Examen de Thermodynamique et Physique Statistique La constante

Licence de Physique et Mécanique
Année 2011-2012
Université Paris-Sud XI
Examen de Thermodynamique et Physique Statistique
Vendredi 1er Juin 2012
durée : 3 heures
Sac et trousse au fond de la salle. Calculatrices interdites.
La qualité de la rédaction sera prise en compte dans la note.
Compte-tenu de la longueur du sujet, le barème sera sur plus de 20 points.
De nombreuses parties et questions sont indépendantes.
Formulaire :
1
2
2
• une gaussienne normalisée est de la forme : √
e−x /2σ .
2πσ 2
r
Z ∞
π
2
.
• intégrale gaussienne :
dx e−ax =
a
−∞
Z ∞
1
a
• Distribution de Dirac :
dxδ(x − x0 )f (x) = f (x0 ) et lim
= δ(x)
2
a→0 π a + x2
−∞
La constante de Boltzmann
1. Rappeler la formule de Boltzmann reliant l’entropie S dans l’ensemble microcanonique au
nombre de micro-états accessibles Ω.
2. Quelle est la valeur de la constante de Boltzmann kB ? Quelle est sa dimension et son lien avec
la constante des gaz parfaits R ?
3. Rappeler la définition de la température dans l’ensemble microcanonique.
À quel accroissement ∆ ln Ω de la mesure du désordre correspond une énergie ∆E = kB T ?
Si l’on change d’un facteur α la valeur de kB , quelle conséquence cela a pour l’échelle de
température ?
4. D’après l’interprétation statistique de l’entropie, est-il vraiment indispensable de donner une
dimension à l’entropie ? Imaginons que l’on choisisse kB = 1 et sans dimension, dans quelle
unité seraient alors exprimées les températures ?
Un problème de la détermination de kB à partir de la constante des gaz parfaits provient du fait
que le nombre d’Avogadro est difficile à mesurer. On va voir deux méthodes de mesure directe de kB
fondées sur les résultats de la physique statistique.
1
Méthode de Kappler pour la mesure de kB
En 1931, Eugen Kappler proposa un protocole pour accéder directement à kB sans passer par
la constante des gaz parfaits. Pour cela, il mesure les fluctuations de la position angulaire d’un
petit pendule de torsion constitué d’un miroir dont l’orientation est tirée de la réflexion d’un rayon
lumineux (voir figure 1) et plongé dans un gaz à la température T . Nous allons voir que ce signal
nous conduit à la valeur de kB , connaissant la température T et la constante de torsion du pendule C.
L’Hamiltonien gouvernant la dynamique du pendule est
H(ϕ, pϕ ) =
p2ϕ C 2
+ ϕ ,
2I
2
(1)
avec pϕ = I ϕ̇ l’impulsion associée à l’angle de rotation ϕ et I = mL2 /12 le moment d’inertie du
pendule de masse m et de largeur L. On prend ϕ = 0 pour la valeur d’équilibre de l’angle et on
suppose les fluctuations petites de sorte que |ϕ| 1.
1. Quelle est l’origine physique des fluctuations de l’angle ϕ ?
2. Compléter les (· · ·), en justifiant précisément l’origine et la signification des différents termes,
dans l’expression de la fonction de partition :
ZZ
dpϕ dϕ −(···)H(ϕ,pϕ )
Z=
e
(2)
(· · ·)
(···)
3. Montrer que celle-ci se met sous la forme Z = (T /T0 )a et donner
lesRexpressions de T0 et a.
Rπ
∞
N.B. : on pourra utiliser, en la justifiant, l’approximation −π dϕ ' −∞ dϕ.
4. Calculer l’énergie moyenne de l’oscillateur.
5. En appliquant un théorème du cours, montrer qu’on peut relier les fluctuations ϕ2 de l’angle
à C, kB et T .
6. Application numérique : on donne les valeurs C ' 10−8 g cm2 s−2 , T ' 300 K et ϕ2 = 4 10−6
rad2 . En déduire l’ordre de grandeur de kB ainsi mesurée en détaillant le calcul.
La mesure de l’époque avait plusieurs chiffres significatifs corrects !
7. Quelle est l’expression de la densité de probabilité p(ϕ) d’avoir un angle ϕ ? Vérifier la normalisation et tracer la courbe. Donner l’expression littérale de la probabilité que le miroir se
retourne à 90° à cause des fluctuations. Commenter.
L
Figure 1: À gauche : pendule de torsion constitué d’un miroir et d’un fil. À droite : mesure de la
position du rayon de lumière réfléchi en fonction du temps.
2
Élargissement Doppler d’une raie d’absorption et mesure de kB
Cette partie s’intéresse à l’influence de la distribution des vitesses dans un gaz sur le spectre
d’absorption d’une vapeur d’ammoniac NH3 et son application à la mesure de kB .
Questions de cours : distribution des vitesses dans un gaz
On considère un gaz parfait constitué de N molécules de masse m en contact avec un thermostat
à la température T et confinées dans un volume V (on ne tiendra pas compte des degrés de liberté
internes).
1. Écrire l’Hamiltonien H(~q1 , . . . , p~N ) du système.
2. Justifier les différents termes dans l’expression de la densité de probabilité d’un micro-état :
w(~q1 , . . . , p~N ) =
1 e−βH(~q1 ,...,~pN )
N !h3N
Z
(3)
Que vaut β ? Donner l’expression de la fonction de partition Z apparaissant dans la formule
sous forme d’une intégrale sur l’espace des phases.
zN
V
3. Montrer que l’on a Z =
avec z = 3 et donner l’expression de λT en fonction de T , m et
N!
λT
de constantes universelles.
4. À partir de (3), calculer la densité de probabilité p(~
p) qu’une particule ait une impulsion p~ à
d~
p près.
5. En déduire la densité de probabilité p(~v ) qu’une particule ait une vitesse ~v à d~v près. Vérifier
la normalisation de votre résultat.
6. Justifier rapidement que la distribution de la composante vx de la vitesse vaut :
r
m
2
e−mvx /2kB T .
p(vx ) =
2πkB T
(4)
7. Définir puis calculer l’écart-type ∆vx,y,z sur les composantes des vitesses. Comment peut-on
retrouver rapidement ce résultat ?
8. Trouver maintenant la densité de probabilité p(v) qu’une particule ait une vitesse de module
v = k~v k à dv près.
9. La distribution des vitesses est-elle modifiée en présence d’interactions entre particules ? Justifier
précisément votre réponse en introduisant un potentiel de la forme U (~q1 , . . . , ~qN ).
Effet Doppler sur une raie d’absorption de l’ammoniac
Les molécules d’ammoniac peuvent absorber des photons d’énergie hν, dont la fréquence ν est
proche de la fréquence ν0 d’une transition rovibrationnelle (h est la constante de Planck). Cela est
vrai si l’on mesure la fréquence ν dans le référentiel de la molécule. Lorsque celle-ci est en mouvement
par rapport au laser émettant des photons à une fréquence ν̃ (voir figure 2), la fréquence vue par la
molécule dépend de sa vitesse relative vx selon la formule de l’effet Doppler :
vx ν = ν̃ 1 −
pour |vx | c ,
(5)
c
avec x la direction de propagation du laser, et c la vitesse de la lumière. La cuve est plongée dans un
mélange eau-glace qui fixe la température à 0°C. L’intensité lumineuse en sortie de la cuve est de la
forme I(ν̃) = I0 exp(−α(ν̃)Lcuve ) où Lcuve est la longueur de la cuve et α(ν̃) le coefficient d’absorption
dont nous allons déterminer la forme.
3
signal
Figure 2: À gauche : Schéma de l’expérience et signal d’absorption typique. À droite : Mesure et extrapolation de la largeur de la raie d’absorption en fonction de la pression. D’après Daussy
et al., Phys. Rev. Lett. 98, 250801 (2007) et http://christian.j.borde.free.fr/kB.pdf.
On considère d’abord le cas où toutes les molécules ne peuvent absorber que la fréquence ν0 .
10. Relier la densité de probabilité p(ν̃) que la fréquence ν̃ soit absorbée à la distribution des vitesses
p(vx ). En déduire que l’écart-type σD caractérisant la largeur Doppler du spectre mesuré vaut
r
kB T
σD = ν0
.
(6)
mc2
11. Interpréter physiquement cette relation en introduisant une vitesse typique v̄ pour les molécules.
En réalité, même dans le référentiel de la molécule, la fréquence absorbée n’est pas toujours égale à
ν0 mais suit une distribution de la forme
1
Γ
L(ν) =
, où Γ est l’inverse du temps de vie du photon.
(7)
2
π Γ + (ν − ν0 )2
Pour cette raie, Γ est principalement dû aux collisions entre molécules si bien que Γ ' τ −1 où τ est le
temps typique entre deux collisions. La cuve a un volume fixé mais sa pression P peut être ajustée.
12. Tracer la courbe L(ν). Où se trouve son maximum et quelle est sa largeur à mi-hauteur ?
13. Montrer que le libre parcours moyen ` entre deux collisions est de la forme ` ' 1/nσ où σ = πd2
est la section efficace de collision, d la taille de la molécule et n la densité dans le gaz.
14. En déduire l’expression de τ en fonction de n, σ et v̄ et sa dépendance avec P et T .
Profil de Voigt pour la raie d’absorption :
15. Justifier la première relation ci-dessous donnant le coefficient d’absorption (α0 une constante) :
Z +∞
Z +∞
c
1 aΓ
1
2
2
q
α(ν̃) = α0
dvx p(vx )L(ν̃(1 − vx /c)) ' α0
du 2
e−(u+v(ν̃)) /2σT .
2
ν
π
a
+
u
0 −∞
−∞
Γ
2πσT2
16. Expliciter les quantités σT , aΓ et v(ν̃) intervenant dans la seconde égalité ci-dessus en fonction
des paramètres. Représenter graphiquement les deux fonctions de u intervenant dans l’intégrale.
17. À l’aide des indications du formulaire, déterminer une pression caractéristique Pc telle que l’on
retrouve les résultats de la question 10 pour P Pc . Quel est ici l’ordre de grandeur de Pc ?
18. Dans la limite P Pc mais non nulle, on admet que l’on peut approximer la largeur spectrale
mesurée par ∆ν̃ ' σD + KΓ avec K une constante. Montrer que ∆ν̃(P ) est une droite.
Comment extraire alors la valeur de kB des résultats de la figure 2 ?
Fin.
4