrire :
AE YE
=
AD DC
0, 6 1, 7
=
1,5 DC
La profondeur du puits est de 4,25 m
1, 7 ×1,5
DC =
0, 6
DC = 4, 25
.
(3 points)
Exercice 5
Un menuisier doit tailler des boules en bois de 10 cm de diamètre pour les disposer sur une rampe
d’escalier. Il confectionne d’abord des cubes de 10 cm d’arêtes dans lesquels il taille chaque boule.
1. Le volume d’un cube d’arête 10 cm est : 103 = 1000 cm3.
Le volume d’une boule de diamètre 10 cm donc de rayon 5 cm est :
4
4
π × 53 = π × 125 ≈ 524 cm3
3
3
au cm3 près par excès. Ainsi la quantité de bois perdu est :
100 − 524 = 476 cm3 près par défaut.
Il découpe ensuite la boule de centre O suivant un plan pour la coller sur son
emplacement. La surface ainsi obtenue doit être un disque D de centre O1 et de
diamètre AB = 5 cm.
2. Quand on découpe une boule par un plan qui ne passe pas par son centre on
obtient un disque de rayon inférieur à celui de la boule.
Le triangle OO1B est rectangle en O1 et d’après la propriété de Pythagore, on a
2
OO1 + O1 B 2 = OB 2
⎛5⎞
OO = 5 − ⎜ ⎟
⎝2⎠
2
1
2
2
OO1 = 25 − 6, 25
2
OO1 = 18, 75
2
OO1 = 18.75 ≈ 4,3 ou OO1 = − 18.75
OO1 étant une longueur, la valeur négative est impossible.
Il doit réaliser cette découpe à 4,3 cm au mm près par défaut du centre de la boule.
Exercice 6 (3 points)
Un tajine est un plat composé d'une assiette circulaire et d'un couvercle en forme de cône qui
s'emboîte parfaitement dans l'assiette.
L'assiette de ce tajine a un rayon [OA] qui mesure 15 cm et la génératrice du cône [SA] mesure 25 cm.
Tajine
1. Dans le triangle SOA, rectangle en O, d’après la propriété de Pythagore
OS 2 + OA2 = SA2
OS 2 = 252 − 152
OS 2 = 400
OS = 400 = 20
La hauteur OS du cône est de 20 cm.
1
1
× aire du disque de base × hauteur = π × 152 × 20 = 1500π cm3.
3
3
3. Le modèle réduit de ce tajine a une assiette de rayon 6 cm donc c’est une réduction de
6 2
coefficient k = = .
15 5
3
8
⎛2⎞
On a donc V ' = ⎜ ⎟ ×1500π =
×1500π = 96π cm3
5
125
⎝ ⎠
2. Le volume d’un cône est :
La valeur arrondie au cm3 près du volume V' du tajine en modèle réduit est de 302 cm3 près par excès.