Une personne ne dit pas la vérité, laquelle ?

MPS
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Mathématiques
Salle 203
Séance No.5
MPS 2010 Police scientifique - Graphes et enquêtes policières
1) Graphes Bipartis
Une entreprise X exerce son activité dans un local constitué de 3 pièces A, B et C. Un objet est dérobé dans la
pièce C. Lors de ce larcin 7 personnes sont présentes sur les lieux et toutes affirment qu’elles étaient dans la
pièce A ou B ; les témoignages recueillis permettent d’établir les faits suivants :
Alain
Bernard
Claude
Didier
Edgar
François
Georges
N’était pas dans la même pièce que..
Bernard et Didier
Claude et François
Alain et Georges
Edgar et François
Claude et Georges
Bernard et Georges
Alain et Edgar
Une personne
ne dit pas la vérité,
laquelle ?
Pour nous aider à élucider cette enquête, nous allons
utiliser les graphes bipartis.
Le schéma ci-contre représente un graphe. Les points
A, B, C, D, E et F sont les sommets du graphe. Les traits
reliant deux sommets sont appelés des arêtes. Deux
sommets sont adjacents s’ils sont reliés par une arête.
Un graphe est dit biparti s’il existe une partition de ses
sommets en deux ensembles U et V telle que chaque arête ait
une extrémité dans U et l’autre dans V.
Ex 1 Le 1er graphe ci-dessus, est-il un graphe biparti ?
_____________________
Propriété 1 Un graphe est biparti si l’on peut colorier les sommets avec deux couleurs de telle façon que
deux sommets adjacents n’aient pas la même couleur.
Ex2 Les graphes ci-dessous peuvent-ils être des graphes bipartis ?
Propriété 2 Etant donné 3 sommets d’un graphe biparti, on peut affirmer qu’au moins deux de ces 3
sommets ne sont pas adjacents.
Ex 3
a) Construire un graphe correspondant à notre enquête : 2 personnes (sommets) sont adjacentes si l’une
d’elles a déclaré ne pas être dans la même pièce que l’autre.
b) Est-il biparti ?
Réponse :__________________
c) Trouver la personne qui a menti.
Réponse :__________________
d) En enlevant la personne qui a menti, le nouveau graphe est-il biparti ? Réponse :__________________
2) Graphes d’intervalles
Un jour Sherlock Holmes reçoit la visite de son ami Watson que l’on avait chargé d’enquêter sur un
assassinat datant de plus de 10 ans. A l’époque le Duc de Densmore avait été tué par l’explosion d’une bombe
dans son château d’Ecosse. Les journaux d’alors relataient que le testament, détruit lui aussi par l’explosion,
avait tout pour déplaire { l’une de ses 7 ex-femmes. Or, avant de mourir, le Duc les avait toutes invitées à
passer quelques jours dans son château.
-Holmes : « Je me souviens de l’affaire ; ce qui est étrange c’est que la bombe avait été fabriquée
spécialement pour être cachée dans l’armure de la chambre, ce qui suppose que l’assassin a nécessairement
effectué plusieurs visites au château. »
-Watson : « Certes, et pour cette raison j’ai interrogé chacune de ces 7 femmes. Elles ont toutes juré qu’elles
n’avaient été au château qu’une seule fois dans leur vie. »
-Holmes : « Hum ! Leur avez-vous demandé à quelle période ont eu lieu leurs séjours respectifs ? »
-Watson : »Hélas ! Aucune ne se rappelait les dates exactes, après plus de 10 ans. Néanmoins je leur ai
demandé qui elles avaient rencontré :
● Ann a rencontré Betty, Charlotte, Félicia et Georgia.
● Betty a rencontré Ann, Charlotte, Edith, Félicia et Helen.
● Charlotte a rencontré Ann, Betty et Edith.
● Edith a rencontré Betty, Charlotte et Félicia.
● Félicia a rencontré Ann, Betty, Edith et Helen.
●Georgia a rencontré Ann et Helen.
● Helen a rencontré Betty, Félicia et Georgia.
Vous voyez mon cher Holmes, ces réponses sont concordantes !
Holmes prit un crayon et dessina un graphe, puis il s’écria : « Ce que vous venez de me dire détermine de
façon unique l’assassin »
Pour nous aider à résoudre cette enquête, nous allons utiliser un graphe d’intervalles : chacune des femmes
est présente au château pendant un intervalle de temps, à chaque intervalle nous associons un sommet du graphe et
deux sommets sont reliés lorsque les intervalles de temps qui leur sont associes se chevauchent dans le temps
autrement dit, lorsque les femmes disent s’être rencontrées. Un exemple:
Exemple 1 A la famille d’intervalles : [1 ; 4], [3 ; 7], [3 ; 5], [6 ; 9] on peut associer le graphe :
Exercice 1 Donner le graphe associé à la famille : [1 ; 4], [3 ; 7], [5 ; 8], [2 ; 6], [4 ; 9]
Propriété
Etant donné un graphe d’intervalles, on peut
affirmer qu’un graphe du type ci-contre est
impossible.
Exercice 2
1) Dans l’enquête de Sherlock Holmes, construisez le graphe correspondant.
2) Qui a tué le duc de Densmore ?
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Exercice 3
Sept élèves désignés par A, B, C, D, E, F et G se sont rendus au CDI aujourd’hui. Le tableau suivant précise
« qui a rencontré qui » (le CDI étant petit, 2 élèves présents au même moment se rencontrent nécessairement)
élève
A
B
C
D
E
F
G
a rencontré
D, E
D, E, F, G
E, G
A, B, E
A,B,C,D,F,G
B, E, G
B, C, E, F
1) Faire le graphe correspondant
2) En sachant que C est arrivé en premier, donner l’ordre d’arrivée des élèves au CDI, puis leur ordre de
départ. Représenter graphiquement les intervalles comme à l’exemple 1.
C________
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