L`Intégrale de Chemin de Feynman: Formulation Rigoureuse

Transcription

L’Intégrale de Feynman : du calcul à la définition rigoureuse
Une autre approche (Thomas-Bijma, Dorlas-Beau)
Conclusions et Perspectives
L’Intégrale de Chemin de Feynman:
Formulation Rigoureuse
Mathieu Beau, Chercheur Postdoctoral
Dublin Institut for Advanced Studies (DIAS)
Collaborateur : Prof. Tony Dorlas, DIAS
Mathieu Beau, Chercheur Postdoctoral Dublin Institut for Advanced
L’Intégrale
Studies (DIAS)
de Chemin de Feynman: Formulation Rigoureuse
Plan du Séminaire :
1. L’Intégrale de Feynman :
du calcul à la définition rigoureuse
2. Une approche rigoureuse (Thomas-Bijma, Dorlas-Beau) :
Construction d’une distribution de chemin
3. Conclusions et perspectives
L’Intégrale
Studies (DIAS)
Mécanique Quantique et intégrale de chemin
Calcul de l’intégrale
Approches rigoureuses : une liste non-exhaustive
1. L’Intégrale de Feynman :
du calcul à la définition rigoureuse
L’Intégrale
Studies (DIAS)
Mécanique Quantique - Equation de E.Schrödinger (1926)
Ψ(x, t) ∈ L2 (Rd ), d > 0 satisfait l’équation suivante :
∂
b
HΨ(x,
t) = i~ Ψ(x, t)
∂t
Ψ(x, t0 ) = ϕ(x), ∀x ∈ Rd
(1)
2
b := − ~ ∆ + V (x)
où l’opérateur auto-adjoint est le suivant H
2m
La solution est donnée par :
Z
−i(t−t0 )H
K (x, t; x0 , t0 )ϕ(x0 )dx0 (2)
Ψ(x, t) = e
ϕ(x) =
Rd
où le propagateur est solution de l’équation de Schrödinger :
b (x, t; x0 , t0 ) = i~ ∂ K (x, t; x0 , t0 ) − i~δ(x − x0 )δ(t − t0 ) (3)
HK
∂t
L’Intégrale
Studies (DIAS)
Formulation par l’intégrale de chemin, R.Feynman (1942)
L’action pour une particule dans un potentiel exterieur V :
Z t
Z t
m
S(x, t; x0 , t0 ) =
dτ L(x(τ ), ẋ(τ )) =
dτ
ẋ(τ )2 − V (x(τ )) .
2
t0
t0
La solution est donnée par :
Ψ(x, t) = e
−i(t−t0 )H
Z
ϕ(x) =
K (x, t; x0 , t0 )ϕ(x0 , t0 )dx0
(4)
le propagateur pouvant être calculé comme une “intégrale de
chemin” :
R
0
K (x, t; x0 , t0 ) = ‘ D[x(t)] e iS(x,t;x0 ,t0 )/~
(5)
Rd
QUESTION : Comment pouvons-nous définir proprement
“L’intégrale de chemin de Feynman” ?
L’Intégrale
Studies (DIAS)
Calcul de l’intégrale :
On pose m = 1 et ~ = 1. On considère d = 1.
On discretise l’action en un nombre fini de subdivision
σ = {t1 , ..., tn } avec 0 = t0 < t1 < · · · < tn < tn+1 = t et
(x1 , .., xn ) ∈ Rn . On considère les conditions aux bords
(temporelles) :
x(0) = 0; x(t) = x
(6)
La partie cinétique de l’action discretisée est alors :
1 (x − xn )2 (xn − xn−1 )2
x12
(K )
Sσ (x, xn , .., 0) =
+
+ ... +
2
t − tn
tn − tn−1
t1
∀j = 1, .., n + 1, tj − tj−1 → 0 quand n → ∞
L’Intégrale
Studies (DIAS)
La partie cinétique discretisée de l’intégrande de Feynman est :
(K )
exp iSσ (x, xn , .., 0)
Fσ (x, xn , .., 0) ≡ p
,
(7)
(2iπ)n (t − tn )(tn − tn−1 ) . . . t1
De façon similare, on discretise l’intégrale sur le potentiel :
Sσ(V ) (x, xn , .., 0) = − (V (x)(t − tn ) + V (xn )(tn − tn−1 ) + · · · + V (x1 )t1 )
Le propagateur après limite n → ∞ est donne donc formellement :
Z
Z
(V )
Kt (x, 0) ≡ lim
dx1 . . .
dxn Fσ (x, xn , .., 0)e iSσ (x,xn ,..,0) , (8)
n→∞ R1
R1
L’Intégrale
Studies (DIAS)
Exemples :
Le cas libre : V (x) = 0
2
K (0) (x, t; x0 , t0 ) =
|x−x0 |
1
im 2~(t−t
0)
e
(2iπ~(t − t0 )/m)d/2
Cas de l’oscillateur harmonique : V (x) =
K
(ω)
(x, t; x0 , t0 ) =
× e
mω 2
2
2 |x|
mω
2iπsin((t − t0 )~ω)
imω
4~
|x+x0 |2 tan(
d/2
ω(t−t0 )
ω(t−t )
)+|x−x0 |2 cotan( 2 0 )
2
Remarque : K (ω) (x, t; x0 , t0 ) → K (0) (x, t; x0 , t0 ) quand ω → 0.
L’Intégrale
Studies (DIAS)
Un aperçu historique
1923 : N.Wiener → mouvement Brownien, mesure de Wiener
1926 : E.Schrödinger → equation éponyme
1948 : R.Feynman → formulation lagrangienne de la MQ
1949 : M.Kac → solution de l’équation de la chaleur comme une
intégrale de chemin
1960 : R.Cameron → continuation analytique
1967 : K.Itô → Intégrale de Fresnel sur un espace de Hilbert
1972 : C. De Witt-Morette → Définition formelle (sans limite)
1976 : S. Albeverio and R. Høegh-Krohn → développement Itô
1983 : T.Hida and L.Streit → Analyse du bruit blanc (White noise)
L’Intégrale
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Intérêts principaux
1976 : K. Itô, S. Albeverio and R. Høegh-Krohn (intégrale de
Fresnel)
1983 : T.Hida and L.Streit (white noise)
2000 : E. Thomas → “distribution de chemin” (Path distribution)
⇒ M. Beau, T. Dorlas, Discrete-Time Path Distributions on
Hilbert Space, Indagationes Mathematicae 24, 212-228 (2012)
[arXiv :1202.2033]
L’Intégrale
Studies (DIAS)
L’approche d’ Itô, Albeverio and Høegh-Krohn
Soit un espace de Hilbert H avec le produit scalaire (., .).
Définissons F(H) comme l’espace des fonctions bornées continues
sur H de la forme :
Z
f (x) =
e i(x,k) dµ(k)
H
pour µ ∈ M(H) (où M(H) est l’espace de Banach des mesures de
Borel bornées complexes sur H).
On définit l’intégrale normalisée de type Fresnel sur H par :
Zf
H
ei
||γ||2
2
Z
f (γ)dγ :=
e −i
||k||2
2
dµ(k)
(9)
H
L’Intégrale
Studies (DIAS)
Theorem (La formule de Feynman-Itô)
Soit V et ϕ des transformées de Fourier de mesures complexes
bornées sur Rd . Soit H l’espace de Hilbert des chemins continues
2
d
γ : [0, t] → Rd tels que γ(t)
R t= x et γ̇ ∈ L ([0, t]; R ) avec le
produit scalaire (γ1 , γ2 ) = 0 γ˙1 (τ )γ˙2 (τ )dτ , alors la solution de
l’équation de Schrödinger est donnée par :
Z
Rt
i
2
ψ(x, t) =
e 2 ||γ|| e −i 0 V (γ(τ ))dτ ϕ(γ(0))dγ
(10)
H
où ||γ||2 =
Rt
0
γ̇(τ )2 dτ
Rem : On peut donner une formule explicite via l’expansion de
n
R
X (−i)n Z t
−i 0t V (γ(τ ))dτ
e
=
V (γ(τ ))dτ
n!
0
n≥1
L’Intégrale
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L’Approche d’Hida-Streit
Idée :
On introduit une mesure Gaussienne dµG (x) pour définir
l’intégrale suivante comme un produit de dualité :
Z
Z
i
i+1
2
2
|x|
−d/2
−d/2
(2iπ)
e 2 f (x)dx = i
e 2 |x| f (x)dµG (x)
Rd
Rd
Dimension infinie :
Soit l’espace de Hilbert H = L2 (R1 ), l’espace de Schwartz
E = S(R1 ) et son dual E ∗ = S∗ (R1 ).
Soit µ une mesure Gaussienne sur la tribu borélienne de E ∗ et sa
fonction charactéristique suivante :
Z
1
2
e ihX ,ξi dµ(X ) = e − 2 ||ξ||H , ξ ∈ E
E∗
L’Intégrale
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On note (L2 ) = L2 (E ∗ , µ) l’espace
R de Hilbert avec le produit
scalaire : φ, ϕ ∈ (L2 ), (φ, ϕ) = E ∗ φ(x)ϕ(x)dµ(x).
Une distribution de bruit blanc sur E ∗ est définie comme un
élément de l’espace de Hilbert complété (E−p ) de (L2 ) à l’égard de
d2
2
la norme ||.||−p = ||H −p .||0 , où H := − dt
2 + 1 + u (rem : une
base de vect.propres o.n. = fonctions d’Hermites).
On a donc construit la chaı̂ne suivante :
(E ) := ∩p (Ep ) ⊂ · · · ⊂ (E1 ) ⊂ (L2 ) ⊂ (E−1 ) ⊂ · · · ⊂ (E ∗ ) := ∪p (E−p )
On introduit la T -transformée ∀φ ∈ (E ∗ ) :
(T φ)(ξ) := hhφ, e ihX ,ξi ii, ξ ∈ E
L’Intégrale
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Theorem (Intégrande de Feynman-Hida-Streit)
Définissons la fonction F : E → C par
Z
i −1 t
ξ(s)2 )
F (ξ) = (2iπt)
exp (
2
t0
2 !
Z t
i
x − x0 − i
· exp
ξ(s)
2(t − t0 )
t0
−1/2
Il existe un unique élément φ ∈ (E ∗ ) tel que T φ(ξ) = F (ξ) ,
de plus nous avons que :
2
K (0) (x, t; x0 , t0 ) =
i|x−x0 |
1
e 2(t−t0 ) = F (0)
1/2
(2iπ(t − t0 ))
où K (0) (x, t; x0 , t0 ) est le noyau de l’opérateur e −i(t−t0 )H0 ,
H0 = − ∆
2
L’Intégrale
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Avantages-désavantages :
L’approche Itô, Albeverio et Høegh-Krohn :
(+) chemins continus (intégrale sur un domaine
de C 0 ([0, t]))
R
(-) classe de potentiels réduite : V (x) = Rd e iαx dµ(α),
e.g. e −|x| , (1 + |x|2 )−2 , en somme : quelques potentiels bornés et
continus.
(+) Résultats récents : x 4 → pas vers la TQC φ4
L’approche d’Hida et Streit :
(+) Large classe de potentiels :
dν(x) =RV (x)dx, e.g. V (x) = γδ(x − x0 ), γ ∈ R1 , x0 ∈ R1
V (x) = Rd e αx dµ(α), e.g. γe ax , γ ∈ R1 , a ∈ R1
(-) pas définie pour des potentiels du type x δ , δ > 2
(-) les chemins sont des distributions tempérées
pas d’informations précises sur la nature des chemins.
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Programme de recherche
Mesure et distribution de Feynman-Thomas sur Rn
2
Mesure et distribution de Feynman-Thomas sur lγ
Resulats et commentaires
2. Autre approche (Thomas-Bijma, Dorlas-Beau) :
Construction d’une distribution de chemin
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2
Idée :
Pour un potentiel donné V , on voudrait définir le propagateur
commeR un produit de dualité entre une “distribution de chemin” F
t
et e −i 0 V [x(t)] :
Kt (x, x0 ) ≡ he −i
Rt
0
V [x(t)]
, F i = hDe −i
Rt
0
V [x(t)]
, µi
(11)
Problèmes :
(1) limite n → ∞ ? Que sont µ et D ?
(2) F est-elle une distribution ? Quel sens ? Sur quel espace de
chemin ?
(3) Quel est le sens de h·, ·i ?
(4) V appartient à un espace de fonction, lequel est convenable ?
Premier travail : temps discret (espace de suites en dimension
infinie) → déjà beaucoup à comprendre
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2
Temps discret :
σ = {1, 2, .., n}, i.e. tj = j = 1, 2, ..., n
On considère les conditions suivantes :
x(0) = 0; ẋ(n) = 0
(12)
L’action cinétique est alors :
Sσ(K ) =
1
(xn − xn−1 )2 + . . . + (x2 − x1 )2 + x12
2
Et sa distribution de Feynman correspondante est :
(K )
exp (iSσ )
Fσ (x1 , .., xn ) =
(2iπ)n/2
(13)
L’Intégrale
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2
Définition
The Mesure de Feynman-Thomas (F-T) µσ sur Rn est définie par
µσ (dx1 . . . dxn ) ≡ M (n) ∗ Fσ (x1 , .., xn )dx1 . . . dxn
(14)
où :
M
(n)
(x1 , .., xn ) =
n Z
Y
j=1 0
de sorte que
D (n) M (n)
=
∞
2
dsj −sj /βj e −xj /2sj
p
e
, βj ∈]0, +∞[⊂ R1
βj
2πsj
δ (n) ,
où
D (n)
≡
j=1 1 −
Qn
βj ∂ 2
2 ∂xj2
, et
donc la distribution de Feynman-Thomas Fσ sur Rn est donnée
par :
Fσ (x1 , .., xn )dx1 ..dxn = D (n) µσ (dx1 , .., dxn ) ,
(15)
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2
Soit la tranformée de Fourier de Fσ :


Z
n
X
Fbσ (ξ1 , .., ξn ) =
exp i
xj ξj Fσ (x1 , .., xn )dx1 ..dxn ,
Rn
(16)
j=1
Un calcul explicite donne :


n
X
i
Kjl ξj ξl , avec Kjl = j ∧ l
Fbσ (ξ1 , .., ξn ) = exp −
2
(17)
j,l=1
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2
Espaces de Hilbert des chemins
Remarque : les chemins sont des suites car le temps est discret.
On introduit une famille d’espace de Hilbert labellisée par un
paramètre réel γ :
lγ2
=
{(ξj )∞
j=1
∞
∈R |
∞
X
j γ ξj2 < +∞}.
(18)
j=1
Il s’agit d’espaces de Hilbert avec le produit scalaire suivant :
(ξ, ζ)γ =
∞
X
ξj ζj j γ
j=1
Nous avons maintenant besoin du Théorème de Sazonov afin de
montrer l’existence d’une limite projective µ = lim µ(n) sur lγ2 par
←
−
rapport à une topologie faible.
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2
Theorem (Sazonov)
Soit (µ(n) )n∈N1 un système projectif de mesures bornées sur le dual
H0 d’un espace de Hilbert séparable H. Supposons qu’il existe des
mesures positives νn de sorte que |µ(n) | ≤ νn , bornées
uniformément : supn∈N1 ||νn || < +∞, et de telle sorte que les TFs
Φn : H → C1 données par :
Z
Φn (ξ) = e ihξ, xi νn (dx),
soient équicontinues en ξ = 0 pour la topologie de Sazonov.
Alors il existe une unique mesure de Radon bornée µ sur Hσ0 , où
l’indice σ désigne la topo. faible, et nous avons πn0 (µ) = µ(n) pour
tout n ∈ N1 .
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2
Idée de la preuve :
Equicontinuité dans la topo. de Sazonov : pour tout > 0 il existe
une application de Hilbert-Schmidt u ∈ B(H) telle que
||uξ|| ≤ 1 =⇒ |ΦN (ξ) − ΦN (0)| ≤ ∀n ∈ N1 .
Pour déterminer la limite projective de la mesure à valeurs
complexes µ(n) , nous appliquons ce Théorème aux mesures
auxiliaires positives qui dominent |µ(n) |.
Etapes de la preuve :
(1) Construction de mesures auxiliaires νn (i.e. |µ(n) | ≤ νn )
(2) Conditions sur γ pour assurer la le caractère borné de la
mesure (supn ||νn || < +∞)
(3) Conditions sur γ pour assurer l’équicontinuité de νn
(4) Théorème de Sazonov => existence de la mesure de
Feynman-Thomas µ.
L’Intégrale
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2
Theorem (Existence de la mesure et de la distribution)
2 avec K = j ∧ l, et
Considérons une application K : lγ2 → l−γ
jl
supposons que γ > 72 . Alors il existe une unique distribution de
2 telle que F
b (ξ) = e −ihK ξ,ξi/2 et donnée par
chemin FK sur l−γ
K
Q∞
βj ∂ 2
FK = Dµ où D = j=1 1 − 2 ∂x 2 et où µ est une mesure de
j
2 par rapport à la topo.
Radon bornée, fortement concentrée sur l−γ
faible.
L’Intégrale
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2
Corollary (Formule de Feynman-Thomas)
Supposons que le potentiel V : R1 → R1 appartienne à E (2) (R),
i.e. deux fois continument différentiables avec ses dérivées bornées
(première et seconde). De plus, soit
(λj )∞
j=1 une suite de
P∞
constantes positives de sorte que j=1 βj λj < +∞, où les
constantes βj satisfont la condition βj = c i δ avec δ > 5/2. Alors,
l’ “intégrale de chemin de Feynman”


∞
X
exp −i
λj V (xj ) , F
j=1
existe.
Rem : En particulier, on peut prendre λj = e −j pour > 0 petit.
L’Intégrale
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2
Ce résultat vient directement du Théorème précédent puisque




∞
∞
X
X




exp −i
λj V (xj ) , F = D exp −i
λj V (xj ) , µ
j=1
j=1
où µ est la F-T-mesure.h
i
P
Il suffit donc que D exp −i ∞
λ
V
(x
)
soit borné. Mais
j
j
j=1

D exp −i
∞
X

λj V (xj ) =
j=1
=
∞ Y
j=1


∞
X
1
1 + βj iλj V 00 (xj ) + λ2j V 0 (xj )2 exp −i
λj V (xj ) .
2
j=1
L’Intégrale
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2
Commentaires :
(1) Equation de Schrödinger pour un temps discret : récurrence
entre Ψk (xk ) et Ψk+1 (xk+1 )
(2) Contact avec l’approche d’Itô : formule de
Feynman-Itô-Thomas
(3) Opérateur de Diffusion
(4) Temps continu : T-F-mesure fortement concentrée sur L2 ([0, t])
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3. Conclusions et Perspectives
L’Intégrale
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Message :
(i) Approches différentes avec avantages et inconvénients : classe
de potentiels, espaces de chemin, potentiels dépendants du temps
(ii) Question de l’espace des chemins, chemins continus ?
Perspectives
(1) Etendre l’approche de Thomas pour V = ax 2 : travail similaire,
modifier l’expression de F
(2) Contruire la F-T-mesure pour le temps continu
→ F-T-mesure fortement concentrée sur C 0 ([0, t]) (Théorème de
Prokhorov).
(3) Intégrale pour des potentiels bornés et continus, singuliers
(Delta), quartique (x 4 )
L’Intégrale
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Intérêts
(I) Application larges : théorie de la diffusion, diffraction, champs
magnétiques, approximation semi-classiquem états de Gibbs
dépendants du temps, TQC
(II) Mécanique Statistique : Intégrale de Feynman-Kac (fermions,
bosons, polymères)
(III) Mathématiques pures : Analyse en dimension infinie, EDP.
L’Intégrale
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Références
- S. A. Albeverio and R. Høegh-Krohn, Mathematical Theory of
Feynman Path Integrals. Springer Lecture Notes in Mathematics
523, 1976.
- T. Hida et L.Streit, White Noise : An infinite dimensional
calculus. Kluwer, Dordrecht (1995)
- E. Thomas, Path distributions on sequence spaces. Proc. Conf.
on Infinite-dimensional Stoch. Anal. Neth. Acad. Sciences, 1999,
235–268.
- M. Beau, T. Dorlas, Discrete-Time Path Distributions on Hilbert
Space, Indagationes Mathematicae 24, 212-228 (2012)
[arXiv :1202.2033]
L’Intégrale
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Slits
Screen
x
2b
Source
z
2a
D
L
M. Beau, Feynman Path Integral approach to electron diffraction
for one and two slits, analytical results , Eur. J. Phys. 33 (2012)
L’Intégrale
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Commentaire 1 :Equation de Schrödinger pour un temps
discret
Conditions aux bords générales xk au temps initial k.
Formellement on a :
# ∞ "
∞
Y
i X
dxn
2
√
(xn − xn−1 )
.
Fk = exp
2
2iπ
n=k+1
n=k+1
En notant Ψk qui joue le rôle de la fonction d’onde au temps k :


∞
X
Ψk (xk ) = exp −i
V (xj )λj  , Fk ,
j=k
On a donc la relation de récurrence :
Z
i
dxk+1
2
Ψk (xk ) = exp (xk+1 − xk ) − iV (xk+1 )λk+1 Ψk+1 (xk+1 ) √
.
2
2iπ
L’Intégrale
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Commentaire 2 : Contact avec l’approche d’Itô-Albeverio
Supposons :
Z
Z
V (x) = e ixy ν(dy ) and Ψk+1 (x) = e ixy µk+1 (dy ),
on obtient donc une formule analogue à la formule de
Feynman-Itô :
Z
Ψk (xk ) = µk (dy )e ixk y ,
où hf , µk i =
Z
∞
X
(−i)n
n=0
n!
Z
ν(dy1 ) . . .
Z
ν(dyn )
i
2
µk+1 (dy )e − 2 y f (y1 + · · · + yn + y )
L’Intégrale
Studies (DIAS)
Formule explicite - Itô :
D’après les
R hypothèses du Théorème,
R on a que
V (x) = Rd e iαx dµ(x) et ϕ(x) = Rd e iαx dν(x), µ, ν ∈ M(Rd ).
Alors, d’après la preuve du Théorème, on donne une expression
explicite de (10) :
ψ(x, t) =
Z
∞
X
(−i)n
n=0
·
n!
exp (−
t
0
Z
dtn · · ·
t
Z
0
Z
···
dt1
Rd
Rd
n
n
n
X
Y
i X
Gt (tj , tl )αj αl ) exp (ix
αj )dν(α0 )
dµ(αj )
2
j,l=0
j=0
j=1
où Gt (tj , tl ) = t − tj ∨ tl .
L’Intégrale
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Commentaire 3 : Problème de Diffusion
On prend les conditions aux bords générales à t → +∞ : prenant
x0 arbitraire, on définit le chemin classique xi = x0 + v i, où
v = limT →+∞ vT est la vitesse limite.
En remplaçant xi par xi + xi dans l’expression de l’action, on
obtient :


n
2
X
(xj + x j − (xj−1 − x j−1 )) 
i  2
Sn =
v (T − tn ) +
2
tj − tj−1
j=1
=
i
2
n
X
j=1
)2
(xj − xj−1
tj − tj−1
i
+ v 2 T + iv (xn − x0 ).
2
L’Intégrale
Studies (DIAS)
On définit le noyau de l’operateur d’onde (Ω− )∗ pour l’impulsion
kout = v (~ = 1 et m = 1 donc v = ~k
m = k) et on prend n → ∞.
Dans le cas du temps discret on trouve


∞
X
− ∗
(Ω ) (kout , x0 ) = exp −i
V (xj + x0 + kout j)λj − ikout x0  , F .
j=1
La matrice de diffusion est définie par
S(kout , kin ) = (Ω− )∗ (kout , x0 )Ω+ (kin , x0 )
Dans ce cas on doit prendre λj = e −|j| . Si V décroı̂t suffisamment
vite pour |x| → +∞, alors la limite → 0 existe.
L’Intégrale
Studies (DIAS)
Commentaire 4 : Temps continu
Pour les conditions x(0) = 0, x(t) = x on a :
x(τ ) = xc (τ ) +
∞
X
an φn (t) ,
j=1
où φ(t) =
on a que :
p
2/t sin πτ /t and xc (τ ) = (x/t)τ (par exemple). Donc
1
2
Z
0
∞
t
dτ ẋ(τ )2 =
X π 2 n2
ix 2
+i
a2
2t
2t 2 n
n=1
Méthode : construire une mesure auxiliaire à celle de F-T sur un
espace de suites, et appliquer l’approche temps discret pour ensuite
revenir à l’espace “réel” des chemin.
⇒ nous avons montré q’une F-T-mesure existe et qu’elle est
concentrée sur L2 ([0, t]) : pas satisfaisant.
L’Intégrale
Studies (DIAS)

L`Intégrale de Chemin de Feynman: Formulation Rigoureuse

Transcription

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