PS94 - Rapport TP 3 : Mesures `a l`oscilloscope, résonnances

PS94 - Rapport TP 3 : Mesures à l’oscilloscope, résonnances
CONTINI Clément, SUN Xiaoting
19 juin 2010
Objectifs
Le but de ce TP est d’utiliser un oscilloscope à mémoire afin d’étudier la résonnance dans un circuit
RLC. Ce TP sera composé de 6 parties :
1. Mesure de la fréquence de résonnance
2. Étalonnage de la sensibilité verticale
3. Courbe de résonnance
4. Courbe du déphasage en fonction de la fréquence
5. Mesure du facteur de surtension
6. Exercices préparatoires
Présentation du matériel et incertitudes
–
–
–
–
–
Une bobine de 100 mH et de résistance interne 38 Ω : ∆C
C = 1%
Une boite de décades de capacités variables de valeur maximum 10 µF : ∆C
C = 1%
Une boite de décades de résistances variables de valeur maximum 10 MΩ : ∆R
R = 1%
Un oscilloscope : on considère son incertitude comme nulle
Un générateur avec fréquencemetre intégré : ∆f
f = 1%
1 Mesure de la fréquence de résonnance
1.1
Montage
On souhaite mesurer la fréquence de résonance de l’intensité du courant, c’est à dire la fréquence pour
laquelle le déphasage entre la tension et le courant est nul. On réalise le montage suivant avec R = 200 Ω,
RL = 38 Ω, C = 60 nF et L = 100 mH :
1
F IGURE 1 – Montage manipulation I
On observe donc :
– En voie I la tension aux bornes du générateur
– En voie II la tension aux bornes de la résistance.
Le circuit étant en série, la tension observée sur la voie II est proportionnelle à l’intensité circulant dans le
circuit.
1.2
Calcul de la fréquence de résonance théorique
On obtient la fréquence par la formule : ftheorique =
1
D’où : ∆ftheorique = 4π
× L√1LC ∆L + C √1LC ∆C
ω
2π
=
√1
2π L.C
On obtient donc :
ftheorique = 2055 ± 15.41 Hz
1.3
Mesure de la fréquence de résonance
On cherche la fréquence pour laquelle le déphasage entre le courant et la tension est nulle.
On trouve fmanip = 2047 Hz.
On estime l’incertitude en estimant fmin et fmax les fréquences extrêmes pour lesquelles on n’observe pas
de décalage de phase.
On obtient : ∆fmanip = fmax − fmin = 2050 Hz − 2043 Hz = 7 Hz
On obtient donc :
fmanip = 2047 ± 7 Hz
1.4
Observations
On remarque que les valeurs
théoriques et expérimentales sont très proches.
ftheorique −fmanip On calcule l’erreur relative : = 0.39%
ftheorique
Nous avons utilisé des sensibilités horizontales élevées pour estimer la fréquence de résonance : fmanip , il
est donc normal que l’erreur relative soit très faible.
2
2 Étalonnage de la sensibilité verticale
2.1
Étalonnage vertical
L’étalonnage vertical règle l’étalonnage de la tension. Pour le réaliser, on utilise un signal fourni par
l’oscilloscope lui-même et supposé connu avec précision.
On applique une fréquence de tension 0.2 Vpp et on tourne le bouton de calibre de tension pour corriger
l’affichage afin qu’on observe une tension de 0.2 Vpp crête à crête.
2.2
Étalonnage horizontal
L’étalonnage horizontal règle l’étalonnage du temps. Pour le réaliser, on utilise un signal fourni par
l’oscilloscope lui-même et supposé connu avec précision.
On applique un signal de fréquence 1 kHz et on tourne le bouton de calibre de temps pour corriger l’affichage afin qu’on observe une période de 1 ms.
2.3
Observations
L’oscilloscope que nous avons utilisé était déjà correctement étalonné. Cependant, c’est une étape importante à réaliser avant de faire les manipulations car si l’étalonnage n’est pas réalisé correctement, on
peut obtenir des mesures incohérentes.
3 Courbe de résonnance
3.1
Courbe
On repère les valeurs de l’intensité pour des points répartis entre [0; 2f0 ]. L’intensité s’obtient par : I =
On utilise une tension de 2 Vpp et une résistance de 200 Ω.
3
U
R.
I=f(f)
0,03
0,025
I (A)
0,02
0,015
0,01
0,005
0
0
500
1 000
1 500
2 000
2 500
f (Hz)
3 000
3 500
4 000
4 500
F IGURE 2 – Graphique représentant l’intensité du circuit en fonction de la fréquence du signal
Nous avons réalisé une modélisation pour donner un aperçu de la courbe et nous aider à tracer les
points. Ne connaissant pas l’incertitude sur U , on repère sur le graphique l’incertitude de 1% liée à R (en
ordonnée) et l’incertitude de 1% liée à f (en abscisse).
3.2
Exploitation des résultats
3.2.1
Tableau de mesures
Fréquence
Résonance = 2047 Hz
1000 Hz
3000 Hz
Courant
≃ 40 mA
≃ 2.7 mA
≃ 5.6 mA
TABLE 1 – Tableau de mesures
3.2.2
Bande passante
Valeur théorique :
On obtient la bande passante théorique par : ∆f = ∆ω
2π = 379Hz. 1
On calcule l’incertitude avec : ∆ (∆f ) = 2πL
∆R + ∆r + R+r
∆L = 6.97 Hz (On néglige ∆r qu’on ne
L
connait pas).
On a donc :
∆f = 379 ± 6.97 Hz
4
Mesure expérimentale :
√
et on repère les fréquences correspondant à l’intersection des
On trace la droite correspondant à Imax
2
deux courbes.
On trouve :
∆f = 2238 Hz − 1862 Hz = 376 Hz
3.2.3
Impédance à la résonnance
On calcule l’impédance par : Z = (R + r)2 + Lω −
1 2
Cω
12
Valeur théorique :
On trouve :
Z = R = 238 Ω
Mesure expérimentale :
On trouve Z =
2
238 Ω + 100 mH × 2π × 2047 Hz −
D’où :
1
60 nF×2π×2047 Hz
2 12
Z ≃ 238.20 Ω
3.3
Observations
On observe que l’intensité passe par un maximum à la résonnance, donc l’impédance y est minimum.
1
1 2 2
, où à la résonance, le deuxième
Cette observation est conforté par la relation : Z = R2 + Lω − Cω
terme sous la racine se simplifie.
La largeur de la bande passante trouvée est très proche de la valeur expérimentale (0.79% d’erreur relative).
4 Courbe de déphasage en fonction de la fréquence
On utilise le même montage que dans la partie précédente. On obtient à l’oscilloscope un affichage de
ce type :
F IGURE 3 – Affichage obtenu sur l’oscilloscope
5
Pour mesurer le déphasage, on mesure IJ sur l’oscilloscope et on le multiplie par 2πf .
On a par conséquent :
φ = IJ × f × 2π
4.1
Courbe
On repère le décalage entre les deux signaux pour différentes fréquences entre 0 et 2f0 . On utilise une
tension de 2 Vpp et une résistance de 200 Ω.
Déphasage en fonction de la fréquence
100
déphasage (rad/s)
50
0
-50
-100
0
500
1 000
1 500
2 000
2 500
fréquence (Hz)
3 000
3 500
4 000
4 500
F IGURE 4 – Graphique représentant la courbe du déphasage en fonction de la fréquence
Nous avons réalisé une modélisation pour donner un aperçu de la courbe et nous aider à tracer les
points. Nous avons également tracé l’incertitude de 1% liée à f en abscisse.
4.2
Exploitation des résultats
4.2.1
Tableau de mesures
Fréquence
Résonance = 2047 Hz
1000 Hz
3000 Hz
Avance de phase
0◦ · s−1
≃ 86.4◦ · s−1
≃ −81.0◦ · s−1
TABLE 2 – Tableau de mesures
6
4.2.2
Bande passante
Mesure expérimentale :
On cherche les fréquences correspondant à une avance de phase de +45◦ et −45◦ . On obtient la largeur
de la bande passante en faisant la différence entre fmax et fmin relevés.
Cette largeur est représentée par la largeur du rectangle sur le graphique.
On trouve : fmax = 2210 Hz
et : fmin = 1920 Hz
D’où :
∆f = 290 Hz
4.3
Observation
On remarque que le déphasage est nul à la fréquence de résonnance, ce qui avait déjà été identifié lors
de la première partie.
La valeur de la bande passante obtenue est très différente de celle obtenue par la courbe de l’intensité en
fonction de la fréquence (mais ici, 23.48% d’erreur relative).
L’intensité est tout d’abord en avance sur la tension, lorsque la fréquence dépasse la résonance, l’intensité
est alors en retard sur le courant.
5 Mesure du facteur de surtension
5.1
Montage
On modifie le montage de façon à avoir la tension aux bornes du générateur sur la voie I et la tension
aux bornes du condensateur sur la voie II. On utilise pour ce montage une résistance R = 100 Ω.
F IGURE 5 – Montage utilisé pour mesurer le facteur de surtension
5.2
Facteur de surtension théorique
5.2.1
Calcul théorique
Le facteur de surtension s’obtient par la relation suivante : Q =
On trouve ici : Q = 12.9
7
1
R.
q
L
C.
5.2.2
Calcul d’incertitude
√ ln Q = ln R√LC = 12 ln L −
∆Q
Q
D’où :
=
On a alors :
1 ∆L
2 L
+
1 ∆C
2 C
+
1
2 ln C
∆R
R
− ln R
∆Q
1
= (1% + 1%) + 1% = 2%
Q
2
5.2.3
Résultat final
Qtheorique = 12.9 ± 0.258
5.3
Facteur de surtension expérimental
5.3.1
Mesure
On mesure une tension U aux bornes du générateur de 2 Vpp et une tension UC aux bornes du condensateur de 24 Vpp.
On trouve donc :
Qmanip = 12
5.3.2
Calcul d’incertitude
L’incertitude sur Q = UUC provient des incertitudes sur U et UC . Or on a supposé l’oscilloscope parfait
et on ne considère pas l’erreur de lecture.
5.4
Observations
Les résultats sur le facteur de surtension sont cohérentes (erreur relative de 7.5%).
6 Exercices préparatoires
6.1
Déphasage φ en fonction de ω
On a : tan φ = R1
D’où : φ = arctan R1
1
Cω
1
Cω
− Lω
− Lω
On dérive l’expression de φ = f (ω) pour trouver le sens de variation de φ.
On trouve :
C
(Cω)2
1
φ̇ = − ×
R 1+
1
R
1
Cω
+L
− Lω
2
La dérivée de φ est toujours négative, on trouve donc que φ est une fonction décroissante de la pulsation
ω.
8
6.2
Bande passante
∆ω est une bande passante exprimée en fonction de la pulsation ω.
On a : ∆ω = ω+ − ω− .
ω
.
Or on sait que f = 2π
On obtient donc la bande passante en Hertz par :
∆f =
∆ω
1
(ω+ − ω− ) =
2π
2π
Conclusion
Ce TP nous a permis de déterminer expérimentalement une fréquence de résonance. Nous avons pu
voir son influence sur l’intensité dans la partie III et sur le déphasage dans la partie IV. Nous avons pu
déterminer la bande passante de différentes façons, grâce à l’intensité et grâce à la courbe de déphasage.
L’erreur obtenue sur la bande passante par la courbe du déphasage est assez grande mais les autres valeurs
obtenues semblent correctes. L’expérience sur le facteur de surtension était plutôt concluante, avec une
erreure faible.
9