Première S - Equations trigonométriques

Equations trigonométriques
I) Equations de la forme cos
= cos a
a est un nombre réel donné.
• Si a est différent de 0 +
alors :
L’ensemble des solutions de l’équation cos
;
• Si a =0
S=
;
• Si a =
S=
;
∈ ;
alors : cos
= cos a est :
′ ∈ = 1 a pour ensemble de solutions :
∈ alors : cos
∈ ;
= -1 a pour ensemble de solutions :
Exemples : Résoudre les équations :
a) cos = cos
b) cos
c) cos2 = cos
d) cos (
e) cos
=
√
6
)
=
=2
Solutions:
a) cos = cos
=
+ 2
S= b) cos
ou
=
;
√
=
+ 2
(
)
comme cos (
) =
√
on obtient alors :
cos = cos
=
+ 2
S= ou
;
=
+ 2
(
)
c) cos2 = cos
2 =
+ 2
(
+
=
S= (
6
=
=
)
=
=
6
)
ou
Comme
cos (
) =
(
) ou
+ 2
(
) ou
(
)
=
+ 2
=
ou
=
=
+ 2
(
)
ou
=
=
+ 2
(
)
ou
=
;
S= e) cos
+
(
(
on obtient :
(
+ 2
Il n’existe pas de réels
+ 2
+ 2
= 2 n’a aucune solution.
tel que cos
L’ensemble des solutions est : S = ∅
=2
)
+ 2
≤ 1 alors cos
)
(
=2
Comme -1 ≤ cos
4
+ 2
)
= cos (
+ 2
=
2
+ 2
2 =
ou
;
)
)
d) cos (
cos (
a pour solutions :
(
)
(
(
)
)
)
)
II) Equations de la forme sin
= sin a
a est un nombre réel donné.
• Si a est différent de
ou de
L’ensemble des solutions de l’équation sin
;
alors : sin
• Si a =
S=
′ ;
;
• Si a =
;
= sin a est :
′ ∈ = 1 a pour ensemble de solutions :
∈ alors : sin
S=
∈ ;
alors :
= -1 a pour ensemble de solutions :
∈ Exemples : Résoudre les équations :
a) sin = sin
b) sin =
c) sin2 = sin
d) sin (
e) sin
4
)
= -3
Solutions:
a) sin = sin
=
+ 2
ou
=
=
+ 2
ou
=
S= b) sin =
;
+ 2
+ 2
comme sin (
) =
on obtient alors :
sin = sin
=
+ 2
ou
=
+ 2
=
√
S= ;
c) sin2 = sin
2 =
a pour solutions :
+ 2
=
(
+
)
(
)
ou
2
ou
2 =
=
S= d) sin (
sin (
+
=
) =
4
=
comme sin (
+
+ 2
ou
=
ou
=
S= e) sin
= -3
;
) =
√
=
+ 2
+ 2
+ 2
Comme -1 ≤ sin ≤ 1 alors sin
Il n’existe pas de réels
+ 2
+
= -3 n’a aucune solution.
tel que sin = -3
L’ensemble des solutions est : S = ∅
(
)
(
(
on obtient alors :
ou
+ 2
+ 2
+ 2
√
) = sin
4
=
;
6
)
)