Fiche PanaMaths (CPGE) → L`équation du 3 degré

Fiche PanaMaths (CPGE)
Æ L’équation du 3ème degré
Introduction
On se propose ici de donner la résolution générale de toute équation de la forme :
ax3 + bx 2 + cx + d = 0
(avec ( a, b, c, d ) ∈ ^* × ^3 )
L’approche est similaire, dans son principe général, à celle de la résolution d’une équation du
second degré : on commence par donner la forme canonique d’où on tire un discriminant
permettant de discuter et de donner les racines éventuelles.
La méthode exposée est la méthode historique de Cardan (1501-1576).
Obtention de la forme canonique de l’équation
On travaille donc a ≠ 0 . On peut donc écrire :
b
c
d⎞
⎛
ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 ⇔ a ⎜ x 3 + x 2 + x + ⎟ = 0
a
a
a⎠
⎝
b
c
d
⇔ x3 + x 2 + x + = 0
a
a
a
On identifie alors les deux premiers termes de l’expression obtenue aux deux premiers termes
3
b ⎞
⎛
du développement de ⎜ x + ⎟ :
3a ⎠
⎝
3
2
3
b
c
d ⎛
b ⎞
d
⎛ b ⎞
⎛ b ⎞ c
x + x2 + x + = ⎜ x + ⎟ − 3 ⎜ ⎟ x − ⎜ ⎟ + x +
a
a
a ⎝
3a ⎠
a
⎝ 3a ⎠
⎝ 3a ⎠ a
3
3
b ⎞ ⎛ c b2 ⎞
d ⎛ b ⎞
⎛
= ⎜ x + ⎟ +⎜ − 2 ⎟x + −⎜ ⎟
3a ⎠ ⎝ a 3a ⎠
a ⎝ 3a ⎠
⎝
3
b ⎞ 3ac − b 2
d
⎛
x+
=⎜x+ ⎟ +
2
3a ⎠
3a
a
⎝
⎛ b ⎞
−⎜ ⎟
⎝ 3a ⎠
3
3
3
b ⎞ 3ac − b 2 ⎛
b ⎞ 3ac − b 2 b d ⎛ b ⎞
⎛
x
=⎜x+ ⎟ +
+
+ −⎜ ⎟
⎜
⎟−
3a ⎠
3a 2 ⎝
3a ⎠
3a 2 3a a ⎝ 3a ⎠
⎝
3
3
b ⎞ 3ac − b 2 ⎛
b ⎞ −9abc + 3b3 + 27 a 2 d − b3
⎛
=⎜x+ ⎟ +
x
+
⎜
⎟+
3a ⎠
3a 2 ⎝
3a ⎠
27a 3
⎝
3
b ⎞ 3ac − b 2 ⎛
b ⎞ −9abc + 2b3 + 27 a 2 d
⎛
x
=⎜x+ ⎟ +
+
⎜
⎟+
3a ⎠
3a 2 ⎝
3a ⎠
27a 3
⎝
PanaMaths
[1-7]
Mai 2008
Cette réduction est toujours possible et, modulo le changement d’inconnue X = x +
b
et une
3a
récriture des coefficients, on constate finalement que le problème revient à résoudre
l’équation générale :
x3 + px + q = 0 (Ec)
avec ( p, q ) ∈ ^ 2 .
C’est la forme canonique associée à l’équation initiale.
Remarques :
•
•
Ces notations sont standard et on les retrouve fréquemment dans la littérature ;
Cette équation ne comportant pas de terme en x 2 , la somme de ses racines complexes
est égale à 0.
Discriminant et discussion
Ecrivons x sous la forme x = u + v . L’équation canonique se récrit alors :
x 3 + px + q = 0
⇔ (u + v ) + p (u + v ) + q = 0
3
⇔ u 3 + 3u 2 v + 3uv 2 + v 3 + p ( u + v ) + q = 0
⇔ u 3 + v 3 + 3uv ( u + v ) + p ( u + v ) + q = 0
⇔ u 3 + v 3 + ( 3uv + p )( u + v ) + q = 0
On peut ici choisir u et v de telle sorte que 3uv + p = 0 , c'est-à-dire uv = −
p
.
3
On doit donc résoudre le système :
⎧u + v = x
⎪
p
⎪
⎨uv = −
3
⎪
3
3
⎩⎪u + v = −q
L’équation u 3 + v 3 + ( 3uv + p )( u + v ) + q = 0 donne alors : u 3 + v 3 + q = 0 . Mais comme
uv = −
p
p3
, il vient u 3v 3 = −
.
3
27
Finalement, u 3 et v 3 vérifient : u 3 + v3 = −q et u 3v 3 = −
PanaMaths
[2-7]
p3
.
27
Mai 2008
Ce sont donc les solutions de l’équation du second degré :
Y 2 + qY −
p3
= 0 (E*)
27
p 3 27q 2 + 4 p 3
=
. La discussion qui doit être menée
27
27
dépend donc de la quantité : 27q 2 + 4 p 3 .
Son discriminant s’écrit : Δ = q 2 + 4 ×
p
p3
nous a permis d’obtenir u 3v3 = −
. Soit u0 tel que u03 soit solution de
27
3
3
(E*). Alors il en va de même pour ju0 et j 2u0 (puisque ( ju0 ) = j 3u03 = u03 et
L’égalité uv = −
(j u )
2
0
3
= j 6u03 = u03 et parce que l’équation u 3 = u03 admet exactement trois solutions dans ^ ).
En raisonnant de façon analogue avec v0 tel que v03 soit égal à l’autre solution de (E*) et
p
vérifie u0 v0 = − , on obtient finalement comme solutions de (Ec) :
3
x0 = u0 + v0
x1 = ju0 + j 2 v0
x2 = j 2u0 + jv0
La question est désormais de savoir s’il y a des racines multiples.
Si p = 0 , (Ec) se récrit x3 + q = 0 . Alors :
■ Si q = 0 , (Ec) admet 0 comme racine triple (c’est d’ailleurs la seule racine triple
possible puisque P '' ( X ) = 6 X ) ;
■ Si q ≠ 0 , (Ec) admet trois racines distinctes.
On suppose maintenant que l’on a : p ≠ 0 .
Considérons le polynôme P ( X ) = X 3 + pX + q . Alors : P ' ( X ) = 3 X 2 + p .
L’équation (Ec) admet une racine (au moins) double, si, et seulement si, P et P ' ne sont pas
premiers entre eux.
Effectuons la division euclidienne de P par P ' :
1
3 X 3 + 3 pX ) + q
(
3
1
1
2
= X ( 3 X 2 + 3 p ) + q = X ( 3 X 2 + p ) + pX + q
3
3
3
1
2
= XP ' ( X ) + pX + q
3
3
P ( X ) = X 3 + pX + q =
PanaMaths
[3-7]
Mai 2008
Il vient donc :
2
⎛
⎞
PGCD ( P, P ') = PGCD ⎜ P ', pX + q ⎟
3
⎝
⎠
On en déduit immédiatement que (Ec) admet une racine (au moins) double si, et seulement si
2
3q
pX + q divise P ' c'est-à-dire si, et seulement si, −
est racine de P ' .
2p
3
2
⎛ 3q ⎞
⎛ 3q ⎞
9q 2
27q 2 + 4 p 3
p
p
3
3
=
−
+
=
+
=
.
Or, P ' ⎜ −
⎟
⎜
⎟
4 p2
4 p2
⎝ 2p ⎠
⎝ 2p ⎠
3q
est racine de P ' si, et seulement si : 27q 2 + 4 p 3 = 0 .
Donc −
2p
Lorsque l’on aura 27q 2 + 4 p 3 = 0 et p ≠ 0 , la racine multiple sera donc double et égale à
3q
3q
−
. La somme des racines de (Ec) valant 0, la deuxième racine vaut donc :
.
p
2p
On a finalement :
■ Si 27q 2 + 4 p 3 ≠ 0 l’équation (Ec) admet trois racines simples ;
■ Si 27q 2 + 4 p 3 = 0 l’équation admet :
o Si p = 0 (on a alors aussi q = 0 ) : 0 comme racine triple ;
3q
3q
o Si p ≠ 0 : une racine double égale à −
et une racine simple égale à
.
p
2p
Cas d’une équation à coefficients réels
On suppose ici ( p; q ) ∈ \ 2 . Dans ce cas, on a :
■ Si Δ = 0
On se trouve dans la situation vue précédemment. L’équation admet des racines multiples
qui sont toutes réelles.
■ Si Δ > 0
L’équation Y 2 + qY −
p3
= 0 admet deux racines réelles distinctes :
27
−q −
PanaMaths
27 q 2 + 4 p 3
27 q 2 + 4 p 3
−q +
27
27
et
2
2
[4-7]
Mai 2008
On peut écrire :
−q −
27 q 2 + 4 p 3
2
3
q 1 27 q 2 + 4 p 3
q
q 2 p3
q
⎛q⎞ ⎛ p⎞
27
=− −
=− −
+
= − − ⎜ ⎟ +⎜ ⎟
2
2 2
27
2
4 27
2
⎝2⎠ ⎝ 3 ⎠
2
3
2
3
q
q
⎛q⎞ ⎛ p⎞
⎛q⎞ ⎛ p⎞
Les deux racines s’écrivent donc : − − ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ et − + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ .
2
2
⎝2⎠ ⎝ 3 ⎠
⎝2⎠ ⎝ 3 ⎠
On peut alors considérer, en reprenant les notations de la partie précédente, les racines
cubiques de ces expressions :
2
3
2
q
q
⎛q⎞ ⎛ p⎞
⎛q⎞ ⎛ p⎞
u0 = − − ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ et v0 = 3 − + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟
2
2
⎝2⎠ ⎝ 3 ⎠
⎝2⎠ ⎝ 3 ⎠
3
3
Ces quantités sont réelles et leur produit vaut bien −
p
puisque dans \ on a
3
p3
p
⇔ u0 v0 = − .
l’équivalence : u v = −
27
3
3 3
0 0
Les racines de (Ec) s’écrivent finalement :
2
3
2
q
q
⎛q⎞ ⎛ p⎞
⎛q⎞ ⎛ p⎞
x0 = u0 + v0 = 3 − − ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + 3 − + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟
2
2
⎝2⎠ ⎝ 3 ⎠
⎝2⎠ ⎝ 3 ⎠
2
q
q
⎛q⎞ ⎛ p⎞
⎛q⎞ ⎛ p⎞
x1 = ju0 + j v0 = j − − ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + j 2 3 − + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟
2
2
⎝2⎠ ⎝ 3 ⎠
⎝2⎠ ⎝ 3 ⎠
2
3
2
2
3
2
x2 = j u0 + jv0 = j
2
3
3
3
23
3
q
q
⎛q⎞ ⎛ p⎞
⎛q⎞ ⎛ p⎞
− − ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ + j3 − + ⎜ ⎟ +⎜ ⎟
2
2
⎝2⎠ ⎝ 3 ⎠
⎝2⎠ ⎝ 3 ⎠
La racine x0 est réelle. C’est la formule historique de Cardan-Tartaglia.
En tenant compte de j = j 2 et comme x1 ≠ x2 (pas de racine multiple), on déduit que x1
et x2 sont deux racines complexes conjuguées.
■ Si Δ < 0
p3
L’équation Y + qY −
= 0 admet deux racines complexes conjuguées (coefficients réels
27
et discriminant strictement négatif) :
2
−q − i
27 q 2 + 4 p 3
27
2
PanaMaths
−q + i
et
[5-7]
27 q 2 + 4 p 3
27
2
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Soit, en procédant comme dans le cas précédent :
2
q
⎛q⎞ ⎛ p⎞
− −i ⎜ ⎟ +⎜ ⎟
2
⎝2⎠ ⎝ 3 ⎠
3
2
q
⎛q⎞ ⎛ p⎞
et − + i ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟
2
⎝2⎠ ⎝ 3 ⎠
3
2
3
q
⎛q⎞ ⎛ p⎞
Si nous notons α , jα et j α les trois racines de X + + i ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ , alors les
2
⎝2⎠ ⎝ 3 ⎠
2
3
2
q
⎛q⎞ ⎛ p⎞
trois racines de X + − i ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟
2
⎝2⎠ ⎝ 3 ⎠
3
3
seront les conjugués de ces trois complexes, à
savoir : α , jα = j α = j 2α et j 2α = j 2α = jα . Mais puisque le produit uv doit être réel
p
(il vaut, rappelons-le, − ), les trois couples ( u , v ) possibles sont :
3
(α , α ) , ( jα , j 2α )
et ( j 2α , jα )
Les racines de (Ec) s’écrivent alors :
x0 = α + α
x1 = jα + j 2α
x2 = j 2α + jα
Les trois racines ainsi obtenues sont réelles (chacune est égale à sa conjuguée) distinctes.
Synthèse
1. Toute équation du 3ème degré peut être mise sous forme canonique : x3 + px + q = 0 ;
2. Le discriminant associé s’écrit : 27q 2 + 4 p 3 ;
3. On a la discussion suivante :
■ Si 27q 2 + 4 p 3 ≠ 0 , l’équation admet trois racines distinctes ;
Lorsque les coefficients p et q sont réels on a plus précisément :
o Si 27q 2 + 4 p 3 > 0 , l’équation admet une racine réelle (donnée par la formule
2
3
2
3
q
q
⎛q⎞ ⎛ p⎞
⎛q⎞ ⎛ p⎞
de Cardan : x0 = − − ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + 3 − + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ) et deux racines
2
2
⎝2⎠ ⎝ 3 ⎠
⎝2⎠ ⎝ 3 ⎠
complexes conjuguées ;
o Si 27q 2 + 4 p 3 < 0 , l’équation admet trois racines réelles distinctes.
3q
■ Si 27q 2 + 4 p 3 = 0 , l’équation admet une racine simple ( )et une racine double
p
3q
(−
) lorsque p ≠ 0 ou une racine triple (0) lorsque p = q = 0 .
2p
3
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Un exemple pour prendre un peu de recul …
Considérons l’équation suivante :
x3 + x − 2 = 0
L’équation est sous forme canonique et on a : p = 1 et q = −2 .
Le discriminant vaut alors : 27q 2 + 4 p 3 = 27 × ( −2 ) + 4 ×13 = 27 × 4 + 4 = 112 > 0 .
L’équation admet donc dans ^ une racine réelle et deux racines complexes conjuguées.
2
La racine réelle est donnée par la formule de Cardan-Tartaglia :
2
3
2
q
q
⎛q⎞ ⎛ p⎞
⎛q⎞ ⎛ p⎞
x0 = 3 − − ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + 3 − + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟
2
2
⎝2⎠ ⎝ 3 ⎠
⎝2⎠ ⎝ 3 ⎠
2
3
2
3
−2
−2
⎛ −2 ⎞ ⎛ 1 ⎞
⎛ −2 ⎞ ⎛ 1 ⎞
= − − ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ + 3 − + ⎜ ⎟ +⎜ ⎟
2
2
⎝ 2 ⎠ ⎝3⎠
⎝ 2 ⎠ ⎝3⎠
3
3
= 3 1− 1+
= 3 1−
1 3
1
+ 1+ 1+
27
27
2 7 3
2 7
+ 1+
3 3
3 3
Cette expression semble assez complexe … On sera probablement un peu dérouté lorsque, de
surcroît, on constatera que 1 est racine évidente de l’équation initiale et que l’on a ainsi :
3
1−
2 7 3
2 7
+ 1+
=1
3 3
3 3
On saura (partiellement ?) se convaincre de la validité de cette égalité à l’aide d’un tableur ou
d’une calculatrice mais si nous n’en disposions pas (imaginez, en particulier, la situation au
début du 16ème siècle !) …
Ainsi, une formule, aussi belle soit-elle, n’est peut-être pas toujours une fin en soi …
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