Identification par séquences binaires pseudo

ECOLE D’INGENIEUR EICNAM
Identification par
séquences binaires
pseudo-aléatoires
De la théorie à la pratique
Adil El Missouri
16/06/2015
Remerciement à Alain Caffard, François Malburet et Frédéric Villecroze
Identification des systèmes linéaires par S.B.P.A
Contenu
I.
Introduction ................................................................................................................................... 2
II.
Théorie ........................................................................................................................................... 2
Identification par signaux aléatoires .................................................................................................. 2
a)
Fonction de corrélation .......................................................................................................... 2
b)
Produit de convolution ........................................................................................................... 3
c)
Bruit Blanc .............................................................................................................................. 4
d)
Séquence Binaire Pseudo-Aléatoire ....................................................................................... 4
e)
Identification par S.B.P.A ........................................................................................................ 6
III.

Intérêt du signal S.B.P.A ..................................................................................................... 7

Conditions .......................................................................................................................... 7
Pratique ...................................................................................................................................... 8
1.
Identification de système simulé ................................................................................................ 8
f)
Système simulé....................................................................................................................... 8
g)
Réponse impulsionnelle et indicielle réelles ........................................................................... 9
h)
Injection de S.B.P.A en entrée .............................................................................................. 11
i)
Traitement des données ....................................................................................................... 12

Tracé des données ............................................................................................................ 12

Vérification des données de l’entrée ................................................................................ 12
j)
Identification par corrélation................................................................................................ 13
k)
Identification paramétrique ................................................................................................. 14

2.
Modèles ARX et ARMAX : ................................................................................................. 14
Identification de système réel .................................................................................................. 15
IV.

Outils: ............................................................................................................................... 15

Exploitation ...................................................................................................................... 17
Comparaison ............................................................................................................................ 20
1.
Récapitulatif des résultats ........................................................................................................ 20
l)
Réponses impulsionnelles .................................................................................................... 20
2. Comparaison entre les estimations simulées sous Matlab et l’estimation sur système réel
avec Labview .................................................................................................................................... 23
3.
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Comparaison des réponses estimées sur Procédé réel ............................................................ 24
V.
Conclusion .................................................................................................................................... 25
VI.
Bibliographie ............................................................................................................................ 26
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Identification des systèmes linéaires par S.B.P.A
I.
Introduction
Il est souvent demandé dans ce type de documents de respecter la propriété intellectuelle des
informations introduites et de citer la source, donc l’intérêt du document écrit est d’apporter
quelque chose de nouveau.
Si on applique ceci au sujet des identifications par signaux aléatoires une remarque s’impose, le fait
que sur la toile on trouve une infinité de publications partant des cours des traitements des signaux
aux thèses spécialisées, MAIS, de la théorie et que de la théorie, on trouve des exemples théoriques
ou incomplets, par contre je ne suis pas arrivé à trouver un document écrit décrivant une méthode
complète avec un système réel identifié par les méthodes théoriques pour voir à quel point la théorie
corrèle avec la pratique.
D’où le but de cette étude, de mettre en œuvre les fonctions théoriques, les appliquer à un procédé
simulé et un autre réel et les comparer.
L’objectif est d’extraire de la théorie les fonctions dont nous avons besoin, de décrire des
procédures et méthodes pratiques pour identifier un système soumis à une séquence binaire pseudo
aléatoire à son entrée, décrire l’intérêt de ce signal justifier ce choix et exploiter les mesures.
En autres mots une personne avec un minimum de connaissances en notions de traitement du signal
puisse identifier un système avec succès.
II.
Théorie
Dans ce chapitre nous allons citer les fonctions utiles pour la partie pratique en expliquant le plus
simplement possible.
Identification par signaux aléatoires
a) Fonction de corrélation
La fonction corrélation ou inter corrélation permet de déterminer le degré de ressemblance entre
deux signaux
x et y
Deux signaux qui se ressemblent ont une corrélation proche de 1, deux signaux complètements
différents (c'est-à-dire il n’ya aucune loi qui peut les relier) ont une corrélation égal à 0.
Elle est définie par la relation suivante :
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Identification des systèmes linéaires par S.B.P.A
Avec :
est le conjugué complexe de
Cas particulier, la fonction d’autocorrélation :
La fonction d’autocorrélation est la fonction de corrélation d’un signal
x avec lui-même, c'est-à-dire
une fonction qui détermine à quel point ou combien de temps le signal peut être déterministe, ou la
possibilité de prédire une loi d’évolution de ce signal.
Elle est définie par la relation suivante :
Puisqu’en pratique on utilise des systèmes échantillonnés, nous serons amenés à utiliser des
algorithmes discrets de corrélation :
Formule d’inter corrélation entre deux signaux :
b) Produit de convolution
Le produit de convolution de deux fonctions f et g est définit par la relation :
Ou en signaux discrets:
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c) Bruit Blanc
Le bruit blanc, est un signal composé de toutes les fréquences, chaque fréquence ayant la même
énergie, pour mieux comprendre on peut le comparer à la « lumière blanche » qui est un mélange de
toutes les couleurs.
Propriété :
La fonction d’autocorrélation d’un bruit Blanc est égale à une impulsion de Dirac :
Cette propriété peut être utilisée comme Définition même du bruit Blanc.
d) Séquence Binaire Pseudo-Aléatoire
Une séquence binaire pseudo aléatoire qu’on va noter dans la suite du document S.B.P.A est un
signal binaire aléatoire, mais sur une longue durée de temps il est périodique.
La génération d’un tel signal se fait à l’aide de registres à décalages (bascules), bouclées avec un ou
exclusif (voir figures 1 et 2).
Figure 1 :Génération d’une S.B.P.A
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Figure2 :Exemple de S.B.P.A à 3 registres
L’allure du signal est une suite d’états binaires aléatoires avec l’état haute la plus longue est égal au
nombre de registres (voir figure 3)
Figure3 : Allure d’une SBPA à 3 registres
Te temps de l’horloge.
N=
longueur de la séquence en nombre d’impulsions (états hauts et bas
confondues).
NTe longueur de la séquence en unités de temps.
3Te est la longueur de l’état haute la plus longue.
La longueur de séquence et la longueur de l’état haute la plus longue dépendent du nombre
de registres, ces derniers doivent être bouclés avec un ou exclusif, voici un tableau qui
résume la relation entre le nombre des registres la longueur de la séquence et les bits des
registres qui doivent être additionnés exclusivement :
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L’avantage majeur des S.B.P.A est qu’elle est une valeur moyenne nulle sur une longueur de
séquence, ainsi qu’elle est approximatif (en prenant une fréquence d’échantillonnage
adéquate) à un bruit Blanc, c'est-à-dire elle a une fonction d’autocorrélation proche d’un
Dirac (figure 4), dans la suite on étudiera l’intérêt de ce signal.
Figure 4 : Autocorrélation d’une S.B.P.A
e) Identification par S.B.P.A
Considérons un système linéaire invariant dans le temps, de réponse temporelle h(k) et de fonction
de transfert H(n). La relation temporelle qui relie la sortie y(k) à l’entrée x(k) est la suivante :
y(k) = x(k) ∗ h(k)
La relation entre la corrélation de la sortie et l’entrée:
Cyx(k) = Cxx(k) ∗ h(k)
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Où Cyx(k) est l’inter corrélation entre la sortie et l’entrée du filtre.
Si le signal x(k) est un bruit blanc,
Alors sa fonction d’autocorrélation est une impulsion de Dirac Cxx(k) = δ(k), d’où :
Cyx(k) = δ(k) ∗ h(k) = h(k) (équation (1))
L’inter corrélation entre la sortie et l’entrée du système correspond à la réponse impulsionnelle du
système.
Intérêt du signal S.B.P.A
Puisque la S.B.P.A sur une longueur de séquence à une autocorrélation proche d’un Dirac, le fait de
l’utiliser en entrée du système à identifier, en application de l’équation (1) on pourra retrouver la
réponse impulsionnelle du système en calculant l’inter corrélation entre la sortie est l’entrée.
Conditions:

Condition nécessaire
Soit N le nombre de registres.
Te le temps de l’horloge.
Tm le temps de montée du système.
La durée maximale d’une impulsion étant NTe, pour identifier le gain statique
convenablement il faut que NTe soit plus grand ou égal à tm (voir figure 5).
Figure 5 : temps de montée par rapport à l’impulsion maximale

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Condition pratique
Pour respecter la condition précédente, dans certains cas, nous sommes amené à
prendre N assez grand, ce qui peut mener à des nombres de valeurs échantillonnées
assez important est donc lourd à manipuler.
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Pour pallier à ceci il faut choisir Fh (fréquence de l’horloge) de façon qu’il soit un
sous multiple de la fréquence d’échantillonnage Fe :
𝐹ℎ =
𝐹𝑒
Avec a ϵ {1, 2,3…}
𝑎
Remarque :
L’amplitude du signal S.B.P.A peut être assez faible (en pratique aux alentours de 5%
de la valeur de fonctionnement du système), il faut seulement qu’elle soit plus
grande que la valeur du bruit résiduel.
III.
Pratique
1. Identification de système simulé
Dans cette partie on utilisera les logiciels Matlab et Simulink pour identifier un système simple.
f) Système simulé
le système simulé sera comme sur la figure 6, avec une entrée E et une sortie S pour toute la suite
du document.
E
Système
S
Figure 6 : Système
Un circuit RC (figure 7) peut satisfaire aux conditions de linéarité et invariance dans le temps pour
être identifiable par SBPA.
On appliquera une tension d’entrée E et mesurera la tension de sortie S.
Avec R= 20Ω
Et C= 10µF
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E
S
Figure 7 : Circuit à identifier Avec E tension d’entrée et S tension de sortie
g) Réponse impulsionnelle et indicielle réelles
Puisque tout système linéaire invariant dans le temps peut être caractérisé par sa réponse
impulsionnelle nous allons mesurer celle-ci ainsi que la réponse indicielle (cette dernière est plus
parlante pour nos sens humains)
Pour cela on construit un diagramme sous Simulink (voir figure 8), simulant un circuit RC, une
alimentation, et un bloc de mesure de tension.
Figure 8 : Diagramme Pour obtenir les réponses indicielle et impulsionnelle
En générant une impulsion d’amplitude 1 et de longueur 0.01 seconde (pour être proche
d’une impulsion de Dirac) on obtient la réponse sur la figure 9.
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Figure 9 : réponse impulsionnelle
De même pour la réponse à un échelon (voir figure 10).
Figure 10 : réponse indicielle.
L’objectif est de comparer ces résultats aux réponses estimées que nous allons obtenir par
identification du même système.
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h) Injection de S.B.P.A en entrée
Pour identifier le système nous allons injecter une S.B.P.A en entrée et enregistrer les données
d’entrée-sortie dans l’espace de travail de Matlab afin de les analyser par la suite, pour ceci on
construit le diagramme Simulink (voir figure 11).
Pour respecter les règles d’identification par SBPA on choisit les valeurs suivantes :
Fréquence d’échantillonnage = 100Hz
Longueur de la séquence binaire= 1023s
Temps de l’horloge de la séquence = 1s
S.B.P.A en Entrée du
Système
Enregistrement des
valeurs de l’entrée
Enregistrement des
valeurs de la sortie
Figure 11 : Système soumis à une S.B.P.A en entrée
Après exécution du modèle les données d’entrée et sortie sont enregistrés respectivement
dans les variables Tableaux de dimension 1 : « entree_sbpa » et « reponse », elles seront
transférées via la fonction « To Workspace » vers l’espace de travail Matlab (figure 12).
Figure 12 : espace de travail Matlab
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i) Traitement des données
A partir de là nous allons décrire le traitement à faire séquentiellement avant toute analyse.
Tracé des données
Une première vérification visuelle prévient des éventuelles erreurs commises par imprudence et
pour cela nous allons créer une variable data qui regroupe l’entrée et la sortie en une seule, ensuite
la tracer avec la fonction plot (voir figure 13) :
Code Matlab :
data = iddata(reponse,entree_sbpa) ;
plot(data) ;
Figure 13 : allure de l’entrée et sortie du système
Vérification des données de l’entrée
Une condition sine qua non pour le bon fonctionnement de la méthode est que le signal d’entrée
doit être considéré comme un bruit blanc, pour cela il faut vérifier la fonction autocorrélation qui
doit se rapprocher d’une impulsion de Dirac (propriété caractéristique)
Sous Matlab on applique la fonction xcorr sur entree_sbpa qui retourne la fonction d’autocorrélation
de cette dernière on enregistre dans une variable Xc et on trace à l’aide de la fonction plot :
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Code Matlab :
Xc = xcorr(entree_sbpa) ;
plot(Xc) ;
Nous avons un résultat satisfaisant (voir figure 14).
Figure 14 : Autocorrélation de l’entrée semblable à une impulsion de Dirac
j) Identification par corrélation
La réponse impulsionnelle caractéristique du système peut être obtenue par application de la
fonction inter corrélation entre la sortie et l’entrée pour cela on applique la fonction Matlab
d’identification par corrélation :
A=impulseest(data,);
impulse(A,50);
step(A,80);
Estimation réponse impulsionnelle par corrélation
Tracé des réponses impulsionnelle et indicielle
Ce qui produit le résultat (figure 15).
Figure 15 : réponse impulsionnelle et indicielle estimées par corrélation
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k) Identification paramétrique
Modèles ARX et ARMAX :
De la même façon l’application de la fonction arx pour déterminer le modèle ARX comme ceci :
B = arx(data,[1 2 0])
C = armax(data,[2 2 2 1]) ;
Le deuxième argument est respectivement
[ordre, nombre de pôles, nombres de zéros)
fonction qui estime le modèle ARMAX
De même on trace les réponses indicielles et impulsionnelles de chacun des modèles avec le code
suivant :
Impulseplot (C) ;
Hold on;
Impulseplot(B) ;
Figure;
Stepplot (C);
Hold on;
Stepplot(B);
Le résultat :
Nous obtenons respectivement une estimation des réponses impulsionnelles et indicielles (voir
figures 16 et17).
Figure 16 : réponses impulsionnelles estimée
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Remarque : les deux réponses des
deux modèles sont superposées
sur chacun des deux graphes.
Figure 17 : réponse indicielles estimées
2. Identification de système réel
Outils:
Pour une identification réussie nous aurons besoins de quatre outils indispensables : un système réel,
une carte d’entrée sorties, un logiciel de traitement et une liaison de communication composé d’un
support ( la nature de la ligne) et un protocole (la façon de communiquer)
Système
Pour rester en harmonie avec le modèle simulé, le choix du système sera le même câblé réellement
sur une platine électronique, l’idée est de générer une S.B.P.A sur une sortie TOR d’une carte
traverser le système puis mesurer la sortie du système sur une entrée analogique d’une seconde
carte.
Principe (figure 18)
Figure 18 : circuit RC (filtre)
Réalisation (figure 19)
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Figure 19 : circuit réel
Carte d’acquisition :
Figure 20 : carte Arduino Uno
La carte Arduino (figure 20) est une carte microcontrôleur avec 14 entrée/sorties TOR, et 6 entrées
ANA.
Logiciel de traitement
Nous allons utiliser Labview qui a l’avantage d’être un logiciel de programmation visuel, il permet
aussi l’acquisition à partir de différentes interfaces dont la carte Arduino.
Communication
La carte est doté d’une interface USB qui peut contenir une liaison série avec une vitesse qui peut
aller jusqu’à 115200 bauds, c’est cette valeur qui a été retenue.
De l’autre côté de l’interface Labview est capable d’interpréter cette communication.
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Exploitation
Par analogie au système simulé, le câblage est de manière générer une S.B.P.A sur une sortie 5V qui
l’entrée du système puis mesurer la réponse du système sur une entrée analogique (voir figure 21)
SORTIE 5V
Carte (E)
Figure 21 : Schéma de câblage
Avec R= 20Ω Et C= 10µF
Remarque: pour avoir un système pratique à identifier, ces valeurs doivent être relativement petites,
car dans le cas contraire non seulement le système aura un temps de monté très long, le
condensateur ne se déchargera pas facilement car l’entrée de mesure de la carte a une petite
impédance.
Programme d’acquisition
La face avant
La face avant du VI (programme) ou l’interface utilisateur (voir figure 22) est composé simplement de
trois graphes, pour l’affichage de l’entrée, la sortie et la réponse impulsionnelle estimée.
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Figure 22 : Face avant (ou interface Homme machine)
La face arrière
La face arrière (voir figures 23 et 24) ou ce qu’on appelle le digramme (le code d’exécution) est
composée de deux parties, une première pour la lecture sur l’entrée de la carte (A) et l’identification,
l’autre pour la génération du signal S.B.P.A et l’écriture sur la sortie de la carte (E), les deux,
exécutées simultanément.
Première partie :
Générateur de signal SBPA
Ecriture sur sortie Numéro 10
Fermeture de la communication
Traitement des erreurs
Ouverture de la communication avec
la carte sur le COM1
Configuration de la sortie
Figure 23 : programme injection S.B.P.A
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Seconde partie :
Fonction d’identification par corrélation
Acquisition du signal de l’entrée
du système
Acquisition du signal de sortie
du système
Figure 24 : programme acquisition de l’entrée de la sortie et estimation du système
Résultats
Après exécution du VI, on obtient les graphes (figures 25, 26 et 27) :
Entrée du système générée puis mesurée sur une entrée analogique :
Figure 25 : Entrée S.B.P.A
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Sortie du système, qui corréspond à la mesure de la réponse à une S.B.P.A injectée en entrée.
Figure 26 : réponse du système.
Réponse impulsionnelle estimée par corrélation:
Figure 27 : Estimation de la réponse impulsionnelle
IV.
Comparaison
1. Récapitulatif des résultats
l) Réponses impulsionnelles
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Réponse à une impulsion sous Simulink (figure 9 page 9) :
Réponse estimée par corrélation : (figure 15 page 12)
Réponse estimée avec les modèles arx et armax (figure 16 page 13) :
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Réponse estimée sous Labview sur procédé réel (figure 27 page 19) :
Pour pouvoir faire une comparaison avec ce résultat il faut le transmettre dans l’espace de travail
de Matlab, et pour ceci on peut (entre autres) procéder comme sur la figure 28:
Insérer dans le programme
un bloc écriture dans un
fichier Tableau sur disque.
Figure 28 : écriture des données sur disque
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Ensuite après exécution, ouvrir le fichier avec Excel puis copier dans une variable dans l’espace
de travail Matlab, et à partir de là nous pourrons traiter ces données (voir figure 29).
Figure 29 : réponse impulsionelle transferée dans Matlab
2. Comparaison entre les estimations simulées sous Matlab et
l’estimation sur système réel avec Labview
Tracé des différentes réponses :
Figure 30 : comparaison des réponses impulsionnelles
D’après la figure 30 nous remarquons que l’estimation par Labview, même si elle se rapproche
de la théorie, elle reste loin du modèle simulé.
Les modèles ARX et ARMAX sont les plus proche des données, la fonction Compare donne le
résultat du degré d’adaptation suivant :
Modèle ARX =100%, Modèle ARMAX= 100%, identification par corrélation= 95,83%
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3. Comparaison des réponses estimées sur Procédé réel
Pour pouvoir avoir un modèle plus pertinent au procédé réel, il est plus judicieux de traiter les
données réelles sous Matlab, et dans ce cas-là, de la même façon on enregistre les valeurs d’entrée
et sortie du système sous Labview sur le disque et ensuite les récupérer dans l’espace de travail de
Matlab.
On applique les mêmes fonctions qu’on a appliqué au système simulé :
>> data = iddata(reponse, entree_sbpa);
>> A=impulseest(data);
>> B= arx (data, [1 2 0]);
>> C=armax(data,[2 2 2 1]);
On obtient en dessinant les réponses impulsionnelles du système la figure 31 :
Figure 31 : représentation des réponses estimées
Nous pouvons comparer la façon dont les différents modèles estimés sont capables de prédire la
sortie (voir figure 32)
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Figure 32 : Comparaison temporelle des différents modèles
On constate que le modèle d’estimation par corrélation est le plus adapté au procédé réel.
V.
Conclusion
L’identification des systèmes par séquences binaires pseudo aléatoires, est une des voies
d’identification les plus précises.
On constate que pour atteindre l’objectif de ce sujet nous n’avions pas besoins d’être des experts en
matière de traitement de signal ou de statistique, il suffit d’appliquer les fonctions adéquates et bien
savoir les interpréter.
Nous nous sommes limité à la réponse impulsionnelle, puisqu’elle est plus parlante (domaine
temporelle) et surtout qu’elle est caractéristique à un système, nous pouvons également à partir des
données de réponse à un signal S.B.P.A déduire l’estimation dans le domaine fréquentiel tel que
estimer la fonction de transfert, les diagrammes correspondants, et ouvrir la porte à des éventuelles
études de stabilité et de correction.
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VI.
Bibliographie

http://fr.mathworks.com/ site officiel de Mathworks (Matlab et Simulink)

HENRI BOURLES, 2006, Systèmes linéaires de la modélisation à la commande, HERMES.

P. BORNE J.P. RICHARD et al. 1992, Modélisation et identification des processus, Vol2, Edition
Technip.

http://fr.wikipedia.org/wiki/Bruit_blanc

https://www.u-picardie.fr/gagou/TraitSignal/Master2/Cours_Master2_08-09.pdf
[01/06/2015]
Cours de traitement de signal Université II de Picardie Jules Verne Master-II de Physique
[26/05/2015]

http://dobigeon.perso.enseeiht.fr/teaching/TNS/TP_TNS_1TR.pdf
TP de traitement de signaux l'INP-ENSEEIHT. [26/05/2015]
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