TD 1 - WebCampus

Chapitre 1
Définitions et concepts
fondamentaux de la théorie des
graphes
1.1
Rappels théoriques
1. Un graphe est un triplet (V, E, ψ), où
– V = {v1 , v2 , · · · } est un ensemble dont les éléments sont appelés sommets ou
noeuds ;
– E = {e1 , e2 , · · · } est un ensemble dont les éléments sont appelés arêtes ;
– ψ est une fonction, dite fonction d’incidence, qui associe à chaque arête un sommet ou une paire de sommets.
2. On dit des sommets extrémités d’une arête qu’ils sont adjacents et qu’une arête
est incidente à ces sommets extrémités. Une arête incidente à un seul sommet est
une boucle.
3. Le degré d’un noeud/sommet est le nombre d’arêtes ayant une extrémité en
ce sommet (= incidentes à celui-ci).
4. Un sous-graphe du graphe (V, E, ψ) est un graphe (V ′ , E ′ , ψ ′ ), avec V ′ ⊆ V ,
E ′ ⊆ E et ψ ′ est la restriction de ψ à E ′ .
5. Un graphe est simple s’il ne contient ni boucles ni arêtes multiples. Un graphe
est connexe si pour chaque paire de points il existe un parcours qui les relie. Les
composantes connexes d’un graphe sont ses sous-graphes connexes maximaux.
Un graphe est complet s’il est simple et que chaque paire de noeuds distincts est
reliée par une arête.
6. Un graphe est planaire s’il peut être représenté dans le plan sans qu’aucune arête
n’en croise une autre. Un graphe est biparti s’il existe une partition en deux
ensembles V1 et V2 tels que les sommets de V1 ne sont adjacents qu’à des sommets
de V2 et vice versa. La bipartition est (V1 , V2 ).
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7. Deux graphes (V, E, ψ) et (V ′ , E ′ , ψ ′ ) sont dits isomorphes s’il existe des bijections f : V → V ′ et g : E → E ′ telles que ψ(e) = {u, v} si et seulement si
ψ(g(e)) = {f (u), f (v)}.
8. Un parcours est une suite v0 , e1 , v1 , e2 , · · · , en , vn , où v1 , v2 , · · · sont des sommets,
et e1 , e2 , · · · sont des arêtes. La longueur du parcours est son nombre d’arêtes n.
Un parcours est fermé si v0 = vn . Le sommet d’origine est v0 , le sommet de
destination est vn et les autres sommets sont dits intérieurs.
9. Un chemin est un parcours dont les sommets sont tous distincts. Un cycle est
un parcours fermé dont les sommets d’origine et intérieurs sont tous distincts.
10. Un parcours est eulérien s’il visite chaque arête une et une seule fois. Un graphe
est eulérien s’il existe un parcours eulérien fermé.
Théorème 1.
Théorème d’EULER Un graphe connexe est eulérien ssi tous les sommets
sont de degré pair.
11. La matrice d’adjacence est une matrice carrée n × n dont l’élément ij est le
nombre d’arêtes entre le sommet vi et le sommet vj .
12. la matrice d’incidence est une matrice rectangulaire n × m dont l’élément ij est
le nombre de fois (0,1 ou 2) que le sommet vi est incident à l’arête ej .
1.2
Exercices
Exercice 1
Représentez graphiquement le graphe suivant :
G = (V, E, ψ)
où
– V = {v1 , v2 , v3 , v4 , v5 }
– E = {e1 , e2 , e3 , e4 , e5 , e6 , e7 , e8 , e9 , e10 }
et la fonction ψ est définie par :
ψ(e1 ) = {v1 , v2 }, ψ(e2 ) = {v2 , v3 }, ψ(e3 ) = {v3 , v4 }, ψ(e4 ) = {v4 , v5 }, ψ(e5 ) = {v5 , v1 },
ψ(e6 ) = {v1 , v3 }, ψ(e7 ) = {v1 , v4 }, ψ(e8 ) = {v2 , v5 }, ψ(e9 ) = {v2 , v4 }, ψ(e10 ) = {v3 , v5 }.
1. Quelles sont les caractéristiques de ce graphe ?
2. Quel est le degré du graphe ? Et de chacun de ses sommets ?
3. Considérons le parcours v1 e1 v2 e2 v3 e10 v5 e5 v1 . Est-il fermé ? Quelle est sa longueur ?
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Exercice 2
Parmi les graphes connexes ci-dessous, déterminez ceux qui sont susceptibles de décrire
une même situation.
Exercice 3
Montrez que les deux graphes suivants sont isomorphes.
Exercice 4
Associez un graphe à chacune des situations ci-dessous et comparer ces graphes.
1. On considère un octaèdre régulier ; un sommet du graphe est associé à un sommet
de l’octaèdre et une arête correspond à une arête de l’octaèdre.
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2. On considère un cube ; un sommet du graphe est associé à une face du cube et
deux sommets du graphe sont reliés par une arête si les faces correspondantes ont
une arête commune.
3. Les sommets du graphe sont tous les sous-ensembles à deux éléments de {1, 2, 3, 4} ;
deux sommets sont reliés par une arête si leur intersection est non vide.
Exercice 5
Mr et Mme Dupont assistent à une réunion. Il y a trois autres couples dans l’assistance
et plusieurs poignées de mains sont échangées. Personne ne serre sa propre main et les
époux ne se serrent pas la main. Deux personnes quelconques se serrent la main au plus
une fois. Mr Dupont constate que les sept autre personnes ont échangé des poignées de
mains en nombres tous distincts. Combien de poignées de mains Mr et Mme Dupont
ont-ils échangés avec les autres membres de la réunion ?
Exercice 6
Donnez les caractéristiques des graphes ci-dessous.
Exercice 7
Montrez qu’on peut construire 11 graphes simples non-isomorphes à partir de 4 sommets.
Exercice 8
Donnez deux exemples de graphes eulériens. D’abord un graphe simple eulérien comprenant 4 sommets dont tous les noeuds sont de dégré inférieur ou égal a 2. Ensuite, un
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graphe simple comprenant 6 sommets qui possède un parcours eulérien de longueur 9.
Exercice 9
Construisez la matrice d’incidence et la matrice d’adjacence (notée A) du graphe suivant
et calculer A2 . Que peut-on en déduire ?
Exercice 10
Voici le plan du rez-de-chaussée d’une maison. Il est constitué de neuf pièces, chacune
comportant un certain nombre de portes (14 au total). Est-il possible de visiter ce sympathique rez-de-chaussée une et une seule fois par chaque porte ? Si oui, peut-on le faire
en revenant à son point de départ ?
Remarque : La maison est entourée d’un jardin, et certaines portes ouvrent sur celui-ci.
Dans la visite envisagée, on s’autorise à passer dans le jardin, bien entendu.
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Exercice 11
Une chèvre, un chou et un loup se trouvent sur la rive d’un fleuve. Un passeur souhaite
les transporter sur l’autre rive mais, sa barque étant trop petite, il ne peut transporter
qu’un seul d’entre eux à la fois. Comment doit-il procéder afin de ne jamais laisser ensemble et sans surveillance le loup et la chèvre, ainsi que la chèvre et le chou ?
Exercice 12
Soit G un graphe non eulérien. Est-il toujours possible de rendre G eulérien en lui rajoutant un sommet et quelques arêtes ?
Exercice - Janvier 2013 HD
Montrez que dans un graphe de n personnes, il y a toujours 2 personnes ayant le même
nombre d’amis présents.
Exercice - Janvier 2013 HD
Cinq pays sont représentés ci-dessous avec leurs frontières. Est-il possible de partir d’un
pays et de voyager en traversant chaque frontière une fois et une seule ? Est-il possible
de partir d’un pays et d’y revenir en franchissant chaque frontière une fois et une seule ?
Exercice - Janvier 2013 HJ
Qui a tué le duc de Densmore ? (adapté d’une nouvelle de C. Berge)
Un jour, Sherlock Holmes reçoit la visite de son ami Watson que l’on avait chargé d’enquêter sur un assassinat mystérieux datant de plus de dix ans ! A l’époque, le duc de
Densmore avait été tué par l’explosion d’une bombe, qui avait également détruit le château de Densmore ou il s’était retiré. Les journaux d’alors relataient que le testament,
détruit lui aussi par l’explosion, avait tout pour déplaire à l’une de ses sept ex-femmes.
Or, avant de mourir, le duc les avait toutes invitées à passer quelques jours dans sa
retraite écossaise.
– Holmes : Je me souviens de l’affaire. Ce qui est étrange, c’est que la bombe avait
été fabriquée spécialement pour être cachée dans l’armure de la chambre à coucher,
ce qui suppose que l’assassin a nécessairement effectué plusieurs visites au château !
– Watson : Certes, et pour cette raison, j’ai interrogé chacune des femmes : Ann,
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Betty, Charlotte, Edith, Felicia, Georgia, Helen. Elles ont toutes juré qu’elles
n’avaient été au château de Densmore qu’une fois dans leur vie.
– Holmes : Hum ! Leur avez-vous demandé à quelle période ont eu lieu leurs séjours
respectifs ?
– Watson : Hélas ! Aucune ne se rappelait les dates exactes, après plus de dix ans !
Néanmoins, je leur ai demandé qui elles y avaient rencontré :
• Ann a rencontré Betty, Charlotte, Felicia, Georgia.
• Betty a rencontré Ann, Charlotte, Edith, Felicia, Helen.
• Charlotte a rencontré Ann, Betty, Edith.
• Edith a rencontré Betty, Charlotte, Felicia.
• Felicia a rencontré Ann, Betty, Edith, Helen.
• Georgia a rencontré Ann, Helen.
• Helen a rencontré Betty, Felicia, Georgia.
Vous voyez, mon cher Holmes, ces réponses sont concordantes !
C’est alors que Holmes prit un crayon, et dessina un étrange petit dessin, avec des points
marqués A, B, C, E, F, G, H et des lignes reliant certains de ces points. Puis, en moins
de trente secondes, Holmes s’écria :
Tiens, tiens ! Ce que vous venez de me dire détermine d’une facon unique l’assassin.
1. Tracer le graphe G1 qu’aurait pu faire Holmes.
2. On compare à la situation fictive suivante, où chaque femme ne serait venue qu’une
fois au château, pendant les périodes suivantes :
Tracer le graphe G2 correspondant.
3. Quel type de sous-graphe à quatre noeuds existe dans G1 mais pas dans G2 ?
4. Expliquer alors qui est l’assassin et pourquoi.
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Exercice - Juin 2013
a. Montrer qu’un graphe simple a un nombre pair de sommets de degré impair.
b. Est-il possible de relier 15 ordinateurs de sorte que chaque appareil soit relié avec
exactement trois autres ?
c. Montrer que le nombre total de gens qui ont habité la Terre et qui ont donné un
nombre impair de poignées de mains est pair.
Exercice - Aout 2013 HJ
Soit G un graphe non-orienté simple à 2p sommets. On suppose que le degré de chaque
sommet est au moins égal à p. Démontrer que ce graphe est connexe.
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