Résistance des matériaux Torsion

Résistance des matériaux
Torsion
Ce chapitre ne traite que de la torsion simple des poutres cylindriques droites à section
circulaire.
1 Hypothèses sur le solide
Le solide étudié est un cylindre de révolution.
Le diamètre de la section est constant.
Le poids du solide est négligé.
La surface du cylindre est parfaitement polie.
Les déformations seront toujours limitées au domaine élastique.
•
•
•
•
•
2- Définition
Considérons un solide  E  conforme aux hypothèses
ci-dessus et une section droite S  de centre de
surface G. La section S  de  E  est sollicité en
torsion simple si dans G , 
x,
y , z  les éléments de
réduction du torseur de cohésion s'expriment par :
{T coh }=
G
{

R = 0

M G =M t x
}
{ }
0
soit {T coh }= 0
G 0
Mt
0
0

x , y , 
z
3- Contrainte maximale de torsion
On admet qu'en cas de torsion, les
contraintes dans la section
S  sont
uniquement tangentielles et proportionnelles
à la distance GM.
Si on désigne par ∣M t∣ le moment de torsion et par r le rayon maximal de l'arbre ; la
contrainte maximale de torsion s'exprime alors par :
∣∣max =
Soit :
∣M t∣

I0
r
avec
I 0=
d 4
32
(cylindre plein) et
I 0 
(cylindre plein) et
=
r 
I 0=
D 4 −d 4 
(cylindre creux)
32
I 0 
(cylindre creux)
=
r 
4- Condition de résistance
41- Critère de limite élastique
Les contraintes normales étant nulles, on utilise limite élastique
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e
utilisée au
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cisaillement. Cette limite peut être déduite de la limite élastique en traction  e  pour la
majorité des métaux. Par contre il est préférable de pratiquer un essai de torsion pour les
matériaux fragiles.
Critère de Tresca
Critère de Von Mises
e =
e
2
e =
e
3
≈0,58⋅ e
42- Condition de résistance
Si on note
–
–
s : coefficient de sécurité
k : coefficient de concentration de contrainte (déterminé sur tableaux ou abaques)
alors :
sans concentration de contrainte
avec concentration de contrainte

≤ e
s
≤
e
k⋅s
5- Déformation à la torsion
D'après la loi de Hooke pour les contraintes tangentielle (non étudiée dans ce cours), on
peut écrire pour une poutre soumise à un moment de torsion M t :
M t =G⋅⋅I 0
avec : M t en Nmm ; G en Mpa ; I0 en mm4
– Remarque : G est le module d'élasticité de glissement (ne pas confondre
avec E : module d'élasticité longitudinale)
–
6- Ressort hélicoïdal à fil rond
On montre aisément qu'un ressort
hélicoïdal soumis à l'action de deux
glisseurs opposés est soumis à des
contraintes de torsion.
Contrainte maximale :
max =
8⋅F max⋅D
⋅d 3
Flèche sous charge F :
f=
8⋅F⋅D 3⋅n
4
G⋅d
Remarque : Rigidité
On sait que pour un ressort, dans la zone de déformation élastique, il y a proportionnalité
entre la charge axiale notée F et la déformation correspondante ou flèche notée f.
F =k⋅f
avec : f =h0−h
h0 : hauteur utile à vide
h : hauteur sous charge F
k : rigidité du ressort (en N/mm)
D'après les relations ci-dessus, on peut écrire l'expression de la rigidité suivante :
–
–
–
4
k=
G⋅d
8⋅D 3⋅n
(k en N/mm)
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