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LYCEE MARIEN N’GOUABI CLASSE: 1ère C Professeur : Zoungrana ANNEE SCOLAIRE 2009-2010 DATE: 3/11/2009 Durée: 2 heures DEVOIR N°2 DE MAHTEMATIQUES (1er Trimestre) Exercice 1(5 points) On veut organiser un pont aérien pour transporter 1600 personnes et 90 tonne de bagages . Les avions disponibles sont de deux types 12 du type A et 9 du type B. A pleine charge ,un avion « A » peut transporter 200 personnes et 6 tonnes de bagages et un avion « B » 100 personnes et 15 tonnes de bagages . La location d’un avion « A »coûte 4 millions de francs ,celle un avion « B » coûte 1 million de francs. 1) Représenter toutes les manière possibles de réaliser un tel transport. 2) Comment réaliser le transport à moindre coût ? Exercice 2(7points) Soit a, b,c,d et e des nombres réels ,a un nombre réel non nul et f le polynôme 4 3 2 défini pour tout nombre réel x par : f ( x ) = ax + bx + cx + dx + e. 1-On considère la propriété ( P ) : ∀x ∈ ∗ ⎛ 1 ⎞ f ( x) f ⎜ ⎟= . x ⎝ x⎠ 4 a) Démontrer que si f vérifie la propriété ( P ) et si α est une racine non nul de f ,alors 1 α est également une racine de f. ⎧a = e b) Démontrer que si f vérifie la propriété ( P ) si et seulement si ⎨ ⎩b = d En déduire en particulier que 0 n’est pas racine de f. 4 3 2 c) on donne : f ( x ) = 2 x − 13 x + 24 x − 13 x + 2 . Mettre f sous forme d’un produis de quatre polynômes de degré 1 . 2-On suppose désormais que f vérifie la propriété ( P ) . a) Démontrer que ,pour tout nombre réel x non nul : f ( x) 1 ⎛ = a⎜ x + x x ⎝ 2 2 2 1⎞ ⎞ ⎛ + b x + ⎟ ⎜ ⎟ + c. x⎠ ⎠ ⎝ b) Soit α un nombre réel nom nul. Démontrer que α est une racine de f si et seulement si α + par : g ( x ) = ax 2 1 α est une racine du polynôme g définis pour tout nombre réel + bx + c − 2a . x c) On donne : f ( x ) = 6 x − 35 x + 62 x déterminer les racines de g puis de f. 4 3 2 − 35 x + 6 et g ( x) = 6 x − 35 x + 50 2 Exercice3 (8 points) 1) ⎧2 x − y − z − t = 1 ⎪− x + 2 y − z − t = 1 ⎪ soit le système linéaire définie par : ⎨ ⎪− x − y + 2 z − t = 1 ⎪⎩− x − y − z + 2t = 1 a) Additionner les quatre égalités du système .quelle valeur obtient-on pour x+ y+ z+t ? b) Ajouter l’égalité obtenue à la première question ,a chacune des égalités définissant le système ;résoudre alors celui-ci. ⎧x + 2 y + z + t = 7 ⎪ ⎪2 x − y + 4 z − t = −7 2) Résoudre le système suivant par substitution : ⎨ . − x − 4 y + t = − 6 ⎪ ⎪⎩3 x − z − 2t = −2 3) Résoudre le système suivant par la méthode du pivot de Gauss : ⎧ x + 10 y − 3 z = 5 ⎪ ⎨2 x − y + 2 z = 2 . ⎪− x + y + z = −3 ⎩ l’inéquation : x + 1 + x + 2 ≥ 3 . 5) Développer ( 2 x + 3) 4) Résoudre dans 7