Pourquoi les antennes de réception satellites sont

Pourquoi les antennes de réception satellites sont-elles
forcement paraboliques ?
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Table des matières
I - Expérience............................................................... 3
1) Histoire d'onde............................................................................ 3
2) Cuve à ondes.............................................................................. 3
3) Laser.......................................................................................... 7
II - Mathématisation.................................................. 11
1) Problèmes................................................................................. 11
2) Première partie de la démonstration............................................ 11
3) Deuxième partie de la démonstration.......................................... 16
III - Conclusions........................................................ 17
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De nos jours, le principe du paraboloïde est utilisé dans la fabrication des
projecteurs, des spots, des phares automobiles. Par exemple, l'ampoule est
placée au foyer d'un réflecteur parabolique. On connaît déjà depuis longtemps
les formes familières des relais hertziens et des radars. Plus précisément, ce sont
des paraboloïdes de révolution, c'est à dire engendrés par la rotation d'une
parabole selon l'axe de symétrie. La parabole étant l'ensemble des points
équidistants d'une droite directrice et d'un point appelé le foyer. Enfin plus
récemment, nombreux sont les particuliers à posséder leur parabole pour
recevoir la télévision par satellite.
NB. Le terme "parabole" est incorrect mais pour une fois que les
mathématiques entrent a la maison, ne chicanons pas !
I - Expérience
1) Histoire d'ondes
Les ondes concernées par notre sujet sont des ondes de type électromagnétique, ou plus couramment onde radio. Ces ondes sont émises par un
satellite géostationnaire (exemples : Hot-Bird, Astra 1, Atlantic Bird 3). La
distance qui sépare le satellite de la Terre étant de 36000 km, on peut considérer
qu'à leur arrivée au niveau de l'antenne les ondes sont parallèles entre elles.
2) Cuve à ondes
Notre première expérience consiste à soumettre à un front d'ondes
rectiligne différente forme, dont une parabole pour modéliser la propriété de
réflexion de la parabole. Nous avons pour cela utilisé une cuve à ondes :
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La cuve à ondes est un dispositif de modélisation d'ondes constituées:
• D'un plateau supérieur au fond transparent, contenant un liquide à la
surface duquel sont produites les ondes.
• D'un éclairage, au dessus de l'appareil, projetant l'image de la surface du
liquide sur l'écran vertical, situé à l'avant de la cuve (grâce à un miroir
placé à 45° sous la cuve transparente).
• D'une réglette ouverte par le bas, permettant à l'air, propulsé par la
pompe de créer des vagues à la surface du liquide.
La lampe permet un éclairage stroboscopique de la surface de la cuve afin
d'étudier "au ralenti", voire "à l'immobilité apparente", le phénomène de
propagation des ondes à la surface du liquide.
Nous avons donc soumis à ce front d'ondes différentes formes
(quelconques, demi cercle, paraboles), ce qui a permis l'étude de la réflexion
des ondes.
Nous avons photographié les résultats de cette expérience:
Ici on est en présence de la forme quelconque, celle-ci ne devrait pas
présenter la propriété de focalisation des rayons que l'on cherche a étudier.
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Sur cette photo, on voit que les ondes sont réfléchies dans diverses
directions. Nous avons mis en évidence ce phénomène sur la photo suivante.
Cette forme ne permet donc pas la concentration des rayons.
Ici, nous sommes en présence du demi cercle. Cette forme-ci ne devrait pas
non plus focaliser les rayons.
Il apparaît ici aussi que les rayons partent dans diverses directions. En tout
cas il ne focalise pas. Nous avons à nouveau accentué le phénomène sur la
photo suivante :
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Le phénomène de dispersion des ondes est évident.
Et enfin pour terminer nous avons soumis notre forme parabolique au
vagues régulières de la cuve à ondes.
On voit apparaître sur cette photo une seule et unique tache centrale, le
point de concordance de toutes les ondes réfléchies. Nous avons accentué cette
caractéristique.
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Seule la forme parabolique permet d'obtenir un foyer. Mais nous avons tout
de même tenu à vous soumettre une deuxième expérience.
3) Laser
Cette fois ci, notre expérience consiste à envoyer 4 faisceaux lasers
parallèles sur une surface réfléchissante, une plaque de glaceuse
photographique, en forme de parabole ou en forme quelconque.
Nous avons photographié les résultats de cette expérience:
Pour la forme parabolique, nous avons pris la photographie suivante.
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Les rayons se croisent effectivement en un point unique. Pour rendre ceci
plus visible nous l'avons accentué, et voici le résultat.
Sur cette photographie, on a accentué le trajet des rayons incidents. Même
si leur parallélisme n'est pas parfait, le résultat obtenu est satisfaisant. Sachant
également que la découpe du support parabolique n'est pas exempte de défauts.
Sur cette photographie nous avons accentué les rayons réfléchis, afin de
mieux rendre compte de leur intersection en un unique point.
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Nous avons reproduit cette expérience en utilisant une forme quelconque.
En voici le résultat.
Comme précédemment nous avons accentué les rayons incidents puis
réfléchis.
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Nous voyons clairement ici que les rayons ne se focalisent pas.
On voit ici aussi que seule la parabole permet d'obtenir un point focal.
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II - Mathématisation
1) Problèmes
On cherche a démontrer que, considérant une surface réfléchissante
parabolique, tout rayon arrivant parallèle à l'axe de symétrie de la parabole se
coupe en un même point : le foyer.
Mathématiquement le problème revient a démontrer, d'une part que la
parabole admet la propriété considérée, et d'autre part qu'elle est bien l'unique
courbe du plan a admettre cette propriété.
2) Première partie de la démonstration
On va démontrer ici que la parabole admet un foyer. Ce foyer étant le point
d'intersection des rayons réfléchis.
Pour démontrer la propriété considérée on va chercher à changer de repère.
On passe du repère O , i , j  au repère M , tM , nM  . Le point M étant le
point d'intersection du rayon incident et de la courbe. La droite (T) étant la
tangente à la courbe au point M. La droite (N) est la normale à la courbe en M,
perpendiculaire à (T) passant par M. On va donc exprimer les vecteurs tM et
nM , les vecteurs unitaires directeurs de la tangente et de la normale, en
fonction de i et j .
Pour cela, on a besoin de poser x M et y M les coordonnées, dans le
repère O , i , j  , du point M. On a également y ' M coefficient directeur de
(T).
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La droite (T) est telle que, si l'on se déplace de 1 vers la droite, on se
déplace verticalement de y ' M , d'où l'on peut calculer que la distance
parcourue sera de :
d 1=  x M 1−x M ²y M −y ' M −y M ²=  1y ' M ²
Les coordonnées d'un vecteur directeur de (T) sont : 1,y ' M  .
D'où tm , le vecteur unitaire directeur de (T) :
tM =
i  j ×y ' M 
 1y ' M ²
Pour nM , vecteur normal a tm , on a comme coordonnées : −y ' M ,1
D'où nM le vecteur unitaire directeur de (N) :
nM =
−y ' M × i  j 
 1y ' M ²
On peut aussi exprimer le vecteur unitaire
incident, la droite (D) : ui =− j
ui , vecteur directeur du rayon
Pour faire le changement de repère, on va exprimer j dans le nouveau
repère M , tM , nM  , c'est à dire exprimer j en fonction de tM et nM .
Grâce aux équations de tM et nM on obtient le système :
tM =
nM =
 i  j ×y ' M 
 1y ' M ²
−i ×y ' M  j 
 1y ' M ²
1
2
On cherche tout d'abord i , d'après l'équation (1) on obtient :
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tM =
i  j ×y ' M 
 1y ' M ²
⇔ tM ×  1y ' M ²=i  j ×y ' M
⇔ i =tM ×  1y ' M ²−y ' M × j
Après quoi l'on peut exprimer j grâce à la seconde équation, l'équation
(2). On trouve donc :
−i ×y ' M  j 
nM =
 1y ' M ²
⇔ nM ×  1y ' M ²=−i ×y ' M  j
⇔ nM ×  1y ' M ²=−t M ×  1y ' M ²−y ' M × j ×y ' M  j
⇔ nM ×  1y ' M ²=−t M ×  1y ' M ²×y ' M y ' M ² × j  j
⇔ nM ×  1y ' M ²t M ×  1y ' M ²×y ' M =y ' M ² × j  j
⇔  1y ' M ²×nM t M ×y ' M = j ×y ' M ² 1
⇔ j =
⇔ j =
 1y ' M ²
y ' M ² 1
×nM t M ×y ' M 
nM t M ×y ' M 
 1y ' M ²
On trouve donc l'expression de j et sachant que ui =− j on trouve donc
pour ui :
−nM −t M ×y ' M 
ui =− j =
 1y ' M ²
Désormais, on peut exprimer le vecteur directeur unitaire du rayon réfléchi
en M, la droite (D'), u r, M :
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u r, M =
nM −t M ×y ' M 
 1y ' M ²
On est donc désormais en mesure d'exprimer u r, M dans O , i , j  :

−i ×y ' M  j   i  j ×y ' M 
u r, M =
×
−
×y ' M
 1y ' M ²  1y ' M ²
 1y ' M ²
1
⇔ u r, M =
1
 1y ' M ²
[
×
1
1y ' M ²

×−i ×y ' M  j −i  j ×y ' M ×y ' M 
⇔ u r, M =
1
×[ −i ×y ' M  j −i  j ×y ' M ×y ' M ]
1y ' M ²
⇔ u r, M =
1
×−i ×y ' M  j −i ×y ' M − j ×y ' M ×y ' M 
1y ' M ²
]
−2 ×y ' M  1 −y ' M ² 
⇔ u r, M =
×i 
×j
1y ' M ²
1y ' M ²
Grâce à ce vecteur directeur, on peut désormais donner l'équation de la
droite (D'), représentant le rayon réfléchi. Cette équation est de la forme :
2 ×y ' M
1y ' M ²
y
1 −y ' M ²
1y ' M ²
x c =0
Or (D') passe par M de coordonnées x M , y M  donc l'équation devient :
2 ×y ' M
1y ' M ²
y −y M 
1 −y ' M ²
1y ' M ²
x −x M =0
ce qui peut donc s'écrire plus simplement :
2 ×y ' M y −y M 1 −y ' M ²x −x M =0
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Or, on cherche à montrer que dans le cas d'une parabole, on a un point
unique d'intersection, quelque soit la droite (D'), avec l'axe des ordonnées, ce
point a donc pour coordonnées 0, y F  , avec y F constant. Si la courbe est
une parabole, on a alors :
y =a x²
D'où l'on a aussi:
y ' M =2a x M
et l'expression de y F est :
2 ×y ' M y −y M 1 −y ' M ²x −x M =0
⇔2 ×y ' M y F −y M −1 −y ' M ²x M =0
⇔2 ×y ' M y F =1 −y ' M ²x M 2 ×y ' M y M
⇔y F =
1 −y ' M ²x M
2 ×y ' M 
⇔y F =y M 

1 −y ' M ²
2 ×y ' M 
2 ×y ' M y M
2 ×y ' M 
xM
Grâce à cette dernière expression et au 2 précédentes, on peut donc écrire :
y F =y M 
1 −y ' M ²
2 ×y ' M 
⇔ y F =ax M ²
x M ⇔ y F =ax M ²
1 −4a² x M ²
⇔ yF =
4a x M 
1 −2a x M ²
2 ×2a x M 
x M ⇔ y F =ax M ²
4a²x M ²1 −4a² x M ²
4a 
⇔ yF=
xM
1 −4a² x M ²
4a 
1
4a 
On trouve donc que y F est constant, et dépend uniquement du paramètre
de la parabole.
On a donc prouvé que la parabole admettait un foyer, ce point étant le
point d'intersection de tous les rayons réfléchis par la parabole.
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3) Deuxième partie de la démonstration
Ici on va étendre le problème et montrer que seule la parabole permet de
concentrer les rayons en un point unique.
Pour ce faire on repart de l'expression général de y F . Pour qu'il y ait un
foyer, point d'intersection de tous les rayons réfléchis, il faut que y F soit
constant. Ce qui peut s'exprimer autrement en disant que la dérivée de y F par
rapport a x M est nulle :
y ' F =0
On va donc dériver y F par rapport a x M e repartant de l'expression
trouvé dans la partie précédente :
y F =y M 
1 −y ' M ²
2 ×y ' M 
xM
On trouve, au final, une équation différentielle : y'=x.y"
Posons pour
z=
x ≠0 :
y'
x
On obtient :
z'=
y ' ' x −y '
x²
Or cherche y ' =x y ' ' ce que l'on peut aussi s'exprimer :
z'=
y ' ' x −y '
=0
x²
Or si z ' =0 alors z =b avec b constant.
D'où y ' =b ⇔ y ' =bx
x
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On trouve donc :
y=
1
bx²C
2
Avec C une constante et en posant b =2a on obtient finalement
y =ax² C pour x non-nul. On a prouvé dans la partie précédente que la
parabole admettait un foyer, ici on prouve qu'elle est bien la seul courbe le
permettant.
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III - Conclusions
Les antennes de réception satellite, ont pour objectif de recevoir les ondes
émises par les satellites géostationnaires, tournant à la même vitesse que le
mouvement de rotation de la terre. Ces antennes sont munies d'une tête, qui est
prévue pour recevoir certaines fréquences d'ondes électromagnétiques, ondes
radios. Au vu de la faible puissance des ondes arrivant au niveau du sol, il faut
réussir à concentrer de nombreux rayons pour avoir un signal suffisamment
puissant.
C'est donc le rôle du réflecteur de concentrer les rayons sur la tête. La tête
doit être placée sur le foyer et l'axe central du réflecteur doit pointer le satellite
voulu. Ainsi, les ondes arrivant au niveau du réflecteur sont bien parallèles à
l'axe de celui ci.
Comme on l'a observé lors des expériences et démontré lors de la
mathématisation, seul un réflecteur de forme parabolique permet d'obtenir ce
résultat.
C'est donc pour cela que les antennes de réception satellites sont
parabolique.
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