Annales PSI 2013 -

Quelques corrigés Annales PSI 2013 Benoit Caritey
mise à jour du 3 mai 2014
Table des matières
1 Algèbre
H
2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
19 - CCP PSI 2013 (endomorphisme de matrices) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
31 - Centrale PSI 2013 (valeurs propres en commun) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32 - Centrale PSI 2013 (réciproque de u diagonalisable =⇒ u n diagonalisable)
......................
6
7
34 - CCP PSI 2013 (matrice sans racine carrée) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
14 - Mines-Ponts PSI 2013 (endomorphisme de suites)
25 - CCP PSI 2013 (matrice symétrique complexe)
41 - Mines-Ponts PSI 2013
H(dimension de commutant)
48 - CCP PSI 2013-2011 (base de l’espace des polynômes)
57 - CCP PSI 2013 (matrice de rang 1)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
75 - CCP PSI 2013 (minimum lié à un endomorphisme symétrique positif) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
78 - Centrale PSI 2013 (produits vectoriels)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
91 - CCP PSI 2013 (matrice de projection orthogonale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
102 - Mines-Ponts PSI 2013 (division euclidienne)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Analyse
20
111 - Centrale PSI 2013 (series entieres à termes récurrents imbriqués) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
112 - Centrale PSI 2013 (inegalite sur les sommes partielles)
125 - Mines-Ponts PSI 2013 (série à terme défini par récurrence)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
132 - Centrale PSI 2013 (séries entière aux bornes) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
136 - CCP PSI 2013 (étude série de fonctions) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
142 - Centrale PSI 2013 (série de fourier d’une fonction-intégrale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
153 - Mines-Ponts PSI 2013 (calcul intégrale fonction partie-entière)
H
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
157 - CCP PSI 2013 (développement en série entière d’une intégrale à paramètrez) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
174 - CCP PSI 2013-2012 (limite d’intégrale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
177 - ENSAM 2013 (équivalence de convergence d’intégrale)
................................
32
184 - CCP PSI 2013 (calcul d’une intégrale par développement en série) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
187 - CCP PSI 2013 (linéaire du deuxième ordre)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
195 - CCP PSI 2013 (système différentiel avec étude géométrique) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3 Géométrie
38
222 - Centrale PSI 2013 (quadriques de révolution) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
1
1 Algèbre
Mines-Ponts PSI 2013 (endomorphisme de suites)
Enoncé 14
H
Soient E = RN et T ∈ L (E ) qui à (u n )n∈N associe (w n )n∈N définie par ∀ n ∈ N, w n =
n
1 X
uk .
n + 1 k=0
Déterminez les éléments propres de T
1 ) Sur cet exemple, il semble plus facile de chercher les valeurs propres / vecteurs propres de l’automorphisme inverse
T −1 = ζ défini par (w n )n∈N → (u n )n∈N telle que u 0 = w 0 et u n = −nw n−1 + (n + 1)w n , pour n ≥ 1. En effet :
∀ n ∈ N∗ , ∀ u = (u n ) ∈ E ,
³
´
n
X
1 X
1 n−1
u k + (n + 1)
uk = un
ζ(T (u) = −n(T (u))n−1 + (n + 1)T (u)n = −n
n
n k=0
n + 1 k=0
³
´
P
et ζ(T (u) = (T (u))0 = 11 0k=0 u k = u 0 . On procède par analyse / réciproque :
0
Analyse :
Soit (w n ) telle que T −1 (w n ) = λ(w n ). Alors w 0 = λw 0 et (λ − n − 1)w n = −nw n−1 . Il vient ou λ = 1 ou w 0 = 0.
Si λ = 1, on arrive à nw n = nw n−1 pour n ≥ 1, soit w n est une suite constante.
Si w 0 = 0, alors la relation (λ − n − 1)w n = −nw n−1 amène w n = 0, tant que la quantité λ − n − 1 ne s’annule pas. Deux
sous-cas :
• Si λ ∉ N − {0, 1}, la quantité λ − n − 1 ne s’annule jamais pour n ≥ 1. Par suite, w n = 0 pour tout n. Ce ne peut donc
être un vecteur propre ou autrement dit λ ∉ N − {0, 1} ne peut être valeur propre de T −1 .
• Considérons le cas λ = n + 1, avec n ≥ 1, cad λ entier naturel ≥ 2, que l’on note N (N = n + 1. . .) Alors en « poursuivant » la relation de récurrence, on obtient : ∀ 0 ≤ n < N − 1, w n = 0 et pour n > N − 1 :
wn =
n
Y
k=N
µ
Ã
!
Qn
¶
k
n!
n
−k
k=N
w N −1 =
w N −1 =
w N −1 =
w N −1
N −k −1
(n + 1 − N )!
(N − 1)!(n + 1 − N )!
N −1
On s’aperçoit que cette formule « marche » pour n = N − 1, et même pour λ = 1 (qui correspond à N = 1). En
adoptant la définition des coefficients binomiaux étendus (cad vaut 0 dès que le coefficient n’a pas de sens dé¡n ¢
nombratoire, p = 0 si p > n), elle vaut aussi pour n quelconque. On adopte par commodité cette convention
(cela évite de rédiger avec 2 cas)
On a donc démontré que les seules valeurs propres « possibles » de T −1 sont les N ∈ N∗ (et donc
¡
¢
propre associé la droite dirigée par w N = ( Nn−1 )n∈N .
1
N
pour T ) d’espace
Réciproque :
Là-encore, il est sans doute plus simple de procéder avec T −1 , mais on va vérifier sur T :
³
´
T (w ) =
N
n
Ã
!
Ã
! (1)
Ã
! (2)
Ã
!
n
n
X
k
1
k
n
1
1 X
z}|{ 1 n + 1 z}|{ 1
=
= (w N )n
=
=
n + 1 k=0 N − 1
n + 1 k=N −1 N − 1
n +1 N
N N −1
N
On a utilisé deux formules du triangle de Pascal 1 , la première est un peu moins connue et se démontre par récurrence
sur n :
à ! Ã
!
k
n +1
=
m +1
k=m m
Ã
!
à !
n
n n −1
=
p
p p −1
n
X
1. Blaise Pascal : mathématicien philosophe français (1623-1662). A écrit un traité du triangle arithmétique.
2
¡0¢
·
−→
•
¡1¢
·
−→
•
¡2¢
−→
¡0¢
·
¡3¢
•
¡2¢
•
2
¡3¢
•
•
−→
•
•
•
•
−→
•
•
•
•
·
¡5¢
·
+
1
•
−→
¡6¢
•
•
·
+ + +
−→
+
•
•
+
•
•
+
3
¡4¢
•
4
+
•
+
•
¡ 5 ¢ F n−1
•
•
5
¡ 6 ¢F
•
6
n
·
¡ n−2 ¢
·
¡ n−1 ¢
·
¡n ¢
·
−→
−→
−→
−→
•
•
•
•
+
•
•
+
•
+
•
•
+
•
+
•
+
•
•
•
•
•
•
+
•
+
•
+
•
•
•
•
•
Ã
n +p +1
n +1
Ã
!
n +1
k +1
Ã
!
p +1
k +1
=
=
=
Fn
=
•
+ +
+
¡ n−3 ¢
Ã
!
p
X
n +k
k
k=0
à ! Ã
!
n
n
+
k
k +1
à !
p
X
n
n=k k
Ã
!
E [n/2]
X n −k
k
k=0
¡1¢ F
4
+ + +
¡4¢
·
•
0
•
•
•
•
•
•
•
•
•
+
3
•
+
¡ n−3 ¢
•
n−3
•
•
+
•
•
•
•
•
•
•
•
•
+
+
¡ n−2 ¢
•
n−2
¡ n−1 ¢
n−1
¡n ¢
•
n
!
CCP PSI 2013 (endomorphisme de matrices)
Enoncé 19
On considère f : M → M + 2t M où M est une matrice de Mn (R) avec n supérieur ou égal à 2.
1 ) Montrez f endomorphisme de Mn (R) .
2 ) Donnez les valeurs propres de f .
3 ) f est-elle diagonalisable ?
4 ) Calculez tr f et det f .
1 ) Soient α, β ∈ R et M , N ∈ Mn (R) , f (αM +βN ) = (αM +βN )+2t(αM +βN ) = α(M +2t M )+β(N +2t N ) = α f (M )+β f (N )
donc f linéaire. Endomorphisme est immédiat.
On aurait aussi pu dire, un peu plus élégant, que f = I d + 2t où t est l’application transposée qui est linéaire (cours). La
linéarité de f résulte de la stabilité par + et . de l’ev ( L (E ) , +, .), où E = Mn (R) ici.
2 ) Méthode 1 :
Analyse :
λ6=1
M + 2t M = λM (M 6= 0) =⇒
z }| {
2
1−λt
1−λ
M = M =⇒ t M =
M = t M =⇒
M
2
2
1−λ
λ = 1 est impossible car alors M = 0 et si λ 6= 1, on obtient
1−λ
2
=
2
1−λ
=⇒ (1 − λ)2 = 4 =⇒ λ = −1, 3.
Réciproquement :
On vérifie l’existence d’un M 6= 0
M + 2t M = 3M ⇐⇒ t M = M
et
M + 2t M = −M ⇐⇒ t M = −M
d’où immédiatement Ker ( f − 3I d ) = A n (R) 6= {0} et Ker ( f + I d ) = S n (R) 6= {0}, soit Sp f = {−1, 3}
Méthode 2 :
Un polynôme annulateur semble facile à trouver, on calcule d’abord :
f 2 (M ) = f ( f (M )) = (M + 2t M ) + 2t(M + 2t M ) = 5M + 4t M = 2(M + 2t M ) + 3M = (2 f + 3I d )(M )
P = X 2 − 2X − 3 est annulateur, d’où Sp f ⊂ {−1, 3}. Réciproquement, en raisonnant dans C, il y a au moins une valeur
propre. S’il n’y avait qu’une valeur propre, f étant diagonalisable (P est scindé à racines simples dans R), selon un
raisonnement habituel, f ne pourait être que une homothétie, ( f = −I d , f = 3I d ) ce que n’est visiblement pas f . il ne
reste donc que Sp f = {−1, 3}. (à noter que ce raisonnement ne donne pas les vecteurs propres)
3 ) Méthode 1 : f est diagonalisable car Mn (R) = A n (R) ⊕ S n (R) = Ker ( f − 3I d ) ⊕ Ker ( f + I d ).
Méthode 2 : Le polynôme annulateur P est scindé à racines simples dans R.
4 ) Pour la méthode 2, on est oblligé de calculer les vecteurs propres, mais c’est immédiat ! (réciproque méthode 1).
Comme dim S n (R) = dim Ker ( f + 3I d ) =
n(n+1)
2
et dim A n (R) = dim Ker ( f − 3I d ) =
n(n−1)
,
2
(c’est du cours, il serait sage
de réviser la démonstration de ces dimensions qui correspond au nombre de coefficients du triange supérieur, strict ou
pas, d’une matrice carrée d’ordre n) :
tr f = 3 × µ(3) − 1 × µ(−1) = 3 dim A n + (−1) dim S n = 3
n(n − 1) n(n + 1)
−
= n 2 − 2n
2
2
det f = (−1)µ(−1) × 3µ(3) = (−1)dim A n 3dim S n = (−1)n(n+1)/2 3n(n−1)/2
4
CCP PSI 2013 (matrice symétrique complexe)
Enoncé 25
1)
Montrez que deux endomorphismes f et g d’un ev de dimension finie diagonalisables et vérifiant f ◦ g = g ◦ f
admettent une base de vecteurs propres commune.
2 ) Soit M une matrice complexe symétrique de partie réelle R(M ) et imaginaire I (M ). MOntrez que si I (M ) et R(M )
commutent, M est diagonalisable.
1 ) f est diagonalisable. Soient λ1 , . . . , λp (p ≤ n) ses valeurs propres et E i les espaces propres associés. La diagonalisa-
bilité amène E 1 ⊕ . . . ⊕ E p = E . Comme g commute avec f , on sait (cours) que les espaces propres E i de f sont stables
par g . On peut alors considérer les endomorphismes g i induits par g sur E i , cad g i : E i → E i , x → g (x). Le cours nous
apprend que g i est aussi diagonalisable, il existe donc une base B i de vecteurs propres de g i , base de E i . Ces sont donc
des vecteurs propres de g mais aussi de f puisqu’ils sont pris dans E i . Par somme directe égale à E , la base réunion de
B i est une base de E de vecteurs propres communs à f et g .
2 ) M = R(M ) + i I (M ) est symétrique donc par linéarité de la transposition, t M = tR + i t I = R + i I . Par unicité de cette
décomposition en matrices réelles, il suit tR = R et t I = I , cad R(M ) et I (M ) sont symétriques réelles, donc diagonalisables. Si I (M ) et R(M ) commutent, la question précédente nous apprend qu’elles sont co-diagonalisables, cad qu’il
existe une même matrice de passage inversible P ∈ Gl n (R) telle que P −1 R(M )P et P −1 I (M )P soient diagonales. Il vient
alors : P −1 M P = P −1 (R(M ) + i I (M ))P = P −1 R(M )P + i P −1 I (M )P , M est semblable à une matrice diagonale, cad M diagonalisable.
(on notera que la matrice de passage est réelle, cad qu’il existe alors des vecteurs propres « réels » pour cette matrice
symétrique complexe, dont les « parties réelles et imaginaires » commutent )
5
Centrale PSI 2013 (valeurs propres en commun)
Enoncé 31
Soient A, B,C ∈ Mn (C) telles que AC = C B . On note r le rang de C .

1 ) Montrez qu’il existe deux matrices P,Q ∈ Mn (C) inversibles telles que C = P J r Q avec J r = 
Ir
0
0
0

.
2 ) Montrez que A et B possèdent au moins r valeurs propres en commun (comptées avec la multiplicité).
1 ) Raisonnons sur l’endomorphisme f ∈ L (Rn ) canoniquement associé à C et soit ε = (ε1 , . . . , εn ) la base canonique
de Rn . Notons F un supplémentaire de Ker f de dimension n − r . Prenons une base de F , (e 1 , . . . , e r ) complétée par une
base de Ker f en une base E de Rn . On sait que f restreint à F réalise un isomorphisme sur Im f . par conséquent,
( f (e 1 ), . . . , f (e r )) est une base de Im f que l’on complète en une base F de Rn . Alors la matrice de f dans les bases E et
F vaut J r . La formule de changement de base donne alors :
³
´−1
J r = Mat ( f , E , F ) = P εF
Mat ( f , ε, ε) P εE = P −1 C Q
³ ´−1
On a posé P = P εF et Q = P εE = P εE
qui sont bien inversibles.
2 ) Comme AC = C B =⇒ AP J r Q = P J r QB =⇒ (P −1 AP )J r = J r (QBQ −1 ), et que des matrices semblables ont mêmes
valeurs propres (et même polynôme caractéristique, mais pas les mêmes vecteurs propres), il suffit de démontrer le
résultat pour C = J r . On suppose donc A J r = J r B .
En notant C i les colonnes de A et L i les lignes de B :








A J r = C 1





...
Cr
0 ...


L1
..
.













0 = J r B = 

























Lr
0
..
.
0


Dr
0
 avec D r une matrice carrée d’ordre r . Il suit A = 
 et B = 
. A et B ont donc
d’où A J r = J r B = 
B 0 B 00
0 0
0 A 00
en commun (au moins) les r valeurs propres complexes (comptées avec la multiplicité) de la matrice D r .

Dr
0


6
Dr
A0

Centrale PSI 2013 (réciproque de u diagonalisable =⇒ u n diagonalisable)
Enoncé 32
Soient E un C-espace vectoriel de dimension finie et u ∈ L (E ) . Pour λ ∈ C∗ , on note αi (λ)(1 ≤ i ≤ n) les
n racines nièmes de λ. Soient L i (X )(1 ≤ i ≤ n) les polynômes interpolateurs de Lagrange associés aux αi (λ).
1 ) Montrez que u diagonalisable implique u n diagonalisable. Réciproque ?
2 ) Montrez
n
X
i =1
Li = 1. En déduire Ker (u n − λI d E ) = ⊕ ni=1 Ker (u − αi (λ)I d E ).
3 ) Montrez que si u est inversible, alors u n diagonalisable implique u diagonalisable.
1 ) Méthode 1 :
Puisque u est diagonalisable, il existe une base E de E constituée de vecteurs propres de u. Or si u(x) = λx avec x 6= 0,
on sait (cours) u n (x) = λn x avec x 6= 0, donc x vecteur propre de u n . Il vient que E est aussi une base de E constituée de
vecteurs propres de u n , donc u n diagonalisable.
Méthode 2 : En prenant une matrice M de u dans une base quelconque de E , l’hypothèse de diagonalisabilité de u, donc
de M , amène l’existence d’une matrice P inversible et D diagonale, telle que M = P DP −1 . Il vient alors :
−1
−1
−1
n −1
−1
M n = (P DP −1 )n = P D P
| {z P} D |P {z P} D P . . . P D P = P D P
I
I
D n étant diagonale, M n , donc u n est diagonalisable.
La réciproque est fausse (pour n 6= 1 !). Pour la dimension 2, il suffit de prendre la rotation d’angle
2π
n , de puissance nième
égale à l’identité. On donne un contre-exemple matriciel et pour une dimension p supérieure ou égale à 3, il suffit de
« raisonner par blocs » :

J =
cos
¡ 2π ¢
sin
¡ 2π ¢
n
n
¡ ¢
− sin 2π
n
¡ ¢
cos 2π
n

J
K =
O p−2,2
O 2,p−2
I p−2


On a immédiatement K n = I p donc est diagonalisable, tandis que K , diagonale par blocs, n’est pas diagonalisable
puisque l’un des blocs daigonaux J ne l’est pas, puisque J n’a évidemment aucune valeur propre réelle (ses 2 valeurs
propres complexes sont e ±2i π/n ).
2)
On sait que les polynomes interpolateurs de Lagrange 2 de degré n en n+1 valeurs réelles distinctes a 0 , a 1 , . . . , a n , forment
une base de Rn [X ]. On sait même (cours) que pour tout polynôme P ∈ Rn [X ], ses coordonnées (λi ) vérifient αi = P (a i ) :
P (X ) = λ0 L 0 (X ) + · · · + λn L n (X ) = P (a 0 )L 0 (X ) + · · · + P (a n )L n (X )
C’est immédiat car, comme les polynômes de Lagrange vérifient par définition P (a i ) = δi j , il suffit de prendre la valeur
de P en a i pour obtenir λi = P (a i ).
En revenant à cet exo, on constate d’abord que les racines nièmes d’un nombre complexe non nul sont toutes distinctes
(cad en supposant α 6= 0), le polynôme constant 1 s’écrit dans la base des (L i (X )) de Rn−1 [X ] (attention n − 1) et sa
ième coordonnée vaut αi = 1(a i (λ)) = 1. Il suit 1 = L 0 (X ) + L 1 (X ) + · · · + L n (X ). Cette égalité, on « l’applique » à u, pour
obtenir une égalité entre polynômes d’endomorphisme (en u) : I d = L 1 (u) + · · · + L n (u). Pour montrer la somme directe
2. Joseph-Louis Lagrange : français (1736-1813). Fondateur du calcul des variations. Importants travaux en algèbre, théorie des nombres et
géométrie. Connu pour les théorèmes éponymes en théorie des groupes et fractions continues.
7
demandée, il suffit de démontrer l’égalité (par la double inclusion), car les espaces propres sont toujours en somme
directe (cours), et si αi (λ) n’est pas une valeur propre de u, Ker (u − αi (λ)I d E ) = {0} et alors la somme directe est encore
vraie.
• Soit x ∈ Ker (u − α1 (λ)I d E ) + · · · + Ker (u − αn (λ)I d E ), alors x = x 1 + · · · + x n , avec u(x i ) = αi (λ)x i , puis u n (x i ) =
(αi (λ))n x i = λx i et par linéarité on arrive à u n (x) = λx, cad x ∈ Ker (u n − λI d E )
• Soit x ∈ Ker (u n − λI d E ), alors u n (x) = λx. D’autre part, en reprenant la remarque plus haut,
x = I d (x) = (L 1 (u) + · · · + L n (u))(x) = L 1 (u)(x) + · · · + L n (u)(x). En posant x i = L i (u)(x), on obtient :
³
´
³
´ ³
´
³
´
u − αi (λ)I d E (x i ) = u − αi (λ)I d E ◦ L i (u) (x) = (X − αi (λ))L i (X ) (u)(x)
(1)
´
´
³
´
³
n
z}|{ ³ Y
(X − αi (λ)) (u)(x) = γ X n − λ (u)(x) = γ u n − λI d E (x) = 0
= γ
i =1
La propriété (1) vient du fait que le polynôme L i (X ) a pour racines tous les α j racines nièmes de λ, sauf αi
justement . . .. Le coefficient dominant, noté γ, sans intérêt ici, est en fait le coefficient « qui fait » 1 en αi , soit
Q
γ = 1/ j 6=i (αi − α j ).
On vient donc de montrer x i ∈ Ker (u −αi (λ)I d E ), puis finalement x ∈ Ker (u −α1 (λ)I d E )+· · ·+ Ker (u −αn (λ)I d E )
3 ) Supposons u n diagonalisable. Notons λ1 , . . . , λp ses valeurs propres distinctes. On sait E = Ker (u n − λ1 I d E ) ⊕ . . . ⊕
Ker (u n − λp I d E ). Comme u est inversible, λi 6= 0, on peut donc appliquer la question précédente :
E=
³
´
³ n
´
³
´
p n
n
⊕ Ker (u − αi 1 (λ1 )I d E ) ⊕ . . . ⊕ ⊕ Ker (u − αi p (λp )I d E ) = ⊕ ⊕ Ker u − αi j (λ j )I d E
i 1 =1
i p =1
j =1 i j =1
´
³
Notons que parmi ces ev-noyaux, certains ne sont pas des espaces propres, cad ceux pour lesquels Ker u−αi j (λ j )I d E =
{0}, mais alors ils sont « inutiles » dans la somme , on peut donc les « enlever » et alors E est bien la somme directe
d’espaces propres de u, soit u diagonalisable.
8
CCP PSI 2013 (matrice sans racine carrée)

Enoncé 34
1
1 −1




Soit ϕ ∈ L (R3 ) dont la matrice dans la base canonique est M = 
−1
3
−3


−2 2 −2
1 ) Montrez R3 = Ker ϕ2 ⊕ Ker (ϕ − 2I d ).


0 1 0



2 ) Déterminez une base dans laquelle la matrice de ϕ est T = 
0 0 0.
0 0 2
3 ) Soit g ∈ L (R3 ) tel que g 2 = ϕ. Montrez que Ker ϕ2 est stable par g . En déduire qu’un tel g n’existe pas.
1)

2 2 −2





M2 = 
2 2 −2 
0 0 0
−1 1 −1




M − 2I = 
−1 1 −3
−2 2 −4
Le premier système élementaire donne Ker M 2 = {(x, y, z)|x +y −z = 0} Une base est ((1, −1, 0), (1, 0, 1)). Pour le deuxième :







¯
¯1 1
¯
¯
Une base est (1, 1, 0). Comme ¯¯−1 0
¯
¯0 1
Remarque : En regardant la question
−x + y − z
= 0
−x + y − 3z
= 0
−x + y + −2z
= 0
⇐⇒


x


=
y
y
=
y



z
=
0
¯
1¯¯
¯
1¯¯ 6= 0, la réunion est une base de R3 , et donc (cours) Ker (M 2 ) ⊕ Ker (M −2I ) = R3 .
¯
0¯
d’après, on voit que les valeurs propres sont 0 et 2. 0 est double et on n’a pas ϕ
diagonalisable. Sinon l’énoncé aurait demandé plutôt R3 = Ker ϕ ⊕ Ker (ϕ − 2I d ). En fait dim( Ker ϕ ⊕ Ker (ϕ − 2I d )) =
1 + 1 = 2 < 3. On rappelle la suite itérée des noyaux, en particulier Ker ϕ ⊂ Ker ϕ2 . Ici, l’inclusion ests stricte, et on a
dim( Ker ϕ2 ⊕ Ker (ϕ − 2I d )) = 2 + 1 = 3. Par un raisonnement analogue, laissé au lecteur, X (X − 2) ne peut être annulateur, mais par contre X 2 (X − 2) l’est. C’est d’ailleurs le polynôme caractéristique (à − près), et le plus petit polynôme
annulateur (du point de vue du degré).
2)
Analyse : Si une telle base (e 1 , e 2 , e 3 ) existe, alors ϕ(e 1 ) = 0.e 1 ϕ(e 2 ) = e 1 ϕ(e 3 ) = 2e 3 . d’ou e 3 vecteur propre associé à 2.
Puis ϕ2 (e 2 ) = ϕ(e 1 ) = 0. On a donc e 2 ∈ Ker (ϕ2 ) − Ker (ϕ) et e 1 = ϕ(e 2 )
Réciproque : Avec le calcul de Q1, on prend e 3 = (1, 1, 0), e 2 = (1, 0, 1). On calcule, via la matrice M , ϕ(e 2 ) = (0, −4, −4). Si
ϕ(e 2 ) était nul, on aurait pris l’autre, cad (1, −1, 0). on pose alors e 1 = (0, −4, −4). C’est bien une base de R3 , puisque :
¯
¯
¯ 0 0 1¯
¯
¯
¯
¯
¯
det(e 1 , e 2 , e 3 ) = ¯−4 0 1¯¯ = −4 6= 0
ε
¯
¯
¯−4 1 0¯
Par construction, la matrice de ϕ dans cette base B a la forme voulue.
Remarque : Comme (e 1 , e 2 ) ∈ Ker ϕ2 , B est en fait une base adaptée à la décomposition en somme directe de Q1.
3)
9
Par l’absurde, s’il existe g tel que g 2 = ϕ, comme ϕ2 = g 4 , cad est un polynôme en g , alors ϕ2 et g commutent (ϕ et g
aussi) et d’après le cours, Ker ϕ2 est stable par g ( et d’ailleurs Ker (ϕ − 2I d ) aussi).
Méthode 1 :
En considérant sa matrice G dans une base adaptée à la décomposition en somme directe de Q1, par exemple la base
B , la matrice G de g est nécessairement diagonale par blocs (cours sur les sev stables) d’où :

a
b

G2 = 
c
d
0
0
0
2

2
2
 a b 


0
 =
 c d
e
0
0



e2


a 2 + bc




 ac + cd
= T =⇒

 bc + d 2




ab + bd
= 0
= 0
= 0
= 1
En considérant L 2 et L 4 , on obtient c = 0 et en réinjectant dans L 1 et L 3 , a = d = 0 qui amène l’absurdité dans L 4
Méthode 2 :
En considérant g 0 l’endomorphime induit par g sur Ker ϕ2 , la matrice de g 02 (dans la base (e 1 , e 2 )) est
¡0 1¢
0 0 , matrice
visiblement nilpotente telle que son carré vaut 0. D’où (g 02 )2 = 0. D’où g 0 est nilpotente et comme on est en dimension
2, g 02 = 0. Absurde.
Remarque : On a utilisé le résultat déjà démontré en exercice, que je ne redémontre pas ici, si f est nilpotent en dimension n, on a nécessairement f n = 0. Notez bien que ce n’est pas évident à priori ! Il provient du fait, que si on prend
x ∉ Ker f p−1 , où p est l’indice de nilpotence, alors (x, f (x), . . . , f p−1 (x)) est libre, d’où p ≤ n.
10
Mines-Ponts PSI 2013
Enoncé 41
H(dimension de commutant)


a
b
c

Déterminer la dimension du commutant de A = 
b
a

b
 ∈ M3 (R) .
c
b
a
Pour toute matrice diagonalisable M , dont les valeurs propres sont λi 1 ≤ i ≤ p ≤ n de multiplicité m i , la dimension
Pp
du commutant est i =1 m i2 . En effet, comme M N = N M =⇒ P DP −1 N = N P DP −1 =⇒ D(P −1 N P ) = (P −1 N P )D, cela
revient à chercher la dimension de l’ev des matrices commutant avec D. On raisonne par blocs, en nommant D i = λi I mi
le bloc d’ordre m i et possédant des λi sur la diagonale. Malgré les apparences, les blocs n’ont pas tous la même taille, et
les blocs qui ne sont pas sur la diagonale peuvent ne pas être carrés :

D1
0
...










0
..
.
..
.
D2
..
.
0
..
.
..
.
..
.
..
.
0
...
...
0
⇐⇒ ∀ 1 ≤ i , j ≤ p,
...

0 C 11

0 
C 21



  ..
 .

 .
.
0 

 .
Dp
C p1
C 12
...
...
C 22
..
.
..
...
...
.
 
C 1p
C
  11
..  

. 
 C 21

..  
..
. =
 .
 
..   ..

. 
  .
C pp
C p1
C 12
...
...
C 22
..
.
..
...
...
.

C 1p D 1

..  
0
. 

 .
 .
.. 

.
. 


..   ..
.
. 

0
C pp
0
...
D2
..
.
0
..
.
..
.
..
.
..
.
...
0
...
...
0


0 






0 

Dp
D i C i j = C i j D j ⇐⇒ λi I mi C i j = λ j C i j I m j ⇐⇒ (λi − λ j )C i j = 0 ⇐⇒ ∀ i 6= j , C i j = 0
Les matrices qui commutent sont donc des matrices diagonales par blocs dont les blocs diagonaux C i i sont de taille m i ,
à m i2 coefficients indéterminés.
En revenant à l’exo, la matrice étant diagonalisable puisque symétrique réelle, les multiplicités possibles des valeurs
propres sont, à priori, (1, 1, 1), (1, 2) ou 3 qui « donnent » respectivement comme multiplicité du commutant 3, 5 ou 9.
Notons que le dernier cas correspond à une matrice à une seule valeur propre (notée λ) diagonalisable, qui ne peut-être
que λI . Onsait alors que tout M3 (R) commute avec I et on retrouve bien la dimension 9. Dans cet exo, ce cas arrive pour
b = c = 0. Donc on suppose désormais b 6= 0 ou c 6= 0. On a alors que dim com (A) = 3 ssi toutes les valeurs propres sont
distinctes (sinon c’est 5). On calcule d’abord le polynôme caractéristique (calcul laissé au lecteur) :
χ A = −X 3 + 3aX 2 + (c 2 + 2b 2 − 3a 2 )X − (c 2 a − a 3 + 2ab 2 + c 3 − 2cb 2 )
Méthode 1 :
On remarque que a − c est valeur propre, puisque, en posant X = (1, 0, −1) 6= 0, AX = (a − c)X . On divise alors χ A par le
polynôme X − a + c et on arrive (au signe près) : Q(X ) = X 2 − (2a + c)X + a 2 + c a − 2b 2 . On calcule ∆ = c 2 + 8b 2 6= 0. Ces
deux racines sont donc distinctes. Il y a une valeur propre double ssi :
Q(a − c) = 0 ⇐⇒ (a − c)2 − (2a + c)(a − c) + a 2 + c a − 2b 2 = 0 ⇐⇒ 2c 2 − 2b 2 = 0 ⇐⇒ b = ±c
Conclusion : b = c = 0 : dim com A = 9 b = ±c 6= 0 : dim com A = 5 sinon dim com A = 3
Méthode 2 : (si on n’a pas remarqué de valeur propre)
Les valeurs propres de A sont distinctes ssi le polynôme caractéristique P = χ A n’a aucune valeur propre (au moins)
double, cad ssi P et P 0 n’ont aucune valeur propre en commun ssi le pgcd P ∧P 0 = 1. On rappelle, pour les calculs suivants,
que si A = BQ + R, alors A ∧ B = B ∧ R et que A ∧ B = αA ∧ βB (α, β 6= 0). On calcule, en diminuant successivement les
11
degrés, comme une division euclidienne, sauf qu’on « adapte » les coefficients dominants au fur et à mesure :
P = −χ A = X 3 − 3aX 2 + (−c 2 − 2b 2 + 3a 2 )X + (c 2 a − a 3 + 2ab 2 + c 3 − 2cb 2 )
P 0 = 3X 2 − 6a X + (−c 2 − 2b 2 + 3a 2 )
Q = 3P − X P 0 = −3aX 2 + 2(−c 2 − 2b 2 + 3a 2 )X + 3(c 2 a − a 3 + 2ab 2 − 2cb 2 )
´
1³
R = − aP 0 +Q = (c 2 + 2b 2 )X + (3cb 2 − 2ab 2 − ac 2 )
2
a6=0
z}|{
P ∧ P 0 = 3P ∧ P 0 = P 0 ∧ Q = aP 0 ∧ Q = Q ∧ R. Comme on est arrivé à un polynôme du premier degré (R), le pgcd vaut 1
(ou ils n’ont pas de racine complexe en commun) ssi sa racine n’est pas racine de « l’autre ».
³
´
2
2
+ac 2
En résumé P a une racine (au moins) double ssi Q(α) = Q −3cb c+2ab
6= 0 On note ω = c 2 + 2b 2
2 +2b 2
¶2
³
´µ
³
´
2
2
2¶
−3cb 2 + 2ab 2 + ac 2
2
2
2 −3cb + 2ab + ac
2
3
2
2
+
2
−
c
−
2b
+
3a
+
3
c
a
−
a
+
2ab
−
2cb
Q(α) = −3a
c 2 + 2b 2
c 2 + 2b 2
³
´
1
= 2 − 3a(−3cb 2 + aω)2 + 2ω(3a 2 − ω)(−3cb 2 + aω) + 3ω2 (−a 3 + aω − 2cb 2 )
ω
´
´
a ³
1 ³
= 2 a(ω3 − 27c 2 b 4 ) = 2 (c 2 + 8b 2 )(b + c)2 (b − c)2
ω
ω
µ
On retrouve bien le cas b = ±c.
Remarques :
• Il y a un « outil » pratique pour les polynômes, mais qui n’est pas au programme qui est le résultant noté R. On
a R(P,Q) = 0 ⇐⇒ P,Q ont une racine complexe en commun. Maple donne immédiatement par la commande
factor(resultant(P,diff(P,X),X)); −4(c 2 + 8b 2 )(−c + b)2 (b + c)2
• Pour une matrice diagonalisable, le cas dim com A = n (ici 3) correspond au cas où toutes les valeurs propres sont
simples mais aussi au cas où toutes les matrices qui commutent avec A peuvent s’écrire comme des polynômes en
A. Par le théorème de Cayley 3 -Hamilton 4 , dès que la dimension du commutant dépasse strictement n, il existe
des matrices commutant avec A qui ne peuvent pas s’écrire comme un polynôme en A.
3. Arthur Cayley : mathématicien anglais (1821-1895). Un des inventeurs du calcul matriciel.
4. William Rowan Hamilton : mathématicien irlandais (1805-1865). Connu pour la découverte des quaternions.
12
CCP PSI 2013-2011 (base de l’espace des polynômes)
Enoncé 48
Soient n ≥ 2 et pour 0 ≤ k ≤ n, P k = X k (1 − X )n−k .
1 ) Montrez que (P 0 , . . . , P n ) est une base de Rn [X ].
2 ) Exprimez (1, X , . . . , X n ) dans la base prédédente.
1 ) (P 1 , . . . , P n ) est une base de Rn [X ] car :
• Ses éléments sont bien dans R n [X ] puisque deg P i = n ≤ n.
• Le cardinal de la famille est bien égal à n + 1 = dim Rn [X ]
• La famille est libre :
Méthode 1 : Prenons une famille de scalaires (α1 , . . . , αn ) telle que α0 P 0 + · · · + αn P n = 0. Après avoir constaté que
P k (0) = 0, sauf pour k = 0, on prend la valeur en X = 0, il vient α0 = 0. On arrive à :
α1 P 1 + . . . λn P n = X (α1 (1 − X )n−1 + α2 X (1 − X )n−2 + · · · + αn X n−1 (1 − X )0 ) = 0
On « divise » par X et on prend à nouveau X = 0 qui amène à α1 = 0. On réitère ce processus et à la n − 1 étape, on
arrive à X (αn−1 (1 − X ) + αn X ) = 0 qui amène αn−1 = αn = 0.
Ã
!
n−k
X
n
−
k
i
(−1)
Méthode 2 : Par le binôme de Newton 5 P k =
X k+i . Il suit que la matrice de passage Q de la base
i
i =0
(1, X , . . . , X n ) à la famille (P 1 , . . . , P n ) est triangulaire inférieure (la kième colonne « commence » à X k ) et que les
¡
¢
éléments sur la diagonale sont (−1)0 n−k
0 = 1. Donc detQ = 1 6= 0.
2)
Méthode 1 : En appelant B = (P 1 , . . . , P n ) et ε la base canonique de Rn [X ], on a déjà vu Q = P εB . Les coordonnées de la
base canonique dans la base B sont obtenues par les colonnes de P εB = Q −1 . On inverse donc la matrice triangulaire inX
):
férieure Q. On remarque que la matrice Q correspond aussi à la matrice de l’endomorphisme ϕ : P (X ) → (1−X )n P ( 1−X
X k
en effet, la k + 1-ième colonne correspond ϕ(X k ) = (1 − X )n ( 1−X
) = P k ! On vérifie immédiatement que ϕ−1 est l’endoX
morphisme ζ : P (X ) → (1 + X )n P ( 1+X
), puisque
ζ(P k ) = (1 + X )n
õ
X
1+ X
¶k µ
µ
¶¶n−k !
X
Xk
1n−k
1−
= (1 + X )n
= Xk
1+ X
(1 + X )k (1 + X )n−k
Les colonnes de la matrice inverse s’obtiennent donc, de manière similaire, par le développement de X k (1 + X )n−k =
Pn−k ¡n−k ¢ k+i
. Les coordonnées de X k dans la base B sont donc, par le même raisonnement à l’envers, ces coefficients,
i =1
i X
soit :
k
X =
n−k
X
Ã
i =0
!
Ã
!
n n −k
X
n −k
P k+i =
Pi
i
i =k i − k
5. Isaac Newton : anglais (1643-1727). Partage avec Leibniz la découverte du calcul infinitésimal. Connu pour la formule du binôme et la
méthode éponyme d’approximation des zéros d’une fonction.
13
CCP PSI 2013 (matrice de rang 1)
Enoncé 57
Soit H une matrice carrée complexe de rang 1.
1 ) Montrez qu’il existe une matrice colonne A et une matrice ligne B telles que H = AB .
2 ) Montrez H 2 = tr (H )H .
3 ) Donnez le polynôme caractéristique de H .
4 ) Donnez une condition nécessaire ou suffisante pour que H + I n soit inversible. Donnez alors son inverse.
1 ) On rappelle d’abord que si X , Y sont des matrices colonnes, alors t X Y désigne le réel (matrice 1 × 1) produit scalaire
Pn
k=1
x k y k , alors que, au contraire, X tY désigne une matrice n × n dont le coefficient d’indice (i , j ) est x i y j (c’est une
simple application de la formule-produit déjà fait en cours et que je ne refais pas ici, il est dans un de mes corriges). C’est
d’ailleurs même une matrice de rang ≤ 1, puisque toutes les colonnes sont colinéaires à X (en fait le rang est 0 ssi X = 0
ou Y = 0)
Revenons à notre exo. Si H est de rang 1, toutes les colonnes sont colinéaires à un vecteur A ∈ Rn , cad C j = b j A. Le
coefficient (i , j ) de H est égal à a i b j , cad correspond au coefficient de la matrice A tB 0 , où B 0 est la matrice colonne de
coefficients (b i ). En posant B = tB 0 , on a bien une matrice-ligne et le résultat est acquis.
2)
Méthode 1 (plus élégante) :
0
H 2 = AB AB = A |tB{z
A} tB 0 = (A|B 0 )A tB 0 =
(A|B 0 )
can
n
X
a i b i H = tr (H )H
k=1
Méthode 2 (plus calculatoire) :




a1 b1
a2 b1
...
...
an b1
v a1 b1
v a2 b1
...
...
v an b1


 a1 b2
H =
 ..
 .

a1 bn
a2 b2
..
.
...
...
v a2 b2
..
.
...
...
a2 bn
...
...




an b2 
 v a1 b2
 =⇒ H 2 = 
.. 
 ..
 .
. 


v a1 bn
an bn
v a2 bn
...
...


v an b2 

..  = v H = tr (H )H
. 

v an bn
h i
³X
´
n
n
n
X
X
P
où on a utilisé la formule-produit : H 2
=
ai k ak j =
ai bk ak b j =
a k b k a i b j et posé v = nk=1 a k b k = tr (H ).
ij
k=1
k=1
k=1
3 ) Comme rg H = 1, par le théorème du rang, dim Ker H = n − 1 et donc 0 est valeur propre de multiplicité au moins
n − 1. La valeur propre « manquante » (qui peut être 0) est obtenue par la trace : tr (H ) = (n − 1) × 0 + λ =⇒ λ = tr (H ) Le
polynôme caractéristique est donc χH (x) = (−1)n X n−1 (X − tr (H )).
4 ) Selon le cours, H + I n = H − (−1)I n est inversible ssi -1 n’est pas valeur propre de H ssi tr (H ) 6= −1 (puisque c’est la
seule valeur propre (éventuellement) non nulle).
On cherche alors, usuellement, son inverse sous la forme I n + λH . Il vient :
I n = (H + I n )(λH + I n ) = λH 2 + (1 + λ)H + I n = (1 + λ + λ tr (H ))H + I n ⇐⇒ λ =
14
−1
1 + tr (H )
CCP PSI 2013 (minimum lié à un endomorphisme symétrique positif )
Enoncé 75
Soit f un endomorphisme symétrique de Rn euclidien de valeurs propres strictement positives.
1 ) Prouvez qu’il existe une base orthonormée B dans la quelle la matrice est diagonale.
2 ) Prouvez que ∀ x ∈ Rn , < f (x), x > est strictement positif.
1
3 ) Soit u un vecteur fixé de Rn . Montrez que g définie par g (x) = 2 < f (x), x > − < u, x > est de classe C 1 et exprimez
les dérivées partielles de g en fonction des vecteurs de la base B . Montrez que g admet un unique point critique en c et
qui est un minimum global.
1 ) Endomorphisme symétrique réel, cours. . .
2 ) f étant un endomorphisme symétrique, il existe une base orthonormée (e 1 , . . . , e n ) de vecteurs propres de E . f (e i ) =
λi e i , avec λi ≥ 0 par hypothèse. Tout vecteur x ∈ Rn s’écrit x = α1 e 1 + · · · + αn e n . Par suite :
³
à Ã
!
! Ã
!
¯ ´
¯ X
¯ X
n
n
n
n
X
X
¯
¯
¯
f (x) ¯ x = f
αi e i ¯
αj e j =
αi f (e i ) ¯
αj e j
i =1
Ã
=
n
X
i =1
j =1
i =1
j =1
!
¯ X
³ ¯ ´ X
n
n
X
X
¯
¯
αi λi e i ¯
α j e j = αi α j λi e i ¯ e j = αi α j λi δi j =
λi α2i ≥ 0
j =1
i,j
i,j
3 ) L’application f linéaire est C ∞ sur Rn , et le produit scalaire (x, y) →
i =1
³ ¯ ´
¯
x ¯ y est aussi C ∞ en tant qu’application
bilinéaire. Par suite l’application g est C ∞ , donc C 1 sur Rn .
Méthode 1 : On se place dans la BON vue plus haut et on raisonne analytiquement, cad par les coordonnées. On va
appeler, par abus de langage, g cette application. u est de coordonnées (u i ). On a alors
g (x) = g ∗ (x 1 , . . . , x n ) =
n
n
X
1 X
λk x k2 −
uk xk
2 k=1
k=1
=⇒
³ ¯
´
∂g
¯
(x) = λi x i − u i = e i ¯ f (x) − u
∂x i
On rappelle que la ième coordonnée de z dans une BON est donnée par (e i |z). Les points critiques sont définis par les
dérivées partielles nulles. D’autre part, toutes les valeurs propres de f étant non nulles, f est un isomorphisme. Il vient,
pour tout 1 ≤ i ≤ n, (e i | f (x) − u) = 0, soit, comme toutes ses coordonnées sont nulles, f (x) − u = 0, soit c = x = f −1 (u).
Notons que c a pour coordonnées
1
λi
u i . Pour vérifier que c est un minimum global, on vérifie g (x) − g (c) ≥ 0 :
n
n
n
n u2
X
u2 X
1 X
1 X
k
λk x k2 −
uk xk −
λk 2k +
2 k=1
2
λ
λ
k=1
k=1
k=1 k
Ã
!k
2
³
´2
n
n
n
n
X
X uk
1 X
1 X
1
=
λk x k2 − 2
uk xk +
=
λk x k −
uk ≥ 0
2 k=1
2 k=1
λk
k=1
k=1 λk
g (x) − g (c) =
Méthode 2 : f étant linéaire, ∀ x ∈ Rn , d f (x) = f et, pour toute application bilinéaire B , et applications différentiables
k, h d [B (k(.), h(.)](x) : y → B (d k(x)(y), h(x)) + B (k(x), d h(x)(y)). Par suite :
d g (x)(y) =
¯ ´
¯ ´ 1³
¯
¯ ´ 1³
¯ ´ ³ ¯ ´ ³
´ ³ ¯ ´ 1³
1³
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
d f (x)(y) ¯ x +
f (x) ¯ d I d (x)(y) − u ¯ y =
f (y) ¯ x +
f (x) ¯ y − u ¯ y = f (x) − u ¯ y
2
2
2
2
On a utilisé f endomorphisme symétrique. Les points critiques c sont obtenus par d g (c) application nulle, ce qui amène
f (c) − u = 0, soit c = f −1 (u) car f isomorphisme comme déjà vu plus haut.
15
¯ ´ 1³
¯
´ ³ ¯ ´ ³ ¯
´
1³
¯
¯
¯
¯
f (x) ¯ x −
f ( f −1 (u)) ¯ f −1 (u) − u ¯ x + u ¯ f −1 (u)
2
2
¯ ´ 1³
¯
´ ³ ¯ ´
1³
¯
¯
¯
f (x) ¯ x +
f ( f −1 (u)) ¯ f −1 (u) − u ¯ x
=
2
2
¯
¯
¯ ´ ³ ¯ ´
´ 1³
´ 1³
1³
¯
¯
¯
¯
f (x − f −1 (u)) ¯ x − f −1 (u) +
f (x) ¯ f −1 (u) +
f ( f −1 (u)) ¯ x − u ¯ x
=
2
2
2
¯
¯ ´ ³ ¯ ´
´ 1³ ¯
´ 1³
1³
¯
¯
¯
¯
f (x − f −1 (u)) ¯ x − f −1 (u) +
x ¯ f ( f −1 (u)) +
f ( f −1 (u)) ¯ x − u ¯ x
=
2
2
2
{z
}
|
g (x) − g ( f −1 (u)) =
0
¯
´
1³
¯
f (x − f −1 (u)) ¯ x − f −1 (u) ≥ 0
=
2
16
Centrale PSI 2013 (produits vectoriels)
Enoncé 78
Soit a, b ∈ R3 . On note f a : x ∈ R3 → a ∧ x.
1 ) Trouvez l’adjoint de f a et f a ◦ f b .
2 ) Donnez une condition nécessaire et suffisante pour que f a ◦ f b soit auto-adjoint.
3 ) Calculez f a ◦ f b (a) et f a ◦ f b (a ∧ b).
4 ) L’endomorphisme f a ◦ f b est-il diagonalisable ?
1 ) On rappelle (cours) une des propriétés du produit vectoriel, où det définit le produit mixte (cad le déterminant dans
une base orthonormée directe) : (x ∧ y|z) = det(x, y, z). Il vient
∀ x, y ∈ E ,
³
¯ ´
³
´
³
´ ³ ¯
´ ³ ¯
´
¯
¯
¯
f a (x) ¯ y = det a, x, y = − det x, a, y = x ¯ − a ∧ y = x ¯ − f a (y)
On a donc f a∗ = − f a , cad f a endomorphisme antisymétrique. Des propriétés sur l’adjoint : ( f a ◦ f b )∗ = f b∗ ◦ f a∗ = f b ◦ f a .
2)
( f a ◦ f b )∗ = f b ◦ f a = f a ◦ f b ⇐⇒ ∀ x ∈ E , a ∧ (b ∧ x) = b ∧ (a ∧ x)
⇐⇒ (a|x)b − (a|b)x = (b|x)a − (b|a)x ⇐⇒ ∀ x ∈ E , (a|x)b = (b|x)a
En prenant x 6∈ Ra ⊥ , on arrive à (a, b) lié. Réciproquement si (a, b) lié, par exemple a colinéaire à b (cad a = λb), alors
f a ◦ f b = λ f a2 est bien un endomorphisme symétrique.
Remarques :
• On a utilisé la formule du double-produit vectoriel : x ∧ (y ∧ z) = (x|z)y − (x|y)z.
³
´
³
´
a
, comme a ∧ (a ∧ x) = (a|x)a − kak2 x = −kak2 x − (a 0 |x)a 0 = −kak2 I d − p Ra 0 (x), on reconnaît
• En posant a 0 = kak
en λ f a2 , une application colinéaire (cad la composée d’une homothétie) à la projection orthogonale sur (Ra)⊥
3)
³
³
´
f a ◦ f b (a) = a ∧ (b ∧ a) = kak2 b − (a|b)a
´
³
´
³
´
f a ◦ f b (a ∧ b) = a ∧ b ∧ (a ∧ b) = a ∧ kbk2 a − (b|a)b = −(b|a)a ∧ b
4 ) Si (a, b) lié, comme vu plus haut, c’est un endomorphisme symétrique réel, donc diagonalisable sur R. Si (a, b) est
libre, en utilisant la base directe (a, b, a ∧ b) et les calculs de la question précédente, la matrice de f a ◦ f b est

−(a|b) 0

2
M =
 kak
0
0
0

0



0 −(a|b)
On constate une valeur propre double −(a|b), et comme immédiatement, rg (M +(a|b)I 3 ) ≤ 1, M donc l’endomorphisme
f a ◦ f b est diagonalisable.
Remarque : f a comme tout endomorphisme antisymétrique réel ou toute matrice antisymétrique réelle, n’est pas diagonalisable sur R, pusque la seule valeur propre réelle possible est 0. Par contre, il est diagonalisables sur C, mais ce n’est
pas du cours. Notons aussi que de f a et f b diagonalisables, on ne peut pas déduire f a ◦ f b diagonalisable.
17
CCP PSI 2013 (matrice de projection orthogonale)
Enoncé 91
On munit R4 de sa structure euclidienne canonique. On note F l’espace d’équations x + y + z + t = 0 et
x − y + z − t = 0.
1 ) Déterminez une base orthonormée de F .
2 ) Donnez la matrice dans la base canonique de la projection orthogonale sur F .
1)

 x +y +z +t
 x −y +z −t
= 0
= 0


x




 y
⇐⇒


y




t
= −z
=
−t
=
y
=
t
(u, v) avec u = (1, 0, −1, 0) et v = (0, 1, 0, −1) est donc une base de F . Le principe est alors d’orthonormaliser paar le principe de Gram 6 (je vous conseille de bien le réviser), mais ici ce n’et pas nécessaire puisque la base est déjà orthogonale.
´
³
Il suffit de normer. p1 u, p1 v est une BON de F .
2
2
2 ) Pour calculez la matrice de p dans la base canonique (donc orthonormée ici) il faut et il suffit de calculer ses images
par p. On dispose d’une formule, qui n’est pas toujours applicable à cause du coût de calcul de la BON de F , mais ici,
elle est déjà calculée. . .On a donc p(x) = 21 (u|x)u + 12 (v|x)v et on l’applique aux 4 vecteurs εi de la base canonique de R4 .
Le calcul est très aisé, je ne donne que le résultat :

p(1, 0, 0, 0) = 21 (1, 0, −1, 0)
p(0, 1, 0, 0) = 21 (0, 1, 0 − 1)
p(0, 0, 1, 0) = 12 (−1, 0, 1, 0)
p(0, 0, 0, 1) = 12 (0, −1, 0, 1)
1
0

1
1
0
Mat (p, ε) = 
2 −1 0

0 −1

−1
0
0

−1


0

1
1
0
Remarque : La matrice est symétrique ce qui était « prévisible » puisque une projection orthogonale est un endomorphisme symétrique et la base utilisée est orthonormée.
6. Jorgen Pedersden Gram : mathématicien danois (1850-1916).
18
Mines-Ponts PSI 2013 (division euclidienne)
Enoncé 102
Déterminer le polynôme P ∈ R[X ] de degré minimum tel que le reste dans la division euclidienne de P
par X 2 + X + 1 soit X − 1/2 et que le reste dans la division euclidienne par X 2 − X + 1 soit −X + 2
On va utiliser les congruences plus efficaces quand on ne s’intéresse pas au quotient. Rappelons la notation :
A = BQ + R ⇐⇒ A ≡ R (Q). Elle est stable par + (rp. par ×) puisque A = BQ + R et A 0 = B 0Q + R 0 =⇒ A + A 0 = (B + B 0 )Q +
(R + R 0 ) (rp. A A 0 = B B 0Q + RB 0 + R 0 B )Q + (RR 0 )). Le reste dans la division euclidienne par Q se prouve en rajoutant la
condition de degré.
Analyse :
P (X ) ≡ X − 21 (X 2 + X + 1) et P (X ) ≡ −X + 2 (X 2 − X + 1) , puis par « opposition »,
P (−X ) ≡ −X − 12 (X 2 − X + 1) et P (−X ) ≡ X + 2 (X 2 + X + 1) et par « addition » ,
´
1³
3
P (X ) + P (−X ) ≡ X +
2
4
´
1³
5
P (X ) − P (−X ) ≡ −
2
4
(X 2 + X + 1)
(X 2 + X + 1)
Rappelons que ces deux quantités désignent la partie paire et la partie impaire de P , cad que les puissances paires et
que les puissances impaires de P . Ensuite :
1≡1
(X 2 + X + 1)
X 2 ≡ −X − 1
(X 2 + X + 1) =⇒ −X 2 −
1
3
1
≡ −(−X − 1) − ≡ X +
4
4
4
(X 2 + X + 1)
Et −X 2 − 41 est aussi le plus petit polynôme pair vérifiant cette congruence, puisque le degré 0 est clairement impossible.
De même, on prouve que − 54 X 3 est le plus petit polynôme impair vérifiant l’autre congruence (degré 1 étant impossible) :
X ≡X
(X 2 + X + 1)
X 3 = (X − 1)(X 2 + X + 1) + 1 ≡ 1
5
5
(X 2 + X + 1) =⇒ − X 3 + 0X ≡ −
4
4
Réciproque :
5
1
Par construction, P (X ) = − X 3 − X 2 − est le polynôme de plus petit degré vérifiant :
4
4
5 ³
3´
1
P (X ) ≡ − + X + ≡ X −
4
4
2
(X 2 + X + 1)
Vérifions l’autre congruence, ou la division euclidienne par X 2 − X − 1. On calcule aisément :
P (X ) = −
´
´³
´
1³
1³ 3
5X + 4X 2 − 1 = − 5X + 9 X 2 − X − 1 + 2 − X
4
4
19
(X 2 + X + 1)
2 Analyse
Centrale PSI 2013 (series entieres à termes récurrents imbriqués)
Enoncé 111 Soient (un ) et (v n ) les suites complexes définies par u0 = v 0 = 1 et ∀ n ≥ 0,

 u
+∞
+∞
X
X
un − v n
n+1 =
. Soient u(x) =
u n x n et v(x) =
vn xn .
 v n+1 = u n − 2v n
n=0
n=0
Déterminez le rayon de convergence de u et v et calculez leur somme.

X n+1 = AX n
avec X n = 
un


vn
 
1
 d’ou X n =   = A n X 0 = A n  
A=
vn
1
1 −2

1 −1


On calcule χ A (λ) = λ2 − tr (A)λ + det(A) = λ2 + λ − 1. Les valeurs propres sont
un

p
−1± 5
2
notées α < 0 < β.
Méthode 1 sans calcul explicite de u n et v n :
Sans qu’il soit besoin de calculer les vecteurs propres, on en déduit u n = λαn +µβn , puis u(x) = λ
+∞
X
αn x n +µ
n=0
+∞
X
βn x n .
n=0
1
1
Comme u(x) est la somme de deux séries entières géométriques de rayons respectif |α|
et |β|
, comme ces valeurs sont
µ
¶
1 1
1
2
distinctes, on sait (cours) que le rayon de u(x) vaut alors R = inf
,
=
=
p sauf si λ = 0. Idem pour v n .
|α|
|β|
|α|
1+ 5
p
(remarquons quand même que
1
|α|
=
2p
1+ 5
=
5−1
2
= |β|!, normal puisque αβ = −1).
Toujours en voulant éviter de calculer explicitement u n et v n . Il est usuel que pour un endomorphisme f diagonalisable
de valeurs propres λ1 , . . . , λp , on a f n = λn1 p 1 +· · ·+λnp p p , où les p i désignent les projections associées à la décomposition
en somme directe sur les espaces propres (cours sur les sommes directes). En revenant à l’exo, si f est l’endomorphisme
canoniquement associé à A, f n = αn p 1 + βn p 2 . L’un des λ (de u n ou v n ) est nul ssi le vecteur p 1 (1, 1) a une coordonnée
nulle. Comme ce vecteur appartient à l’espace propre (droite) associé à la valeur propre α, λ = 0 ssi ce vecteur propre a
une coordonnée non nulle ce qui équivaut à l’un des deux vecteurs de la base canonique vecteur propre. On voit tout de
suite sur la matrice que non, donc on a bien R =
2p
1+ 5
´
X
1³
1 +∞
u n+1 x n+1 = u(x) − 1
x n=0
x
n=0
n=0
³
´
+∞
X
X
1 +∞
1
u(x) − 2v(x) =
(u n − 2v n )x n =
v n+1 x n+1 = v(x) − 1
x
x
n=0
n=0
u(x) − v(x) =
+∞
X
(u n − v n )x n =
+∞
X
u n+1 x n =
¤
£
Pour x ∈ − R, R et x 6= 0, par résolution élémentaire d’un système 2 × 2 :


(x − 1)u(x) − xv(x)
= −1
 xu(x) + (−1 − 2x)v(x) = −1
⇐⇒ u(x) =
−1 − x
x2 − x − 1
v(x) =
−1
x2 − x − 1
(vrai pour x = 0)
Méthode 2 par calcul explicite :
p
p
On calcule aisément les vecteurs propres Ker (A − αI 2 ) = Vect (2, 3 + 5) et Ker (A − βI 2 ) = Vect (2, 3 − 5), puis :


n
2
2
α
p
p 
3+ 5 3− 5
0
|
{z
}
Xn = 
P
p
p
0
( 5 − 3)αn + ( 5 + 3)βn
1
−1
 P X0 = p 
2 5
βn
2βn − 2αn

20
 
2α − 2β
1
 
p
p
n
n
(3 + 5)α + ( 5 − 3)β
1
n
n
´
p
p
1 ³
u n = p (−1 + 5)αn + ( 5 + 1)βn
2 5
´
p
p
1 ³
v n = p (1 + 5)αn + ( 5 − 1)βn
2 5
Le calcul du rayon de convergence se fait par sommation de deux séries entières géométriques comme plus haut, soit,
³
´
1
1
1
pour les deux séries entières R = inf |α|
, |β|
= |α|
= 2p Le calcul de u et v sera fait ici par les séries géométriques :
1+ 5
p
p
p
p
X n n −1 + 5 +∞
X n n 1+ 5 1
−1 + 5 1
1 + 5 +∞
α x +
β x = p
+
v(x) = p
p
p
2 5 n=0
2 5 n=0
2 5 1 − αx
2 5 1 − βx
p
p
p
×( 5±1)
p2
p2
2
−1 + 5
2
1+ 5
z}|{
5
5
+
=
+
= p
p
p
p
p
p
2 5 2 + (1 + 5)x
2 5 2 + (1 − 5)x
2x + 5 − 1 −2x + 1 + 5
p
p
p
p
−1 + 5 1
1+ 5 1
−1 + 5
2
1+ 5
2
u(x) =
+ p
=
+ p
p
p
p
p
2 5 1 − αx
2 5 1 − βx
2 5 2 + (1 + 5)x
2 5 2 + (1 − 5)x
p3
5
p3 + 1
−1
5
=
+
p
p
2x + 5 − 1 −2x + 1 + 5
Remarque : On a en fait ici la décomposition en éléments simples des valeurs de u et v trouvées par la première méthode.
21
Centrale PSI 2013 (inegalite sur les sommes partielles)
Enoncé 112
n
X
u k où (u n ) est une suite réelle à termes positifs.
¶
1
P
∗
On suppose ∀ n ∈ N , S 2n ≤ 1 +
S n . Montrez que la série u n converge.
n
Soit S n =
k=0
µ
Le cas de la suite nulle étant évident, on suppose le contraire. les S n étant alors strictement positifs à partir d’un certain
rang, l’inégalité s’écrit aussi, en vertu de l’inégalité de convexité bien connue ∀ x > −1, ln(1 + x) ≤ x :
µ
¶
1
1
0 ≤ ln(S 2n ) − ln(S n ) ≤ ln 1 +
≤
n
n
p−1
p−1
X
X 1
1
1
≤
=⇒ ln(S 2p n ) − ln(S n ) =
(ln(S 2k+1 n ) − ln(S 2k n )) ≤
k
n
1
−
1/2
k=0
k=0 2 n
Comme ln(S n ) est croissante par positivité des u n , pour tout m ≥ n entiers, en posant p un entier tel que 2p ≥
0 ≤ ln(S m ) − ln(S n ) ≤ ln(S 2p n ) − ln(S n ) ≤
m
n
:
2
n
Le critère de Cauchy 7 étant vérifié, la suite ln(S n ) converge, puis, par composition de limites avec l’exponentielle, la
P
suite des sommes partielles S n converge, cad la série u n converge.
7. Augustin-Louis Cauchy : français (1789-1857). Oeuvre considérable, plus de 700 mémoires. A l’origine de l’Analyse moderne par rigorisation
des limites et de la continuité. Travaux en théorie des fonctions d’une variable réelle et complexe et en théorie des groupes.
22
Mines-Ponts PSI 2013 (série à terme défini par récurrence)
Enoncé 125
On s’intéresse à la suite définie par a 0 > 0 et a n+1 = 1 − e −an .
1 ) Etudiez la convergence de cette suite.
2 ) Déterminer la nature de la série de terme général (−1)n a n .
2
3 ) Déterminez la nature de la série de terme général a n
.
4 ) Etudiez la série de terme général ln
³
a n+1
an
´
. En déduire la nature de la série de terme général a n .
1 ) On a a n+1 = f (a n ) avec f (x) = 1 − e −x . On étudie cette suite récurrente usuellement. Comme f 0 (x) = e −x ≥ 0, f est
croissante et donc (a n ) monotone, puisque :
sgn (a n+1 − a n ) = sgn ( f (a n ) − f (a n−1 )) = sgn (a n − a n−1 ) = · · · = sgn (a 1 − a 0 ) = sgn ( f (a 0 ) − a 0 )
En posant g (x) = f (x) − x, g 0 (x) = e −x − 1 ≤ 0 sur R+ . Comme a 0 > 0, il vient g (u 0 ) ≤ g (0) = 0, soit la suite (a n ) est
décroissante. Comme a n ≥ 0, a n ) est minorée donc converge. Sa limite ` vérifie f (`) = ` ⇐⇒ g (`) = 0 ⇐⇒ ` = 0. Donc
lim a n = 0.
2 ) Par la question Q1 et le critère CSSA, la série alternée
P
(−1)n a n est immédiatement convergente.
3 ) Comme a n → 0, un petit développement asymptotique amène :
1
1
a n+1 = a n − a n2 + o(a n2 ) =⇒ (a n+1 − a n ) ∼ − a n2
2
2
n
X
P
(a k+1 − a k ) = a n+1 − a 0 → −a 0 . Ceci prouve que la série (a n+1 − a n ) converge et de sa négativité (cad signe
k=0
P
constant), il résulte par le critère d’équivalent, que la série a n2 converge.
Or,
4)
!
Ã
µ
¶
¶
n a
Y
a k+1
a n+1
k+1
ln
Sn =
= ln
−→ −∞
= ln
ak
a0
k=0
k=0 a k
³
´
diverge donc. En reprenant le développement vu plus haut :
La série de terme général ln aan+1
n
n
X
µ
µ
ln
¶
³
´
a n+1
1
1
= ln 1 − a n + o(a n ) ∼ − a n
an
2
2
Du critère d’équivalent appliqué à une série de terme de signe constant, il résulte que la série
23
P
a n diverge.
Centrale PSI 2013 (séries entière aux bornes)
+∞
X
+∞
X
¶
µ
1 n
ln 1 −
ln nx et g : x →
x .
On pose f : x →
n
n=2
n=2
Enoncé 132
n
1 ) Déterminez les rayons de convergence de f et g .
2 ) Montrez que g est définie et continue sur
£
£
− 1, 1 .
3 ) Trouvez une relation entre (1 − x) f (x) et g (x).
4 ) Montrez que f est continue sur
£
− 1, 1
£
et trouvez des équivalents de f et g en 1.
1 ) En appliquant la formule d’Alembert 8 ppour les séries numériques, on obtient immédiatement que le rayon de
convergence vaut R = 1 pour les deux séries entières. On pose u n = ln nx n :
¯
¯
¯ u n+1 ¯ ln(n + 1)|x|n+1 ln n
¯
¯
∼
|x| −→ |x|
¯ u ¯=
n→+∞
ln n|x|n
ln n
n
P
• Si |x| < 1, alors la série numérique ln nx n converge absolument, donc converge, d’ou R ≥ 1
P
• Si |x| > 1, alors la série ln nx n diverge grossièrement, d’où R ≤ 1.
Raisonnement identique pour l’autre série entière.
¶
µ ¶
µ
−(−1)n
1
1
=
+O 2
2 ) Un petit développement limité amène la convegence de la série g (−1) : (−1) ln 1 −
n
n
n
¤
Par théorème sur les séries entières, on sait que les deux fonctions-sommes f et g sont continues sur (au moins) −
£ ¤
£
£
£
R, R = −1, 1 . La continuité de g sur −1, 1 résulte de l’application du théorème de continuité des séries de fonctions
£
¤
sur l’intervalle I = − 1, 0 :
´
³
£
¤
• Les fonctions u n (x) : x → ln 1 − n1 x n sont clairement continues sur − 1, 0 .
P
• Pour x ≤ 0, u n (x) est une série alternée dont le terme général tend vers 0. Pour −1 ≤ x ≤ 0, on a la décroissance
n
2
1/x
(par rapport à n !) car |x|n decroit et | ln(1− n1 )| aussi puisque le terme est négatif et x → ln(1− x1 ) de dérivée 1−1/x
≥ 0.
£
¤
P
On a alors la convergence uniforme de la série u n (x) sur − 1, 0 car :
° ³
¯ ¯
¯
°
¤ ¯¯
¯ ¯
¯
∀ x ∈ − 1, 0 , ¯R n (x)¯ ≤ ¯u n+1 (x)¯ =⇒ kR n k∞ I ≤ °
°ln 1 −
£
¯ ³
¯
°
¯
1 ´¯¯ ¯¯n+1 °
1 ´¯¯ 1
¯
°
−→ 0
¯x ¯
° I ≤ ¯ln 1 − n + 1 ¯ ∼ n n→+∞
n +1
∞
3)
(1 − x) f (x) =
+∞
X
ln nx n −
n=2
+∞
X
n=2
ln nx n+1 =
+∞
X
ln nx n −
n=2
+∞
X
n=3
ln(n − 1)x n = −
+∞
X
n=3
³
1−
1´ n
x + ln 2 x 2 = −g (x)
n
Remarque : On en déduit donc que la limite de f existe en −1, alors que la série f (−1) est visiblement divergente
grossièrement ! En fait, pour que l’existence de la limite en ±R entraîne la convergence de la série, il faut rajouter des
P
conditions sur le coefficient a n de la série entière a n x n (ce sont les théorèmes de Tauber 9 ).
Par contre, l’autre « sens arrive » toujours, cad que si la série converge en ±R, alors la fonction-somme y admet une limite,
qui est la somme de la série.
4)
£
£
f se prolonge en une fonction continue sur − 1, 1 car, d’après la question précédente, lim−1 f = − 21 g (−1).
8. Jean le Rond D’Alembert : mathématicien philosophe français (1717-1783).
9. Alfred Tauber : mathématicien slovaque (1866 - 1942). Mise en place de réciproques de divers critères de convergence d’intégrales et de
séries,.
24
Pour les équivalents en x = 1, on peut déjà noter que la relation trouvée en Q1 permet de déduire les équivalents l’un de
l’autre. On va donc chercher plutôt celui de g car son terme général se prête facilement à un développement :
¶
+∞
X xn
1 ´ −1 n
x = g (x) +
ln 1 −
= g (x) − ln(1 − x) − x
h(x) =
−
n
n
n=2 n
n=2 |
{z
}
+∞
X
µ
³
an
£
¤
−1
Comme a n ∼
, on a immédiatement R = 1, puis la convergence normale sur − 1, 1 . Ceci amène la continuité de h
2
£
¤ 2n
sur − 1, 1 , en particulier h bornée dans un voisinage de 1 : Par suite, dans un voisinage de 1 :
g (x) − ln(1 − x) − x = O(1) =⇒ g (x) ∼1 ln(1 − x) =⇒ f (x) ∼1
25
− ln(1 − x)
1−x
CCP PSI 2013 (étude série de fonctions)
e −(n+1)x
.
n
P
1 ) Etudiez la convergence simple et uniforme, normale de u n .
Enoncé 136
Pour n ≥ 1 et x ≥ 0, on pose u n (x) = (−1)n
2 ) On pose S(x) =
+∞
X
u n (x) et F (x) = e x S(x). Montrez que F est dérivable sur R+∗ et calculez F 0 (x).
n=1
3 ) Déterminez lim F (x). En déduire F (x), puis S(x) pour x > 0, puis S(0).
x→+∞
4 ) On note U la primitive de S s’annulant en 0. Déterminez U .
5 ) Montrez S intégrable sur R+ .
1 ) Convergence simple :
Soit x > 0 fixé. Alors, par croissance comparée, comme −(n + 1)x < 0, |u n (x)| = o
¡
n
1
n2
¢
P
, soit u n (x) converge absolument,
donc converge. Pour x = 0, u n (0) = (−1)
n . C’est la série harmonique alternée qui converge.
P
La série de fonctions u n (x) converge donc simplement sur R+ .
Convergence normale :
la fonction x → e −(n+1)x étant décroissante, et ceci pour tout n entier, il suit ku n k∞ R+ = |u n (0)| = n1 , terme général de
P
la série harmonique divergente. Par conséquent, la série de fonctions u n (x) ne converge normalement sur R+ . Par
¤
£
contre, sur tout segment [a, b] ⊂ 0, +∞ , Il y a convergence normale puisque ku n k∞ [a,b] = |u n (a)| = o( n12 ).
Convergence uniforme :
¤
£
Il y a convergence uniforme sur tout segment [a, b] ⊂ 0, +∞ . Par contre, sur R+ , il faut étudier. Comme, pour tout
−(n+1)x
x ≥ 0, n → e n
décroit vers 0, (produit de deux fonctions de n positives et immédiatement décroissantes), la série
P
u n (x) vérifie le CSSA, et ce pour tout x ≥ 0. La convergence uniforme sur R+ provient alors de :
¯
¯ ¯¯ e −(n+2)x ¯¯
¯
¯
¯
∀ x ≥ 0, ¯R n (x)¯ ≤ ¯¯
n +1 ¯
=⇒
°
°
°
°
0 ≤ °R n °
∞
R+
° −(n+2)x °
°e
°
1
°
≤°
° n + 1 ° R+ = n + 1 → 0
∞
2 ) F est C 1 sur R+∗ car S l’est par application du théorème
d’une série de fonctions :
• Chaque fonction u n (x) est bien C 1 sur R+∗ .
P
P
−(n+1)
converge normalement, donc uniformément sur tout
• La série de fonctions u n0 (x) égale à la série − n+1
n e
° 0 °
£
¤ ¤
£
segment a, b ⊂ 0, +∞ puisque °u n ° [a,b] ≤ 2e −(n+1)a
∞
Il suit, pour x > 0, en ayant reconnu une série géométrique convergente (privée de 2 terms), puisque | − e −x | < 1 :
µ
¶
³
´
+∞
+∞
X
X
n +1 1
F 0 (x) = e x S 0 (x) + S(x) = e x
+
= ex
(−1)n e −(n+1)x −
(−1)n+1 e −(n+1)x
n
n
n=1
n=1
µ
¶
µ −2x ¶
³
´n+1
+∞
X
1
e
e −x
1
= ex
− e −x
= ex
− 1 + e −x = e x
=
=
−x
−x
−x
1
+
e
1
+
e
1
+
e
1
+
ex
n=1
3 ) On peut utiliser le théorème d’interversion de limites puisque :
• Pour tout n ∈ N, u n (x) → 0, lorsque x → +∞.
• Il y a convergence uniforme dans un voisinage de x = +∞ et même sur R+
+∞
+∞
+∞
X
X
X
IL vient lim S(x) = lim
u n (x) =
lim u n (x) =
0=0
x→+∞
x→+∞
x→+∞
n=1
n=1
n=1
26
¤
£
Comme on est sur l’intervalle 0, +∞ , par primitivation, il vient F (x) = c st e − ln(1 + e −x ) = − ln(1 + e −x ), puisque la
limite nulle en +∞ amène la constante nulle. Puis S(x) = −e −x ln(1 + e −x ). On a lim S(x) = − ln(2).
x→0
Reste à prouver la continuité de S en 0 ppour affirmer que c’est la valeur de S(0). En fait la convergence uniforme de la
P
série de fonctions u n (x) sur tout R+ établie précédemment amène la continuité de S sur R+ tout entier, donc en 0 en
particulier.
4 ) S étant continue sur R+ , admet un primitive sur R+ . La primitive en 0 est donnée par :
x
Z
U (x) =
0
x
Z
S(t ) dt =
0
−e
−t
ln(1 + e
−t
) dt
u 0 =−e −t
v =ln(1 + e −t )
=
u =e −t
v 0 =−e −t /1 + e −t
h
ix Z
−t
−t
= e ln(1 + e ) +
0
x
0
e −2t
dt
1 + e −t
£
¤x
e −t ´
dt = e −x ln(1 + e −x ) − ln 2 + −e −t + ln(1 + e −t ) 0
−t
1+e
0
= (1 + e −x ) ln(1 + e −x ) − e −x − 2 ln 2 + 1
=e
−x
ln(1 + e
−x
Z
) − ln 2 +
5 ) S est continue sur R+ et S(x) = −e
−x
x
³
dt e −t −
ln(1 + |{z}
e −x ) ∼+∞ −e −x e −x = o(
→0
27
1
).
x2
Centrale PSI 2013 (série de fourier d’une fonction-intégrale)
Enoncé 142
Soient h > 0 et f de R dans C 2π-périodique.
Z
1 x+h
1 ) Montrez que f h définie sur R par f h (x) =
f (t ) dt est 2π-périodique de classe C 1 .
2h x−h
Calculez f h0 en fonction de f .
2 ) Rappelez la relation entre les coefficients de Fourier c n ( f h0 ) et c n ( f h ). Calculez c n ( f h ) en fonction de c n ( f ).
Rx
1 ) En posant F (x) = 0 f (t ) dt fonction de classe C 1 sur Rpuisque f est continue sur R(cours), et comme
³
´
³
´
f h (x) =
1
2h
F (x +h)−F (x −h) , il suit que f h est C 1 sur R et f h0 (x) =
1
f h (x + 2π) =
2h
∀ x ∈ R,
u=t −2π
du = dt
x+2π+h
Z
x+2π−h
z}|{
f (t ) dt =
³
1
2h
Z
1
2h
x+h
x−h
f (x +h)− f (x −h) . f h est 2π-périodique puisque :
1
f (u − 2π) du =
2h
Z
x+h
x−h
f (u) du = f h (x)
´
2 ) ∀ n ∈ Z, c n ( f h0 ) = i nc n ( f h ). D’autre part, on a c n τa (g ) = e i na c n (g ), où τa est l’application-translation qui à g associe
g a : x → g (x + a). Démonstration :
u=t −a
∀ n ∈ Z, ∀ g ∈ C M 2π ,
Comme f h0 (x) =
1
2h
c n ( f h0 ) =
³
cn
³
Z
Z
du = dt
´
1 2π−a
1 2π
z}|{
g (t + a)e −i nt dt = = =
g (u)e −i nu e i na du = e i na c n (g )
τa (g ) =
2π 0
2π −a
´
f (x + h) − f (x − h) , il suit par « linéarité des coefficients de » Fourier 10 ,
´ i sin(nh)
1 ³ i nh
1
sin(nh)
e c n ( f ) − e −i nh c n ( f ) =
c n ( f ) =⇒ c n ( f h ) =
c n ( f h0 ) =
c n ( f ) (n 6= 0)
2h
h
in
nh
Pour n = 0, on a c 0 ( f h ) = c 0 ( f ) (qui est d’ailleurs obtenue par « passage à la limite » ) car :
u=t −x
du = dt
Z h
Z
z}|{ 1 2π
=
f (u + x) du
dx
2h 0
x−h
−h
0
Z 2π+x
Z Z
Z
∗
2h 2π
z}|{ 1 h 2π
=
f (t ) dt = 2πc 0 ( f )
f (u + x) du =
f (u + x) du =
2h −h 0
2h 0
x
1
2πc 0 ( f h ) =
2h
Z
2π
Z
dx
x+h
f (t ) dt
On a appliqué en * le théorème de Fubini 11 (qui permet d’intervertir l’ordre d’intégration), puisque la fonction (x, u) →
f (u + x) est continue sur R2 .
10. Joseph Fourier : français (1768-1830). Travaux sur la décomposition de fonctions périodiques en séries trigonométriques.
11. Guido Fubini : mathématicien italien (1879-1943).
28
Mines-Ponts PSI 2013 (calcul intégrale fonction partie-entière)
· ¸
Enoncé 153
H
1
E
Z 1
(−1) x
dx .
Existence et calcul de
x
0
· ¸
1
1
1
= k ⇐⇒
E
< t ≤ . Soit 0 < x ≤ 1. Posons N x = E [ x1 ]
t
k +1
k
1
Z
x
(−1)E
t
£1¤
t
1/N x
Z
dt =
x
(−1)E
t
£1¤
t
dt +
NX
x −1
(−1)k
Z
1/k
1/k+1
k=1
dt
=
t
1/N x
Z
x
(·) +
NX
x −1
k=1
µ
¶
k +1
[= u Nx −1 ]
(−1)k ln
k
{z
}
|
uk
La série
P
u n converge puisque u n =
(−1)n
n
12
¡
1
n2
¢
. On peut obtenir sa somme en séparant les termes pairs des impairs,
p
¡ ¢n
: n! ∼ 2πn ne et le résultat a n ∼ b n et lim a n 6= 1 =⇒ ln a n ∼ ln b n :
puis en utilisant la formule de Stirling
+O
Ã
!
µ
¶
¶
¶
µ
n
n (2k + 1)(2k − 1)
X
Y
(2n + 1)(2n)!2
2k
2k + 1
ln
ln
−
= ln
S 2n =
= ln
2k
2k − 1
4k 2
42n n!4
k=1
k=1
k=1

³ ´4n 
µ ¶
2n(4πn) 2n
2
e


∼ ln 
³ ´4n  = ln
π
24n (2πn)2 ne
n
X
Lorsque x → 0, comme N x ≥
µ
1
x
− 1, il vient N x → +∞ et :
£ ¤
¯Z
¯ Z
¯ 1/Nx (−1)E 1t
¯
³
´
1/N x 1
¯
¯
dt ¯ ≤
dt = − ln xN x → 0 car 1 − x < xN x ≤ 1
¯
¯ x
¯
t
t
x
En conclusion, l’intégrale converge et
· ¸
1
E
Z 1
(−1) x
0
x
dx = ln
µ ¶
2
π
12. James Stirling : mathématicien écossais (1692-1770). Connu pour la formule donnant l’équivalent de la factorielle.
29
CCP PSI 2013 (développement enZsérie entière d’une intégrale à paramètrez)
Enoncé 157
+∞
Soit f : x →
2
e −t cos(xt ) dt .
0
1 ) Déterminez le domaine de définition de f .
2 ) Montrez que f est C ∞ .
3 ) Montrez que f admet un développement en série entière et le déterminer.
4 ) POur déterminer le domaine de définition de f , il faut et il suffit de chercher les paramètres x pour lesquels g :
2
t → e −t cos(xt ) est intégrable sur R+ . Laµcontinuité
est immédiate sur R+ , et ce pour tout x réel. Ensuite, l’intégrabilité
¶
¯
¯
2
1
¯
¯
résulte de la majoration ¯g (t )¯ ≤ e −t = o 2 , et ce pour tout x, donc Def f = R.
t
2
5 ) On rappelle la formule pratique : cos(n) (x) = cos(x + nπ/2). On remarque ensuite que h : (x, t ) → e −t cos(xt ) est
immédiatement de classe C ∞ sur R2 , et que donc toutes les dérivées Zpartielles par rapport à x existent en tout (x, t ) et
³
³
+∞
π´
∂n h
π´
n −t 2
n −t 2
(n)
∞
t
e
cos
xt
+
n
valent :
(x,
t
)
=
t
e
cos
xt
+
n
.
f
est
C
sur
R
,
et
f
(x)
=
dt , par application duu
∂x n
2
2
0
théorème suivant :
∂n h
• ∀ n ∈ N, ∀ x ∈ R, t → n (x, t ) est continue et intégrable sur R+ .
∂x
∂n h
• ∀ n ∈ N, ∀ t ∈ R+ , t → n (x, t ) est continue sur R.
∂x
• Hypothèse de domination sur tout¯ segment ¯:
¯ ∂n h
¯
£
¤
2
∀ n ∈ N, ∀ x ∈ a, b ⊂ R, ∀ t ∈ R+ , ¯¯ n (x, t )¯¯ ≤ t n e −t immédiatement continue et intégrable sur R+ (o +∞ ( t12 )).
∂x
6 ) f est C ∞ sur R, ce qui est une condition nécessaire (mais pas suffisante !) pour avoir un développement en série
¤
£
entière (mais pas nécessairement un développement sur − ∞ , +∞ . . .). On écrit :
∀ x ∈ R, f (x) =
+∞
Z
e −t
0
2
+∞
X
(−1)n
n=0
x 2n t 2n
dt =
(2n)!
2n 2n
2 x
t
(−1)n e −t
dt
(2n)!
n=0 |
{z
}
+∞ +∞
X
Z
0
f n (t )
(1) +∞
X
z}|{
=
Z
+∞
(−1)n e −t
n=0 0
2
¡
¢
(2) +∞
1
2n Z +∞
+∞
X
X
Γ
n
+
2
x 2n t 2n
x
z}|{
2
e −t t 2n dt =
(−1)n
dt =
x 2n
(−1)n
(2n)!
(2n)! 0
2(2n)!
n=0
n=0
L’intégration terme à terme de (1) résulte de :
P
• La série de fonctions f n (t ) converge simplement sur R (puisqu’on a développé « nous-même » le cosinus)
• Les f n ston clairement continues par morceaux et intégrables sur R+ (o +∞ (1/t 2 )).
P R +∞
| f n | converge puisque :
• La série numérique
0
+∞
Z
0
Z
¯ ¯
¯ ¯
2n
¯ f n ¯ ≤ |x|
+∞
1×
0
t 2n
|x|2n
dt =
(2n)!
(2n + 1)!
Série convergente pour tout x puisque série entière de rayon R = +∞
Le (2) n’est pas nécessaire pour la preuve du développement en série entière, mais permet de se rendre compte que
¤
£
l’intégrale n’est pas « calculable ». On effectue le changement de variables u = t 2 qui est bijectif C 1 de 0, +∞ dans
¤
£
0, +∞ .
30
CCP PSI 2013-2012 (limite d’intégrale)
Enoncé 174
1 ) Pour quels a ∈ R, l’intégrale
2 ) Existence de I n =
+∞
Z
+∞
Z
0
arctan t
t 3/2 + t n
0
arctan t
dt est définie ?
ta
dt . Montrez que la suite (I n ) converge et exprimez sa limite sous forme d’intégrale.
¤
£
arctan t
est
continue
sur
0,
+∞
.
ta
t
1
• f (t ) ∼0 a = a−1 .
t
t
¤
¤
Par critère de comparaison à une fonction de Riemann 13 , f est intégrable sur 0, 1 ssi a − 1 < 1 ⇐⇒ a < 2.
£
£
π/2
• | f (t )| ∼+∞ a . POur des raisons identiques, f est intégrable sur 1, +∞ ssi a > 1.
t
L’intégrale est donc définie ssi 1 < a < 2.
1 ) la fontion f : t →
2 ) Des équivalences f n (t ) ∼0
¤
1
t 1/2
(pour n ≥ 2, sinon f n () ∼0
1
t n−1
mais alors n − 1 ≤ 1 − 1 = 0) et f n (t ) ∼+∞
π/2
tn ,
et de la
£
continuité de f n sur 0, +∞ , il résulte immédiatement l’existence de l’intégrale.
L’application du théorème de Lebesgue 14 permet d’écrire (justification après) :
+∞
Z
lim I n = lim
arctan t
t 3/2 + t n
n→+∞ 0
+∞
Z
dt =
lim
0
arctan t
n→+∞ t 3/2 + t n
¤
dt =
£
• La suite de fonctions f n converge simplement sur 0, +∞ vers f
• Domination :
¤
£
∀ n ∈ N, ∀ t ∈ 0, +∞ ,
+∞
Z




f (t ) dt =
0
1
Z
0
π
:
8


 arctan t
t 3/2
arctan t
0
si
t >1
si
t =1
t 3/2
dt
continue / morceaux
si 0 < t < 1
¯
¯ arctan t
¤
£
¯
¯
, intégrable sur 0, +∞ , d’après Q1
¯ f n (t )¯ ≤
3/2
t
Remarque : L’intégrale se calcule par méthodes usuelles : IPP, puis u =
1
Z
0
arctan t
t 3/2
dt =
p
t , puis décomposition en éléments simples :
³
p ´ 1p
−π p
π
+ 2 ln 2 + 2 −
2 ln 2 + p
2
2
2
13. Bernhard Riemann : mathématicien allemand de génie (1826-1866). Travaux fondamentaux sur les fonctions analytiques, la théorie de
l’intégration, la géométrie différentielle. Sa fonction ζ donne des indications sur la répartition des nombres premiers.
14. Henri-Léon Lebesgue : mathématicien français (1875-1941)
31
ENSAM 2013 (équivalence de convergence d’intégrale)
Enoncé 177
0
Soit F ∈ C (R , R ) et F sa primitive qui s’annule en 0.ZMontrez que laZconvergence d’une des deux
+∞ F (t )
+∞ f (t )
dt et
dt .
intégrales ci-dessous implique celle de l’autre et comparez leurs valeurs :
1+t
(1 + t )2
0
0
En posant u 0 = f (t ), v =
+
1
1+t , u
+
= F (t ) et v 0 =
x
Z
0
−1
, une ipp sur
(1+t )2
£
0, x
¤
amène :
·
¸ Z x
Z x
f (t )
F (t )
F (t )
F (t ) x
F (x)
dt =
+
dt
=
+
dt
2
1+t
1+t 0
+ x} 0 (1 + t )2
0 (1 + t )
|1 {z
g (x)
On remarque ensuite que F est la primitive d’une fonction positive, donc est croissante sur R+ . Comme F (0) = 0, ceci
nous amène F ≥ 0. D’autre part, le théorème de limite monotone amène alors que F admet une limite finie ou +∞,
lorsque x → +∞, et que cette limite est finie ssi F est majorée dans un voisinage de +∞. On rappelle aussi que si une
intégrale d’une fonction existe dans un voisiange de +∞ et que cette fonction admet une limite, alors cette limite ne
peut être que 0 (il y a des exemples où la fonction n’admet pas de limite et n’est même pas bornée en +∞). On rappelle
aussi que pour des fonctions positives, ce qui est le cas ici, car
f (t )
1+t
≥ 0 et
F (t )
(1+t )2
≥ 0 sur R+ , il faut et il suffit de prouver
que les « les intégrales partielles » sont majorées.
=⇒
Z x
F (t )
f (t )
dt
≤
dt
2
0 (1 + t )
0 1+t
R +∞ f (t )
Le membre de droite admettant une limite finie, lorsque x → +∞ par hypothèse de convergence de 0
1+t dt , et de la
R +∞ F (t )
positivité du membre de gauche et de la remarque plus haut, il en résulte la convergence de 0 (1+t )2 dt .
Z
x
La relation plus haut permet d’écrire :
⇐=
+∞
F (t )
dt converge.
(1 + t )2
0
Z x
f (t )
F (x)
Posons g (x) =
et montrons par l’absurde que
dt a une limite finie lorsque x → +∞ :
1+x
0 1+t
R x f (t )
Si
n’a pas de limite finie, alors sa limite ne peut être que +∞ (remarque plus haut). Comme par hypothèse,
Z x 0 1+t
Z x
Z x
Z x
F (t )
g (t )
f (t )
F (t )
dt
=
a
une
limite
finie,
alors
g
(x)
=
−
a pour limite +∞ (fini + infini = infini)
2
2
0 (1 + t )
0 1+t
0 1+t
0 (1 + t )
R +∞ g (t )
R +∞ 1
g (t )
1
dt converge et 0 1+t
dt diverge. Absurde.
d’où, pour t assez grand,
≥
≥ 0. Or 0
1+t
1+t 1+t
Z
On suppose
g (t )
`
∼+∞
Avec la convergence d’un côté et la divergence de l’autre et la positivité.
x→+∞
1+t
1+t
Z +∞
Z +∞
f (t )
F (t )
Absurde. De lim+∞ g = 0 et de l’égalité du haut, on tire l’égalité des 2 intégrales :
dt =
dt .
1+t
(1 + t )2
0
0
Notons ` = lim g (x). Si ` 6= 0,
32
CCP PSI 2013 (calcul d’une intégrale par développement en série)
Enoncé 184
+∞
t
dt .
sinh t
0
Z 1
ln t
dt .
2 ) Exprimez I en fonction de J =
2
0 1−t
1
.
3 ) Développement en série entière de
1− t2
1 ) Convergence de I =
Z
4 ) Exprimez I sous forme d’une série.
5 ) Calculez I sachant que
+∞
X
n=1
1
π2
=
n2
6
t
1 ) La fonction f : t → sinh t est continue sur
¤
£
0, +∞ . La convergence de I résulte de l’intégrabilité de la fonction
¤
£
positive f sur 0, +∞ car :
£
£
t
• f se prolonge en une fonction continue sur 0, +∞ car f ∼0 = 1
µ t¶
1
t
−t
• Comme f ∼+∞ t = 2t e , on a immédiatement f = o +∞ 2 .
e /2
t
¤
£
¤
£
2 ) Le changement de variable u : t → e −t C 1 de 0, +∞ vers 0, 1 du = −u dt permet d’écrire :
+∞
Z
I=
3 ) Le cours donne que g : t →
0
t
dt =
sinh t
0
Z
1
2(− ln u) − du
= −2
u
u − u1
1
Z
0
ln u du
= −2J
1 − u2
+∞
X 2n
¤
£
1
1
est
développable
en
série
entière
sur
−
1,
1
(et
pas
plus
!)
et
=
t
1− t2
1 − t 2 n=0
4)
1
Z
I = −2
0
ln t
dt = −2
1− t2
(2)
+∞
X
z}|{
= −2
n=0
Z
1 +∞
X
0 n=0
Z
t 2n ln t dt = −2 ¤
+∞
X
0,1
£
n=0
(1)
+∞
XZ
z}|{
t|2n{zln }t dt = −2
¤ £ t 2n ln t dt
0,1
f n (t )
n=0
µ +∞
¶
¶
µ 2
+∞
X 1
X 1
−1
π
1 π2
π2
=
−2
−
+
=
=
−2
−
2
2
(2n + 1)2
6
4 6
4
n=1 n
n=1 (2n)
P
Le (1) résulte du théorème d’intégration terme à terme de la série de fonctions f n car :
¤
£
• f n est continue et intégrable sur 0, 1 .
¤
£
P
•
f n converge simplement sur 0, 1 vers une fonction continue par morceaux.
¯ P 1
P R 1 ¯¯ 2n
• La série
ln t ¯ = (2n+1)
2 converge.
0 t
£
¤
Le (2) s’obtient par une simple IPP que à priori, l’on « doit » effectuer sur ε, 1 puis faire tendre ε → 0 :
1
Z
ε
t
2n
· 2n+1
¸1 Z 1 2n+1
¶0
t
t 2n+1
t
1
ln t dt =
ln t dt =
ln t −
dt
2n + 1
2n + 1
ε 2n + 1 t
ε
ε
Z 1
ε2n+1
−1
−1
=
ln ε +
t 2n dt =
2n
+
1
2n
+
1
(2n
+ 1)2
ε
| {z }
Z 1µ
→0
33
CCP PSI 2013 (linéaire du deuxième ordre)
Enoncé 187
1 ) Montrez que y(x) = x est solution de (1 + x 2 )y 00 + x y 0 − y = 0.
p
p
− 1 + x2
2 ) Calculez la dérivée de ϕ(x) =
sur R∗ et en déduire les solutions de (1 + x 2 )y 00 + x y 0 − y = x 1 + x 2 .
x
3 ) Déterminez les solutions de cette équation sur R.
1 ) Immédiat : (1 + x 2 )0 + x × 1 − x = 0. x est solution sur R.
2)
!0 µ
à p
¶
p
1
−x 2 + (1 + x 2 )
1
− 1 + x2
2x
× x + 1 × 1 + x2 2 =
= p
= − p
p
2
2
2
2
x
x
2 1+x
x 1+x
x 1 + x2
Conformément à la méthode générale, on effectue le changement de fonction inconnue y = xz soit y 0 = z + xz 0 puis
y 00 = 2z 0 + xz 00 . y est solution sur I ne contenant pas 0 ssi z est solution sur I de :
(1 + x 2 )(2z 0 + xz 00 ) + x(z + xz 0 ) − xz = x
p
p
1 − x 2 ⇐⇒ x(1 + x 2 )z 00 + z 0 (2 + 3x 2 ) = x 1 + x 2 (1)
L’équation homogène de (1) s’intègre en :
0
µZ
z = C exp
¶
¶
µZ
¶
µ
1
C
−2
−x
2 + 3x 2
2
2
dx = C exp
+
dx = C exp − ln(x ) − ln(1 + x ) = p
−
2
2
2
x(1 + x )
x
1+x
2
x 1 + x2
puis la méthode de la variation de la constante amène :
x(1 + x 2 )
p
C 0 (x)
1
+C (x) × 0 = x 1 + x 2 ⇐⇒ C 0 (x) = x 2 soit C (x) = x 3
p
3
x2 1 + x2
C
x
1
Finalement, la solution générale de (1) est z 0 = p
+ p
. En se servant du calcul précédent :
x2 1 + x2 3 1 + x2
p
p
−C 1 + x 2 1 p
1 p
z=
+
1 + x 2 + D puis y = xz = −C 1 + x 2 + x 1 + x 2 + D x , sur R+∗ et R−∗
− .
x
3
3
3)
Toute solution sur R ne peut être qu’un recollement d’une solution sur R+∗ et R−∗
− .
Recollement
par continuité :

p
p
 −C 1 + x 2 + 1 x 1 + x 2 + D x si x > 0
p
p
3
f :
Comme lim0 −C 1 + x 2 + 31 x 1 + x 2 + D x = −C , le recollement de deux
p
p
−C 0 1 + x 2 + 1 x 1 + x 2 + D 0 x si x < 0
3
solutions n’est possible que ssi C = C 0 , en posant f (0) = −C .
Dérivabilité
du recollement

p
p

−C 1 + x 2 + 13 x 1 + x 2 + D x


Soit f :
−C

p

 p
−C 1 + x 2 + 13 x 1 + x 2 + D 0 x
Un petit dl à l’ordre 2 mène :
−C
si
x >0
si
x =0
si
x <0
³
´ 1
³1
´
p
1 p
1
C
1 + x 2 + x 1 + x 2 + D x = −C 1 + x 2 + o(x 2 ) + x + o(x 2 ) + D x = −C + + D x − x 2 + o(x 2 )
3
2
3
3
2
Il en résulte que le recollement est dérivable à droite en 0 avec f g0 (0) = 13 +D. De même il est dérivable à gauche en 0 avec
f d0 (0) =
1
3
+ D 0 . Il en résulte que le recollement est dérivable sur R ssi D = D 0 et qu’alors f 0 (0) =
34
1
3
+ D. Par contre, on ne
peut pas déduire du dl l’existence de la dérivée seconde en 0. Tout au plus peut-on dire que si f l’est alors f 00 (0) = 2!× −C
2 .
Double dérivabilité du recollement :
On « calcule » f 0 en revenant à z 0 plus haut, et on essaye d’effectuer un petit dl à l’ordre 1 : ici on a bien f deux fois
dérivable en 0 ssi f 0 admet un dl à l’ordre 1 :
!
p
¶ Ã
C
1
−C 1 + x 2 1 p
x
2
f (x) = x
+ p
+
+
1+x +D
p
x
3
x2 1 + x2 3 1 + x2
´−1/2 1 ³
´−1/2 C ³
´1/2 1 p
C³
=
1 + x2
1 + x2
1 + x2 + D
+ x2 1 + x2
−
+
x
3
x
3
´
´ 1
³1
´
C³
C³
1
1
=
1 − x 2 + o(x 2 ) + o(x) −
1 + x 2 + o(x 2 ) + + D = + D −C x + o(x)
x
2
x
2
3
3
0
µ
Par conséquent, tous les recollements par dérivabilité en 0 sont deux fois dérivables en 0 et même sur R, avec f 00 (0) = −C .
Vérification de solution sur R :
On sait (cours) que cette étape est toujours vérifiée dans le cadre d’un recollement d’une équatindifférentielle linéaire
d’ordre 1. On le vérifie quand même, et seulement en 0 : (1 + 02 )(−C ) + 0 × (D + 13 ) − (−C ) = 0. Ok.
35
CCP PSI 2013 (système différentiel avec étude géométrique)
Enoncé 195
Soient (S)


x 0 (t ) =


0



y(t ) − z(t )
y (t ) =
z(t ) − x(t ) avec x(0) = 1, y(0) = z(0) = 0.
z 0 (t )
x(t ) − y(t )
=
1 ) Discuter l’existence et l’unicité d’une solution.
2 ) Montrez que la trajectoire de la solution est incluse dans une sphère et dans un plan. Reconnaître l’intersection de
cette sphère et de ce plan.
3 ) Résoudre directement (S) et retrouvez les résultats de la question précédente.
1 ) D’après le théorème de Cauchy7 , il existe et une seule solution de ce système différentiel, cad une fonction de R dans
R3 , qui passe par la condition initiale (1, 0, 0).
2 ) On calcule :
³
´0
x 2 + y 2 + z 2 = 2xx 0 + 2y y 0 + 2zz 0 = 2x(y − z) + 2y(z − x) + 2z(x − y) = 0
³
´0
x + y + z = x0 + y 0 + z0 = y − z + z − x + x − y = 0
Par primitivation, il vient pour t ∈ R, et en utilisant la condition initiale : x 2 + y 2 + z 2 = 1 et x + y + z = 1. La trajectoire de
la solution est donc inscrite sur l’intersection de la sphère de centre O et de rayon 1 et du plan P : x + y + z = 1. C’est bien
q
p
1
|0 + 0 + 0 − 1|
= p < R = 1. C’est un cercle de rayon 1 − d 2 = 23 .
un cercle, puisque d = d (O, P ) = p
3
12 + 12 + 12
3 ) Le système s’écrit :
 


x
0
1 −1
 




X 0 = AX
X =
1
 y  A = −1 0

z
1 −1 0
On cherche d’abord les valeurs propres de la matrice associée au système différentiel
¯
¯
¯−λ 1 −1 ¯
¯
¯
p
p
¯
¯
¯
χ A (λ) = ¯ −1 −λ 1 ¯¯ = −λ3 + 1 − 1 − λ − λ − λ = −λ3 − 3λ = −λ(λ + i 3)(λ − i 3)
¯
¯
¯ 1 −1 −λ¯
On cherche des vecteurs propres, sachant que les espaces propres sont de dimension 1. Pour la valeur propre 0, on
remarque que sur la colonne A, C 1 +C 2 +C 3 . Il est donc inutile de résoudre le système associé, puisque ceci nous donne
p
(1, 1, 1) ∈ Ker A et, par suite, pour des raisons de dimension, Ker A = Vect (1, 1, 1) = Vect (u). Pour la valeur propre i 3,
on résoud le système sur C :

p

−i 3x + y − z


p
p
X ∈ Ker (A − i 3I 3 ) ⇐⇒
−x − i 3y + z


p

x − y − i 3z
= 0
= 0
= 0

p

−i 3x + y


p
⇐⇒
−x − i 3y


p

x − y − i 3z
=
z
= −z
=
0
⇐⇒


x





p
y
=
1
2 (i 3 − 1)z
p
1
2 (−i 3 − 1)z
z
=
z
=
p
Comme la matrice A est réelle, on sait que l’espace propre associé à la valeur propre conjuguée −i 3 se calcule par
p
p
p
p
conjugaison des valeurs précédentes. Ker (A −i 3I 3 ) = Vect (i 3−1, −i 3−1, 2) = Vect (v) et Ker (A +i 3I 3 ) = Vect (v).
³
´
p
p
Le cours nous apprend alors que e 0t u, e i 3t v, e −i 3t v est un système fondamental de solutions sur C, cad les solutions
7. Augustin-Louis Cauchy : français (1789-1857). Oeuvre considérable, plus de 700 mémoires. A l’origine de l’Analyse moderne par rigorisation
des limites et de la continuité. Travaux en théorie des fonctions d’une variable réelle et complexe et en théorie des groupes.
36
³
´
p
p
p
p
de R dans C3 . Alors e 0t u, 12 (e i 3t v +e −i 3t v), 2i1 (e i 3t v −e −i 3t v) est un système fondamental de solutions sur R(et sur
C), puisque :
• Ces fonctions sont bien réelles, puisqu’on reconnaît partie réelle et imaginaire.
• Ce sont bien des solutions puisque combinaisons linéaires (à coefficients complexes) de l’ev complexe des solutions précédentes du système linéaire sur C.
• Elles sont au nombre de 3 et sont independantes puisque la matrice de passage a un déterminant non nul :
¯
¯1
¯
¯
¯0
¯
¯
¯0
0
1
2
1
2
¯
0 ¯¯
¯
1 ¯ = − 1 6= 0
2i ¯
2i
¯
−1 ¯
2i
On calcule :
 p
 
p
p 
p
i 3−1
− cos( 3t ) − 3 sin( 3t )
´
³
p
p

 p
 
p
p
p 


 
v = ℜe 
 cos( 3t ) + i sin( 3t ) −i 3 − 1 = − cos( 3t ) + 3 sin( 3t )
p
2
2 cos( 3t )

1³
2
e
p
i 3t
v +e
p
−i 3t
´

 p
  p

p
p
i 3−1
3 cos( 3t ) − sin( 3t )
³
´
³
´
p
p
p
p

 p
  p

1 i 3t
 = − 3 cos(p3t ) − sin(p3t )
v − e −i 3t v = ℑm 
e
cos( 3t ) + i sin( 3t ) 
−i 3 − 1






2i
p
2
2 sin( 3t )
Les solutions réelles sont donc :
p


 
 
p
p
p 
p
p
− cos( 3t ) − 3 sin( 3t )
x
1
3 cos( 3t ) − sin( 3t )




 
 
 y  = αe 0t 1 + β − cos(p3t ) + p3 sin(p3t ) + γ −p3 cos(p3t ) − sin(p3t )




 
 
p
p
z
1
2 cos( 3t )
2 sin( 3t )


 p
  

p
p 
p
p
p
α + cos( 3t )(−β + 3γ) + sin( 3t )(− 3β − γ)
α
−β + 3γ
− 3β − γ
p 
p 

  


p
p
p
p
 = α + cos( 3t ) −β − p3γ + sin( 3t )  p3β − γ 
=
α
+
cos(
3t
)(−β
−
3γ)
+
sin(
3t
)(
3β
−
γ)



  


p
p
α + 2β cos( 3t ) + 2γ sin( 3t )
α
2β
2γ
|{z}
|
{z
}
|
{z
}
Ω
→
−
i
→
−
j
→
− →
−
On voit immédiatement que c’est une courbe tracée dans le plan (Ω, i , j ), mais ce n’est pas nécessairement un cercle,
→
−
→
−
en fait ce peut être une ellipse ! Il faut comparer les normes de i et j :
p
p
→
−
k i k2 = (−β + 3γ)2 + (−β − 3γ)2 + 4β2 = 6β2 + 6γ2
p
p
→
−
k j k2 = (− 3β − γ)2 + ( 3β − γ)2 + 4γ2 = 6β2 + 6γ2
Quelles que soient les conditions initiales, c’est donc toujours un cercle (comme vu plus haut, sauf que l’on avait seulep p
ment inclus) et son rayon est R = 6 β2 + γ2 .
p q1
1
1
Remarque : En reprenant les conditions initiales de l’énoncé, on trouve α = 31 , β = − 61 et γ = p
. Le rayon R = 6 36
+ 12
2 3
q
→
−
→
−
2
1 1 1
1
est bien égal à
3 comme trouvé plus haut. On remarque aussi que comme Ω = ( 3 , 3 , 3 ) et i = 3 (2, −1, −1), j =
p1 (−1, 0, 1), le plan est bien le plan
3
x + y + z = 1.
37
3 Géométrie
Centrale PSI 2013 (quadriques de révolution)
Enoncé 222
Dans R3 , soit Ω(1, 0, 1) et D la droite passant par Ω de vecteur directeur u = (1, 1, 1). On note (S 1 ) (rp.
(S 2 )) la surface engendrée par rotation de D autour de l’axe (Oz) (rp. autour de l’axe (O y)).
1 ) Déterminer une équation cartésienne de (S 1 ) et (S 2 ), puis indiquer leur nature.
2 ) Soit P le plan (yOz). Donnez l’équation et la nature de P ∩ S 1 et P ∩ S 2 .
3 ) Comparez D et S 1 ∩ S 2 .
1 ) Rappelons que la distance d’un point M (x, y, z) à l’axe 0z est
p
x 2 + y 2 . M (x, y, z) ∈ (S 1 ) ssi il appartient à un cercle
centré sur l’axe 0z (orthogonalement, donc de même « altitude ») qui contient un point M 0 de D :


x2 + y 2






z


M (x, y, z) ∈ (S 1 ) ⇐⇒ ∃ x 0 , y 0 , z 0 , λ ∈ R
x0





y0




z0
⇐⇒
∃ x0 , y 0 ∈ R


x2 + y 2


=
x0
= 1 + (z − 1)



y0
=
x 02 + y 02
=
x 02 + y 02
=
z0
=
1+λ
=
0+λ
=
1+λ
µ
1
⇐⇒ x + y = z + (z − 1) ⇐⇒ x + y − 2 z −
2
2
2
2
2
2
2
¶2
=
1
2
z −1
Sous cette forme réduite, on reconnaît immédiatement une quadrique, hyperboloïde à une nappe ( de révolution autour
de 0z évidemment). C’est une quadrique de centre (0, 0, 21 ). De manière analogue pour (S 2 ) :


x 2 + z 2 = x 02 + z 02








y
=
y0
x 2 + z 2 = x 02 + z 02




M (x, y, z) ∈ (S 1 ) ⇐⇒ ∃ x 0 , y 0 , z 0 , λ
x0
= 1 + λ ⇐⇒ ∃ x 0 , z 0
x0
= 1+ y








y0
= 0+λ
z0
= 1+ y




z0
= 1+λ
⇐⇒ x 2 +z 2 −2(y +1)2 = 0
On reconnait ici aussi une réduite de quadrique, un cône de révolution (axe 0y !) et de sommet (0, −1, 0) ∈ D.


x
= 0
2 ) P ∩ S 1 est l’ensemble des points M (x, y, z) d’équation
¢
¡
  2
 On reconnaît une hyperbole.
1 2
= 12
 x y= − 2 z0− 2
x =
0
P ∩ S 2 est l’ensemble des points M (x, y, z) d’équation
⇐⇒
Deux droites.
p
 z = ± 2(y + 1)
 z 2 = 2(y + 1)2
3 ) Par construction, S 1 ∩ S 2 ⊃ D. Comme S 1 et S 2 sont invariantes par la transformation (x, y, z) → (−x, y, z), cad la
réflexion s par rapport au plan y0z, la droite D 0 = s(D) ∈ S 1 ∩S 2 . En soutrayant l’équation (2) à l’équation (1), on obtient :
µ
¶
µ
¶
³
´2
³
³
1 ´2
1
2 2
1 2
2
1´
y2 + 2 y + 1 − 2 z −
− z 2 − = 0 ⇐⇒ 3 y +
−3 z −
= 0 ⇐⇒ y + = ± z −
2
2
3
3
3
3
L’intersection S 1 ∩ S 2 est donc contenue dans deux plans : (P ) y = z − 1 et (P 1 ) y = −z − 31 . Le premier contient les deux
droites précédentes et le deuxième une hyperbole équilatère, comme nous allons le démontrer :
38

 y
M ∈ P ∩ S 1 ∩ S 2 ⇐⇒ M ∈ P ∩ S 2 ⇐⇒ M ∈ P et x 2 = 2(y + 1)2 − z 2 = 2z 2 − z 2 ⇐⇒
 x


´2
y
2
³
´2
M ∈ P 1 ∩ S 1 ∩ S 2 ⇐⇒ M ∈ P 1 et x 2 = 2 − z +
− z 2 ⇐⇒
4

3
z − 3 − x2
³
=
z −1
=
±z
=
z − 31
=
8
9
Le dessin suivant a été réalisé à l’aide de MapleV (sauf les annotations). Les surfaces sont évidemment tronquées. Si
vous voulez reproduire ce dessin chez vous, pour le faire « tourner », le code Maple est plus bas :
> with ( plots ) : a := 4.5 : b := 2.7 :
> S2 := plot3d( [sqrt(2)*(y+1)*cos(t) , y , sqrt(2)*(y+1)*sin(t)], t=0..6.3, y=−4..2,numpoints=1000 ):
> DroiteD := spacecurve( [ 1+t , t , 1+t ] , t=−5..4 , thickness=4 , color=black ):
> DroiteD1 := spacecurve( [ −1−t , t , 1+t ] , t=−5..4 , thickness=4 , color=black ):
> Hyperbole_1 := spacecurve( [ sqrt(8)/3*sinh(u) , −sqrt(8)/3*cosh(u)−5/3 , 4/3+sqrt(8)/3*cosh(u) ] ,
u=−1.9..1.9 , thickness=6 , color=black ):
> Hyperbole_2 := spacecurve( [ sqrt(8)/3*sinh(u) , sqrt(8)/3*cosh(u)−5/3 , 4/3−sqrt(8)/3*cosh(u) ] ,
u=−2.4..2.4 , thickness=6 , color=black ):
> S1_1 := plot3d( [ 1/sqrt(2)*cosh(u)*cos(t) , 1/sqrt(2)*cosh(u)*sin(t) , 1/2+1/2*sinh(u) ] ,
t=0..6.3 , u=−b..b , numpoints=1000):
> S1_2 := plot3d( [ −1/sqrt(2)*cosh(u)*cos(t) , −1/sqrt(2)*cosh(u)*sin(t) , 1/2+1/2*sinh(u) ] ,
t=0..6.3 , u=−b..b , numpoints=1000 ):
> display ( S2 , S1_1 , S1_2 , DroiteD , DroiteD1 , Hyperbole_1 , Hyperbole_2 ) ;
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