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Amérique du Sud novembre 2004
PARTIE A
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O ; u , v )
Pour réaliser la figure on prendra pour unité graphique 1 cm.
Soit P le point d'affixe p où p = 10 et  le cercle de diamètre [OP]
On désigne par  le centre de  .
Soient A , B et C les points d'affixes respectives a, b et c où :
a = 5 + 5i
,
b = 1 + 3i
et
c = 8 – 4i
1) Montrer que A, B et C sont des points du cercle 
2) Soit D le point d'affixe 2 + 2i
Montrer que D est le projeté orthogonal de O sur la droite (BC)
PARTIE B
A tout point M du plan différent de O, d'affixe z, on associe le point M' d'affixe z' tel que z' =
20
où z
z
désigne le nombre conjugué de z.
1) Montrer que les points O , M , M' sont alignés
2) Soit  la droite d'équation x = 2 et M un point de  d'affixe z. On se propose de déterminer
géométriquement le point M' associé au point M.
a) Vérifier que z + z = 4
b) Exprimer z' + z ' en fonction de z et z et en déduire que : 5  z 'z '  =z ' z '
c) En déduire que M' appartient à l'intersection de la droite (OM) et du cercle  . Placer M' sur la figure
Corrigé
PARTIE A
1)  est le cercle de diamètre [OP] donc son rayon est 5 et son centre  est le milieu de [OP] d'où


z Oz P
2

c'est à dire  (5). Les points A , B et C seront sur le cercle  si et seulement si A=B=C=5
d'où A= ∣55 i – 5∣ = ∣5 i∣ = 5
C= ∣8 – 4 i – 5∣ = ∣3 – 4 i∣ =
B= ∣13 i – 5∣ = ∣– 43 i∣ =
 25 = 5
 25 = 5 et les points A , B et C sont donc sur le cercle 
2) Montrons que B , D , C sont alignés.

BD z D – z B 

BC z C – z B 

BD 22 i – 1 – 3 i

BC 8 – 4 i – 1 – 3 i

BD1 – i 

BC 7 – 7 i
On constate que 
BC=7 
BD d'où les vecteurs sont colinéaires et les points B , C , D sont alignés
Démontrons alors que 
BC sont orthogonaux
OD et 
On a : 
BC ( 7 ; –7 )et 
BC . 
OD ( 2 ; 2 ) d'où 
OD = 7 × 2– 7 × 2 = 0
Ce produit scalaire étant nul, les vecteurs sont orthogonaux d'où la réponse.
M. Philippe 27/11/10
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PARTIE B
A tout point M du plan différent de O, d'affixe z, on associe le point M' d'affixe z' tel que z' =
20
où z désigne
z
le nombre conjugué de z.
z'
20
20
1)  
OM ; 
OM ' = arg z = arg z z . Or on sait que z z est un réel strictement positif d'où z z aussi et son
argument est donc 0+2k  . On a donc  
OM ; 
OM ' = 0 + 2k  et les points O , M , M' sont alignés
2) Soit  la droite d'équation x = 2 et M un point de  d'affixe z. On se propose de déterminer
géométriquement le point M' associé au point M.
a) M étant sur  son abscisse est 2 et son affixe peut donc s'écrire : z = 2 + iy. On a donc :
z + z = 2 + iy + 2 – iy = 4
b) z' + z ' =
20
20
20  zz 
80
+
=
=
z
z
zz
zz
On a donc : 5  z 'z '  =
400 20 20
=
= z ' z'
zz
z z
c) Démontrons que M' est sur  c'est à dire que M'=5
 M ' 2 = ∣z ' – 52∣ = ∣z' – 5∣∣z' – 5∣ = ∣z ' – 5  z ' – 5 ∣ = ∣z ' z ' – 5  z 'z ' 25∣ d'où en utilisant 2) b), on
obtient  M ' 2 = ∣25∣ et  M ' = 5 d'où M' est sur  et comme d'après la question 1), O , M et M' sont
alignés, on en déduit que M' appartient à l'intersection de la droite (OM) et du cercle  .
M. Philippe 27/11/10
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