MODELISATION DU RISQUE

MODELISATION DU RISQUE
TRAITEMENT DE
L’INCERTAIN
Adda Benslimane CNA Alger
11/2005
I-CRITERES DE DECISION DANS
L’INCERTAIN
Exemple d’illustration des
différents critères. Trois
types de contrats
d’assurances et pour
chacun d’eux trois
éventualités.
Les montants expriment
les gains et les pertes
rassemblés dans une
matrice de paiements.
E1
E2
E3
A1
12
-6
24
A2
36
12
48
A3
-3
60
30
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a) Critère de Laplace-Bayes
Aucune information sur les probabilités. Selon ce
critère, on assigne la même probabilité aux différents
évenements.
Les résultas sont donc :
E(A1) = 1/3 (12) + 1/3 (-6) + 1/3 (24) = 10
E(A2) = 32 et E(A3) = 29
Le choix sera porté sur A2 avec un profit espéré de 32.
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b) Critère du Maximin
Il correspond à la stratégie de la prudence.
Dans notre exemple, les moins bons résultats sont -6, 12
et -3 et le meilleur de ces trois résultats est 12.
Le choix sera donc A2.
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c) Critère du Maximax
C’est l’opposé du Maximin et traduit une préférence
pour le risque. On établit les trois éventualités les plus
favorable et on sélectionne celle qui a la plus forte
valeur.
Dans notre exemple, on a 24, 48 et 60. Selon ce critère
c’est A3 qui est choisit.
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d) Critère d’Hurwicz
Sorte de compromis entre les deux précédents critères.
Ici le décideur doit assigner une probabilité aux maxima
et aux minima de chaque contrat. Selon l’attitude qu’il a
vis-à-vis du risque, la pondération sera différente.
Supposons q’il affecte 1/3 au résultat le plus faible et 2/3
au résultat le plus favorable. On obtient les évaluations
suivantes :
A1 : 1/3 (-6) + 2/3 (24) = 14
A2 : 36 et A3 : 39 c’est le contrat A3 qui sera choisi.
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e) Critère du Minimax-Regret
Il exprime en quelque sorte l’insatisfaction d’un décideur
qui regrette le choix effectué. Supposons que notre
agent ait choisi A1 et obtenu 12 dans le cas de
l’éventualité E1. S’il avait sélectionné A2, le gain
correspondant à E1 aurait été de 36 ; le choix de A1 a
donc entraîné un manque à gagner de 36 – 12 = 24
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Matrice des regrets
En procédant de la même
manière pour tous les
résultats, on peut
construire la matrice des
regrets. Le but de cette
méthode est de protéger
le décideur contre des
coûts d’opportunité
excessifs. Dans ce cas le
décideur adopte le
contrat A3.
E1
E2
E3
A1
24
66
24
A2
0
48
0
A3
39
0
18
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II- CRITERES DE DECISION SOUS RISQUE
a)Le critère de l’espérance mathématique
et le paradoxe de Saint-Pétersbourg
-L’espérance mathématique. Appelée également
valeur probable permet de comparer des situations
aléatoires qu’on appelle loteries.
Si X peut prendre des valeurs x1, x2, x3 avec les
probabilités p1, p2 et p3
E(X) = x1p1 + x2p2 +x3p3. De façon générale
E(X) = ∑xi pi
Ce critère a une portée limitée, n’intéresse que les
agents qui sont indifférents aux risque. Critère
pertinent dans certaines conditions ou la loi des
grands nombres s’applique ; le cas du marché de
l’assurance. Adda Benslimane CNA Alger
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-
Le paradoxe de Saint-pétersbourg. Le jeu consiste à jeter
une pièce de monnaie jusqu’à ce que face apparaisse.
Si face apparaît au nième lancer, le gain est de 2ⁿ €
moins la mise initiale. Quelle que soit la mise initiale,
l’espérance mathématique de ce jeu est égale à :
(1/2)2 + (1/2)² 2² + (1/2)³ 2³ + …+(1/2)ⁿ 2ⁿ = ∞
Devant ce jeux, on devrait sauter sur l’occasion et
participer quelque soit le montant de la mise. Et
pourtant! On ne trouverait personne capable de miser
plus de 4 €. C’est que la mise ne correspond pas au gain
espéré mais, à l’espérance d’une fonction de gains qui
traduit l’attitude devant le risque.
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b) Utilité espérée, équivalent certain et prime de
risque
-Critère d’utilité espérée. Les travaux de von Neumann
et Morgenstern (VNM) ont porté sur la construction d’une
fonction d’utilité. Soit une loterie x = (c1,p1 ; c2,p2 ;
c3,p3) avec p1 + p2 + p3 = 1. Le théorème de VNM
permet d’écrire :
V(x) = p1U(c1) + p2U(c2) + p3U(c3) la fonction V est
appelée Index de Bernoulli et la fonction U la fonction de
VNM.
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- Equivalent certain et prime de risque
Par définition un individu averse au risque préfère
toujours l’espérance des gains d’une loterie x = (c1,p1 ;
c2,p2), c’est-à-dire un montant certain, à la loterie ellemême. Ce qui peut s’écrire V(E(x)) > V(x) ou encore
U(p1c1 + p2c2) > p1U(c1) + p2U(c2) ; ce qui peut être
représenté par le graphique suivant illustrant la fonction
d’utilité d’un tel agent :
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Utilité de l’euro
G
20
18
E
C
14
10
F
Prime de
risque
A
Euro
10
16
20
30
40
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Le degré d’aversion au risque d’un individu peut être également décrit en
terme de courbes d’indifférence établissant une relation entre le revenu
espéré et la variabilité du revenu.
Revenu espéré
U1
(individu fortement averse au risque)
b1
a1
U2
(individu faiblement averse au risque)
b2
a2
Écart-type du
revenu
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III- MECANISMES INCITATIFS ET MARCHE DE
L’ASSURANCE
Asymétrie d’information (AI) : caractéristique du marché
de l’assurance.
Deux problèmes liés à l’AI qui sont :
* La sélection adverse ou l’anti-sélection. Phénomène
selon lequel les mauvais risques peuvent se faire passer
pour de bons risques parce que l’assureur ne peut pas
observer toutes les caractéristiques qui affectent leur
probabilité de sinistre.
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* Risque moral ou aléa moral définit comme un risque
supplémentaire que crée lui-même un assuré en
diminuant sa prévention du risque fondamental parce
que, justement, il est assuré. Le risque moral introduit
une inefficacité dans le mécanisme d’assurance.
Conjugués, ces deux phénomènes conduisent
inévitablement à des allocations inefficaces. L’AI crée un
problème de principal-agent. Une relation d’agence
apparaît lorsque les agents poursuivent leurs propres
buts que ceux du principal.
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Les conditions sous lesquelles, en présence d’aléa moral
et de sélection adverse, existent des mécanismes
incitatifs et collectivement efficaces doivent toutefois être
appréciées au regard de deux hypothèses centrales :
- la transférabilité des utilités
- les valeurs privées qui sont connaissances communes.
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