Travaux Dirigés Traitement Numérique du Signal Digital

1ère Année
Informatique
2011-2012
Travaux Dirigés
Traitement Numérique du Signal
Digital Signal Processing
M. Frikel - J. Fadili
GREYC, UMR 6072 CNRS, 6, Boulevard Maréchal Juin, 14050 Caen Cedex
Table des matières
1 TD
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
no : 1 - Signaux discrets
Exercice : Représentation d’un signal discret . . . . . . . .
Exercice : Expression analytique d’un signal échantillonné
Exercice : Périodes d’échantillonnage . . . . . . . . . . . .
Exercice : Echantillonnage . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercice : Transformée de Fourier de rect(t) . . . . . . . .
Exercice : l’échantillonnage des "électroniciens" . . . . . .
Exercice : la série de Fourier revisitée . . . . . . . . . . . .
2 TD
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
no : 2 - Transformée de Fourier Discrète (TFD)
Exercice : Transformée de Fourier du signal rect(t) .
Exercice : Zéro padding . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercice : TFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercice : TFD d’un sinus cardinal . . . . . . . . . .
Exercice : Fenêtres de pondération . . . . . . . . . .
Exercice : Echantillonnage - théorème de Shannon . .
Exercice : Transformée de Fourier discrète (TFD) . .
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4
4
4
4
5
6
7
8
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10
10
10
11
12
14
17
18
3 TD no 3 - Les systèmes discrets
3.1 Exercice : Quelques rappels sur la TZ monolatérale . . . . . . . . . . . . .
3.2 Exercice : Manipulation et inversion de la TZ monolatérale . . . . . . . . .
3.3 Exercice : Equation aux différences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Exercice : Filtre discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5 Exercice : Réponse en fréquence d’un système . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Exercice : Etude d’un filtre discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Exercice : Equation de récurrence d’un filtre discret . . . . . . . . . . . . .
3.8 Exercice : Réponse impulsionnelle et réponse en fréquences d’un filtre discret
3.9 Exercice : Etudes temporelle et fréquentielle d’un filtre discret . . . . . . .
3.10 Exercice : Association des réponses fréquentielle et impulsionnelle de
quelques exemples de systèmes discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 TD
4.1
4.2
4.3
22
22
22
23
23
23
24
24
25
25
27
no : 4 - Filtres IIR - Transpositions
31
Exercice : Transformation bilinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Exercice : Filtre réjecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Exercice : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2
4.4
Exercice : Transposition d’un filtre analogique à un filtre discret . . . . . . 34
5 TD no 5 - Génération de signaux
6 TD
6.1
6.2
.1
.2
36
no 6 - Filtres FIR
Exercice : Etude de la fonction Sinus Intégral (SI) . . . . . . . . .
Exercice : Effet de la troncature sur un filtre à FIR . . . . . . . .
Transformée de fourier au sens des fonctions . . . . . . . . . . . .
.1.1
propriétés élémentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cas des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.2.1
Propriétés démontrées de δ(t) : . . . . . . . . . . . . . . .
.2.2
Propriétés de la transformée de Fourier des distributions :
3
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37
38
41
41
42
42
42
Chapitre 1
TD no : 1 - Signaux discrets
1.1
Exercice : Représentation d’un signal discret
La mesure d’un signal aux instants t (en s) = 1 ; 2 ; 4.3 ; 7.6 ; 12 donne respectivement les
valeurs : 0.85 ; −0.56 ; 4 ; −6.3 ; 12.
1. Représenter le signal discret physique correspondant à ces mesures.
2. Ecrire le modèle mathématique (ou expression analytique) associé à ce signal et le
représenter.
1.2
Exercice : Expression analytique d’un signal échantillonné
Le signal continu ci-dessous est échantillonné avec la période d’échantillonnage Ts .
Donner l’expression analytique du signal échantillonné pour :
Ts = 0.8s ; Ts = 1.5s ; Ts = 0.5 s ; Ts = 1s ; Ts = 2s.
1.3
Exercice : Périodes d’échantillonnage
Un signal sinusoïdal continu de période 1 ms est représenté sur les trois figures suivantes
(fig. 1.1,fig. 1.2,fig. 1.3). En trait gras, représenter sur chaque graphique le signal échan-
4
tillonné à la cadence indiquée. Dans chaque cas interpréter l’allure du signal échantillonné
obtenu.
Fig. 1.1 – Période d’échantillonnage 0.22 ms
Fig. 1.2 – Période d’échantillonnage 1 ms
1.4
Exercice : Echantillonnage
Soit le signal continu où xc (t) = e−αt e(t) est l’échelon unité d’Heaviside et α un réel
strictement positif. Ce signal est échantillonné avec une période d’échantillonnage Ts .
1. Représenter sur la même figure le signal continu et le signal échantillonné.
2. Donner l’expression analytique de l’échantillon xk à l’instant t = kTs et écrire la
représentation mathématique du signal échantillonné.
5
Fig. 1.3 – Période d’échantillonnage 1.1 ms
3. Rappeler l’expression de la transformée de Fourier du signal continu Xc (f ) et calculer
la transformée de Fourier du signal échantillonné X(f ).
4. Dans les deux cas, quelles sont les parités des modules et des phases des transformées
de Fourier. Quelle est l’origine de ces propriétés ?
5. Montrer que X(f ) est périodique. Quelle est sa période ?
6. A quelle condition y a-t-il une relation simple entre Xc (f ) et X(f ) ? Quelle est cette
relation ?
1.5
Exercice : Transformée de Fourier de rect(t)
1. Rappeler la TF de rect(t). En déduire la TF de
2. Un signal continu xc (t) =
sin (πt)
.
πt
sin (πt)
est échantillonné avec une période Ts de 0.3s.
πt
6
Représenter la TF du signal échantillonné obtenu. Reprendre la même question pour
une période d’échantillonnage T s = 1.5s et commenter les résultats obtenus.
3. On échantillonne le signal continu yc (t) = rect(t). Peut-on satisfaire la condition de
Shannon ? Comment s’y prend-on pratiquement ?
1.6
Exercice : l’échantillonnage des "électroniciens"
Pour échantillonner en pratique un signal, nous disposons d’un composant dit échantillonneur bloqueur ou SHA (Sample and Hold Amplifier) qui travaille de la manière indiquée
ci-dessous :
Le circuit commence à fonctionner à l’instant t = 0. Le signal d’entrée du SHA est noté
x(t) supposé nul pour t < 0 et le signal de sortie y(t) .
1. Donner l’expression analytique des deux signaux représentés ci-dessous
2. Le signal y(t) est-il de nature continue ou discrète ?
3. En notant θ ? la largeur des "impulsions" obtenues, donner une expression analytique
du signal y(t).
7
4. Quel est le lien entre les spectres de Fourier X(f ) du signal x(t) et Y (f ) du signal
y(t).
1.7
Exercice : la série de Fourier revisitée
Un signal périodique xp (t) de période T0 a pour fonction motif xm (t).
1. Exprimer xp (t) à partir de sa fonction motif xm (t) et d’un peigne de Dirac.
2. A partir de l’expression précédente, exprimer Xp (f ) (T F [xp (t)]) en fonction de
Xm (f ) (T F [xm (t)]).
3. Rappeler la définition de la série de Fourier à termes complexes de coefficients Cn . En
déduire une nouvelle expression de Xp (f ). En comparant au résultat du 2., montrer
que l’on peut calculer le coefficient Cn à partir de Xm (f ).
4. Pour un signal de fonction motif ci-contre, calculer ses coefficients de décomposition
T0
T0
en série de Fourier à termes complexes pour θ =
et θ = .
2
4
8
9
Chapitre 2
TD no : 2 - Transformée de Fourier
Discrète (TFD)
2.1
Exercice : Transformée de Fourier du signal rect(t)
Nous cherchons
à¶
évaluer la transformée de Fourier du signal
µ
1
x(t) = rect t −
grâce à la TFD.
2
1. Rappeler l’expression de X(f ) = T F [x(t)].
2. Le signal est échantillonné à la période Ts pendant un temps d’acquisition Ta = N.Ts
ce qui permet de disposer de N échantillons {xk } , k = {0 ; 1 ;... ; N-1}. Rappeler
l’expression de la TFD permettant de calculer à partir de {xk } les valeurs {Xn }. La
c ) du spectre X(f ). Rappeler cette approxiTFD constitue une approximation X(f
mation.
3. (a) On choisit Ts = 0.5s et Ta = 4s. Préciser la séquence {xk } et calculer l’expression de {Xn }. Sur une même courbe, comparer |Xn | et |X(f )|. Etalonner l’axe
des fréquences et préciser la bande de Shannon.
(b) Effectuer la même étude avec Ts = 0.25s et Ta = 4s puis avec Ts = 0.5s et
Ta = 8s. Interpréter les résultats obtenus et discuter des causes de la qualité
des différentes estimations.
2.2
Exercice : Zéro padding
Soit N échantillons ak , k = 0 , 1 , 2 ;..., N-1}. On forme 2N échantillons {bq } en intercalant
des zéros soit :
{b2k } = ak
et {b2k+1 } = 0
Avec la TFD : {ak } ↔ {An } et {bq } ↔ {Bm }.
10
Exprimer {Bm } et {Bm+N } en fonction des {An } pour n = {0, 1, 2; ..., N − 1}. Généraliser
ce résultat.
2.3
Exercice : TFD
La figure ci-dessous (figure 2.1) représente différents signaux discrets ainsi que le module
de leur TFD. (TFD du signal Si → T F Si , les abscisses des différentes courbes représentent
des numéros d’échantillons )
1. Le signal S1 est obtenu avec un échantillonnage à la fréquence 1200Hz. Définir la
transformée de Fourier discrète, calculer celle du signal S1 et en déduire les valeurs
présentées dans le cadre 4. Etalonner l’axe des fréquences de ce cadre (On justifiera
cet étalonnage).
2. Le signal S2 est obtenu à partir du signal S1 , comment ? Calculer sa TFD, quel est le
lien entre la TFD de S2 et celle de S1 ? (le justifier). Etalonner l’axe des fréquences
du cadre 5. Quel est l’intérêt pratique d’une telle manipulation ?
3. Le signal S3 est obtenu à partir du signal S1 , comment ? Calculer sa TFD, quel est le
lien entre la TFD de S3 et celle de S1 ? (le justifier). Etalonner l’axe des fréquences
du cadre 6. Quel est l’intérêt pratique d’une telle manipulation ?
11
Fig. 2.1 – Différents signaux discrets et le module de leur TFD
2.4
Exercice : TFD d’un sinus cardinal
1. Rappeler les TF des fonctions rect(t) et tri(t). En déduire la transformée de Fourier
"
#2
sin (πt)
de la fonction sinc2 (t) =
et la représenter.
πt
2. On échantillonne la fonction sinc2 (t). Quel est l’effet de l’échantillonnage sur le
spectre de Fourier ? A quelle condition doit satisfaire la période d’échantillonnage ?
3. On veut estimer le spectre de sinc2 (t) à l’aide de la TFD et, pour cela, on constitue
les fichiers de données de la manière suivante :
– A la période d’échantillonnage
Ts , on mesure le signal sur n échantillons allant de
µ
¶
n
n
t = − Ts à t =
− 1 Ts .
2
2
– Ces échantillons sont complétés par des zéros pour obtenir N points.
– Avec ces N points, on réalise une TFD.
Les six calculs suivants ont été réalisés :
12
–
–
–
–
–
–
Calcul 1 : Ts = 0.2s n = 120 N = 512
Calcul 2 : Ts = 0.5s n = 48 N = 512
Calcul 3 : Ts = 0.6s n = 40 N = 512
Calcul 4 : Ts = 0.2s n = 120 N = 128
Calcul 5 : Ts = 0.2s n = 10 N = 512
Calcul 6 : Ts = 0.2s n = 120 en intercalant deux zéros entre deux échantillons
successifs du signal puis en complétant avec des zéros à N = 512.
Les résultats obtenus sont portés sur les six figures jointes où les abscisses correspondent à la bande fréquences normalisée de Shannon.
4. (a) La figure A correspond au cas n◦ 1. Justifier précisément son allure.
(b) Pour les autre figures, justifier à quel calcul correspond chacune d’entre elles.
13
2.5
Exercice : Fenêtres de pondération
1. Etude du signal continu :
La limitation dans un intervalle de temps θ d’un signal continu est représentée par
l’action d’une fenêtre de pondération p(t) de telle que p(t) = 0 pour t n’appartenant
pas [0, θ]. Le signal ainsi constitué sera : y(t) = x(t).p(t).
2. (a) Donner l’expression de p(t) lorsqu’on effectue une troncature simple c’est à dire
une pondération unité quel que soit t dans l’intervalle de la fenêtre.
(b) Avec T F [x(t)] = X(f ), T F [p(t)] = P (f ) et T F [y(t)] = Y (f ), exprimer Y (f )
sin (2πt)
en fonction de X(f ) et P (f ). Dans le cas du signal x(t) =
exprimer
T0
Y (f ) en fonction de P (f ).
Représenter l’allure de |Y (f )| avec θ ≈ 12T0 dans le cas de la fenêtre du 1.1.
3. Echantillonnage :
Le signal non tronqué x(t) est échantillonné à la période Ts . Avec t = n.Ts et
sin (2πn)
T0 = n0 .Ts , on obtient les échantillons xn =
.
n0
(a) Quel est l’effet de l’échantillonnage sur le spectre de Fourier du signal échantillonné xe (t) ≡ {xn }.
(b) Rappeler la condition de Shannon. Dans notre cas n0 = 8, peut-on la considérer
comme satisfaite ?
(c) Est-ce la même chose pour l’échantillonnage du signal y(t) soit ye (t) ≡ {yn } si
on suppose T0 = 8Ts et θ ≈ 100Ts ?
4. Transformée de Fourier Discrète (TFD) :
Pour estimer la transformée de Fourier de x(t) on utilise une TFD de N points soit :
T F D[x(t)] = {Xk }.
14
(a) Rappeler la définition de la transformée de Fourier discrète.
(b) Quelle est la relation entre Xk et Y (f ) ?
(c) A l’aide des courbes |sinc| fournies, interpréter la figure 1 pour laquelle n0 = 8
et N = 96. De même, interpréter la figure 2 pour laquelle n0 = 8 et N = 100.
5. Fenêtre de Hanning :
La troncature du signal est effectuée par une fenêtre de Hanning :
·
µ
¶¸
2πt
h(t) = 0.5 1 − cos
θ
Le signal ainsi tronqué peut se mettre sous la forme,
z(t) = x(t).p(t).h(t) = y(t).h(t).
(a) Quelle est la transformée de Fourier H(f ) = T F [h(t)] de la fonction de fenêtre ?
(b) Montrer que l’application de la fenêtre se ramène à une convolution fréquentielle
et à une équation récurrente simple faisant intervenir 3 termes.
(c) Interpréter la figure 3 pour laquelle n0 = 8 et N = 96.
(d) Interpréter la figure 4 pour laquelle n0 = 8 et N = 100.
(e) Quels sont les avantages et inconvénients de cette troncature ?
15
16
2.6
Exercice : Echantillonnage - théorème de Shannon
µ
On étudie le signal x(t) = cos
2πt
θ
¶
1. questions préliminaires :
(a) Rappeler l’allure du spectre d’un signal sinusoïdal de période θ
(b) Ce signal est tronqué à un temps d’observation T0 > θ à l’aide d’une fenêtre
T0
rectangulaire centrée en
. Représenter le spectre de Fourier de ce signal
2
tronqué.
(c) On échantillonne le signal tronqué à la cadence d’échantillonnage Ts . A quelle
condition doit satisfaire cette période d’échantillonnage ? Est-ce rigoureusement
réalisable ?
2. On veut estimer le spectre du signal sinusoïdal grâce à la transformée de Fourier
discrète (DFT) calculée sur N points répartis sur M périodes du signal. Le choix de
la période d’échantillonnage est supposé correct.
(a) Rappeler la définition de la transformée de Fourier discrète.
(b) Représenter la TFD obtenue pour N = 20 et M = 5.
(c) Représenter la TFD obtenue pour N = 20 et M = K + ² = 4.5 (K=4, ² = 0.5).
17
(d) Quel est l’effet de M et de ² sur la qualité de l’estimation du spectre. En déduire
la précaution à prendre pour que cette estimation soit excellente.
2.7
Exercice : Transformée de Fourier discrète (TFD)
Un signal périodique est échantillonné avec une période d’échantillonnage Ts = 200µs.
1. Avec les 30 premiers échantillons du signal on réalise une transformée de Fourier
discrète (TFD) dont la valeur absolue du résultat est indiquée sur la figure (2.2).
(a) Quel est le pas fréquentiel de cette TFD ?
(b) Analyser le résultat de la TFD et en déduire l’expression du signal échantillonné.
2. Le calcul direct de la TFD est trop long et on cherche à utiliser l’algorithme de
transformée de Fourier rapide qui demande d’utiliser 2N échantillons. Le calcul est
donc repris avec les 32 premiers échantillons du signal et la valeur absolue du résultat
est fournie par la figure (2.3)
(a) Quel est le nouveau pas fréquentiel ? Expliquer clairement les raisons qui font
les différences avec la figure (2.2).
(b) Ce spectre est-il aisément interprétable ? Quelle précaution aurait-on du
prendre lors du traitement ?
18
Fig. 2.2 – Transformée de Fourier discrète (TFD) des 30 premiers échantillons d’un signal.
19
Fig. 2.3 – Transformée de Fourier discrète (TFD) des 32 premiers échantillons de ce
signal.
20
21
Chapitre 3
TD no 3 - Les systèmes discrets
3.1
Exercice : Quelques rappels sur la TZ monolatérale
Un signal x(t) est le résultat d’un échantillonnage du signal xc (t) à la période Ts et les
échantillons obtenus sont {xk }.
1. Sous quelle forme est modélisé mathématiquement ce signal ?
2. Quelle sera par définition la transformée en Z monolatérale ( notée ensuite TZ ) du
signal ?
3. Soit xc (t) = αt/Ts avec α ∈ C.
(a) Que vaut l’échantillon xk ? En déduire l’expression de la TZ du signal x(t).
(b) Déduire du α la valeur de la TZ de l’échelon d’Heaviside e(t).
(c) Déduire du α la valeur de la TZ de ejωt puis celle de sin (ωt) et cos (ωt).
3.2
Exercice : Manipulation et inversion de la TZ monolatérale
Pour les deux TZ suivantes :
R1 (z) =
z + 0.5
(z + 0.7)2
0.1732(z + 1)2 (z + 0.5)
(z + 0.7)(z − 0.8)2 (z 2 + 0.25)
1. Quel est le premier échantillon non nul et quelle est sa valeur.
R2 (z) =
(3.1)
(3.2)
2. Définir les modes associés et donner, sans calcul de coefficients, la forme générale de
la solution temporelle attendue.
3. Calculer éventuellement la solution par la méthode des résidus.
22
3.3
Exercice : Equation aux différences
Le comportement d’un système linéaire invariant est caractérisé par l’équation aux différences :
yn − 1.8yn−1 + 0.8yn−2 = 3.10−2 xn + 6.10−2 xn−1
(3.3)
1. Calculer la fonction de transfert du système et la mettre sous forme pôles et zéros.
2. En l’absence de conditions initiales, calculer la réponse indicielle du système.
3. Calculer la réponse permanente à une excitation sinusoïdale x(t) = sin (ωt) telle
π
que ωTS = .
2
3.4
Exercice : Filtre discret
Un filtre discret à pour fonction de transfert :
0.01(z + 1)2
H(z) =
(z − 0.8)2
(3.4)
Son signal d’entrée est un échelon d’Heaviside.
1. Sans calculer le signal de sortie, déterminer les valeurs initiales et finales de celui-ci.
2. En absence de conditions initiales, calculer le signal de sortie (méthode des résidus).
Quels sont les régimes transitoire ? permanent ? libre ? forcé ? Vérifier l’accord avec
les valeurs initiales et finales déterminées au 1.
3.5
Exercice : Réponse en fréquence d’un système
Un système linéaire invariant de signal d’entrée x(t) et de signal de sortie y(t) a un
comportement caractérisé par la fonction de transfert :
H(z) =
0.8(z + 2)
z 2 (z − 0.2)2
(3.5)
1. Avec 3 points astucieusement choisis, représenter le module de la réponse en fréquence du système. Justifier l’allure avec la représentation des pôles et des zéros.
2. Quelle est l’équation récurrente associée au système ?
3. En l’absence de conditions initiales on veut calculer la réponse indicielle du système.
(a) Expliquer pourquoi yk = 0 pour k = 0, 1, 2
(b) Calculer yk pour k ≥ 3
23
4. L’excitation x(t) est nulle mais le système a une condition initiale non nulle : y−1 = 1.
A partir du 2◦ ), écrire la relation entre Y (z) et y−1 . En déduire, dans ce cas, yk pour
k ≥ 0.
3.6
Exercice : Etude d’un filtre discret
Un filtre discret de signal d’entrée x(t) et de signal de sortie y(t) a pour fonction de
transfert :
(z + 1)
(z − 0.5)2
1. Quels sont les pôles et zéros de ce filtre. Les placer dans le plan z.
H(z) =
(3.6)
Avec ce diagramme indiquer le type de comportement fréquentiel de ce filtre. Toujours à l’aide du diagramme des pôles et zéros, calculer le module de la transmittance
du filtre pour les fréquences normalisées {0, 0.25, 0.5}. Tracer l’allure du module de
la réponse en fréquence.
2. A l’aide de la transformée en z, calculer les coefficients {hk } de la réponse impulsionnelle h(t) du filtre. Quelles sont les valeurs numériques de h0 , h1 , h2 et h3 ?
3. Quelle est l’équation récurrente liant y(t) et x(t) ? Pour calculer les coefficients de
la réponse impulsionnelle on impose que yn = 0 pour n < 0. Pourquoi ? Retrouver
les valeurs de h0 , h1 , h2 et h3 .
3.7
Exercice : Equation de récurrence d’un filtre discret
Un système linéaire échantillonné a comme fonction de transfert :
(z + 1)
(z − 0.5)2
Ce système a comme signal d’entrée x(t) dont la transformée en Z est :
H(z) =
(3.7)
z
(3.8)
(z + 0.5)
1. A l’instant t = kTs , quelle est la valeur de l’échantillon xk de x(t) ? Représenter x(t).
X(z) =
2. En l’absence de conditions initiales, quelle est l’expression de Y (z) transformée en
Z du signal de sortie y(t) du système ? En déduire la valeur de l’échantillon yk de
y(t).
3. Quelle est l’équation récurrente du système étudié ? En l’absence de signal d’entrée
(x(t) = 0) mais avec les valeurs initiales y−1 = 1 et y−2 = 0, calculer l’expression de
yk .
24
3.8
Exercice : Réponse impulsionnelle et réponse en fréquences d’un filtre discret
Un système discret a comme fonction de transfert :
H(z) =
(1 − a)(z − b)
(1 − b)z(z − a)
(3.9)
avec 0 < a < 1 et b ∈ R
1. Quel est le gain statique ? Quel(s) sont le(s) zéro(s) et le(s) pôle(s).
2. Réponse impulsionnelle :
(a) Par la méthode des résidus, calculer l’expression des échantillons de la réponse
impulsionnelle yδ (t) de ce système.
(b) Pour a et k constants, calculer dyδ (k)/db. Pour b < a, comment choisir b pour
obtenir la réponse la plus rapide ?
3. Pour a = 0.8 les modules des réponses en fréquence ont été relevées pour b =
{0.6 0.4 0 − 1 } (courbes ci-dessous).
En justifiant votre réponse grâce à la représentation pôles et zéros, attribuer à chaque
réponse en fréquence la valeur de b correspondante. Comment l’analyse fréquentielle
justifie-t-elle le résultat du 2.) sur la rapidité de la réponse ?
4. Pour a < b < 1, quel sera l’allure du module de la réponse en fréquence ? Le tracer
pour b = 0.9. Quelle est la réponse impulsionnelle correspondante ?
3.9
Exercice : Etudes temporelle et fréquentielle d’un
filtre discret
Dans cet exercice on utilisera des temps et des fréquences normalisés par respectivement
la période d’échantillonnage et la fréquence d’échantillonnage.
Un filtre discret a comme fonction de transfert :
(z 2 − 1)
G(z) = 2
(3.10)
z − 0.371z + 0.36
1. On mesure expérimentalement le gain pour les fréquences normalisées : 0.1, 0.2, 0.3
et on trouve respectivement environ : 1.43, 3.12, 1.9.
(a) Calculer les pôles et les zéros de la fonction de transfert (Il est plus simple de
les calculer sous la forme module/argument c’est à dire : rejϕ ). Représenter
leur position dans le plan z.
25
(b) A partir de la position des pôles et des zéros et des mesures expérimentales,
tracer l’allure du module de la réponse en fréquence du filtre. (Il est demandé
d’argumenter clairement les étapes de ce tracé).
2. La réponse indicielle du système est relevée expérimentalement et donne le résultat
indiqué sur le graphique ci-dessous :
(a) Justifier les valeurs initiales et finales.
(b) En notant re(±jϕ) les deux pôles du système, grâce à la méthode des résidus,
exprimer yk (échantillon de la sortie à t = kTs ) en fonction de r et de ϕ. Vérifier
la valeur numérique des 6 premiers échantillons.
(c) En notant x(t) le signal d’entrée et y(t) le signal de sortie, écrire l’équation
récurrente permettant de calculer l’échantillon yk . Avec celle-ci, calculer les 6
premiers échantillons et vérifier l’accord avec la question 2.2.
26
3.10
Exercice : Association des réponses fréquentielle et
impulsionnelle de quelques exemples de systèmes
discrets
Sur les figures ci-dessous, sont représentées les positions des pôles et des zéros de la fonction
de transfert de quatre systèmes différents (numérotés de 1 à 4, le coefficient de gain K
n’étant pas précisé). Puis, sont représentées respectivement (mais dans un ordre différent)
les réponses fréquentielles et les réponses impulsionnelles des systèmes.
En justifiant votre réponse, associer à chaque système sa réponse fréquentielle et sa réponse
impulsionnelle.
27
28
29
30
Chapitre 4
TD no : 4 - Filtres IIR - Transpositions
4.1
Exercice : Transformation bilinéaire
Un système continu est caractérisé par sa fonction de transfert :
G(p) =
1
p(p + a)
(4.1)
Nous recherchons un système discret travaillant à la période d’échantillonnage Ts ayant
un comportement voisin. Pour cela nous choisissons de calculer une fonction de transfert
équivalente H(z) grâce à la transformée bilinéaire.
1. Définir la transformation bilinéaire.
2. Calculer la fonction de transfert H(z) transposée par cette méthode. La mettre
sous forme pôles et zéros en exprimant les paramètres en fonction de aTs . Faire
l’application numérique pour a=0.05263 et Ts = 2s.
3. Quels sont le(s) pôle(s) obtenu(s). Comparer avec epi Ts le(s) transposé(s) du(des)
pôles du système continu.
4.2
Exercice : Filtre réjecteur
Un filtre continu réjecteur de bande a comme fonction de transfert :
G(p) =
p2 + 1
(p + 1)2
(4.2)
Le module de sa réponse en fréquence est indiqué sur la figure 1. Ce filtre travaille en
fréquences basses et sa réalisation est délicate. Nous allons rechercher un filtre discret
réalisant la même fonction grâce à une méthode de transposition.
1. La période d’échantillonnage du filtre discret est choisie Ts = 1s. Discuter ce choix.
31
2. transposition bilinéaire :
(a) En quoi consiste cette méthode ?
(b) Calculer la fonction de transfert discrète H1 (z) du filtre discret. Quels sont
ses pôles et ses zéros ? Quels sont les points singuliers responsables de l’effet
recherché (effet réjecteur de bande). Les représenter dans le plan z. On calculera
le module de la réponse en fréquence pour ω = 0, ω = ωmax (maximum autorisé
par le théorème de Shannon) et ω = ωR (pulsation rejetée). Comparer aux
caractéristiques du filtre continu. Comment s’interprètent ces résultats ?
(c) Le résultat n’est pas complètement satisfaisant. Effectuer les opérations nécessaires pour qu’il le devienne.
3. Nous aurions pu choisir une méthode réputée plus simple : la transformation par la
méthode des rectangles dite "arrière".
(a) Quelle est la fonction de transfert H2 (z) obtenue par cette méthode ?
(b) Quels sont ses pôles et ses zéros ?
(c) Calculer le module de la réponse en fréquence pour ω = {0, ωmax , ωrejet }. Comparer aux résultats précédents. Conclusions.
4.3
Exercice :
Un filtre continu a comme fonction de transfert :
32
G(p) =
p
(p + 1)2
(4.3)
Le module de la réponse en fréquence de ce filtre est tracé sur la figure 1. Il a une pulsation
de résonance ωr = 1 rd/s et il travaille à des fréquences trop faibles pour pouvoir envisager
une réalisation à base de composants analogiques. Aussi, allons nous rechercher des filtres
discrets ayant les caractéristiques fréquentielles les plus proches possibles.
1. Choix de la période d’échantillonnage. On choisit une période d’échantillonnage
Ts = 0.2s. Quelle est la pulsation maximale ωm atteignable en discret ? Discuter la
validité de ce choix.
2. discrétisation : On cherche un filtre discret de fonction de transfert H(z) calculée
par la méthode de la transformation bilinéaire.
3. Rappeler le principe et le résultat de cette méthode.
4. Calculer H(z).
5. Son module est représenté sur la figure 1. Vérifier sa valeur pour ω = {0; ωr ; ωm }.
6. A quoi est dû le désaccord en hautes fréquences ?
7. Quel est l’inconvénient habituel de cette méthode ?
8. Justifiez par un calcul pourquoi cet effet est ici négligeable pour ω = ωr .
33
4.4
Exercice : Transposition d’un filtre analogique à un
filtre discret
Un filtre continu a comme fonction de transfert :
G(p) =
p
(p + 6238)
(4.4)
le module de sa réponse en fréquence est indiquée sur la figure ci-dessous et nous cherchons
un filtre discret équivalent travaillant à la fréquence d’échantillonnage fs = 8000 Hz.
34
1. Transformation bilinéaire.
La première méthode utilisée est la transformée bilinéaire et le résultat obtenu est
indiqué sur la figure précédente.
(a) Etablir l’expression de la transformation bilinéaire
(b) Quelle est l’expression de la fonction de transfert G1 (z) obtenue ? (Elle sera
mise sous forme monic)
(c) Les fréquences pour lesquelles l’atténuation des filtres continus et discrets est
de 0.9 ne sont pas identiques. Pourquoi ? Etablir la relation théorique entre ces
deux fréquences et faire l’application numérique.
(d) On veut que la fréquence d’atténuation à 0.9 du filtre transposé soit la même
que celle du filtre continu. Que faut-il faire ? Calculer la nouvelle fonction de
transfert G2 (z).
2. Invariance impulsionnelle.
En tentant de transposer le filtre continu par la méthode d’invariance impulsionnelle,
nous obtenons des absurdités.
(a) Rappeler le principe de la méthode
(b) Tenter la transposition et indiquer les raisons de son échec
35
Chapitre 5
TD no 5 - Génération de signaux
La génération de signaux sinusoïdaux par simple programmation d’une équation récurrente est ce qui est le plus utilisé dans la pratique. Il est cependant possible d’utiliser la
même méthode pour générer d’autres signaux.
1. Nous souhaitons générer un signal en dent de scie de période T0 et d’amplitude
unité.
(a) Quel est le filtre formeur qui permet de générer une rampe de pente unité ?
(b) Ecrire l’équation récurrente qui permettra de générer cette rampe. Quelles sont
les conditions initiales qu’il faudra utiliser ? Vérifier le fonctionnement en calculant les 5 premiers échantillons.
(c) La dent de scie est un motif constitué d’une rampe tronquée sur l’intervalle
[0,T0 ] et reproduit périodiquement. Comment réaliser cela pratiquement à partir de la réalisation précédente ?
2. Le même programme peut être utilisé pour générer d’autres signaux.
(a) Quelles sont les modifications à apporter pour générer périodiquement une
sinusoïde amortie échantillonnée : x(t) = e−αTs sin (2πF1 t) (Remarque : Les
valeurs de α et F1 sont supposées correctement choisies par rapport à T0 ).
(b) Même question pour générer périodiquement une rampe amortie x(t) = te−αTs
36
Chapitre 6
TD no 6 - Filtres FIR
6.1
Exercice : Etude de la fonction Sinus Intégral (SI)
Z a
sin (u)
Par définition : SI(a) =
du cette fonction calcule donc la surface du sinus
u
0
cardinal, aucune forme analytique n’est calculable cette fonction ne peut qu’être tabulée.
Cet exercice a pour but d’en établir quelques propriétés.
Dans le traitement de signal, la fonction qui intervient le plus souvent est :
SI(πx) =
Z πx
sin (u)
du
u
qui avec un changement de variable u = πy peut se ramener à :
SI(πy) = π
0
Z x
sin (πy)
0
πy
dy
(6.1)
(6.2)
1. Quelle est la parité de la fonction sinus cardinal ? En déduire la parité de la fonction
sinus intégral.
sin (πy)
2. La fonction
est représentée ci-dessous :
πy
Pour quelles valeurs de y est-elle nulle ? Quelle est la propriété de SI(πx) pour ces
valeurs ?
Z +∞
sin (πy) −j2πνy
3. Quelle est la transformée de Fourier F (ν) =
e
dy
πy
−∞
Z +∞
sin (πy)
En déduire la valeur de : SI(+∞) = π
dy
πy
0
4. Avec les questions précédentes, justifier l’allure de la courbe SI(πx) ci-dessous dont
les valeurs intermédiaires ont été calculées numériquement.
Quelle est la valeur relative du dépassement maximal par rapport à la valeur finale ?
37
6.2
Exercice : Effet de la troncature sur un filtre à FIR
1. On choisit de réaliser un filtre de type I avec un retard de groupe nul. Qu’est-ce que
cela implique sur les caractéristiques du filtre.
2. Rappeler le gabarit idéal d’un filtre passe-bas de fréquence de coupure fB = 0.1fS ,
fS étant la fréquence d’échantillonnage à laquelle travaille le filtre numérique.
3. Quelle est sa réponse impulsionnelle h(t) ? Pourquoi est-ce un filtre RIF irréalisable ?
4. Pour le rendre réalisable on choisit de n’utiliser que les échantillons compris entre
θ
θ
1
−θ
et avec = N Ts N ∈ N + ; Ts = .
2
2
2
fs
38
Exprimer la réponse impulsionnelle réelle hr (t) en fonction de h(t) calculée au 2.).
En déduire la réponse en fréquence Hr (ejωTs ) du filtre RIF ainsi constitué en l’exprimant avec la fonction sinus intégral.
5. Pour N grand (> 50), justifier l’allure de cette réponse en fréquence indiquée sur la
figure ci-dessous.
Définir la bande passante (BP), la bande coupée (BC) et la bande de transition
(BT).
Quelle est la largeur ∆f de la bande de transition ?
Quel est le plus grand écart δ1 en bande passante entre la réponse idéale et la réponse
39
réelle ?
Quel est le plus grand écart δ2 en bande coupée entre la réponse idéale et la réponse
réelle ?
Quelle est l’action de N ces trois paramètres ?
40
Annexe
Rappels sur la transformée de Fourier
Le traitement du signal dans le cas des systèmes linéaires invariants (SLI) fait appel à
l’analyse fréquentielle dont l’outil de base est la transformée de Fourier
.1
Transformée de fourier au sens des fonctions
Définition :
Z +∞
T F [x(t)] = X(f ) =
−∞
x(t)e−j2πf t dt
(3)
Condition d’existence :
x(t) doit appartenir à L1 (R) qui est l’ensemble des signaux stables ou absolument somR +∞
mables tels que l’intégrale −∞
|x(t)|dt converge.
.1.1
propriétés élémentaires
– P1. linéarité : T F [a1 x1 (t) + a2 x2 (t)] = a1 T F [x1 (t)] + a2 T F [x2 (t)]
∀ a1 et a2 ∈ C
– P2. symétrie : T F [x(−t)](f ) = T F [x(t)](−f ) = X(−f )
h
i
– P3. conjugaison complexe : T F x(−t)
(f )
= T F [x(t)](−f ) = X(−f ). Une façon d’asi
h
socier les deux théorèmes précédents très utilisée pratiquement : T F x(−t)
(f )
=
T F [x(t)](f ) = X(−f )
1
1
f
T F [x(t)]( f ) =
X( )
k
|k|
|k| k
– P5. Translation temporelle-Théorème du retard : T F [x(t − t0 )](f )
e−j2πf t0 T F [x(t)](f ) = e−j2πf t0 X(f )
– P4. Changement d’échelle : T F [x(kt)](f ) =
h
i
– P6. Modulation : T F ej2πf t0 x(t)
(f )
= T F [x(t)](f −f0 ) = X(f − f0 )
"
dx
– P7. Transformée de la dérivée : T F
dt
(j2πf )n T F [x] = (j2πf )n X(f )
#
dn x
= j2πf T F [x] = j2πf X(f ). T F
dtn
– P8. Théorème de la dérivation (de la transformée de Fourier) :
dn
T F [x(t)] = (−j2π)n T F [tn x(t)].
df n
– P9. Produit : T F [x(t)y(t)] = T F [x(t)] ⊗ T F [y(t)]
– P10. Produit de convolution : T F [x(t) ⊗ y(t)] = T F [x(t)] .T F [y(t)]
– P11. Signaux réels : Pour un signal réel :
1.la partie réelle de sa TF est paire et la partie imaginaire est impaire.
−j2πT F [tx(t)]
41
"
=
#
=
d
T F [x(t)] =
df
2.le module de sa transformée de Fourier est pair et son argument est impair.
.2
Cas des distributions
Tout le traitement numérique du signal utilise la théorie des distributions et en particulier
la distribution de Dirac δ(t). Il faut se rappeler les résultats suivants :
1. Les distributions sont définies par des fonctionnelles, dans le cas des distributions
singulières (cas de δ(t)), nous ne pouvons pas écrire les intégrales de Rieman.
2. Les distributions ne sont pas des fonctions de L1 et n’ont donc pas de TF au sens
des fonctions. Pour les distributions singulières dites tempérées (cas de δ(t)) nous
savons définir une transformée de Fourier par les fonctionnelles
.2.1
Propriétés démontrées de δ(t) :
P1 Produit par une fonction (appelé aussi échantillonnage) :
x(t)δ(t − t0 ) = x(t0 )δ(t − t0 )
On ne sait pas définir le produit de deux distributions singulières :
δ(t − t1 ).δ(t − t0 ) n’existe pas.
P2 Produit de convolution (appelé aussi translation) :
x(t) ⊗ δ(t − t0 ) = x(t − t0 )
Ce théorème est aussi valable entre distributions singulières :
δ(t − t1 ) ⊗ δ(t − t0 ) = δ(t − t1 − t0 )
P3 δ(t) et 1 possèdent une transformée de Fourier au sens des distributions :
T F [δ(t)] = 1 T F [1] = δ(f )
.2.2
Propriétés de la transformée de Fourier des distributions :
Il est démontré qu’elles sont identiques à celles établies pour les fonctions.
42