Principe du maximum discret pour des problèmes elliptiques
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Principe du maximum discret pour des problèmes elliptiques
Introduction et problématique Du problème continu au problème discret Discrétisation et principe du maximum Principe du maximum discret pour des problèmes elliptiques Mathieu Cathala Université Montpellier 2 25 Janvier 2012 Principe du maximum discret pour des problèmes elliptiques 1 / 14 Introduction et problématique Du problème continu au problème discret Discrétisation et principe du maximum Sommaire 1 Introduction et problématique 2 Du problème continu au problème discret 3 Discrétisation et principe du maximum Principe du maximum discret pour des problèmes elliptiques 1 / 14 Introduction et problématique Du problème continu au problème discret Discrétisation et principe du maximum Sommaire 1 Introduction et problématique 2 Du problème continu au problème discret 3 Discrétisation et principe du maximum Principe du maximum discret pour des problèmes elliptiques 2 / 14 Introduction et problématique Du problème continu au problème discret Discrétisation et principe du maximum Objectif de la discrétisation Construire une approximation de la solution exacte ū du problème elliptique ( − ∆ū = f sur Ω, ū = 0 sur ∂Ω ; où : Ω est un domaine polygonal de Rd f ∈ L2 (Ω) Principe du maximum discret pour des problèmes elliptiques 3 / 14 Introduction et problématique Du problème continu au problème discret Discrétisation et principe du maximum Enjeux de la discrétisation Construire une approximation “précise” de la solution exacte ū. Préserver certaines propriétés de l’équation continue. Principe du maximum discret pour des problèmes elliptiques 4 / 14 Introduction et problématique Du problème continu au problème discret Discrétisation et principe du maximum Enjeux de la discrétisation Construire une approximation “précise” de la solution exacte ū. Préserver le principe du maximum : si f ≥ 0 et si ū vérifie ( −∆ū = f sur Ω ū = 0 sur ∂Ω alors ū ≥ 0. Principe du maximum discret pour des problèmes elliptiques 4 / 14 Introduction et problématique Du problème continu au problème discret Discrétisation et principe du maximum Sommaire 1 Introduction et problématique 2 Du problème continu au problème discret 3 Discrétisation et principe du maximum Principe du maximum discret pour des problèmes elliptiques 5 / 14 Introduction et problématique Du problème continu au problème discret Discrétisation et principe du maximum Bilan continu Bilan de conservation sur K : Z Z ∆ū = f − Ω K K K Principe du maximum discret pour des problèmes elliptiques 6 / 14 Introduction et problématique Du problème continu au problème discret Discrétisation et principe du maximum Bilan continu Ω ~n xK · Bilan de conservation sur K : Z Z ∇ū · ~n = f − ∂K K K Principe du maximum discret pour des problèmes elliptiques 6 / 14 Introduction et problématique Du problème continu au problème discret Discrétisation et principe du maximum Bilan discret Ω ~n xK · K Bilan discret sur K : Z −∆K (u) = f K avec : R ∆K (u) ≈ ∂K ∇ū · ~n uK ≈ ū(xK ) u = (uK )K solution discrète Principe du maximum discret pour des problèmes elliptiques 6 / 14 Introduction et problématique Du problème continu au problème discret Discrétisation et principe du maximum Bilan discret Ω ~n xK · K Bilan discret sur K : Z −∆K (u) = f K avec : R ∆K (u) ≈ ∂K ∇ū · ~n uK ≈ ū(xK ) u = (uK )K solution discrète Principe du maximum discret pour des problèmes elliptiques 6 / 14 Introduction et problématique Du problème continu au problème discret Discrétisation et principe du maximum Bilan discret Ω · L uL uK · K Bilan discret sur K : Z −∆K (u) = f K J · uJ avec : R ∆K (u) ≈ ∂K ∇ū · ~n uK ≈ ū(xK ) u = (uK )K solution discrète Principe du maximum discret pour des problèmes elliptiques 6 / 14 Introduction et problématique Du problème continu au problème discret Discrétisation et principe du maximum Problème discret Trouver une famille d’inconnues u = (uK )K solution du système : Z ∀K , −∆K (u) = f K Système linéaire carré associé à l’opérateur discret ∆D : u 7→ (∆K (u))K Principe du maximum discret pour des problèmes elliptiques 7 / 14 Introduction et problématique Du problème continu au problème discret Discrétisation et principe du maximum Problème discret Trouver une famille d’inconnues u = (uK )K solution du système : Z ∀K , −∆K (u) = f K Système linéaire carré associé à l’opérateur discret ∆D : u 7→ (∆K (u))K En général pas de principe du maximum : f ≥ 0 ; u ≥ 0 Principe du maximum discret pour des problèmes elliptiques 7 / 14 Introduction et problématique Du problème continu au problème discret Discrétisation et principe du maximum Sommaire 1 Introduction et problématique 2 Du problème continu au problème discret 3 Discrétisation et principe du maximum Principe du maximum discret pour des problèmes elliptiques 8 / 14 Introduction et problématique Du problème continu au problème discret Discrétisation et principe du maximum Objectif Donnée : Un opérateur discret ∆D définissant le système d’équations Z ∀K , −∆K (u) = f K But : corriger ∆D pour Obtenir un principe du maximum discret Principe du maximum discret pour des problèmes elliptiques 9 / 14 Introduction et problématique Du problème continu au problème discret Discrétisation et principe du maximum Objectif Donnée : Un opérateur discret ∆D définissant le système d’équations Z ∀K , −∆K (u) = f K But : corriger ∆D pour Obtenir un principe du maximum discret Conserver les “bonnes” propriétés de ∆D Principe du maximum discret pour des problèmes elliptiques 9 / 14 Introduction et problématique Du problème continu au problème discret Discrétisation et principe du maximum Monotonie · uL Si les équations s’écrivent : L · K uK X Z τK ,L (uK −uL ) = L voisins de K f K avec τK ,L ≥ 0. principe du maximum Principe du maximum discret pour des problèmes elliptiques 10 / 14 Introduction et problématique Du problème continu au problème discret Discrétisation et principe du maximum Construction de la correction On cherche à corriger le système sous la forme : −∆K (u) + X Z βK ,L (u)(uK − uL ) = L voisins de K f, K où les βK ,L (u) sont à déterminer. Principe du maximum discret pour des problèmes elliptiques 11 / 14 Introduction et problématique Du problème continu au problème discret Discrétisation et principe du maximum Monotonie ? 1 On écrit : ∆K (u) = 1 N X L voisins de K ∆K (u)sgn(uL − uK ) (uL − uK ) |uL − uK | où N = nombre de voisins de K . Principe du maximum discret pour des problèmes elliptiques 12 / 14 Introduction et problématique Du problème continu au problème discret Discrétisation et principe du maximum Monotonie ? 1 On écrit : ∆K (u) = 1 N X L voisins de K ∆K (u)sgn(uL − uK ) (uL − uK ) |uL − uK | où N = nombre de voisins de K . 2 Equations corrigées : X − ∆K (u) + βK ,L (u)(uK − uL ) = L voisins de K X L voisins de K ∆K (u)sgn(uL − uK ) + βK ,L (u) (uK − uL ) N |uL − uK | Principe du maximum discret pour des problèmes elliptiques 12 / 14 Introduction et problématique Du problème continu au problème discret Discrétisation et principe du maximum Monotonie ? 1 On écrit : ∆K (u) = 1 N X L voisins de K ∆K (u)sgn(uL − uK ) (uL − uK ) |uL − uK | où N = nombre de voisins de K . 2 Equations corrigées : X − ∆K (u) + βK ,L (u)(uK − uL ) = L voisins de K X L voisins de K ∆K (u)sgn(uL − uK ) + βK ,L (u) (uK − uL ) N |uL − uK | positif ? Principe du maximum discret pour des problèmes elliptiques 12 / 14 Introduction et problématique Du problème continu au problème discret Discrétisation et principe du maximum Une correction non-linéaire Termes correctifs βK ,L (u) = |∆K (u)| N |uL − uK | Le système corrigé 1 −∆K (u) + N X L voisins de K Z |∆K (u)|sgn(uK − uL ) = f K Principe du maximum discret pour des problèmes elliptiques 13 / 14 Introduction et problématique Du problème continu au problème discret Discrétisation et principe du maximum Le nouveau problème discret Trouver une famille d’inconnues u = (uK ) solutions du système : Z X 1 ∀K , −∆K (u) + |∆K (u)| sgn(uK − uL ) = f N K L voisins de K Respecte le principe du maximum Principe du maximum discret pour des problèmes elliptiques 14 / 14 Introduction et problématique Du problème continu au problème discret Discrétisation et principe du maximum Le nouveau problème discret Trouver une famille d’inconnues u = (uK ) solutions du système : Z X 1 ∀K , −∆K (u) + |∆K (u)| sgn(uK − uL ) = f N K L voisins de K Respecte le principe du maximum Système non-linéaire Principe du maximum discret pour des problèmes elliptiques 14 / 14 Introduction et problématique Du problème continu au problème discret Discrétisation et principe du maximum Le nouveau problème discret Trouver une famille d’inconnues u = (uK ) solutions du système : Z X 1 ∀K , −∆K (u) + |∆K (u)| sgn(uK − uL ) = f N K L voisins de K Respecte le principe du maximum Système non-linéaire Opérateur non-continu Principe du maximum discret pour des problèmes elliptiques 14 / 14 Introduction et problématique Du problème continu au problème discret Discrétisation et principe du maximum Le nouveau problème discret Trouver une famille d’inconnues u = (uK ) solutions du système : Z X 1 ∀K , −∆K (u) + |∆K (u)| sgn(uK − uL ) = f N K L voisins de K Respecte le principe du maximum Système non-linéaire Opérateur non-continu Convergence de la solution discrète vers la solution exacte ū ? Principe du maximum discret pour des problèmes elliptiques 14 / 14