Redaction de Thalès et de sa réciproque

THEME :
THALES ET SA RECIPROQUE
REDACTION TYPE
ET FAUTES A NE PAS FAIRE
Redaction d’un exercice utilisant le theoreme de Thales :
Exercice : Brevet - Nancy – Septembre
1997
On donne la figure ci-contre.
On ne demande pas de la reproduire.
CO = 3 cm , CA = 5 cm et CB = 8 cm
Les droites (OF) et (AB) sont parallèles.
Calculer CF en justifiant.
Dans les triangles CFO et CBA
Pour une plus grande facilité, nommez
les deux triangles en commençant par
leur sommet commun.
Ici, c’est le point C.
F est un point de (CB).
O est un point de (CA).
F appartient à (CB).
O appartient à (CA).
Les deux conditions d’alignement des
points.
Il est possible également d’écrire :
F ∈ (CB).
O ∈ (CA).
Les droites (FB) et (OA)
sont sécantes en O.
LA CONDITION ESSENTIELLE
Les droites (OF) et (AB) sont parallèles ( hypothèse )
Pas de théorème de Thalès si cette
condition n’est pas vérifiée.
D’après le théorème de Thalès, nous avons :
Seuls les deux premiers rapports constituent le
« véritable » théorème de Thalès. Ecrivez
cependant, à chaque fois, les trois rapports.
CF C0
=
CB CA
=
FO
BA
Dans ces rapports, seuls des ( longueurs de )
côtés des deux triangles apparaissent. Par
exemple, FB ne peut pas apparaitre dans ces
rapports. ( ce n’est pas un côté de triangle )
Tous les points figurant, dans cette écriture, au
numérateur, appartiennent au même triangle. De
même pour les points du dénominateur.
CF CA
Par exemple, l’écriture
=
est impossible.
CB C0
Les points C, F et A n’appartiennent au même triangle.
Nous avons choisi ( l’autre choix étant tout à fait
possible ) de mettre au numérateur les côtés du
triangle CFO et au dénominateur les côtés du
triangle CBA.
Le
premier
rapport
ne
contient que des points
alignés choisis sur la droite
(CB)
CF
D’où le rapport :
CB
Le deuxième rapport ne
contient que des points
alignés choisis sur la droite
(CA)
C0
D’où le rapport :
CA
Le
dernier
rapport
ne
contient que des points
situés sur les deux parallèles.
FO
D’où le rapport :
BA
Ce rapport se retrouve en éliminant le sommet
commun ( ici C ) des deux premiers rapports :
CF C0
=
CB CA
L’écriture du théorème de Thalès est maintenant
terminée. Nous remplaçons les longueurs connues par
leurs valeurs numériques.
CF 3 FO
= =
8 5 BA
Calcul de CF :
CF 3
=
8 5
CF =
Deux rapports seront utiles pour calculer CF. Le rapport
contenant CF, et un rapport connu.
3 × 8 24
=
= 4,8
5
5
C’est fini. Nous avons déterminé CF.
CF = 4,8 ( unité )
Rédaction sans explication :
Dans les triangles CFO et CBA
F appartient à (CB).
O appartient à (CA).
Les droites (OF) et (AB) sont parallèles ( hypothèse )
D’après le théorème de Thalès, nous avons :
CF C0
FO
=
=
CB CA
BA
CF 3 FO
= =
8 5 BA
Calcul de CF :
CF 3
=
8 5
CF =
3 × 8 24
=
= 4,8
5
5
Autre exercice :
Nous savons que les droites (RS) et
(MN) sont parallèles.
Calculer OM et RS.
Dans les triangles OSR et OMN
O appartient à (SN).
O appartient à (RM).
Les droites (SE) et (MN) sont parallèles
( hypothèse )
D’après le théorème de Thalès, nous avons :
Numérateur : Côtés du triangle OSR ( le petit)
OS OR SR
=
=
Dénominateur : Côtés du triangle OMN ( le grand )
ON OM NM
2 2,5 SR
=
=
4 OM 3,8
Calcul de OM :
2 2,5
=
4 OM
Résolution de cette équation :
L’inconnue OM est au dénominateur. Nous ne
pouvons pas la résoudre immédiatement
Nous devons « faire un produit en croix » afin que
notre inconnue OM ne soit plus au dénominateur.
2 × OM = 4 × 2,5
4 × 2,5 2 × 2 × 2,5
OM =
=
= 2 × 2,5 = 5
2
2
Calcul de SR :
2 SR
=
4 3,8
2 × 3,8
= SR
4
2 × 3,8 3,8
SR =
=
= 1,9
2×2
2
Les fautes à ne pas faire dans cet exercice :
Dans les triangles OSR et OMN
O appartient à (SN).
O appartient à (RM).
Les droites (SE) et (MN) sont parallèles ( hypothèse )
D’après le théorème de Thalès, nous avons :
MR NS
SR
=
=
OM ON MN
Faux, MR et NS ne sont pas
des longueurs de côtés de triangle(s)
Redaction d’un exercice utilisant lA RECIPROQUE DU
theoreme de Thales :
Exercice :
Dans la figure ci-dessous, montrez que les droites (LM)
et (KN) sont parallèles.
Tout d’abord, tracez les deux droites (LM) et (KN)
Ces deux droites déterminent deux triangles
OLM et OKN
Pour démontrer que ces deux droites sont parallèles, il existe un théorème appelé « Réciproque du
théorème de Thalès ».
Cette réciproque est le « contraire » du théorème de Thalès.
Si
ces droites étaient parallèles, le théorème de Thalès permettrait d’écrire l’égalité suivante :
OL OM
=
ON OK
( triangle OLM )
( triangle OKN )
Inversement, si nous pouvons montrer cette égalité, d’après la réciproque du théorème de Thalès, nous
pourrons affirmer que les droites (LM) et (NK) sont parallèles.
Ces deux rapports sont-ils égaux ? Calculons-les séparément.
OL
3
=
ON 4,5
OM 2,6
=
OK 3,9
Ces deux rapports sont-ils égaux ?
La calculatrice donne, pour les deux rapports,
malheureusement 0,6666..
Nous ne pouvons pas affirmer qu’ils sont égaux ( la
25ième décimale, est peut-être différente)
Simplifions donc ces deux écritures
fractionnaires.
OL
3
30 2 × 15 2
=
=
=
=
ON 4,5 45 3 × 15 3
OM 2,6 26 2 × 13 2
=
=
=
=
OK 3,9 39 3 × 13 3
OL OM
Donc
=
ON OK
Ces deux rapports sont donc égaux.
Ce n’est qu’à partir de ce moment que nous pouvons
utiliser la réciproque du théorème de Thalès !
( Remarque : si les rapports n’étaient pas égaux, la
réciproque de Thalès ne pourrait pas être utilisée
)
Donc, d’après la réciproque du théorème de Thalès, les deux droites (LM) et (NK) sont parallèles.
Rédaction sans explication :
Les points L,O,N et M,O,K sont alignés dans le même ordre.
OL
3
30 2 × 15 2
Phrase à rajouter au dernier moment de
=
=
=
=
ON 4,5 45 3 × 15 3
« moindre » importance. ( Voir le cours )
OM 2,6 26 2 × 13 2
=
=
=
=
OK 3,9 39 3 × 13 3
OL OM
Donc
=
ON OK
Donc, d’après la réciproque du théorème de Thalès,
les deux droites (LM) et (NK) sont parallèles.
Les fautes à ne pas faire dans cet exercice :
Les points L,O,N et M,O,K sont alignés dans le même ordre.
OL
3
=
OK 3,9
OM 2,6
=
ON 4,5
Les deux rapports choisis ne sont pas les
bons. Les points du premier rapport ne sont
pas alignés, ainsi que les points du deuxième rapport !
Dans les triangles OLM et OKN, d’après la réciproque du théorème de
Thalès,
OL OM
=
ON OK
3
2,6
=
4,5 3,9
?
On ignore l’égalité de ces deux rapports et
la réciproque du théorème de Thalès ne sera
utilisée que s’ il y a égalité !
Les points L,O,N et M,O,K sont alignés dans le même ordre.
OL
3
=
= 0,66
ON 4,5
OM 2,6
=
= 0,66
OK 3,9
OL OM
Donc
=
ON OK
Est-ce vrai ? Nous n’avons que des valeurs
approchées des deux rapports ! Sont-ils réellement égaux ?