Calcul de la fréquence des notes de la gamme tempérée

Gamme tempérée
Fréquences des notes (en hertz)
Ÿ Fréquence de référence
La fréquence du la3 est fixée à 440 Hz.
Ÿ Octaves
Le rapport des fréquences de deux notes à l'octave est de 2.
"Monter d'une octave" équivaut à "multiplier la fréquence par 2". Par exemple
fréquence du la3 = 440 Hz; fréquence du la4 = 880 Hz; fréquence du la5 = 1760 Hz; etc.
"Descendre d'une octave" équivaut à "diviser la fréquence par 2":
fréquence du la2 = 220 Hz; fréquence du la1 = 110 Hz.
Ÿ Demi-tons
La gamme tempérée est caractérisée par des demi-tons égaux. Le rapport des fréquences de deux demis-tons est r.
"Monter d'un demi-ton" équivaut à "multiplier la fréquence par r".
L'octave étant partagée en 12 demi-tons égaux, on peut dire que "monter d'une octave" équivaut à "monter de 12 demi-tons",
ce qui conduit à l'équation
2 = r12
On peut maintenant en déduire le rapport des fréquences de deux demis-tons
r=
12
2 > 1.05946
Ÿ Fréquence d'une note
Selon la règle "monter d'un demi-ton" équivaut à "multiplier la fréquence par r", on peut calculer la fréquence des notes:
fréquence du Ilað M3 = (440 Hz) × r > 466.16 Hz
fréquence du HsiL3 = (440 Hz) × (r2 M > 493.88 Hz, etc.
Selon la règle "descendre d'un demi-ton" équivaut à "diviser la fréquence par r", on peut calculer la fréquence des notes:
fréquence du Isolð M3 = (440 Hz) / r > 415.3 Hz
fréquence du HsolL3 = (440 Hz) / (r2 M > 392 Hz, etc.
La formule est donc
fréquence HnoteL = H440 HzL rn
où n est le nombre de demi-tons entre la note et le la3 , compté positivement vers le haut ou négativement vers le bas, par
exemple
fréquence Hdo4 L = H440 HzL r3 > 523.251 Hz
fréquence Hré3 L = H440 HzL r-7 > 293.665 Hz
Ÿ Tabelle des fréquences (avec Mathematica)
r = NB
12
2 F
1.05946
2
Frequences.nb
octave@3D = TableA440 * rk , 8k, -9, 2<E
8261.626, 277.183, 293.665, 311.127, 329.628,
349.228, 369.994, 391.995, 415.305, 440, 466.164, 493.883<
octave@k_D := 2k-3 * octave@3D
tabelle3 = Table@octave@kD, 8k, 0, 9<D;
NumberForm@
TableForm@Transpose@tabelle3D, TableHeadings ® 88"do", "doð", "ré", "réð", "mi",
"fa", "fað", "sol", "solð", "la", "lað", "si"<, Range@0, 9D<D, 5D
do
doð
ré
réð
mi
fa
fað
sol
solð
la
lað
si
0
32.703
34.648
36.708
38.891
41.203
43.654
46.249
48.999
51.913
55
58.27
61.735
1
65.406
69.296
73.416
77.782
82.407
87.307
92.499
97.999
103.83
110
116.54
123.47
2
130.81
138.59
146.83
155.56
164.81
174.61
185.
196.
207.65
220
233.08
246.94
3
261.63
277.18
293.66
311.13
329.63
349.23
369.99
392.
415.3
440
466.16
493.88
4
523.25
554.37
587.33
622.25
659.26
698.46
739.99
783.99
830.61
880
932.33
987.77
5
1046.5
1108.7
1174.7
1244.5
1318.5
1396.9
1480.
1568.
1661.2
1760
1864.7
1975.5
6
2093.
2217.5
2349.3
2489.
2637.
2793.8
2960.
3136.
3322.4
3520
3729.3
3951.1
7
4186.
4434.9
4698.6
4978.
5274.
5587.7
5919.9
6271.9
6644.9
7040
7458.6
7902.1
8
8372.
8869.8
9397.3
9956.1
10548.
11175.
11840.
12544.
13290.
14080
14917.
15804.
Export@"Tabelle.html", PaddedForm@TableForm@Transpose@tabelle3DD, 86, 1<DD
Tabelle.html
Ÿ Lien hypertexte vers la page mère: Musique
http : //www.deleze.name/marcel/physique/musique/
9
16744.
17740.
18795.
19912.
21096.
22351.
23680.
25088.
26580.
28160
29834.
31609.