Définitions et concepts fondamentaux de la théorie

Chapitre 1
Définitions et concepts
fondamentaux de la théorie des
graphes
1
Chapitre 2
Les plus courts Chemins :
algorithme de Dijkstra
2
Chapitre 3
Arbres et connectivité
3.1
Rappels théoriques
- Un arbre est un graphe connexe et sans cycle.
- Une forêt est un graphe sans cycle.
Les 6 graphes suivants sont des arbres. Pris ensemble, ils constituent une forêt.
- Un sous-graphe sous-tendant ou couvrant d’un graphe G est un sous-graphe
qui contient tous les sommets de G.
- Formule de Cayley : Soit T (G) le nombre d’arbres sous-tendants de G et e une arête
quelconque de G, qui n’est pas une boucle, alors T (G) = T (G − e) + T (G.e).
- Soit un graphe connexe pondéré. Le problème est de trouver un arbre sous-tendant de
poids minimum.
⇒ SOLUTION : Algorithme de Kruskal.
Algorithme de Kruskal
→
→
→
→
→
DONNEE : Un graphe pondéré à n noeuds.
Trier les arêtes par poids croissant ;
Tant que |S| < n-1
Parmis les arêtes non encore considérées, choisir celle de moindre poids notée e ;
Si S ∪ {e} est sans cycle, alors S := S ∪ {e} ;
3
- Soit G un graphe. Les deux sommets u et v sont connectés s’il existe un chemin qui
relie u à v.
- Pour un graphe connexe, une coupe d’arêtes (de sommets) est un ensemble d’arêtes
(de sommets) qui déconnecte le graphe quand on l’en retire.
- Un graphe est dit k-connexe si retirer k − 1 noeuds quelconques laisse le graghe
connexe. Autrement dit, si toutes les coupes de sommets sont de taille au moins k.
- La connectivité d’un graphe est la taille de la plus petite coupe de sommets.
- Un graphe est dit k-arête-connexe si retirer k − 1 arêtes quelconques laisse le graphe
connexe. Autrement dit, si toutes les coupes d’arêtes sont de taille au moins k.
- L’arête-connectivité d’un graphe est la taille de la plus petite coupe d’arêtes.
- Théorème :
connectivité ≤ arête-connectivité ≤ degré minimum.
4
3.2
Exercices
Exercice 1 :
Montrer qu’il existe deux noeuds de degré 1 dans un arbre.
Exercice 2 :
Montrer qu’un arbre n’est jamais eulérien.
Exercice 3 :
Montrer que si deux sommets quelconques d’un graphe G sans boucle sont connectés par
un chemin unique alors G est un arbre.
Exercice 4 :
Combien d’arbres différents existe-t-il avec 5 sommets ?
Exercice 5 :
Combien d’arbres maximaux différents les graphes ci-dessous possèdent-ils ?
Exercice 6 :
Illustrer la formule de Cayley sur le graphe suivant.
5
Exercice 7 :
Montrer l’implication suivante :
Le graphe G est une forêt ⇒ supprimer une arête du graphe augmente le nombre de
composantes connexes.
Exercice 8 :
Prouvez la proposition suivante :
Soit un graphe à n sommets et m arêtes.
Le graphe est une forêt ⇒ m = n− nombre de composantes connexes.
Exercice 9 :
Huit étudiants de Bac 2 en sciences mathématiques, désignés par les lettres a, b, · · · , h,
collaborent à un même projet et désirent établir un système de communication entre eux.
Un certain nombre de connexions directes sont réalisables, et chacune de celles-ci possède
un coût déterminé. Voici les données, c’est-à-dire le tableau des coûts de connexion.
a
b
c
d
e
f
g
h
a
b
5
4
4
6
6
c
5
6
d
4
e
4
g
h
7
6
6
3
3
4
4
3
7
6
f
6
3
2
2
7
7
6
7
7
Par exemple, une connexion directe entre b et f est réalisable au prix de 3 EUR. Notons
que les connexions sont toujours bidirectionnelles.
– Représenter le graphe considéré ; Pour la visualisation, disposer les noeuds c, d, e, f, g, h
aux sommets d’un hexagone convexe, et placer les noeuds a et b à l’intérieur de
celui-ci.
– Les étudiants pourront-ils atteindre leur objectif ?
– Si oui, comment vont-ils obtenir une interconnexion de coût minimum ?
Exercice 10 :
Le tableau ci-dessous reprend les distances à vol d’oiseau entre les 6 plus grandes villes
du monde : Londres, Mexico, New York, Paris, Pékin et Tokyo. Comment relier les villes,
en minimisant les distances parcourues ?
6
L
M
NY
Pa
Pe
T
L
—
5558
3469
214
5074
5959
M
5558
—
2090
5725
7753
7035
NY
3469
2090
—
3636
6844
6757
Pa
214
5725
3636
—
5120
6053
Pe
5074
7753
6844
5120
—
1307
T
5959
7035
6757
6053
1307
—
Exercice 11 :
Considérons un graphe connexe G = (V, E, ψ). Etant donné une partition Π = {V1 , V2 }
de V , la coupe de G relative à Π est le sous-ensemble coupe(Π) de E défini par
coupe(Π) := {α ∈ E : ∃x1 ∈ V1
et x2 ∈ V2 }.
Etablir les deux propositions suivantes :
1. Une coupe de G et un arbre sous-tendant de G ont au moins une arête en commun.
2. Un parcours fermé dans G et une coupe de G ont un nombre pair d’arêtes en commun.
Exercice 12 :
Trouver un graphe k-connexe et k-arêtes-connexe lorsque k vaut 3.
Exercice 13 :
Représenter un graphe qui vérifie le théorème des rappels,
1. lorsque les inégalités sont des égalités.
2. lorsque les inégalités sont des inégalités strictes.
Exercice 14 :
Montrer qu’un graphe est 2-arêtes-connexe si et seulement si deux sommets sont connectés par au moins deux chemins d’arêtes disjoints.
Exercice 15 :
Pour k > 0, trouver un graphe k-connexe G et un ensemble V ′ de k arêtes de G tel que
le nombre de composantes connexes de G − V ′ > 2 .
Exercice 16 :
1. Montrer que si G est un graphe simple et δ ≥ n − 2 alors k = δ,
où δ = degré minimum, n = nombre de noeuds et k = connectivité.
2. Trouver un graphe simple G avec δ = n − 3 et k < δ.
7
Exercice 17 - Janvier 2013 HD :
On souhaite installer un réseau de nouvelle génération en fibre végétale bionique afin de
couvrir les principales villes de France. Le prix de cette technologie étant très important
et lié à la distance à couvrir, on a dessiné un schéma des villes à couvrir avec les distances
des liens éventuels. La question qui se pose est : quelles sont les liaisons à établir afin
que toutes les villes soient reliées tout en minimisant le coût total ?
1. Quel problème classique de théorie des graphes reconnaissez-vous ?
2. Quel(s) algorithme(s) pouvez-vous utiliser afin de le résoudre ?
3. Résolvez-le en utilisant l’algorithme de votre choix (vous prendrez soin de décrire les
différentes étapes).
4. Quelle est la longueur totale de fibre végétale bionique à prévoir ?
Exercice 18 - Janvier 2013 HJ :
On souhaite créer un réseau d’interconnexions électriques dans un pays en voie de développement entre 6 villes, notées 1, 2, . . . , 6. Une étude a été menée sur les différents
coûts de constructions entre ces villes ; on le donne sous forme de la matrice suivante (le
coefficient ai,j représentant le coût de construction entre les villes i et j) :


0 10 20 30 ∞ ∞
 10 0 20 30 ∞ 50 


 20 20 0 10 50 70 


 30 30 10 0 55 30 


 ∞ ∞ 50 55 0 60 
∞ 50 70 30 60
0
1. Construisez le graphe représentant ces villes, leurs liens et le coût de la construction
de ce lien.
2. A quel problème classique de théorie des graphes ce problème se ramène-t-il ?
3. Résolvez celui-ci par l’algorithme que vous connaissez.
8
Exercice 19 - Juin 2013 :
Soient G un graphe connexe et c une fonction de coût sur les arêtes de G. Montrer que si
tous les coûts sont différents alors il existe un seul arbre couvrant de G de coût minimum.
Exercice 20 - Aout 2013 HD :
Montrer que le graphe obtenu à partir d’un arbre, en supprimant ou en rajoutant un
sommet ayant une unique arête adjacente, est un arbre.
Exercice 21 - Aout 2013 HD :
Une banque Parisienne désire installer au moindre coût un réseau de transmission de
données entre son siège situé à la bourse de Paris et 7 de ces succursales. Le coût d’une
ligne entre deux agences est donnée par le tableau suivant :
B
O
E
R
S
L
N
C
Bourse
0
5
18
9
13
7
16
22
Opéra
5
0
14
11
7
12
14
15
Etoile
18
14
0
27
23
15
20
25
République
9
11
27
0
20
16
18
25
St-Lazare
13
7
23
20
0
17
15
30
Louvre
7
12
15
16
17
0
14
10
Quel réseau construire afin de minimiser le coût du projet ?
9
Neuilly
16
14
20
18
15
14
0
19
Chatelet
22
15
25
25
30
10
19
0