Exercices Ch.5 - Solution

Exercices
Algèbre linéaire
Collège Montmorency
Jean-Claude Cayer
Chapitre 5
Exercice 5.1 (page 184)
Soit le parallélogramme ABCD suivant.
uuuv
uuuv
a) Les vecteurs AD et AB sont-ils égaux ? Justifiez votre réponse.
Réponse : Non, les vecteurs n’ont pas la même direction.
uuuv
uuuv
b) Les vecteurs AD et CB sont-ils égaux ? Justifiez votre réponse.
Réponse : Non, les vecteurs n’ont pas la même direction.
uuuv
c) Trouvez un vecteur égal au vecteur CD .
uuuv
Réponse : BA
Exercice 5.2 (page 185)
Tracez deux vecteurs dont l’un a une direction de 120°, et l’autre, une direction
de 11π / 6 .
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Exercice 5.3 (page 187)
Soit les vecteurs représentés dans le bas de la page 187.
Tracez chacun des vecteurs résultants suivants.
v v
a) u + w . Employez la méthode du parallélogramme.
v v
b) v + r . Employez la méthode du triangle.
v v
c) u + v . Peut-on employer la méthode du parallélogramme ?
v v
d) r + s .
v v
v
e) u + x . Quel nom donne-t-on au vecteur résultant ? Proposez pour le vecteur x un nom
v
et une notation qui dénotent sa relation au vecteur u .
v v
f) u + 0 . Que suggère ce résultat à propos du vecteur nul ?
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Exercice 5.4 (page 194)
Soit les vecteurs représentés à la page 194.
Tracez les vecteurs :
v
a) 3u
v
b) −2 w
v
v
v
c) 3u + 4v − 2 w
Exercice 5.5 (page 197)
À l’aide du théorème 5.4 et des résultats présentés dans l’exemple précédent (pages 196197), montrez que tout vecteur du plan s’écrit comme une combinaison linéaire de deux
vecteurs linéairement indépendants.
Le théorème 5.4 permet d’affirmer que tout vecteur du plan s’écrit comme une
combinaison linéaire de deux vecteurs non nuls et non parallèles. Il suffit donc de
montrer que deux vecteurs non nuls et non parallèles sont linéairement indépendants.
Preuve : (Par l’absurde)
v
v
v
v
Soit u et v deux vecteurs non nuls et non parallèles. Supposons que u et v vsont
v v
linéairement dépendants. Alors, il existe une combinaison linéaire au + bv = 0 telle que
a ≠ 0 ou b ≠ 0 . Sans perte de généralité, on peut supposer que a ≠ 0 .
bv
v v v
v v v
v
v
v
v v
Par conséquent, au + bv = 0 ⇒ au = 0 − bv ⇒ au = −bv ⇒ u = − v ⇒ u // v
a
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Exercice 5.6 (page 198)
v v
Complétez le tableau suivant, dans lequel u et v sont des vecteurs et θ est l’angle
déterminé par les deux vecteurs.
v
u
v
v
θ
v v
u ⋅v
a)
4
8
30°
16 3
b)
3
4
90°
0
c)
2
2
180°
-4
v
v
u est perpendiculaire à v
v
v
u et v ont des directions opposées
Exercice 5.7 (page 200)
Prouvez la propriété 3 du théorème 5.5.
v v
v v
a(u ⋅ v ) = a u v cos θ
v v
v v
v
(au ) ⋅ v = au v cos θ = a u
v v
v v
v
u ⋅ (av ) = u av cos θ = u a
v
v cos θ
v
v v
v cos θ = a u v cos θ
Exercice 5.8 (page 202)
Soit M et N , les points milieux des deux côtés non parallèles ( AD et BC ) d’un trapèze
ABCD . Montrez que le segment de droite MN est parallèle aux segments AB et DC et
que la longueur du segment MN correspond à la moitié de la somme des longueurs des
segments AB et CD .
uuuuv uuuuv uuuv uuuv
uuuuv uuuv uuuv uuuv
D’une part, MN = MD + DC + CN et, d’autre part MN = MA + AB + BN , de sorte que
uuuuv uuuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuuv uuuv uuuv uuuv
2MN = MD + DC + CN + MA + AB + BN = AB + DC + MD + MA + CN + BN .
Comme M est le milieu du segment AD et N est le milieu du segment BC , on a
uuuuv uuuv v
uuuv uuuv v
uuuuv uuuv uuuv
MD + MA = 0 et CN + BN = 0 d’où 2MN = AB + DC .
uuuv uuuv
uuuuv uuuv uuuv uuuv
uuuuv uuuv uuuv
AB // DC ⇒ ( AB + DC ) // AB // DC ⇒ 2 MN // AB // DC ⇒
uuuuv uuuv uuuv
uuuuv
uuuv uuuv
Donc, 2MN = AB + DC ⇔ 2 MN = AB + DC ⇔ L ⇔
uuuuv uuuv uuuv
MN // AB // DC
uuuuv 1 uuuv
uuuv
MN = ( AB + DC )
2
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Exercice 5.9 (page 207)
uuuv
Pour chaque paire de points A et Bv donnée,
exprimez
le
vecteur
AB comme une
v
combinaison linéaire des vecteurs i et j .
a)
b)
c)
d)
e)
f)
A(0, 0) et B (3,5)
A(0, 0) et B (−2, 0)
A(0, 0) et B (0, −4)
A(4,8) et B (0, 0)
A(8, −4) et B (−1,3)
A(−1, −2) et B (1, 4)
uuuv uuuv uuuv
v
v
a) AB = OB − OA = [3 5] − [ 0 0] = [ 3 5] = 3i + 5 j
uuuv uuuv uuuv
v
b) AB = OB − OA = [ −2 0] − [ 0 0] = [ −2 0] = −2i
uuuv uuuv uuuv
v
c) AB = OB − OA = [ 0 −4] − [ 0 0] = [ 0 −4] = −4 j
uuuv uuuv uuuv
v v
d) AB = OB − OA = [ 0 0] − [ 4 8] = [ −4 −8] = −4i − 8 j
uuuv uuuv uuuv
v
v
e) AB = OB − OA = [ −1 3] − [8 −4] = [ −9 7 ] = −9i + 7 j
uuuv uuuv uuuv
v
v
f) AB = OB − OA = [1 4] − [ −1 −2] = [ 2 6] = 2i + 6 j
Exercice 5.10 (page 214)
v
a) quelles sont les composantes du vecteur u dont le module vaut 4 et la direction 60° ?
1
v
π 
u1 = u cos θ = 4 cos   = 4 = 2
2
3
3
v
π 
u2 = u sin θ = 4sin   = 4
=2 3
2
3
v
u =  2 2 3 
v
b) quelles sont les composantes du vecteur v dont le module vaut 8 et la direction 120° ?
v
 1
v1 = v cos θ = 8cos (120° ) = 8  −  = −4
 2
3
v
v2 = v sin θ = 8sin (120° ) = 8
=4 3
2
v
v =  −4 4 3 
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v v
v v
c) Quels sont le module et la direction de chacun des vecteurs u + v et u − v ?
v v
u + v =  2 2 3  +  −4 4 3  =  −2 6 3 
v v
u + v = (−2) 2 + (6 3) 2 = 112
6 3
 + 180° = arctan −3 3 + 180° ≈ 100,9°
−
2


(
θ = arctan 
)
v v
u − v =  2 2 3  −  −4 4 3  = 6 −2 3 
v v
u − v = 62 + (−2 3) 2 = 48
 −2 3 
− 3
 = arctan 
 = −30°
 6 
 3 
θ = arctan 
Exercice 5.11 (page 215)
v
1. Exprimer le vecteur w = [1 −1] comme une combinaison linéaire des vecteurs
v
v
u = [3 1] et v = [ 2 1] .
v
v
v
w = k1u + k2 v
[1
[1
[1
−1] = k1 [3 1] + k2 [ 2 1]
−1] = [3k1
k1 ] + [ 2k2
−1] = [3k1 + 2k2
k2 ]
k1 + k2 ]
3k1 + 2k2 = 1
k1 + k2 = −1
3 2

1 1
1  3 2
≅
−1 0 1
1

−4  L2 → 3L2 − L1
k 2 = −4
3k1 + 2(−4) = 1 ⇒ k1 = 3
v
v
v
w = 3u − 4v
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v
2. Exprimer le vecteur w = [1 −1] comme une combinaison linéaire des vecteurs
v
v
u = [3 1] et v = [ −6 −2] . Que constatez-vous ? Pourquoi en est-il ainsi ?
v
v
v
w = k1u + k2 v
[1
[1
[1
−1] = k1 [3 1] + k2 [ −6 −2]
−1] = [ 3k1
k1 ] + [ −6k2
−1] = [3k1 − 6k2
−2 k 2 ]
k1 − 2k2 ]
3k1 − 6k2 = 1
k1 − 2k2 = −1
 3 −6

1 −2
1   3 −6
≅
−1 0 0
1

−4  L2 → 3L2 − L1
v
Le système n’admet aucune solution. Donc on ne peut pas exprimer w comme une
v
v
combinaison linéaire des vecteurs u et v .
Exercice 5.12 (page 218)
Soit les points A(2, −1) , B(3,5) , C (4, −2) , D(3, 5) , E (4, −3) et F (−2, −2) .
uuuv uuuv
uuuv
a) Que valent AB , CD , EF ?
uuuv uuuv uuuv
uuuv
AB = OB − OA = [3 5] − [ 2 −1] = [1 6] ⇒ AB = 12 + 62 = 37
uuuv uuuv uuuv
uuuv
CD = OD − OC = [3 5] − [ 4 −2] = [ −1 7 ] ⇒ CD = (−1)2 + 7 2 = 50
uuuv uuuv uuuv
uuuv
EF = OF − OE = [ −2 −2] − [ 4 −3] = [ −6 1] ⇒ EF = (−6)2 + 12 = 37
uuuv uuuv
b) Que vaut AB ⋅ CD ?
uuuv uuuv
AB ⋅ CD = [1 6] ⋅ [ −1 7 ] = 1(−1) + 6(7) = 41
uuuv uuuv
c) Que vaut AB ⋅ EF ? Que pouvez-vous dire des deux vecteurs ?
uuuv uuuv
uuuv uuuv
AB ⋅ EF = [1 6] ⋅ [ −6 1] = 1(−6) + 6(1) = 0 ⇒ AB ⊥ EF
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uuuv uuuv
uuuv 2
d) Que vaut AB ⋅ AB ? Comparez le résultat avec AB . S’agit-il d’une coïncidence ?
uuuv uuuv
AB ⋅ AB = [1 6] ⋅ [1 6] = 1(1) + 6(6) = 37
2
uuuv 2
AB = 12 + 62 = 12 + 62 = 37
)
(
Ce n’est pas une coïncidence, mais plutôt d’une propriété du produit scalaire pour
laquelle il existe une démonstration.
uuuv
e) Trouvez un vecteur unitaire perpendiculaire au vecteur CD . Est-ce que ce vecteur est
unique ? Justifiez votre réponse.
uuuv
v
v = [ −7 −1] est un vecteur perpendiculaire à CD = [ −1 7 ] .
uuuv v
En effet, CD ⋅ v = [ −1 7 ] ⋅ [ −7 −1] = 0 .
1 v
1
 −7
Donc, v v =
[ −7 −1] = 
v
50
 50
−1 
 est un vecteur unitaire perpendiculaire.
50 
Ce vecteur n’est pas unique.
1 v  7
1 
− v v=
 est également un vecteur unitaire perpendiculaire.
v
50 
 50
uuuv  1 v 
 7
De la même façon, CD ⋅  − v v  = [ −1 7 ] ⋅ 
 50
 v 
1 
=0.
50 
Exercice 5.13 (page 219)
v
Quel est l’angle déterminé par les vecteurs u = [−1
v v
u ⋅ v = [ −1
3] ⋅ [2 −2] = −2 − 2 3
v
u = (−1) 2 + ( 3) 2 = 2
v
v = 22 + (−2) 2 = 8

θ = arccos 

v v
u ⋅v
v v
u v

 −2 − 2 3 
 = arccos 
 = 165°
 2 8 

v
3] et v = [2 −2] ?
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Exercice 5.14 (page 220)
v
v
Quel est la projection orthogonale du vecteur v = [3 4] sur le vecteur u = [−2 2] ?
v v
2
v  v ⋅ u  v  [ 3 4 ] ⋅ [ −2 2 ] 
vuv =  v v  u = 
 [ −2 2] = [ −2 2] = [ −1/ 2 1/ 2]
8
 u ⋅u 
 [ −2 2] ⋅ [ −2 2] 
Exercice 5.15 (page 221)
Donnez une preuve « algébrique » (en vous servant de vecteurs algébriques) de la
v v v
v v v v
propriété 2 du théorème 5.5, soit u ⋅ (v + w) = u ⋅ v + u ⋅ w .
Preuve :
v v v
u ⋅ (v + w) = [u1 u2 ] ⋅ ([ v1 v2 ] + [ w1
w2 ])
= [u1 u2 ] ⋅ [ v1 + w1 v2 + w2 ]
= u1 (v1 + w1 ) + u2 (v2 + w2 )
= u1v1 + u1w1 + u2 v2 + u2 w2
= u1v1 + u2 v2 + u1w1 + u2 w2
= [u1 u2 ] ⋅ [ v1 v2 ] + [u1 u2 ] ⋅ [ w1
v v v v
= u ⋅v + u ⋅w
w2 ]