torsion simple

TORSION
• Solide idéal: matériau homogène, isotrope, poutre rectiligne, de section constante et circulaire.
• Les actions extérieures dans les sections extrêmes sont modélisables par deux moments opposés,
portés par la ligne moyenne. La poutre est donc soumise à deux torseurs couples:
(S0)
Ligne moyenne (S1)
MA
B
A
I.
MB
(S
)
DEFINITION
y
Une poutre est sollicitée à la torsion simple si le
torseur associé aux forces de cohésion de la partie
droite (II) sur la partie gauche (I) de la poutre peut
se réduire en G, barycentre de la section droite (S) à
un moment perpendiculaire à (S), tel que:
y
MA
0
G
avec
Mt
N = 0, Ty = 0, Tz = 0
Mt
0, Mfy = 0, Mfz = 0
MG
G
z
0 Mt
z
donc =
G
I
I
A
Dans  (G,x ,y ,z ):
[Tcoh] =
f1II
f3II
0
0
0
0
f2II
x
I
REMARQUE:
[Tcoh] = -T(Actions ext.
donc
II.
I) = +T(Actions ext.
R = 0
et
II)
Mt = - MA
ETUDE DES DEFORMATIONS
On exerce un moment
MG1 dans la section droite (S1) et on mesure l'angle de rotation des sections (S )
et (S1) par rapport à (S0). On constate que:
x
=
1
l1
1
M'
(S0)
1
G0
Génératrice avant
déformation
(S1)
M1
M
M1'
(S)
= ...... = Cte.
G1
x
l1
Section S0 parfaitement encastrée dans
RDM- TORSION
MG1
Génératrice après
déformation
1
RDM
1/5
avec:
= angle unitaire de torsion (rad/mm).
1 = angle de rotation (S1)/(S0) (en rad).
l1 = distance séparant (S1) à la section de
référence (S0) (mm)
en fonction du moment
1
=
On peut écrire:
l1
La courbe donnant l'angle
MG1 fait apparaître deux zones :
MG1
domaine plastique;
III.
n'est pas proportionnel à
MG1
B
A
• La zone OA de déformation élastique, ouM
A
domaine élastique: où l'angle de rotation est
proportionnel au moment appliqué.
•La zone AB de déformation permanente, ou
Déformation
permanente
Déformation
élastique
0
REPARTITION DES CONTRAINTES DANS UNE SECTION DROITE
En un point M, la contrainte de torsion
moyenne.
y
MG0
z
est proportionnelle à la distance
Mt
G
de ce point à la ligne
y
max
Section droite
(S)
y
G0
M
y
F
M
M
M1
1
1
z
x
x
O
z
x
max
M
= .G. .
[Dans (O,x1,y1)
M
> 0 si
> 0 et
>
0]
M: contrainte tangentielle due à la torsion (MPa).
G: module d'élasticité transversale (de Coulomb) (MPa).
: angle de torsion unitaire (rad/mm).
: distance de M au centre de la section (mm).
La contrainte de torsion est nulle si M est sur la ligne moyenne ( = 0). La fibre neutre est confondue
avec la ligne moyenne.
La contrainte de torsion est maximale si M est sur la surface du solide ( = R = distance max.):
max.
IV.
= G. .R.
MOMENT QUADRATIQUE POLAIRE
Le moment quadratique polaire de la surface (S) par rapport à l'axe
(O, z) perpendiculaire en O au plan de cette dernière est:
I0 =
y
.( ². s)
I0: moment quadratique de (S) par rapport a (O,z) (mm 4).
: distance du point M au point O (mm).
S: surface élémentaire entourant le point M(mm2).
S
S
M
O
x
Surface
élémentaire
Point M
considéré
Distance de M
ààààO O
RDM- TORSION
RDM
2/5
MOMENTS QUADRATIQUES PARTICULIERS
y
y
D
d
z
z
O
O
x
.d4
I0 =
V.
I0=
32
x
d
4
32
4
.(D -d )
ETUDE DES DEFORMATIONS
1- Equation de déformation
Dans le domaine élastique, le moment de torsion Mt est proportionnel à l'angle unitaire de torsion :
Mt = G. .I0 si
Sens positif pour l'angle de
rotation
> 0 Mt > 0
(S)
y
Mt: moment de torsion (Nmm).
MO
G: module d'élasticité transversal (de Coulomb) (MPa).
: angle de torsion unitaire (rad/mm).
I0: moment quadratique de (S) par rapport a (O, x) (mm4).
z
M
Mt
M'
G
O
* Voir valeurs de G pour différents matériaux dans cours cisaillement.
=
l
0
2- Condition de rigidité
0
Pour les arbres de grande longueur (arbres de forage de puits de pétrole, arbres de navires
importants) on évite de trop grandes déformations de torsion qui risqueraient d'engendrer des vibrations
trop importantes pour un fonctionnement correct. A cet effet, on impose un angle unitaire limite de
torsion: lim. à ne pas dépasser ( lim: 0,25 °/m, par exemple).
(S0)
lim
VI.
Mt
ou
G.Io
lim.
x
Mt: moment de torsion (Nmm).
G: module d'élasticité transversale (de Coulomb)
(MPa).
I0: moment quadratique de (S) par rapport à (O,z)
(mm4).
ETUDE DE LA RESISTANCE
3- Contraintes de torsion
Valeur de
Contrainte de torsion en fonction de Mt:
=
Mt
Io
en un point M
y
La contrainte en un point M d'une section
droite est:
M
M
GM =
M
MG0
.
O
M : contrainte tangentielle due a la torsion (MPa)*.
z
Mt: moment de torsion (Nmm).
I0: moment quadratique polaire de la section droite considérée (mm 4).
: distance du point M à la fibre neutre (mm).
RDM- TORSION
Mt
G
x
d=2R
RDM
3/5
4- Contrainte maximale de torsion
Il faut rechercher la section (S) dans laquelle le moment de torsion est maximal. Dans celle-ci la
contrainte est maximale au point le plus éloigné de l'axe ( = R).
max. =
Mtmax
Io
.R ou
max. =
Mtmax
I0
(
)
R
Tmax.: contrainte maximale tangentielle (MPa)*.
Mt max.: moment de torsion maximale (Nmm).
I0: moment quadratique polaire de la section (S) (mm4).
R: distance du point le plus éloigne de la fibre neutre à cette dernière (mm).
I0
(
): module de torsion (mm3).
R
* 1 MPa = 1 N/mm2
REMARQUE:
Ces relations sont valables uniquement pour les sections circulaires!
5- Condition de résistance
Pour des raisons de sécurité, la contrainte de torsion doit rester inférieure à la résistance pratique
au glissement Rpg est le quotient de résistance élastique au glissement R pg par le coefficient de
sécurité s. (Voir la relation entre Re et Reg dans le cours sur le cisaillement)
Rpg =
Reg
s
Rpg: résistance pratique au glissement (MPa).
Reg: résistance élastique au glissement (MPa).
s: coefficient de sécurité (sans unité) (voir valeurs dans le cours sur le cisaillement).
La condition de résistance est:
max.
Rpg
ou
Mt max
I0
(
)
R
Rpg
VII. SOLIDE REEL
les arbres présentent généralement de brusques variations de sections (gorges, épaulements,
rainures de clavettes. . .). Au voisinage de ces variations de section, la répartition des contraintes n'est
pas linéaire. Il y a concentration de contrainte.
eff. max.
= Kt.
théorique
eff. max.:
contrainte maximale effective (MPa).
théorique contrainte théorique sans concentration (MPa).
Kt: coefficient de concentration de contrainte relatif a la torsion.
Kt est déterminé par des tableaux ou abaques
(voir les valeurs expérimentales dans tableau).
Kt pour rainures de clavettes
Rayon congé
r
=
0.5 0.3 0.2
Profondeur rainure
c
Coefficient Kt
2.1
2.7
3.5
c
M
Rayon du
congé: r
0.1
5.4
M'
M
M'
=
eff max
théorique
= Kt.
théorique
théorique
M
RDM- TORSION
RDM
Kt.
théorique
4/5
Kt pour épaulement et congé
r/d
0.0 0.1 0.1 0.2 0.2
5
5
5
D/d
1.09
1.3
1.2
1.6
1.5
1.7
2
1.8
r/D
D/d
1.02
1.05
1.3
1.1
8
1.3
5
1.4
5
1.6
1.1
5
1.2
5
1.3
1.1
1.1
1.1
1.2
1.1
8
1.2
2
1.2
5
1.1
5
1.2
1.2
5
1.3
1.3
5
0.3
d
D
r
1.2
2
Kt pour gorge
0.0
5
0.1
0.1
5
0.2
0.2
5
0.3
1.3
5
1.5
5
1.8
1.3
1.5
1.7
1.5
1.7
2.5
1.1
5
1.2
1.1
5
1.2
1.7
2.2
2.7
1.3
1.2
5
d
r
A
Kt pour arbre avec trou de goupille
d/D
0.0
5
0.1
0.1
5
0.2
0.2
5
0.3
Kt
1.3
5
1.3
1.5
1.7
1.1
5
1.1
5
I0/V
.d3
16
-
D
AA
d
d.D²
A
6
D
MÉTHODE DE CALCUL
1. Calculer m ou max.
2. Analyser la nature ou la géométrie (épaulement, gorge...) et choisir la courbe ou le tableau
correspondant
r
r
D
3. Calculer
,
,
.
c
D
d
4. Déterminer la valeur de Kt correspondante
5. Calculer
eff. max.
= Kt.
théorique
6. Ecrire la condition de résistance
eff. max.
Rpg
EXEMPLE DE CALCUL:
Déterminer Kt pour une rainure de clavette ayant un congé dans l'angle inférieur r= 0,3 (fig. 3) et pour
un arbre de diamètre
RDM- TORSION
RDM
5/5