Modélisation fine du changement de phase pour des écoulements

Modélisation fine du changement de phase pour des
écoulements compressibles
Gloria Faccanoni
Samuel Kokh
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Grégoire Allaire
SFME/LETR, CEA Saclay 91191 Gif-Sur-Yvette Cedex
CMAP, École Polytechnique 91128 Palaiseau Cedex
[email protected]
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Résumé
Ce travail porte sur la modélisation mathématique et la simulation numérique directe du changement de phase liquide-vapeur pour des écoulements de fluides compressibles. Nous utilisons un modèle diphasique à
interface diffuse et nous montrons que par un processus de relaxation on peut obtenir une loi d’état complète pour le mélange liquide-vapeur à saturation. Cette étape de relaxation est consistante avec d’une part
la description thermodynamique classique des équilibres liquide-vapeur et d’autre part l’optimisation d’une fonctionnelle convexe des espaces des états. Une analyse mathématique des propriétés de cette loi d’état
permet de montrer que le système des équations d’Euler fermées par cette loi d’état est strictement hyperbolique. Nous proposons donc un schéma d’approximation numérique consistante avec cette approche.
1. Position du problème : cadre diphasique avec interface diffuse
¦ Deux lois d’état pour chaque phase pure α = 1, 2 :
¦ Une loi d’état pour le mélange hors équilibre :
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§ yα fractions massiques,
§ τα volume, εα énergie interne ;
¯ !−1
∂ s α ¯¯
température,
§ Tα :=
¯
∂ε
α τα
¯
∂ s α ¯¯
P α := T α
pression ;
¯
∂τα εα
§
§ τ :=
P
§ ε :=
P
α
α
§
énergie totale.
1
τ
yατα volume,
yα = 1 ;
P
α
zα = 1 ;
=ρ=
P
α
zαρ α densité ;
yαεα énergie interne ;
§ (τ, ε) 7→ σ :=
§ (Pα, Tα) 7→ g α := εα + Pατα − Tα s α enthalpie libre (de Gibbs) ;
u2
:
e α = εα + 2
α
§ zα fractions volumiques,
§ (τα, εα) 7→ s α entropie (avec hessienne déf. strict. nég.) ;
Ã
P
u2
:
e =ε+ 2
P
α
yα s α(τα, εα) entropie hors équilibre ;
z ∈ [0, 1] donne la position de l’interface
Γ(t) := { (x, t) tels que 0 < z(x, t) < 1 }
énergie totale.
2. Changement de phase du 1er ordre : équilibre thermique, mécanique et chimique
(τ, ε) 7→ σ =
P
α
yα s α
(τ, ε) 7→ seq
Dans le mélange
entropie hors équilibre
Exemple : étude complète du cas Gaz Parfait / Gaz Parfait
entropie à l’équilibre
T1=T2
P1=P2
g 1= g 2
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
Construction :
max σ(τ,ε)
(yα ,τα ,εα )
(cf. [2, 5, 6])
enveloppe concave du
max{ s 1(τ,ε),s 2(τ,ε) }
ou
(cf. [7])
Par conséquent (τ, ε) 7→ seq a hessienne définie strictement négative dans les phases pures,
négative non strictement dans le mélange.
³
´
γα −1
Soit (τα, εα) 7→ s α := c vα ln εατα
avec
c v1 (γ1 − 1) 6= c v2 (γ2 − 1), c v1 6= c v2 et c v1 γ1 6= c v2 γ2 (cf. [3, p.228]).
Le calcul de seq est ramené au problème f (T) = 0 où f : (0, +∞) → R s’écrit
1
( ·
)
#
¸"
µ
¶
(γ1 −1)c v1 −(γ2 −1)c v2
(γ1 − 1) (c v2 ) c v2 (γ2 − 1)c v2 (γ1−1)c v1
(c v2 − c v1 )
+
T
exp(c
γ
−
c
γ
)
f (T) := c v1 1 −
v1 1
v2 2
c v1
(γ2 − 1) (c v1 )
(γ1 − 1)c v1
1
( ·
)
#
¸"
¶(γ1−1)c v1
(γ1 −1)c v1 −(γ2 −1)c v2
c v2 µ
(γ1 − 1)c v1
(c v2 )
(γ2 − 1)c v2
(γ2 c v2 −γ1 c v1 )
+ ε
T
−1
+
exp(c
γ
−
c
γ
)
v1 1
v2 2
c v1
(γ2 − 1)c v2
(c v1 )
(γ1 − 1)c v1
£ ¡
¢¤
+ τ c v2 − c v1 .
3. Système hydro-thermo-dynamique à l’équilibre instantané
4. Résolution numérique : schéma à pas fractionnaires
∂s ¯
∂τ ¯ε
P(ρ , ε) = eq ¯
∂ s ¯¯
∂ε ¯
eq ¯¯



∂ tρ + div(ρ u) = 0
∂ t(ρ u) + div(ρ u ⊗ u + P) = 0


∂ (ρ e) + div((ρ e + P)u) = 0
t
avec
Vn
τ
· la vitesse du son (τ, ε) 7→ c := −τ2 T P
∂ε2
− 2P
∂2 seq
∂ε∂τ
+
∂2 seq
∂τ2
1
Étape de relaxation
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
Projection
sur la variété d’équilibre
thermique, mécanique, chimique définie par la surface
∂ tρ + div(ρ u) = 0




∂ t(ρ u) + div(ρ u ⊗ u + P) = 0



  ∂ t (ρ e) + div((ρ e + P)u) = 0

(

 ∂ z + u · grad z = 0
t



 ∂ t y + u · grad y = 0


T1 = T2
Vn+1
(τ,ε)7→ seq (τ,ε)

¶ le système des équations d’Euler muni de la loi d’état (τ, ε) 7→ seq est strictement hyperbolique ,
2 eq
∂
s
2
Résolution numérique avec le schéma
quasi-conservatif à 5 équations (cf.
[1]) dusystème homogène à l’équilibre thermique Vn+ /2

Nous avons prouvé que
Ã
Étape convective
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
!
est C0 par morceaux.
5. Un exemple monodimensionel
On suppose qu’il y a 3 bulles de vapeur immergées dans le liquide. Les deux phases sont initialement immobiles. On crée artificiellement une compression en imposant une vitesse fictive sur les mailles à gauche
du domaine afin de simuler le mouvement d’un piston. On observe que ce mouvement va générer une onde se déplaçant de la gauche vers la droite. Lorsqu’elle atteint une bulle, elle va perturber l’équilibre
thermo-mécanique et les bulles de vapeur vont se liquifier.
Données initiales du problème de Riemann
Géométrie
Profil de l’interface
¦ 1D : un domaine de 1 m de longueur,
¦ caractéristiques des fluides :
Liquide Vapeur
£
¤
c v J·kg-1 ·K-1 1816.2 1040.14
γ (= c p/c v)
2.35
1.43
¦ Droite : mur,
¦ Gauche : piston upiston = +200 m/s.
¦ u|t=0 = 0 m/s de chaque coté de l’interface,
¦ T |t=0 = 400 K dans tout le domaine,
¦ (P, τ1, τ2)|t=0 (T) tels qu’il y a équilibre.
Références
[1] G. Allaire, S. Clerc et S. Kokh : A five-equation model for the simulation of interfaces between compressible fluids. J. Comput. Phys., 181(2):577–616, 2002.
[2] T. Barberon et P. Helluy : Finite volume simulations of cavitating flows. In Finite volumes for complex applications, III, p. 441–448 (electronic). Lab. Anal. Topol. Probab. CNRS, Marseille, 2002.
[3] H. B. Callen : Thermodynamics and an Introduction to Thermostatistics. Jhon Wiley & sons, second édn, 1985. ISBN 0-471-86256-8.
[4] F. Caro : Modélisation et simulation numérique des transitions de phase liquide-vapeur. Thèse de doctorat, École Polytechnique, 24 novembre 2004.
[5] P. Helluy et N. Seguin : Relaxation model of phase transition flows. To appear, 2006.
[6] P. Helluy : Quelques exemples de méthodes numériques récentes pour le calcul des écoulements multiphasiques. Mémoire d’habilitation à diriger des recherches, 2005.
[7] S. Jaouen : Étude mathématique et numérique de stabilité pour des modèles hydrodynamiques avec transition de phase. Thèse de doctorat, Université Paris 6, 2001.
CANUM 2006, 38ème Congrès National d’Analyse Numérique, 29 mai - 2 juin 2006, VVF Beg er Lenn, Guidel, France