Calcul intégral - Anthony Mansuy

Chapitre 18
Calcul intégral
1 Intégration sur un segment
1.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Techniques de calcul d’intégrales . . . . . . . . . .
1.3 Propriétés de l’intégrale . . . . . . . . . . . . . . .
2 Intégrales impropres
2.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Propriétés des intégrales impropres . . . . . .
2.3 Techniques de calcul des intégrales impropres
2.4 Intégrales de référence . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
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.
2
2
6
8
9
9
10
12
15
Introduction
Anthony Mansuy - Professeur de Mathématiques en supérieures ECE au Lycée Clemenceau (Reims)
[email protected]
ECE1
1
Lycée Clemenceau, Reims
Intégration sur un segment
1.1
Définitions
Surface délimitée par une courbe
Définition.
Soit f : [a, b] → R une fonction continue et positive sur un intervalle [a, b], avec a < b, et Cf sa courbe représentative dans un repère
orthonormé. On note Af la fonction définie par:

 [a, b] → R
x 7→ l’aire de la surface délimitée par Cf et l’axe
Af :

des abscisses entre les abscisses a et x
Cf est la courbe représentée en rouge et Af (x) est l’aire de la surface
représentée en grise sur l’exemple ci-contre.
Remarque. Comme f une fonction continue et positive sur [a, b], Af est positive et croissante sur [a, b].
Propriété 1 (de la fonction Af )
Soit f : [a, b] → R une fonction continue et positive sur [a, b]. Alors la fonction Af est dérivable
sur [a, b] et vérifie :
∀x ∈ [a, b], A0f (x) = f (x).
Preuve.
Ainsi, la fonction Af vérifie les deux conditions suivantes :
• Af (a) = 0,
• ∀x ∈ [a, b], A0f (x) = f (x).
Ces conditions caractérisent la fonction Af . On dit que Af est la primitive de f qui s’annule en a.
2
ECE1
Lycée Clemenceau, Reims
Primitives
Définition.
Soit f une fonction définie sur un intervalle I de R. On appelle primitive de f sur I toute fonction F : I → R
telle que:
• F est dérivable sur I.
• Pour tout x ∈ I, F 0 (x) = f (x).
Exemple. Déterminer une primitive des fonctions suivantes sur l’intervalle I donné:
• f1 (x) = 3 et I = R
• f2 (x) = 2x − 1 et I = R
1
• f3 (x) = √ et I =]0, +∞[
x
• f4 (x) =
1
et I =]0, +∞[
x
Théorème 2 (Primitives d’une fonction continue)
(1) Toute fonction continue sur un intervalle I admet une primitive F sur I, qui est alors de classe
C 1 sur I.
(2) Si une fonction f est continue sur un intervalle I et si F est une primitive de f sur I, alors
toute primitive de f sur I est de la forme F + k, où k est une constante réelle.
Remarque. Ainsi, une fonction continue sur un intervalle I n’admet pas qu’une seule primitive sur I. On ne
parle donc jamais de LA primitive mais d’UNE primitive d’une fonction.
Propriété 3 (Primitives et opérations)
Soient f et g deux fonctions admettant des primitives F et G sur un intervalle I et λ ∈ R. Alors :
(1) F + G est une primitive de f + g sur I.
(2) λF est une primitive de λf sur I.
Remarque. ATTENTION: les primitives d’un produit f g ne sont pas le produit des primitives. En effet,
(F G)0 = F 0 G + F G0 = f G + F g 6= f g.
Théorème 4 (Primitives d’une composée)
Soit f une fonction continue sur un intervalle I et F une primitive de f . Soit u une fonction
continue et dérivable à valeurs dans I. Alors:
Une primitive de u0 × f (u) est F (u).
3
ECE1
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Preuve.
Voici le tableau des primitives usuelles à connaı̂tre (que l’on peut déduire du théorème précédent) :
Fonction f (x) = ...
Primitives F (x) = ...
u0 (x)eu(x)
eu(x) + k, k ∈ R
u0 (x)(u(x))−1 =
u0 (x)
u(x)
u0 (x)(u(x))α (α ∈ R \ {−1})
u0 (x)
1
p
(cas particulier où α = )
2
u(x)
ln |u(x)| + k, k ∈ R
(u(x))α+1
+ k, k ∈ R
α+1
2
p
u(x) + k, k ∈ R
Exemple. Déterminer une primitive des fonctions suivantes sur l’intervalle I donné:
2
• f1 (x) = xe3x et I = R
• f2 (x) =
3x − 1
et I = R
3x2 − 2x + 1
• f3 (x) =
ln(x)
et I = R∗+
x
• f4 (x) = √
x
x2
−2
et I =]2, +∞[
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Définition de l’intégrale
Définition.
Soit f une fonction continue sur un intervalle I, F une primitive de f sur I et a, b ∈ I.
Z b
On appelle intégrale de f entre a et b le réel noté
f (x)dx et défini par :
a
b
Z
a
b
f (x)dx = [F (x)]a = F (b) − F (a).
Remarques.
1. La notion d’intégrale est indépendante de la primitive choisie: si F et G sont deux primitives de f , alors
F = G + k pour un k ∈ R. On a alors:
F (b) − F (a) = (G(b) + k) − (G(a) + k) = G(b) − G(a).
Z
b
Z
b
Z
a
a
b
f (u)du...
f (t)dt,
f (x)dx,
2. La lettre x dans l’intégrale est muette. On notera indifféremment
a
3. A partir de la définition de l’intégrale, on obtient immédiatement les formules suivantes:
Z
b
Z
0dx = 0,
a
Z
a
a
b
Z
f (x)dx = −
f (x)dx = 0,
a
a
f (x)dx.
b
Z
Interprétation graphique. Si f est une fonction continue et positive sur [a, b], avec a ≤ b, alors
b
f (x)dx
a
est égale à l’aire de la surface délimitée par la courbe représentative de f et l’axe des abscisses entre les abscisses
a et b dans un repère orthonormé.
Z b
I Pour calculer
f (x)dx, on détermine une primitive F de f et on utilise la définition de l’intégrale:
a
Z
a
b
b
f (x)dx = [F (x)]a = F (b) − F (a).
Exemple. Calculer les intégrales suivantes:
Z 3
• I=
(x2 + 3x + 1)dx.
1
• J=
Z
1
2
(2x + 1)ex
+x−1
dx.
0
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• K=
Z
e
1.2
e2
dx
.
x ln(x)
Techniques de calcul d’intégrales
Intégration par parties
Théorème 5 (Intégration par parties)
Soient u et v deux fonctions de classe C 1 sur [a, b]. Alors:
Z
a
b
b
u0 (x)v(x)dx = [u(x)v(x)]a −
Z
b
u(x)v 0 (x)dx.
a
Preuve.
Rb
Rb
I L’intérêt de l’intégration par parties est de passer de l’intégrale a u0 (x)v(x)dx à l’intégrale a u(x)v 0 (x)dx
si cette dernière est plus simple à calculer que la première. Pour effectuer une intégration par parties,
• on écrit la fonction dont on doit calculer l’intégrale sous la forme d’un produit de deux fonctions.
• on décide quelle fonction on dérive et quelle fonction on intègre.
• on applique le théorème à ces deux fonctions.
Exemple. Calculer les intégrales suivantes:
Z 1
• I=
xex dx.
0
6
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• J=
Z
e
x ln(x)dx.
1
Changement de variables
Théorème 6 (Changement de variables)
Soit une fonction f continue sur un intervalle I et ϕ une fonction de classe C 1 sur [a, b], telle que
ϕ([a, b]) ⊂ I. Alors:
Z b
Z ϕ(b)
0
f (ϕ(x))ϕ (x)dx =
f (u)du.
a
ϕ(a)
Z
b
I Pour effectuer un changement de variables dans l’intégrale
f (x)dx,
a
0
• on pose u = ϕ(x), avec ϕ de classe C 1 sur [a, b] et du = ϕ (x)dx.
• on change les bornes de l’intégrale: lorsque x = a, u = ϕ(a) et lorsque x = b, u = ϕ(b).
• on exprime f (x) et dx uniquement en fonction de u.
• on applique le théorème de changement de variables :
Z
b
0
Z
ϕ(b)
f (ϕ(x))ϕ (x)dx =
a
f (u)du.
ϕ(a)
Exemple. Calculer les intégrales suivantes en utilisant le changement de variables proposé:
Z 1
√
dx
√ (poser u = x)
• I=
1
+
x
0
• J=
Z
0
1
ln(1 + ex )
dx (poser u = 1 + ex )
1 + e−x
7
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1.3
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Propriétés de l’intégrale
Théorème 7 (Propriétés de l’intégrale)
(1) Linéarité de l’intégrale : Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle I et soit
a, b ∈ I. Pour tout réel λ, on a:
Z
b
b
Z
(λf (x) + g(x))dx = λ
a
b
Z
f (x)dx +
a
g(x)dx.
a
(2) Relation de Chasles : Soit f une fonction continue sur un intervalle I et soit a, b, c ∈ I. Alors:
Z
b
Z
f (x)dx =
a
c
Z
f (x)dx +
a
b
f (x)dx.
c
(3) Intégration des inégalités : Soient f et g deux fonctions continues sur un intervalle I telles
que, pour tout réel x ∈ I, f (x) ≤ g(x).
Z b
Z b
• Bornes croissantes : Si a, b ∈ I, a ≤ b, alors
f (x)dx ≤
g(x)dx.
a
• Bornes décroissantes : Si a, b ∈ I, a ≥ b, alors
a
Z
b
Z
f (x)dx ≥
b
g(x)dx.
a
a
Remarque. Le point (3) du théorème précédent donne la positivité de l’intégrale : Si une fonction f est
Z b
continue et positive sur [a, b], avec a < b, alors
f (x)dx ≥ 0.
a
Z
Exemple. Soit (un ) la suite définie pour tout entier naturel n par un =
0
1
x
dx.
xn + 1
1. Montrer que la suite (un ) est croissante.
2. Montrer que la suite (un ) est majorée par
1
. En déduire qu’elle converge.
2
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Propriété 8 (Inégalité triangulaire)
Si f est une fonction continue sur [a, b], avec a ≤ b, alors on a :
Z
Z
b
b
|f (x)| dx.
f (x)dx ≤
a
a
2
Intégrales impropres
2.1
Définitions
Définition.
Soit f une fonction continue sur [a, +∞[, avec a ∈ R.
Z +∞
f (x)dx est impropre ou généralisée en +∞.
• On dit que l’intégrale
a
• L’intégrale impropre
vers +∞ et on a alors:
Z
+∞
Z
A
f (x)dx converge si
a
f (x)dx admet une limite finie lorsque A tend
a
Z
+∞
Z
f (x)dx = lim
A→+∞
a
Z
Dans le cas contraire, on dit que l’intégrale
A
f (x)dx.
a
+∞
f (x)dx diverge.
a
Remarque. On peut définir de la même façon l’intégrale impropre d’une fonction en −∞ ou en −∞ et +∞.
Exemple. Vérifier si les intégrales généralisées suivantes sont convergentes et, le cas échéant, les calculer :
Z +∞
dx
.
• I=
x2
1
• J=
Z
1
+∞
dx
.
x
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• K=
Z
+∞
−∞
2.2
ex
dx.
(1 + ex )2
Propriétés des intégrales impropres
Théorème 9 (Propriétés de l’intégrale)
(1) Linéarité de l’intégrale: Soient a ∈ R et f, g : [a, +∞[→ R deux fonctions continues sur
Z +∞
Z +∞
[a, +∞[. Si les intégrales
f (x)dx et
g(x)dx convergent, alors:
a
a
+∞
Z
(a) Pour tout réel λ, l’intégrale
(λf (x) + g(x))dx converge.
a
(b) De plus, on a:
Z
+∞
+∞
Z
(λf (x) + g(x))dx = λ
Z
f (x)dx +
a
a
+∞
g(x)dx.
a
(2) Relation de Chasles: Soient a ∈ R et f : [a, +∞[→ R une fonction continue sur [a, +∞[. Si
Z +∞
l’intégrale
f (x)dx converge, alors:
a
+∞
Z
(a) Pour tout réel c ∈ [a, +∞[,
f (x)dx converge.
c
(b) De plus, on a:
Z
+∞
Z
f (x)dx =
a
c
Z
+∞
f (x)dx +
a
f (x)dx.
c
(3) Intégration des inégalités : Soient a ∈ R et f, g : [a, +∞[ deux fonctions continues sur [a, +∞[
Z +∞
Z +∞
telles que
f (x)dx et
g(x)dx convergent. Si ∀ x ∈ [a, +∞[, f (x) ≤ g(x), alors
a
a
Z
+∞
Z
f (x)dx ≤
a
+∞
g(x)dx
a
Z +∞
Remarque. ATTENTION: il est possible que l’intégrale
(λf (x)+g(x))dx converge alors que les intégrales
a
Z +∞
Z +∞
f (x)dx et
g(x)dx divergent. On ne peut donc pas scinder une intégrale en deux sans avoir
a
a
vérifié au préalable que les deux intégrales obtenues convergent.
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Exemple.
1. Vérifier que, pour tout x ∈ [1, +∞[,
+∞
Z
2. Montrer que
1
Z
3. Les intégrales
1
+∞
1
1
1
= −
.
x(x + 1)
x x+1
dx
converge et déterminer sa valeur.
x(x + 1)
dx
et
x
Z
1
+∞
dx
convergent-elles? A-t-on
x+1
Z
+∞
1
dx
=
x(x + 1)
+∞
Z
1
dx
−
x
Z
1
+∞
dx
?
x+1
Définition.
Z
L’intégrale
+∞
Z
+∞
|f (t)| dt converge.
f (x)dx est absolument convergente si l’intégrale impropre
a
a
Théorème 10 (Convergence absolue)
Z
Soient a ∈ R et f : [a, +∞[→ R une fonction continue sur [a, +∞[ telle que
+∞
f (x)dx est
a
absolument convergente. Alors :
Z +∞
(1) L’intégrale impropre
f (x)dx est convergente.
a
En d’autres termes, la convergence absolue implique la convergence.
(2) On a l’inégalité triangulaire suivante:
Z +∞
Z
≤
f
(x)dx
a
+∞
|f (x)| dx.
a
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ECE1
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Remarque. Toutes ces propriétés restent valables pour des intégrales de la forme
Z
b
Z
+∞
f (x)dx ou
−∞
2.3
f (x)dx.
−∞
Techniques de calcul des intégrales impropres
I On ne procède pas à une intégration par parties ou à un changement de variables directement sur une intégrale
impropre. On se ramène à une intégrale définie sur un segment et on passe ensuite à la limite.
Intégration par parties
Exemple.
• Montrer que l’intégrale
Z
+∞
xe−x dx converge et donner sa valeur.
0
• Montrer que l’intégrale
Z
1
+∞
e1/x
dx converge et donner sa valeur.
x3
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Changement de variables
Exemple.
• Montrer que l’intégrale
variables u = ex .
Z
0
+∞
dx
converge et donner sa valeur. On pourra effectuer le changement de
1 + ex
• Pour tout entier naturel n, on pose In =
Z
1
effectuer le changement de variables u =
+∞
(x − 1)n
dx. Calculer la valeur de l’intégrale In (on pourra
xn+2
1
). En déduire lim In .
n→+∞
x
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Propriété 11 (Intégrales impropres et parité)
Z
0
f (x)dx converge si et seulement
(1) Fonctions paires : Si f est une fonction paire sur R alors
Z +∞
si
f (x)dx converge et on a :
−∞
0
Z
0
Z
−∞
+∞
Z
f (x)dx
f (x)dx =
+∞
Z
−∞
0
+∞
f (x)dx.
f (x)dx = 2
et
0
Z
(2) Fonctions impaires : Si f est une fonction impaire sur R alors
Z +∞
seulement si
f (x)dx converge et on a :
0
f (x)dx converge si et
−∞
0
Z
0
Z
f (x)dx = −
−∞
+∞
Z
f (x)dx
0
+∞
f (x)dx = 0.
et
−∞
Preuve.
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ECE1
2.4
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Intégrales de référence
Théorème 12 (Intégrales de référence)
Soit α ∈ R.
Z
(1) L’intégrale de Riemann
1
Z
(2) L’intégrale
+∞
dx
converge si et seulement si α > 1.
xα
+∞
e−αx dx converge si et seulement si α > 0.
0
Preuve.
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