5.1 Extraire une racine sans pelle

5.1 Extraire une racine sans pelle
Lors de Show Math, les nombres sont souvent au centre des explications. Parfois, il faut une certaine habileté pour pouvoir les manipuler, car ce n’est pas toujours facile. Cette activité fait un lien entre
les habiletés opératoires et la géométrie, un peu à la manière des
Grecs. Elle montre qu’en changeant de modèle mathématique, on
peut simplifier la résolution d’un problème. C’est en utilisant une
technique comme celle-ci qu’Andrew Wiles a prouvé le théorème
de Fermat.
Intentions de l’activité
• Montrer des modèles de calcul d’une racine carrée
• Montrer les liens entre les aspects numériques et géométriques liés
à ce concept
• Apprendre comment estimer une racine carrée sans calculatrice
Forme de la production attendue
• Répondre à des questions
• Émettre des conjectures
• Utiliser des méthodes de calculs inconnues
Concepts utilisés
• Racine carrée
• Théorème relatif à la hauteur issue du sommet de l’angle droit dans
un triangle rectangle
• Théorème de Pythagore
• Inéquations
Ressources matérielles
• Instruments habituels de géométrie
Présentation | 5.1 Extraire une racine sans pelle
Déroulement
Préparation
• Réactiver les connaissances portant sur la racine carrée.
• On pourrait ne pas placer la première démonstration dans le texte
et demander plutôt aux élèves de la faire.
• Lire les sections de l’activité qui contiennent les explications sur les
différentes méthodes de calcul.
Réalisation
• Laisser les élèves travailler en petits groupes afin de trouver d’autres
méthodes et d’effectuer les calculs.
• S’assurer que les élèves s’aident du dessin d’un carré dans leur réflexion.
• S’assurer que les élèves complètent correctement le tableau de l’algorithme de calcul de la racine.
• S’il est évident que personne n’avance réellement, faire une intervention devant le groupe pour faciliter la compréhension.
• Cette activité d’apprentissage peut servir à développer certains
aspects de deux compétences. La deuxième (déployer un raisonnement mathématique) parce que les élèves auront à émettre
des conjectures et la troisième (communiquer à l’aide du langage
mathématique) parce qu’il y a beaucoup de décodage à faire.
Intégration
• Discuter avec les élèves afin de savoir s’ils comprennent mieux ce
qu’est une racine carrée et comment la calculer.
• S’assurer que les élèves sont capables de faire le lien entre les deux
algorithmes de calcul de la racine carrée.
Présentation | 5.1 Extraire une racine sans pelle
Pistes de différenciation
• Demander aux élèves plus performants de trouver une méthode de calcul pour la racine
cubique. Les pister en leur indiquant que cette fois ils devront
travailler avec un cube.
• Pour les élèves qui éprouvent
des difficultés, on peut se limiter à seulement une partie
de l’activité ou utiliser plus de
temps.
Nom : _________________________________________________________
5.1 Extraire une racine sans pelle
Tu peux facilement calculer la racine
carrée de 4, mais si je te demande
la valeur de la racine carrée de 729,
pourrais-tu me répondre sans utiliser
ta calculatrice ?
Lors de Show Math, l’animateur effectue des calculs sans difficulté.
Par contre, les calculs ne se font pas toujours aussi facilement : par
méconnaissance d’un concept, on peut avoir de la difficulté à effectuer certaines opérations mathématiques.
Vous êtes-vous déjà questionné à propos de la racine carrée d’un
nombre ? Avez-vous toujours trouvé facile de manipuler une racine,
de la représenter et de l’estimer ?
Viens apprendre une méthode de calcul
de la racine carrée sans calculatrice. Tu
verras, la racine carrée, c’est beaucoup
plus intuitif qu’on le pense !
Comme n’importe quel nombre, la racine carrée d’un nombre peut
être représentée géométriquement. Par exemple, on peut représenter le nombre 1 à l’aide d’un segment de longueur 1 et le nombre 2
par un segment deux fois plus long que celui de longueur 1.
Voici une méthode qui permet de représenter géométriquement la
racine carrée d’un nombre.
On a d’abord construit un segment AB de longueur x+1.
On trace un cercle dont AB est le diamètre.
Au point C, placé sur AB à une distance 1 du point A, on trace une
perpendiculaire à AB. La perpendiculaire coupe le cercle en D. Le
segment CD ainsi créé a une longueur de √ x.

D
√x
A
1
C
x
B
Cahier de l’élève | 5.1 Extraire une racine sans pelle | 1
Montrez que le segment CD a une mesure de √ x.
 Complètez d’abord le
triangle ADB.
D
1.
√x
A
1
C
x
B
Autre méthode
À partir du triangle ci-dessous, représentez successivement √ 3 , √ 4
 , √ 5 , etc.
Chacun des triangles a une cathète égale à 1.
2.
1
1
2 | Cahier de l’élève | 5.1 Extraire une racine sans pelle
Calculer la valeur d’une
racine
De nos jours, il est très simple de calculer la racine carrée d’un nombre
avec une calculatrice. Que feriez-vous si votre calculatrice était brisée et
que vous deviez connaître la valeur de la racine carrée de 1 024 ?
Voici une méthode utilisée par les Mésopotamiens1 qui vous permettra de
résoudre ce problème.
On vous demande de ne pas
utiliser votre calculatrice pour réaliser cette activité !
Il est important de remarquer que la racine carrée d’un nombre est la me    est
sure du côté d’un carré dont l’aire est égale à ce nombre. Ici, √ 1  024
la longueur du côté du carré dont l’aire est 1 024. Cherchons donc cette
longueur.
Aire = 1 024
√ 1  024
 
1re étape : Nombre de chiffres de la racine carrée
Trouvons d’abord combien de chiffres aura la racine carrée de 1 024. Pour
ce faire, il faut coincer 1 024 entre deux carrés parfaits qui sont des multiples de 10.
1
100
1
La racine carrée d’un nombre entre 1 et 100 a une
partie entière de 1 chiffre
102
100
La racine carrée d’un nombre entre 100 et 10 000 a
une partie entière de 2 chiffres
104
10 000
La racine carrée d’un nombre entre 10 000 et
1 000 000 a une partie entière de 3 chiffres
106
1 000 000 Etc.
« Extraction d’une racine carrée dans un carré », HODGSON, B.R., Accromath, Volume 1, Été-Automne 2006, p.16.
Cahier de l’élève | 5.1 Extraire une racine sans pelle | 3
Puisque 1 024 est plus grand que 100, mais plus petit que 10 000, on sait
que sa racine carrée a une partie entière de 2 chiffres.
√10
    000
    > √ 1  024
    > √ 100
 
1
024
100 > √      > 10
On sait donc que le nombre qu’on cherche est de la forme ab, où a est le
chiffre à la position des dizaines et b, le chiffre à la position des unités. Si
la racine carrée avait eu trois chiffres, alors elle aurait été de la forme abc.
Combien de chiffres a la racine carrée de 20 164 ?
3.
2e étape
On commence par chercher le chiffre à la position des dizaines, a, tel que
(a0)2 < 1 024.
(a0)2 < 1 024
(10)2 = 100 < 1 024
(20)2 = 400 < 1 024
(30)2 = 900 < 1 024
(40)2 = 16 00 < 1 024
On conclut que a = 3.
On vient de trouver le plus grand carré de la forme « a0 » qui entre dans
le carré dont l’aire est 1 024, puisqu’un carré dont le côté est 40 serait
trop grand.
30
900
√ 1  024
 
4 | Cahier de l’élève | 5.1 Extraire une racine sans pelle
3e étape (répéter cette étape jusqu’à ce qu’il n’y ait plus de chiffres à
trouver)
Il reste à trouver le chiffre suivant en utilisant l’aire de la zone en blanc.
Comme le carré initial a une aire de 1 024 et que le carré en gris a une aire
de 900, on sait que la zone en blanc a une aire de 1 024 - 900 = 124.
30
900
30b
√ 1  024
 
b
30b
b2
La zone en blanc est formée d’un petit carré dont l’aire est b2 et de deux
rectangles dont l’aire est 30b.
Donc,
124 = b2 + 2 × 30b
124 = b2 + 60b
On cherche la valeur de b.
Si b = 1,
12 + 60 × 1 = 61 < 124
Si b = 2,
22 + 60 × 2 = 124 = 124
On trouve que b = 2.
Comme il ne reste plus de chiffres à trouver, on a terminé. On a trouvé que
√ 1  024
    = ab = 32.
Cahier de l’élève | 5.1 Extraire une racine sans pelle | 5
C’est à votre tour !
Utilisez la même méthode pour calculer la racine carrée de 55 225. Dessinez les carrés qui représentent les étapes du processus.
4.
6 | Cahier de l’élève | 5.1 Extraire une racine sans pelle
Une seconde méthode
Il n’y a pas si longtemps, dans les écoles, on enseignait un algorithme
permettant d’extraire la racine carrée d’un nombre. Voici un exemple de
cette méthode.
On cherche la racine carrée de 1 024. On construit un tableau comme suit
et on place 1 024 dans la case en haut à gauche en regroupant les chiffres
du nombre par deux à partir de la droite (729 s’écrirait 7 29).
10 24
On commence par regarder le groupe de gauche, ici c’est 10. Quel est le
plus grand carré entrant dans 10 ? Le plus grand carré entrant dans 10 est
9 et sa racine carrée est 3.
1. On inscrit le produit de 3 par 3 et on fait la
différence entre 10 et ce résultat.
10 24 32
9
3×3
1
2. On inscrit le 3 sur cette ligne.
Cette étape ressemble beaucoup à l’algorithme de la division.
3. On abaisse le second groupe de deux du
nombre 1024.
10 24 32
9
3×3
124
6_ × _
4. On double la valeur du chiffre obtenu à la
ligne précédente et on le met à la position
des dizaines.
À cette étape, on cherche quel chiffre peut être placé dans les cases pour
que le produit 6_ × _ soit le plus près de 124, sans le dépasser. Il est important que les deux espaces de l’inégalité soient complétés par le même
chiffre. On commence par 1, pour continuer avec les autres nombres en
ordre.
124 ≥ 61 × 1 = 61
124 ≥ 62 × 2 = 124
On trouve que cette valeur est 2.
6. On inscrit le produit de 62 par 2 et on fait
la différence entre 124 et 124. Comme la différence est 0, notre problème est terminé.
10 24
9
124
124
0
32
3×3
6_ × _
62 × 2
5. On inscrit le 2 sur cette ligne à côté du 3.
La racine de 1 024 est 32.
Cahier de l’élève | 5.1 Extraire une racine sans pelle | 7
C’est à votre tour !
Utilisez cet algorithme pour calculer la valeur de la racine carrée de 4 489.
Laissez les traces de toutes les étapes de votre démarche.
5.
Il existe des liens entre les deux méthodes étudiées pour calculer la racine
carrée d’un nombre. Trouvez-les et discutez-en avec vos coéquipiers.
6.
8 | Cahier de l’élève | 5.1 Extraire une racine sans pelle
5.1 Extraire une racine sans pelle
Corrigé
Montrez que le segment CD a une mesure de √ x.
 On complète d’abord le
triangle ADB.
1.
(Page 2)
Le triangle ADB est rectangle parce qu’un angle inscrit dans un demi
cercle est un angle droit.
CD est la hauteur.
mCD2 = mAC × mCB = 1 × x = x
car dans un triangle, la hauteur issue du sommet de l’angle droit est
moyenne proportionnelle entre les deux segments qu’elle détermine sur
l’hypoténuse.
Donc la mCD = √ x
Autre méthode
À partir du triangle ci-dessous, représentez successivement √ 3 , √ 4
 , √ 5 ,
etc. Chacun des triangles a une cathète égale à 1.
2.
(Page 2)
1
1
1
1
Combien de chiffres a la racine carrée de 20 164 ?
3.
(Page 4)
3
Corrigé | 5.1 Extraire une racine sans pelle | 1
C’est à votre tour !
Utilisez la même méthode pour calculer la racine carrée de 55 225. Dessinez les carrés qui représentent les étapes du processus.
4.
(Page 6)
1e étape
La racine carrée a trois chiffres puisque
1 000 000 > 55 225 > 10 000 et 10 000 = 1002 et 1 000 000 = 1 0002.
√1  000
         000
    > √ 55
     225
    > √ 10
     000
 
   225
    > 100
1000 > √ 55
On sait donc que le nombre qu’on cherche sera de la forme abc, où a est le
chiffre à la position des centaines, b est le chiffre à la position des dizaines
et c est le chiffre à la position des unités.
2e étape
On cherche d’abord le chiffre à la position des centaines, a, tel que.
(a00)2 < 55 225
(100)2 = 10 000 <55 225
(200)2 = 40 000 <55 225
(300)2 = 90 000 <55 225
On trouve que a = 2.
Dans le carré, on a trouvé le plus grand carré de la forme a00 qui entre
dans le carré dont l’aire de 55 225.
200
40 000
√ 55
    225
 
2 | Corrigé | 5.1 Extraire une racine sans pelle
3e étape (répéter cette étape jusqu’à ce qu’il n’y ait plus de chiffres à
trouver)
Il reste à trouver le chiffre suivant en utilisant l’aire de la zone en blanc.
Comme le carré initial a une aire de 55 225 et que le carré en gris a une
aire de 40 000, on sait que la zone en blanc a une aire de 55 225 – 40 000
= 15 225.
200
40 000
200b
√ 55
    225
 
b
200b
b2
La zone en blanc est formée d’un petit carré dont l’aire est b2 et de deux
rectangles dont l’aire est 200b.
Donc
15 225 = b2 + 2 × 200b
15 225 = b2 + 400b
On cherche la valeur maximale que peut prendre b.
Si b = 1,
102 + 400 × 10 = 4100 > 15 225
Si b = 2,
202 + 400 × 20 = 8 400 > 15 225
Si b = 3,
302 + 400 × 30 = 12 900 > 15 225
Si b = 4,
402 + 400 × 40 = 641 600 > 15 225
On trouve que b = 3.
Corrigé | 5.1 Extraire une racine sans pelle | 3
3e étape (répéter cette étape jusqu’à ce qu’il n’y ait plus de chiffres à
trouver)
Il reste à trouver la valeur de la zone hachurée.
200
40 000
6 000
Comme la zone en blanc a une aire de 12 900 et que le carré en gris a une aire
de 40 000, on sait que la zone hachurée a une aire de 55 225 – 52 900 = 2 325.
√ 55
    225
 
30
6 000
900
c
La zone hachurée est formée d’un petit carré dont l’aire est c2 et de deux
rectangles dont l’aire est 230b.
Donc
2 335 = c2 + 2 × 230b
2 325 = c2 + 460b
On cherche la valeur de c.
Si c=1,
12 + 460 × 1 = 461 < 2 325
Si c =2,
22 + 460 × 2 = 924 < 2 325
Si c =3,
32 + 460 × 3 = 1389 < 2 325
Si c =4,
42 + 460 × 4 = 1856 < 2 325
Si c =5,
52 + 460 × 5 = 2 325 = 2 325
On trouve que c = 5.
Comme il ne reste plus de chiffres à trouver, on a terminé. On a trouvé que
√55
    255
    = abc = 235
4 | Corrigé | 5.1 Extraire une racine sans pelle
C’est à votre tour !
Utilisez cet algorithme pour calculer la valeur de la racine carrée de 4489.
Laissez les traces de toutes les étapes de votre démarche.
5.
(Page 8)
Le plus grand carré entrant dans 44 est 36.
Quelle est la plus grande valeur que l’on peut
mettre dans 12_x_ pour obtenir une valeur
plus petite ou égale à 889 ?
44 89
36
889
889
0
67
6×6
12_ × _
127 × 7
4. On double la valeur du chiffre obtenu à la
ligne précédente et on le met à la position
des dizaines.
La racine carrée de 4 489 est 67.
Il existe des liens entre les deux méthodes étudiées pour calculer la racine
carrée d’un nombre. Trouvez-les et discutez-en avec vos coéquipiers.
6.
(Page 8)
Étapes de calcul de la racine d’un nombre
Correspondance avec les méthodes présentées
Méthode avec le carré
Méthode enseignée
dans les écoles
Trouver le nombre
de chiffres de la
racine carrée
Comparer la racine
avec des carrés parfaits formés par des
puissances de 10.
Séparer les chiffres
du nombre en
groupes de 2. S’il y
a 3 groupes, alors il
y a 3 chiffres dans la
racine.
Trouver un premier
chiffre de la racine
carrée
Trouver le plus grand
carré entrant dans
le carré de côté égal
à la racine carrée
cherchée.
Trouver le plus grand
carré entrant dans le
groupe de 2 chiffres
de gauche.
Trouver la valeur à
combler
Faire la différence
entre l’aire du carré
original et celle du
carré trouvé.
Faire la différence
entre le carré original et le carré trouvé.
Trouver un autre
chiffre de la racine
carrée
Trouver le nombre
qui complète le
mieux l’inégalité
formée par la valeur
restant à combler
dans le carré.
Trouver le chiffre qui
complète le mieux
l’inégalité formée par
le reste et le double
du chiffre précédemment trouvé.
Corrigé | 5.1 Extraire une racine sans pelle | 5