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MPSI B
11 juin 2016
Dβ
Attention, il s’agit d’angles orientés de droites.
∆γ
B
C
1. Dans quel cas ces droites se coupent-elles ? Déterminer alors les coordonnées du point
d’intersection noté A
2. Pour γ ∈]0, π4 [, comment doit-on choisir β pour que (A, B, C) soit pseudo-rectangle ?
Donner une expression simple des coordonnées de A.
γ
β
Partie III
On considère un réel γ ∈]0, π4 [, un point B de coordonnées (−1, 0), un point C de coordonnées (1, 0) et un point Aγ de coordonnées
Fig. 1: Dβ et ∆γ
(−
1
, − tan 2γ)
cos 2γ
1. Déterminer les coordonnées du milieu du segment BB 0 où B 0 est l’intersection de (BC)
avec la droite perpendiculaire à (Aγ C) issue de Aγ .
Énoncé
Ce problème1 étudie quelques propriétés des triangles pseudo-rectangles.
Un triangle (A, B, C) est dit pseudo rectangle lorsque les mesures des angles géométriques
b B,
b C
b (par définition dans ]0, π[) vérifient
A,
2. Déterminer un vecteur directeur de la bissectrice intérieure en Aγ au triangle
(Aγ , B, C).
3. Déterminer les coordonnées du centre Iγ du cercle circonscrit à (Aγ , B, C). Préciser le
rayon Rγ de ce cercle.
b−C
b=π
B
2
4. Déterminer les coordonnées de l’orthocentre du triangle (Aγ , B, C).
5. Former une équation cartésienne de l’ensemble des points Aγ pour γ ∈]0, π4 [.
Partie I
1. Quels sont les triangles pseudo-rectangles isocèles ? Décomposer un triangle équilatéral
en trois triangles pseudo-rectangles.
2. On se donne deux points B et C et une droite passant par C faisant avec la droite
(B, C) un angle γ ∈]0, π4 [. Comment peut-on construire un point A sur cette droite tel
que (A, B, C) soit pseudo-rectangle ?
Partie II
Soit B le point de coordonnées (−1, 0) et C le point de coordonnées (1, 0). Pour tous
réels β et γ, on définit les droites (Fig. 1) Dβ et ∆γ par :
Dβ passe par B et (Dβ\
, (BC)) = β
\∆γ ) = γ
∆γ passe par C et ((BC),
1 d’après
e3A 2001 M2
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l’Identique 2.0 France
disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
1
Rémy Nicolai Apseudorec
MPSI B
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W
B
C
γ
γ
A1
O
A
U
V
Fig. 2: Triangles pseudo-rectangles isocèles.
Fig. 3: Construction de A.
Corrigé
Partie II.
Partie I.
−
1. Avec les conventions de l’énoncé : un vecteur directeur de Dβ est →
e −β , un vecteur
→
−
directeur de ∆γ est e γ . Les droites se coupent lorsque les vecteurs directeurs ne sont
pas colinéaires c’est à dire si et seulement si β + γ 6≡ 0 mod π.
Pour calculer les coordonnées du point d’intersection, on forme les équations des droites
puis un système
x + 1 cos β x − 1 cos γ =0
=0
Dβ : ∆
:
γ y
− sin β y
sin γ b=B
b ou
1. Lorsqu’un triangle (A, B, C) est pseudo rectangle et isocèle, on doit avoir A
π
b
b
b
b
b
b
A = C. Le premier cas conduit à A = B = 2 + C puis à C = 0 en considérant la
somme des trois angles qui vaut π. Ce cas doit donc être éliminé.
Le seul cas possible est le deuxième qui conduit à
b=C
b=π , B
b = 2π
A
6
3
On obtient trois triangles pseudo-rectangles et isocèles en décomposant un triangle
équilatéral à partir de son centre (Fig. 2). En effet, les trois angles en O sont 2π
3 , les
angles en U , V , W sont π6 car les segments issus du centre sont des bissectrices.
2. Notons D la droite passant par C donnée par l’énoncé. Un algorithme de construction
de A sur D tel que (A, B, C) soit pseudo-rectangle est le suivant (Fig. 3) :
– On forme un triangle isocèle (A1 , B, C). Le point A1 est l’intersection de D avec la
médiatrice de BD.
– On trace la perpendiculaire à A1 B passant par B. L’intersection de cete droite avec
D est le point A cherché.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l’Identique 2.0 France
disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
(
sin βx + cos βy = − sin β
sin γx − cos γy = sin γ
que l’on résoud à l’aide des formules de Cramer. Après calculs, on obtient les coordonnées du point d’intersection A :
sin(γ − β) 2 sin β sin γ
,−
sin(γ + β)
sin(γ + β)
2
Rémy Nicolai Apseudorec
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2. Avec les conventions de l’énoncé, le triangle est pseudo-rectangle lorsque β = γ + π2 .
Après calcul, on trouve que les coordonnées de A s’écrivent
1
, − tan 2γ
−
cos 2γ
B
C
γ
Partie III
β
0
1. Les coordonnées du milieu du segment [B, B ] sont
1
−
,0
cos 2γ
α
A
−
Pour les trouver, on remarque que →
eγ est un vecteur directeur de la droite (Aγ C). Un
→
−
vecteur V orthogonal à cette droite admet donc pour coordonnées (− sin γ, cos γ). Le
→
−
point B est de la forme Aγ + λ V avec y(B) = 0 d’où − tan 2γ + λ cos γ = 0 et
λ=
2 sin γ
sin 2γ
=
cos γ cos 2γ
cos 2γ
γ
Fig. 4: III.2. Bissectrice en A.
On en déduit les coordonnées de B 0 :
1
2 sin γ
1 + 2 sin2 γ
−
−
sin γ, 0 = −
,0
cos 2γ
cos 2γ
cos 2γ
B
puis celles du milieu de BB 0
1 + 2 sin2 γ
1 cos 2γ + 1 + 2 sin2 γ
1
1
−
1+
,0 = −
,0 = −
,0
2
cos 2γ
2
cos 2γ
cos 2γ
b = α, B
b = β, C
b = γ. Le caractère pseudo-rectangle se traduit par β =
2. On note A
comme α + β + γ = π on a aussi α + π2 + 2γ = π d’où
γ=
A
π
2
C
I
+ γ,
π α
−
4
2
Un vecteur directeur de la bissectrice en Aγ est alors (voir Fig. 4)
−
−→ = −
π
e−
e→
γ+ α
2
4
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
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Fig. 5: III.3. Cercle circonscrit.
3
Rémy Nicolai Apseudorec
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L’équation de cette droite est donc :
orthocentre
(x + 1) cos γ + y sin γ = 0
On remplace x par − cos12γ pour trouver y(H)
y(H) =
B
C
1 − cos 2γ cos γ
= tan 2γ
cos 2γ sin γ
On remarque que H est le symétrique de Aγ par rapport à (BC)
5. De la formule bien connue 1 + tan2 =
1
cos2
on déduit
1 + y(Aγ )2 = x(Aγ )2
L’ensemble formé par les Aγ est la partie de l’hyperbole d’équation x2 − y 2 = 1 pour
lesquels x et y sont négatifs.
A
Fig. 6: III.4. Orthocentre.
3. Soit I le centre du cercle circonscrit. Il est sur la médiatrice de [B, C] (Fig 5). Comme
B est de coordonnées (−1, 0) et C de coordonnées (1, 0), on a donc x(I) = 0. Pour
calculer y(I) on forme AI 2 = CI 2 .
1
+ (y(I) + tan 2γ)2 = 1 + y 2
cos2 2γ
1
sin2 2γ
2 sin2 2γ
⇔ −2y(I) tan 2γ =
+
−
1
=
⇔ y(I) = − tan 2γ
cos2 2γ
cos2 2γ
cos2 2γ
Le rayon du cercle circonscrit est
CI =
1
cos(2γ)
4. Notons H l’orthocentre cherché. La hauteur issue de Aγ est formée par les points dont
la première coordonnée est − cos12γ . Pour calculer la deuxième coordonnée de H, on
−
forme l’équation de la hauteur issue de B. Comme →
eγ est le vecteur directeur de (Aγ C),
M est sur la hauteur issue de B si et seulement si :
−−→ →
BM −
e =0
γ
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