Cor Exe rrection DM ercice 85 p M6 249 :

Corrrection DM
M6
Exeercice 85 p 249 :
Exercice 2 :
Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal 0; ; , on désigne par A le point d’affixe 1 et par
B celui d’affixe -1 . Vous complèterez la figure donnée en annexe au fur et à mesure.
Partie A
Soit z , l’affixe du point M. On appelle « module de z » , noté | |, le réel positif tel que | |
1. Soit
, | |
dans un repère orthonormal.
2. Soit ̅ le conjugué de z.
| |
et
̅
On a bien pour tout complexe z : | |
̅.
.
On admettra pour la suite de l’exercice que pour tout complexe z1 et z2 on a
Partie B
Soit f la transformation du plan qui à tout point M d’affixe
1
̅ 1
1. Soit C le point d’affixe 2
.
|
|
|
|
.
1, associe le point M’ d’affixe z’ tel que
a)
affixe du point C’, image de C par la transformation f.
b) C’ appartient au cercle, C, de centre O et de rayon 1 si et seulement si | | 1.
4
3
4
3
16 9
| |
1
5
5
5
5
25 25
C’ appartient bien au cercle, C, de centre O et de rayon 1.
c)
2
1; 1 donc
3; 1 .
′
1;
′
donc
;
.
Ces coordonnées sont proportionnelles donc ces deux vecteurs sont colinéaires, ainsi les points A, C et
C’ sont alignés.
2. Soit l’ensemble Δ des points du plan qui ont pour image le point A par la transformation f. On a
donc 1
̅
.
Pour résoudre cette équation il faut d’abord dire que z doit être différent de 1.
̅ 1 1
1 1
2
2
1
L’ensemble Δ des points du plan qui ont pour image le point A par la transformation f est donc la
droite d’équation
1, parallèle à l’axe des ordonnées, passant par le point A mais privée du point
A.
3. Montrons que pour tout point M distinct de A, le point M’ appartient au cercle C.
| |
|
|1
| |1
1
1
| ′|
|
|
| ̅ 1| |
̅ 1
1|
1
Le point M’ appartient bien au cercle C.
1,
4. Montrons que pour tout nombre complexe
1
1
1
̅
1
1
1
1
̅
̅
1
1
1
1
est un nombre réel.
̅
2
̅
̅
2
1
2
2
1
estt bien un nombre réel.
1 est
e l’affixe du
d vecteur
′ et
1 est l’afffixe du vectteur
′ . Si
S
est un
u nombre rééel,
cela siggnifie que lees coordonnnées de ces 2 vecteurs sont proporttionnelles ett les points A,
A M et
M’ sontt alors align
nés.
5. On a placé un poinnt D sur la figure.
fi
Pour construire son
s image D’
D par la traansformationn f, à la règlle
AD), son intersection avec
a
le cerclle C est le point
p
D’.
non graaduée, il sufffit de tracerr la droite (A