CCP PC 1 2004 Problème II

CCP PC 1 2004 Problème II
TRANSFERTS THERMIQUES DANS UN TUBE ECHANGEUR
I Transfert thermique dans un milieu homogène.
I.1
I.2
I.3
I.4
Le fluxthermique se fait des zones chaudes vers les zones froides

dΦ= j n dS




Isothermes dT = 0 donc j.d l =−λgrad T d l =−λdT =0
Les isothermes sont donc telles que jdl= 0 => j orthogonal à dl
Alors que les lignes de flux sont tangentes à dl
∂T
∫∫∫ρc ∂t dV =puissance stockée dans V


∫∫ j n dS =puissance échangée à travers S
produite dans V
∫∫∫p th dV =puissance


et ∫∫ j n dS = ∫∫∫div j dV
I.5
la forme locale de l'équation précédente est donc

∂T
ρc
+div j =p th .
∂t
Avec la loi de Fourier, et div(λgrad)=λ ∆ pour un solide homogène et isotrope
∂T
−λ∆T =p th
ceci s'écrit : ρc
∂t
a =
λ
ρc
diffusivité thermique . en m2s-1
II Transfert thermique dans un tube
II.1
Régime stationnaire : T indépendant de t
Symétrie cylindrique et invariance selon Oz : T ne dépend que de r
Pas de terme de source : pth=0 :
L'équation de la chaleur se réduit alors à ∆Τ = 0
2
1 dT d T
+ 2 =0
r dr
dr
donc
<=>
1
r
dT A
dr
=
=> dT = A
dr
r
r
avec T2 − T1 = A ln
r2
r1
dT
)
dT
=A
dr = 0 => r
dr
dr
d(r
soit
T ( r ) −T1 = A ln
T (r ) = T1 +
T2 − T1
r
ln
ln(r2 / r1 )
r1
r
r1

dT
A
(2 πr L) = − λ ( 2 πr L) = −2 λ πA L
le flux thermique est φ = ∫∫ j n ds = −λ
dr
r
T − T1
φ = − 2 πλ L 2
ln(r2 / r1 )
Ce flux est constant car le régime est stationnaire
II.2
R th =
ln(r2 / r1 )
s'exprime en KW-1.
2 πL λ
Φ
T1
II.3
Ι
Rth
T2
p
∆T = − th
λ
2
1
soit 1 dT d T
+ 2 =
r dr
r
dr
R
V1
V2
dT
)
dr = − p th
dr
λ
d(r
dT
)
2
dr = − p th r => r dT = − p th r + B
dr
λ
dr
λ 2
dT
p r B
p th 2
r
= − th +
=> T (r ) − T1 =
(r − r1 2) + B ln
dr
λ 2 r
4λ
r1
On détermine B à l'aide deTt(r=r2)=T2
d (r
T (r ) = T1 +
p th 2
( r − r1 2) + [(T2 − T1 ) +
4λ
p th
ln(r / r1 )
( r2 2 − r1 2)]
4λ
ln(r2 / r1 )
Φ n'est plus proportionnel à (T2-T1 ) : la notion de résistance thermique n'a plus de sens
-
II.4

Tp − Tf
1
R
=
j
n
dS
=
2
π
r
L
j
=
2
π
r
L
h
(
T
−
T
)
=
avec
C
c
p
f
∫∫
2 πr L h c
Rc
Si hC -> infini Tp-> Tf car j demeure fini
II.5
Tp − Ta
= Tm + θ et Ta = Tm − θ
2
θ 4
θ 4
j = ε σ (Tp 4 − Ta 4 ) = ε σ((Tm + θ) 4 − (Tm − θ) 4 ) = ε σTm 4 [(1 +
) − (1 −
) ]
Tm
Tm
θ
Tp − Ta
j ≈ ε σ Tm 4[8
] ≈ ε σTm3 8
= 4ε σTm3 (Tp − Ta ) donc h ray = 4ε σTm 3
Tm
2
A.N hray = 0.59 jr= 167 Wm-2 jc = 200 Wm-2
Les deux termes sont du même ordre .
J= jray+jc= (hray+hc)(Tp-Tf-) équivalent aux deux résistances en parallèle
II.6
Le flux est le même à travers les trois couches : équivalent a trois résistances en série.
1
r
R1 =
ln 2
2 πλ L
r1
T1 −T2 = R1 Φ
1
r +e
Re =
ln 2
T2 −Te = R e Φ avec
2 π λe L
r2
Tf −Te =R c Φ
1
Rc =
2 π ( r2 + e) L h
j = εσ(Tp
4
−Ta 4 )
s'écrit avec Tp = Tm +
II.7
T1 − Tf
Φ=
R1 + R e c + R c
soit
Φ=
2π L (T1 − Tf )
1 r2 1
r +e
1
ln +
ln 2
+
λ r1 λe
r2
h c (r2 + e)
la couche d'isolant augmente la résistance de conduction Re mais diminue la résistance de
convection Rc
d (Re + Rc)
=0
Il y a donc une valeur optimale de e qui correspond à
de
d 1
1
λ
λ
( ln x +
) = 0 => x = e e = e − r2
Soit en posant x = r2+e
dx λe
hcx
h
hc
III Ebullition de l'eau en convection forcée
III.1 P = R I2
R = Résistance électrique = ξ elec L/π( r22-r12)
I2
Pour un tube de longueur unité p j = ξelec
π( r2 2 − r12 )
III.2 Pendant dt ,l'eau qui passe de x en x+dx ( soit le volume S qdt) se réchauffe de dT en
recevant une quantité de chaleur δQ =pj Sdx pendant dt
δQ =ρeau c eau qd SdT =p j S dx dt soit
dT
I2
= p j = ξelec
dx
π( r2 2 − r12 )
On a négligé le transfert par conduction dans l'eau, beaucoup plus lent que le transfert
par convection.
A.N xc = 1 m
Pour x>xc il y a ébullition
ρeau ceau q
III.3
q Lρeau = ξelec
I2
π( r2 2 − r12 )
d = 6.7 m
Il y a un palier de de
changement d'état
d
T
373
2
1
le tube n'est pas parfaitement isolé : dréel > dthéorique
6.7
x