Théorème de Thalès Exercices corrigés

Théorème de Thalès
Exercices corrigés
Sont abordés dans cette fiche :




Exercices 1, 2 et 3 : calculs de longueurs
Exercice 4 : partage d’un segment sans règle graduée
Exercice 5 : problème avec plusieurs configurations de Thalès
Exercice 6 : agrandissement d’une figure, détermination d’un facteur d’agrandissement
Rappel : Théorème de Thalès



Soient deux droites
et
sécantes en un point .
Soient deux points et de
, distincts de .
Soient deux points et de
, distincts de .
Si les droites
sont parallèles, alors d’après le théorème de Thalès, on a les égalités suivantes :
et
Trois configurations sont envisageables :
𝐵
𝑑
𝑀
𝐶
𝑀
𝑑
𝑁
𝐵
𝑀
𝑁
𝐶
𝐴
𝑁
𝐴
𝐴
𝐶
𝑑
𝑑
Les points ,
dans cet ordre.
Les points ,
dans cet ordre.
𝑑
𝑑
et
et
sont alignés Les points ,
dans cet ordre.
sont alignés Les points ,
dans cet ordre.
𝐵
et
et
sont alignés Les points ,
dans cet ordre.
sont alignés Les points ,
dans cet ordre.
et
sont alignés
et
sont alignés
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1
Remarque importante :
Les longueurs des côtés du triangle
sont proportionnelles aux longueurs des côtés du triangle
.
Dans les conditions ci-dessus, on peut donc présenter la double égalité sous la forme d’un tableau de
proportionnalité :
Côtés portés
par la droite
Côtés portés
par la droite
Côtés portés
par les droites parallèles
Côtés
du triangle
Côtés
du triangle
A quoi sert le théorème de Thalès ?



à calculer une longueur
à partager un segment et placer sur un segment un point en respectant un rapport donné
à agrandir ou réduire une figure
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Exercice 1 (1 question)
Niveau : facile
Soit la figure ci-contre.
𝐴
On sait que les droites
et que
,
et
Calculer
et
sont parallèles
𝑀
𝑁
.
.
𝐵
𝐶
Correction de l’exercice 1
Analysons tout d’abord la figure et récapitulons les
informations fournies par l’énoncé.
D’après la figure ci-contre, les droites
sont sécantes en .
D’après l’énoncé, on sait par ailleurs que
sont parallèles.
𝐴
𝑀
et
𝐵
Enfin, on sait que :



𝑁
et
𝐶
Proposons désormais une correction détaillée, étape par étape, de l’exercice.

1ère étape : On repère la configuration de Thalès.
On sait que :
1) les droites
2) les droites

et
et
sont sécantes en (d’après la figure)
sont parallèles (d’après l’énoncé)
La configuration proposée réfère
donc à la 1ère configuration
mentionnée dans le rappel. En
effet, les points 𝐴 , 𝑀 et 𝐵 sont
alignés dans cet ordre, et les points
𝐴 , 𝑁 et 𝐶 sont alignés dans cet
ordre.
2ème étape : On précise le théorème auquel on va faire appel.
Donc, d’après le théorème de Thalès, on a les égalités suivantes :
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3

3ème étape : On applique le théorème de Thalès en prenant le soin de bien écrire les égalités.

4ème étape : On remplace les longueurs connues par leurs mesures respectives, exprimées dans la
même unité.
C’est-à-dire, en remplaçant les longueurs connues par leurs mesures respectives,

5ème étape : On isole l’égalité utile pour résoudre l’équation.
Par conséquent, on a :
Il faut toujours
veiller à écrire une
fraction sous sa
forme
irréductible.
D’où, en utilisant le produit en croix :

La mesure de la
longueur 𝐴𝐵 « tombe
juste » (il s’agit d’un
nombre décimal), donc
on peut aussi écrire :
𝐴𝐵
,
6ème étape : On conclut.
La longueur du segment
, notée
, est égale à
.
Remarques : Dans cet exercice, il n’est précisé aucune unité de longueur donc il n’y a pas lieu d’écrire quelque
unité de longueur que ce soit (cm, m, km…). Sinon, ce serait une erreur ! On voit donc bien là l’importance de
lire attentivement l’énoncé et la figure, puisque l’un comme l’autre peuvent imposer une unité de longueur et
par conséquent induire un certain résultat.
Exercice 2 (2 questions)
Niveau : facile
Sur la figure ci-contre, on a noté différentes longueurs connues. On sait
par ailleurs que les droites
et
sont parallèles.
1- Calculer
.
2- En déduire la longueur du segment
𝐵
𝑚
.
𝑂
𝑚
𝐼
𝑚
𝑆
𝐸
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Correction de l’exercice 2
1D’après la figure, on sait que les droites
et
On sait par ailleurs, d’après l’énoncé, que les droites
sont sécantes en .
et
sont parallèles.
Donc, d’après le théorème de Thalès, on a les égalités suivantes :
C’est-à-dire, en remplaçant les longueurs connues par leurs mesures respectives,
D’où l’égalité :
A l’aide d’un produit en croix, on obtient donc que :
La longueur du segment
, notée
, est égale à
mètres.
2donc
l’égalité suivante :
. D’où, en remplaçant les longueurs connues par leurs mesures respectives,
.
Par conséquent,
Le segment
.
mesure 6 mètres.
Remarque : Dans cet exercice, l’unité de longueur est commune à tous les segments puisqu’il s’agit du mètre.
Il ne faut jamais oublier d’exprimer chacune des mesures dans la même unité afin de ne pas fausser les calculs.
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Exercice 3 (2 questions)
Niveau : moyen
Dans les deux cas suivants, les droites

et
sont parallèles. Calculer la longueur .

Cas n° 1 :
Cas n° 2 :
𝐴
𝐴
𝑥
𝑥
𝑁
𝐵
𝑁
𝐶
𝐶
𝐵
𝑀
𝑀
Correction de l’exercice 3

Cas n°1 :
D’après la figure, les droites
et
sont sécantes en .
On sait par ailleurs, d’après l’énoncé, que les droites
et
sont parallèles.
Donc, d’après le théorème de Thalès, on a les égalités suivantes :
C’est-à-dire, en remplaçant les longueurs connues par leurs mesures respectives,
D’où l’égalité :
A l’aide d’un produit en croix, on obtient donc que :
La longueur

est égale à
.
Cas n°2 :
D’après la figure, les droites
et
sont sécantes en .
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On sait par ailleurs, d’après l’énoncé, que les droites
et
sont parallèles.
Donc, d’après le théorème de Thalès, on a les égalités suivantes :
C’est-à-dire, en remplaçant les longueurs connues par leurs mesures respectives,
En effet,
.
D’où l’égalité :
A l’aide d’un produit en croix, on obtient donc que :
Résolvons l’équation
.
équivaut à ⏟
⏟
D’où :
, c’est-à-dire
.
𝑘
, .
est égale à
.
Pour supprimer les parenthèses, on utilise
la distributivité de la multiplication sur
l’addition :
.
Ainsi,
La longueur
Attention ! Il ne faut
pas oublier les
parenthèses.
𝐴
Exercice 4 (1 question)
Tracer un segment
𝐵
𝑘
𝐴
𝑘
𝐵
Niveau : moyen
. Placer le point
sur
tel que
, sans règle graduée.
Correction de l’exercice 4
Traçons un segment
puis plaçons le point
sur
tel que
, sans règle graduée.
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1- Commençons par tracer un segment
de longueur quelconque.
𝐴
𝐵
2- Traçons désormais une demi-droite
, que nous allons graduer régulièrement à l’aide du compas, de
sorte à obtenir segments de longueur identique.
𝑥
𝑥
𝐴
𝐵
3- Plaçons dorénavant les points
demi-droite
tels que
et
et
sur la
.
𝐴
𝑥
𝐵
𝐶
𝑁
𝐴
4- Traçons maintenant la droite parallèle à
et passant par
. Cette droite coupe le
segment
en un point que nous
appellerons . Il s’agit du point recherché.
𝑥
𝐵
𝐶
𝑁
𝐴
𝑀
𝐵
Quelques explications pour bien comprendre :
Les droites
et
sont sécantes en . D’autre part, par construction, les droites
et
sont
parallèles. Toutes les conditions sont par conséquent réunies pour pouvoir appliquer le théorème de Thalès.
D’après le théorème de Thalès, on a les égalités suivantes :
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Or, par construction, on a l’égalité suivante :
C’est-à-dire :
Par conséquent, on obtient que :
C’est-à-dire :
Il en résulte, après un produit en croix, que :
On a donc bien placé le point
tel que
.
Exercice 5 (1 question)
est un trapèze de bases
Niveau : difficile
et
et de centre . On appelle J le point de concours des droites
. Comparer les rapports de longueurs
et
et
.
Correction de l’exercice 5
est un trapèze de bases
et
. Commençons par tracer la figure.
et de centre . On appelle J le point de concours des droites
et
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𝐽
𝐴
𝐵
𝐼

𝐷
𝐶
1ère étape : Cherchons à identifier le rapport de longueurs
.
D’une part, par construction, les droites
D’autre part, comme
et
sont sécantes en .
est un trapèze de bases
et
, les droites
et
sont parallèles.
Par conséquent, d’après le théorème de Thalès, on a la double égalité suivante :

2ème étape : Cherchons à identifier le rapport de longueurs
.
D’une part, par construction, est le centre du trapèze
donc est le point d’intersection des diagonales
et
. Autrement dit, les droites
et
sont sécantes en .
D’autre part, comme
est un trapèze de bases
et
, les droites
et
sont parallèles.
Par conséquent, d’après le théorème de Thalès, on a la double égalité suivante :

3ème étape : Comparons les rapports de longueurs
et
.
D’après ce qui précède, on a :
et
On a donc en particulier :
et
Il s’ensuit que :
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Exercice 6 (2 questions)
Niveau : facile
1- Pourquoi le triangle
agrandissement du triangle
ci-contre
est-il
un
𝐶
?
2- Déterminer le facteur d’agrandissement.
𝑅
𝑈
𝐿
𝑂
Correction de l’exercice 6
Rappel : Agrandissement ou réduction d’une figure
Une figure est une RÉDUCTION ou un AGRANDISSEMENT d’une autre figure :
 si les angles de ont les mêmes mesures que ceux de
 ou si toutes les longueurs de la figure sont proportionnelles aux longueurs de la figure
Le FACTEUR de réduction ou d’agrandissement correspond au coefficient de proportionnalité .
 Si
, on a un agrandissement.
 Si
, on a une réduction.
Remarque : Lorsque
est une réduction ou un agrandissement de ,
1- Montrons que le triangle

, donc ̂
et
sont dites SEMBLABLES.
est un agrandissement du triangle
1ère démonstration possible :
D’une part,
et
.
𝐶
̂
D’autre part, d’après le codage de la figure, les triangles
et
sont respectivement rectangles en
̂
̂
, donc
.
Enfin, les droites
𝑅
et
et
𝑈
sont toutes les deux
perpendiculaires à une même droite, la droite
droites
et
, donc les
sont parallèles entre elles. Les angles
̂ et ̂ sont alors correspondants. Donc ̂
̂ .
𝑂
𝐿
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En résumé, les triangles
dit, le triangle

sont semblables puisqu’ils ont les mêmes mesures d’angles. Autrement
et
est un agrandissement du triangle
.
2ème démonstration possible :
Propriété :
Soient deux droites
et
et
sécantes en un point . Si
sont deux points de
D’autre part,
et
et
et
, distincts de , si
sont parallèles, alors le triangle
.
sont sécantes en .
.
Enfin, d’après le codage de la figure, les droites
droite, la droite
sont deux points de
, distincts de , et si les droites
est une réduction ou un agrandissement du triangle
D’une part, les droites
et
donc les droites
Par conséquent, le triangle
et
et
sont toutes deux perpendiculaires à une même
sont parallèles entre elles.
est un agrandissement du triangle
.
2- Déterminons le facteur d’agrandissement.
D’après la question précédente, le triangle
sont proportionnelles aux longueurs de
Or, d’après la figure,
et
est un agrandissement du triangle
. Donc les longueurs de
. D’après le théorème de Thalès, on a les égalités suivantes :
. Donc :
Par un produit en croix, on a :
Par conséquent, le triangle
est un agrandissement du triangle
par le facteur d’agrandissement
.
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